CN110210130B - 针对工字梁二维模型的形状优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种针对工字梁二维模型的形状优化方法，其步骤为：首先用NURBS样条给出工字梁的二维体参数化模型，参数包括NURBS坐标点以及权重等；给定形状优化目标方程及约束条件，推导以控制点和权重为设计变量的灵敏度方程，通过优化这两个参数来实现对工字梁二维模型的形状优化设计。本发明采用NURBS样条构建几何模型，并可更精确的表示出几何模型形状；采用等几何分析方法实现了CAD系统模型与CAE系统模型的无缝结合，且集合了样条模型的优势特点，等几何分析方法有效运用于结构边界形状优化，将分析过程与优化过程统为一体，提高了优化精确性以及计算效率，并且能更为精确的表达出光滑的模型边界形状。

Description

针对工字梁二维模型的形状优化方法

技术领域

本发明涉及一种二维产品模型形状优化设计，尤其涉及一种基于产品模型特征框架的形状优化算法。

背景技术

传统有限元的分析优化不同，等几何分析可以直接利用其几何模型中的样条信息进行优化分析。传统有限元分析优化中，在CAD模型中进行设计几何模型然后在CAE分析模型中进行网格划分然后分析，该过程是单向的不可逆，但对其模型优化可以双向。正是这一特性使得有限元分析优化无法进行CAD和CAE集成共同优化，过程繁琐耗时。而等几何分析的设计优化中，模型的设计构建、分析及优化都可基于同一样条函数进行，其构建几何模型是的参数都可作为影响其模型结构的参数，从而进行优化分析。如NURBS函数，模型的形状由函数中的基函数、控制点、权重等精确表达，将控制点坐标及权重作为优化设计变量进行形状优化。当几何模型的参数变化，其分析模型的形状也随之变化，在等几何分析中，利用单元替代了传统有限元的网格，所以单元会随形状迭代更新。因此基于等几何分析的结构优化方法在优化过程中不需要重新划分网格单元，也不会产生网格畸变、分析模型与几何模型不对应等情况。该优化方法在工程应用及科学研究具有很大的发展空间和前景。

发明内容

本发明为解决上述有限元优化产生的问题，提供了一种针对工字梁二维模型的以控制点和权重同时作为设计变量的形状优化方法，采用NURBS样条建模方法给出工字梁的二维体参数化模型，参数包括NURBS坐标以及权重等；给定形状优化目标方程及约束条件，推导以控制点和权重为设计变量的灵敏度方程，通过优化这两个参数来实现对工字梁二维模型的形状优化设计。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种针对工字梁二维模型的形状优化方法，包括如下步骤：

1)建立工字梁二维模型，控制点坐标和权重作为建模参数构建出工字梁二维模型的特征曲线，给所述特征曲线添加约束条件得到参数化的特征框架，通过该参数化特征框架可以驱动工字梁二维模型的变形；

2)根据NURBS参数理论，建立等几何分析模型。为实现等几何分析采用一定方法获取工字梁二维模型的边界控制点和权重以及内部控制点和权重；

3)确定优化算法，建立以控制点坐标坐标及权重为设计变量的灵敏度矩阵，给工字梁二维模型施加边界条件或约束条件，利用等几何分析方法得到每个控制点坐标和权重与目标优化方程以及约束方程间的导数关系，即得到灵敏度矩阵，对所述灵敏度矩阵进行求解，确定优化算法；

4)利用选用的优化算法，依次对每个优化设计参数和对应的特征框架模型进行更新迭代，直到满足给定的迭代终止条件。

上述步骤3)中的目标优化方程以及约束方程建立方法：

在一定体积约束下，以最小结构柔度为优化目标，该结构优化问题的数学公式可以表示为：

其中，f表示为柔度方程，b表示为优化设计变量集合，包括控制点和权重，u(b)表示为受设计变量影响的位移函数，f表示载荷集合，K表示刚度矩阵，V表示模型的体积或面积，V^*表示模型的最大体积或面积值，b_imin和b_imax分别表示设计变量b_i的最小值和最大值。

上述步骤3)中的对灵敏度矩阵进行求解的方法：

(1)根据目标函数得到其灵敏度可表示为：

为了计算关于设计变量的柔度形状灵敏度，应计算单元刚度矩阵的灵敏度，表示如下：

其中W_i为转换后的高斯积分权系数，e为单元，n为高斯点个数，NINT为单元总数目，为了计算单元刚度矩阵的灵敏度，需要计算应变矩阵B和雅可比矩阵J的灵敏度，此时，与设计变量是控制点坐标的情况不同，若以控制点坐标和权重为设计变量，NURBS基函数既是控制点坐标的函数也是权重的函数；

