CN113722779A - 一种基于薄壳结构的参数化雕刻设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于薄壳结构的参数化雕刻设计方法，在输入任意一种三角网格表示的流形曲面后，通过偏移一定的厚度得到薄壳结构。计算曲面的Voronoi剖分得到Voronoi多边形分布图，确定雕刻部件的个数、中心点位置和容许的最大尺寸。根据曲面的法向确定雕刻部件的摆放方向。本发明结合力学中的结构柔度优化模型，以全局结构刚度最大化为目标，以体积为约束，构建雕刻优化设计建模问题，给出对应的离散化形式。再利用有效集解优化算法对优化问题进行求解，得到在指定体积下刚度最大的雕刻设计结果。本发明提出完整的薄壳结构的参数化雕刻设计与优化框架，具有高效、通用、鲁棒性强等优点，大大缩短了设计与优化周期，丰富了结构设计的多样性。

Description

一种基于薄壳结构的参数化雕刻设计方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计和机械制造领域，主要内容为基于薄壳结构提出了一种参数化建模方法，进行结构表面的雕刻镂空设计和制造，可应用于建筑、医学和工程设计等领域。

背景技术

随着增材制造技术的不断发展和普及，越来越多形状各异、功能繁多的复杂结构被设计出来满足人们的个性化需求和设计美学的发展，在这其中，参数化设计方法受到越来越多的关注和应用，其就是将结构转化为参数或函数形式表示，通过调整参数去控制整个建模过程，实现设计的自动化。用户可以根据不同的需求去设计参数调整的方法，比如结合力学方面进行拓扑优化，设计出轻量化的模型；结合热学的知识，根据温度变化对模型进行优化设计等等。近些年，有很多基于薄壳结构的雕刻设计工作涌现出来，一方面提高了设计的多样性，有美学的价值；另一方面，有工程力学、生物医学、热力学等多方面的实际意义。然而目前大部分相关的工作都只是基于薄壳结构提出了雕刻挖洞的设计方案，并没有一套完整的优化方法能够根据用户的不同需求进行优化设计，得到满足不同需求的个性化优化设计结果。

本发明利用隐式建模的方法，在薄壳结构上进行参数化雕刻设计，结合力学领域的结构柔度最小化优化模型，提出了一整套完整的设计和优化建模框架。所优化出来的结构能够在用户规定的体积之下，具有最大的结构刚度。所研发的发明算法利用函数表示进行分析、优化和存储，有很高的效率，而且能够轻松扩展到不同方面的应用，具有普适性，且算法也具有很强的鲁棒性。

发明内容

本发明目的是提出了一整套完整的设计和优化建模框架。

本发明采用的技术方案是：

一种基于薄壳结构的参数化雕刻设计方法，步骤如下：

(一)隐式化建模方法

本发明是基于隐式建模的方法进行结构的表示和优化的，都是采用函数的形式表示薄壳结构和雕刻部件，使得它们之间的融合(布尔操作)变得简单易行，具有很高的效率和广泛的通用性，并且能够兼容力学分析和优化框架。

1.薄壳结构的隐式化

薄壳结构就是具有一定厚度的层状结构，其厚度远小于整体模型的其它尺寸。本发明中，输入的是一个任意形状的流形曲面S₀，其一般是由三角网格表示的。然后计算曲面的顶点法向量，将曲面沿着法向量正负方向分别等距偏移

这样就可以得到厚度为h₀的薄壳结构S_T。为了用隐式的方法对薄壳结构进行表示，接下来计算整个设计域Ω中薄壳结构的有向距离场SDF作为其函数描述。即满足：

其中，x＝(x,y,z)∈Ω为设计域中的任何一点。

2.雕刻部件的隐式化

雕刻部件作为独立于输入薄壳结构的模型，通过与薄壳结构简单的布尔操作实现雕刻挖洞。本发明中，雕刻部件应该具有下面两个特征：1)能够用函数形式进行隐式表示；2)具有可控参数，参数能够对雕刻部件的形状、尺寸大小、摆放位置和方向等进行调节。有各种各样的模型满足以上两个特征，本发明选用超椭球体及其组合作为雕刻部件。

超椭球体的函数表示为：

其中，p为偶数，可以控制超椭球体的形状；(x,y,z)∈Ω为设计域中的任一点，(x₀，y₀，z₀)为超椭球体的中心位置坐标，将其限制在薄壳结构的中心面上，并通过它调整超椭球体在薄壳结构上的位置。L₁，L₂和L₃可以控制超椭球体三个轴的长度，用来决定雕刻部件的尺寸大小，当三个轴长相等时，雕刻部件退化为一个超球体。旋转矩阵R₀＝{R_ij}_3×3可以调节超椭球体局部坐标系的旋转，用来控制超椭球体的摆放方向。