(2)约束函数中的模型体积V对设计变量的导数可表示为：

应变矩阵B表示为：

有限元分析中的形函数N_i，在等几何分析中用R_i作为NURBS基函数，nen表示基函数个数；

弹性系数矩阵D表示为：

其中E表示杨氏模量，v表示泊松比；

雅格比矩阵J表示为：

雅格比矩阵可从物理域转换至参数域；

为求出

需要求出应变矩阵B中形函数的偏导数，可根据复合函数的求导法，利用对参数域的偏导可求得：

上式可转换为：

已知N可表示出应变矩阵B_e，由上式可得N＝J^-1M，同时雅格比矩阵可由NURBS曲面公式推导得到：

针对本文提出的形状优化算法，对控制点及权重作为设计变量进行灵敏度求导，推导过程如下：

当设计变量为权重和控制点P_(xω,yω)时，则有：

由上式可知需要求出NURBS基函数对权重的导数，设

其中s，t省略，则有：

雅格比矩阵|J|对控制点和权重的导数为：

综上，得到单元刚度矩阵对设计变量的灵敏度后，进而组装为总体刚度矩阵对设计变量的灵敏度矩阵，则可求得以柔度最小即刚度最大的目标函数灵敏度分析。

本发明的有益效果在于：本发明采用NURBS样条构建几何模型，加入权重参数后的NURBS不仅包含B样条表达曲线曲面的优点，还能利用权重表达出圆锥等复杂形状，并且使边界曲线更加光顺，更精确的表示出几何模型形状。等几何分析方法实现了CAD系统模型与CAE系统模型的无缝结合，且集合了样条模型的优势特点，等几何分析方法有效运用于结构边界形状优化，将分析过程与优化过程统为一体，提高了优化精确性以及计算效率，并且能更为精确的表达出光滑的模型边界形状。

附图说明

图1为工字梁二维模型形状优化算法流程图；

图2为孔斯曲面图；

图3为孔斯曲面u方向线性插值图；

图4为孔斯曲面v方向线性插值图；

图5为工字梁四分之一截面图；

图6为工字梁初始模型示意图；

图7(a)为工字梁尺寸优化控制点图；

图7(b)为工字梁尺寸优化边界形状图；

图7(c)为工字梁尺寸优化等参线图；

图8为工字梁各尺寸优化过程图及柔度优化过程图；

图9为尺寸优化后的工字梁分析结果应力图；

图10为工字梁局部控制点优化示意图；

图11(a)为工字梁局部形状优化控制点图；

图11(b)为工字梁局部形状优化边界形状图；

图11(c)为工字梁局部形状优化等参线图；

图12为局部形状优化后的工字梁分析结果应力图；

图13为工字梁目标柔度优化过程图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，一种针对工字梁二维模型的形状优化方法，其步骤如下：

第一步：构建工字梁二维模型。利用模型扫描得到点云数据，提取点、线、面特征信息，或者利用模型测量和尺寸设计，得到自由形体模型的特征框架；根据设计对象的特征和设计意图，选取部分特征参数作为优化设计参数，根据这些参数和其他一些己知参数，构建出产品模型的特征曲线；给所述特征曲线添加约束条件得到参数化的特征框架，通过特征框架尺寸驱动产品模型的变形，得到特征框架模型。

第二步：建立分析模型。从特征框架模型到分析模型的生成，采用经典的孔斯插值方法，可以分为两步。第一步为通过特征曲线生成边界面所有控制点，第二步为通过所有表面控制点生成实体内部所有控制点。下面详细描述插值方法：

如图2所示，给出一个曲面的四个边界分别为p₀(v)、p₁(v)、q₀(u)、q₁(u)。

在曲面中对两条相对的曲线p₀(v)和p₁(v)在u方向上进行线性插值，得到u向直纹面。如图3所示

p₁(u,v)＝(1-u)p₀(v)+up₁(v) (1)

式中可知在u＝0处，以p₀(v)为边界；在u＝1处，以p₁(v)为边界。但是将v＝0和v＝1带入式中有另一对角点之间的边界曲线为两条直线，而不是以q₀(u)和q₁(u)为边界的曲线。

同样地，在曲面中对两条相对的曲线q₀(u)和q₁(u)在v方向上进行线性插值，得到v向直纹面。如图4所示

p₂(u,v)＝(1-v)q₀(u)+vq₁(u) (2)

式中可知在v＝0处，以q₀(v)为边界；在v＝1处，以q₁(v)为边界。而将u＝0和u＝1带入式中有另一对角点之间的边界曲线为两条直线，不是以p₀(u)和p₁(u)为边界的曲线。将式(1)和(2)相加后有：

p₃(u,v)＝(1-u)p₀(v)+up₁(v)+(1-v)q₀(u)+vq₁(u) (3)

将u＝0，u＝1，v＝0，v＝1分别带入式(3)后得到

可以看到从p₃(u,v)减去双线性曲面的边界曲线后即可得到孔斯曲面的边界条件。则可以得到孔斯曲面的方程为

式中假设p₀(v)，p₁(v)，q₀(v),q₁(v)对应的控制顶点分别为

曲面上的四个角点分别为p_0,0、p_0,1、p_1,0、p_1,1。由此，可以得到孔斯曲面的控制点为

第三步：建立目标方程和约束方程。

在一定体积约束下，以最小结构柔度为优化目标，该结构优化问题的数学公式可以表示如下：

其中，f表示为柔度方程，b表示为优化设计变量集合，包括控制点和权重，u(b)表示为受设计变量影响的位移函数，f表示载荷集合，K表示刚度矩阵，V表示模型的体积或面积，V^*表示模型的最大体积或面积值，b_imin和b_imax分别表示设计变量b_i的最小值和最大值。

第四步：求解目标方程和约束方程对设计变量的灵敏度方程。

(1)根据目标函数得到其灵敏度可表示为：

为了计算关于设计变量的柔度形状灵敏度，应计算单元刚度矩阵的灵敏度，表示如下：

其中W_i为转换后的高斯积分权系数，e为单元，n为高斯点个数，NINT为单元总数目。为了计算单元刚度矩阵的灵敏度，需要计算应变矩阵和雅可比矩阵的灵敏度。此时，与设计变量是控制点坐标的情况不同，若以控制点坐标和权重为设计变量，NURBS基函数既是控制点坐标的函数也是权重的函数。

(2)约束函数中的模型体积V对设计变量的导数可表示为：

应变矩阵B表示为：

有限元分析中的形函数N_i在等几何分析中表示为NURBS基函数，nen表示基函数个数。

弹性系数矩阵D表示为：

其中E表示杨氏模量，v表示泊松比。

雅格比矩阵J表示为：

雅格比矩阵可从物理域转换至参数域。

为求出

需要求出应变矩阵B中形函数的偏导数，可根据复合函数的求导法，利用对参数域的偏导可求得：

R为Nurbs曲线的基函数，R_i为Nurbs曲线的任意基函数。

上式可转换为：

已知N可表示出应变矩阵B_e，由上式可得N＝J^-1M，同时雅格比矩阵可由NURBS曲面公式推导得到：

针对本文提出的形状优化算法，需对控制点及权重作为设计变量进行灵敏度求导，推导过程如下：

当设计变量为权重和控制点P_(xω,yω)时，则有：

由上式可知需要求出NURBS基函数对权重的导数，设

(其中s，t省略)，则有：

雅格比矩阵|J|对控制点和权重的导数为：

综上，得到单元刚度矩阵对设计变量的灵敏度后，进而组装为总体刚度矩阵，即可得到总体刚度矩阵对设计变量的灵敏度矩阵，则可求得以柔度最小即刚度最大的目标函数灵敏度分析。

第五步：根据具体实例来对上述的形状优化方法进行具体说明，以便更清楚的理解上述方法的设计思路。

首先利用NURBS样条建立工字梁二维模型，将工字梁截面的7个尺寸参数作为优化设计变量以进行尺寸优化。如工字梁四分之一截面图5所示能够表示工字梁截面的7个尺寸变量分别为：h为截面高度，b为腿宽度，d为腰宽度，t为平均腿宽度，r1为腿端圆弧半径，r2为内圆弧半径，θ为内弧倾斜度。

将如图5所示中的9个控制点以尺寸参数表达出，如式(21)所示，式中β＝90°-θ。

两个方向的节点为

和/>

次数分别为p＝2和q＝2，杨氏模量E＝1.5×10³kPa，泊松比μ＝0.3。经过孔斯插值后得到25×7个控制点的工字梁几何模型，下底边固定，上顶边施加均布力F＝10N。约束条件为工字梁面积不超过S^*＝1418，如图6所示。经过尺寸优化后的工字梁如图7(a),(b),(c)所示。尺寸优化的过程图及柔度图如图8所示。

通过等几何分析可得到在工字梁内圆弧处的应力集中，如图9所示。于是将内圆弧周围的控制点以及权重作为设计变量(如图10所示)，A、B、C、D、E、F、G、H的平行与垂直方向及I、J两点的垂直方向，约束体积与尺寸优化的相同即不超过S^*＝1418，且控制点及权重有对称约束。得到最终工字梁模型的形状优化结果如图11(a),(b),(c)所示。应力分析结果如图12所示。

工字梁柔度优化过程如图13所示，在工字梁的优化结果中，经过尺寸优化后的工字梁，加入权重作为设计变量对其应力集中的部位进行形状优化得到的优化结果对比如表1所示。方法1：以控制点作为设计变量的尺寸优化结果；方法2：以控制点和权重作为设计变量的局部形状优化结果。

表1工字梁优化对比

优化对比	柔度	面积
			方法1	2.72	1415
方法2	2.56	1407

由表1中的对比结果可以看到加入权重的形状优化结果使工字梁的柔度更小即刚度更大，且可以看到优化后的边界形状更加光顺，更加体现了权重在调节曲线形状的重要性。

Claims (1)

1.一种针对工字梁二维模型的形状优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)建立工字梁二维模型，控制点坐标点坐标和权重作为建模参数构建出工字梁二维模型的特征曲线，给所述特征曲线添加约束条件得到参数化的特征框架，通过该参数化特征框架可以驱动工字梁二维模型的变形；

2)根据NURBS参数理论，获取工字梁二维模型的边界控制点和权重以及内部控制点和权重建立等几何分析模型；

3)确定优化算法，建立以控制点坐标及权重为设计变量的灵敏度矩阵，给工字梁二维模型施加边界条件或约束条件，利用等几何分析方法得到每个控制点坐标和权重与目标优化方程以及约束方程间的导数关系，即得到灵敏度矩阵，对所述灵敏度矩阵进行求解，确定优化算法；其中:

目标优化方程以及约束方程建立方法：

在一定体积约束下，以最小结构柔度为优化目标，该结构优化问题的数学公式可以表示为：

其中，f表示为柔度方程，b表示为优化设计变量集合，包括控制点坐标和权重，u(b)表示为受设计变量影响的位移函数，f表示载荷集合，K表示刚度矩阵，V表示模型的体积或面积，V^*表示模型的最大体积或面积值，b_imin和b_imax分别表示设计变量b_i的最小值和最大值；

对灵敏度矩阵进行求解的方法：

(1)根据目标函数得到其灵敏度可表示为：

为了计算关于设计变量的柔度形状灵敏度，应计算单元刚度矩阵的灵敏度，表示如下：

其中W_i为转换后的高斯积分权系数，e为单元，n为高斯点个数，NINT为单元总数目，为了计算单元刚度矩阵的灵敏度，需要计算应变矩阵B和雅可比矩阵J的灵敏度，此时，与设计变量是控制点坐标的情况不同，若以控制点坐标和权重为设计变量，NURBS基函数既是控制点坐标的函数也是权重的函数；

(2)约束函数中的模型体积V对设计变量的导数可表示为：

应变矩阵B表示为：

有限元分析中的形函数N_i，在等几何分析中用R_i作为NURBS基函数，nen表示基函数个数；

弹性系数矩阵D表示为：

其中E表示杨氏模量，v表示泊松比；

雅格比矩阵J表示为：

雅格比矩阵可从物理域转换至参数域；

为求出

需要求出应变矩阵B中形函数的偏导数，可根据复合函数的求导法，利用对参数域的偏导可求得：

R为Nurbs曲线基函数，R_i为Nurbs曲线上的任意基函数，

上式可转换为：

已知N可表示出应变矩阵B_e，由上式可得N＝J^-1M，同时雅格比矩阵可由NURBS曲面公式推导得到：

对控制点及权重作为设计变量进行灵敏度求导，推导过程如下：

当设计变量为权重和控制点P_(xω,yω)时，则有：

由上式可知需要求出NURBS基函数对权重的导数，设

其中s，t省略，则有：

雅格比矩阵|J|对控制点和权重的导数为：

综上，得到单元刚度矩阵对设计变量的灵敏度后，进而组装为总体刚度矩阵对设计变量的灵敏度矩阵，则可求得以柔度最小即刚度最大的目标函数灵敏度分析；

4)利用选用的优化算法，依次对每个优化设计参数和对应的特征框架模型进行更新迭代，直到满足给定的迭代终止条件。

Images