在确定了一个超椭球体的位置、大小和摆放方向之后，可以通过在超椭球体局部坐标系的xy-平面上对超椭球体进行等角度旋转实现多个超椭球体的组合。具体地，如果设置一个位置处有n个超椭球体进行组合，则超椭球体要旋转的角度分别是

对于第k个椭球体，计算旋转矩阵

复合上之前的原始旋转矩阵R_kR₀就可以得到新的超椭球体φ_k，然后通过布尔操作就可以得到多个超椭球体的融合，因为这里都采用了函数表示的隐式化方法，所以布尔操作可以转化为简单的函数操作：

到此为止，雕刻部件超椭球体的可控参数有{x₀，y₀，z₀，L₁，L₂，L₃，R₀，k}，通过调节这些参数就可以控制超椭球体在薄壳结构上的位置，尺寸大小，摆放方向等。选用不同的参数，就可以得到不同的雕刻挖洞效果，用户可以根据不同的需求应用去参数优化设计，得到满足个性化要求的结构。

3.参数化雕刻设计

有了薄壳结构和雕刻部件的函数表示之后，只需要通过简单的布尔操作就可以完成在薄壳结构上的雕刻挖洞设计。而因为结构的表示都采用了函数表示，所以这里的布尔操作可以用简单的隐式化方式来处理，大大简化了算法，提高了效率。

雕刻工作的参数化设计分为以下几步：

首先确定雕刻部件在薄壳结构上的分布，即确定雕刻部件的个数及其中心点的位置。本发明中通过Voronoi图的方法对原始曲面进行多边形分割，将雕刻部件限制在分割得到的多边形区域中，从而确定雕刻部件的个数及其中心点的位置。在指定了Voronoi分割的精度之后，对原始曲面S₀进行自适应多边形剖分，得到多边形集合

确定了有NC个雕刻部件，并以多边形的质心

为雕刻部件的中心位置。

然后确定雕刻部件的局部坐标系，即确定原始旋转矩阵

在得到雕刻部件的中心点位置之后，计算出该点处关于原始曲面S₀的外法向量

以外法向量为每个雕刻部件的新z轴计算旋转矩阵

接着确定雕刻部件的类型，指定由n个超椭球体进行融合得到雕刻部件之后，根据公式(4)计算xy-平面旋转矩阵

则每个超椭球体的函数表达为

其中，为了将超椭球体限制在所属的多边形区域中，要根据多边形来确定超椭球体的轴长最大值，同时为了满足实际打印需求，则超椭球体的轴长范围应为:

其中，D_i为多边形P_i的质心q_i到多边形边界的最短距离，d₀为最小打印精度。本发明中限制

和

为可调节控制的优化变量。

最后将雕刻挖洞的操作转化为薄壳结构和雕刻部件之间的布尔操作，即从薄壳结构上去除属于雕刻部件的部分，即可得到最后的雕刻结果。因为薄壳结构和雕刻部件都是用函数隐式表示的，所以布尔操作可以转化为以下简单的函数操作：

这样，φ^s就是薄壳结构挖去雕刻部件之后结构的函数描述，满足：

然后采用传统的Marching Cube算法从形状描述函数φ^s提取结构的三角网格表示。

以上就完成了整个雕刻的参数化设计过程，可以发现整个处理方法都是采用函数隐式表示的方式，大大简化了算法复杂度，提高了效率。设计的结构形状丰富多样，可控性强，而且能够轻松拓展到多种应用中去。

(二)优化问题的建模及求解

本发明采用柔度优化模型，结合力学指标驱动薄壳结构雕刻的参数化设计，在指定的体积下，优化雕刻孔洞的分布和形状，使其具有最大的结构刚度。

1.优化问题建模

力学应用中，柔度最小化优化模型是最常见的问题形式，它反映了基本力学性能和结构形状之间的关系。其是以应变能最小为目标，以体积为约束去优化待确定的参数变量。结合上面介绍的雕刻参数化设计方法，具体问题形式如下：

使得

其中，Ω为设计域，定义为薄壳结构所占的最小包围盒，x＝(x，y，z)∈Ω为设计域中任意一点，f为体积力，s为定义在黎曼边界「_s上的面力，u是位移场，v是定义在设计域Ω上的测试函数，U_ad＝(v|v∈H¹(Ω_M)，在「_u上v＝0}，H¹为一阶索伯列夫空间，ε为二阶线性应变张量，E为四阶弹性张量，由材料的弹性模量和泊松比决定。

为定义在狄利克雷边界「_u上的位移约束，

为体积约束值，Heaviside函数H(x)定义为：

2.问题离散化

有了上述问题的连续形式，接下来基于有限元剖分的方法对问题进行离散化，然后用数值优化方法进行自动的求解，得到最优化的参数变量值。为了提高优化求解的效率，本发明中采用了多重网格的方法来加快力学响应分析的计算。具体地，将设计域Ω划分为两种不同精度的均匀六边形体网格——粗单元和细单元。粗单元主要用来插值生成位移场函数，构建刚度矩阵，细单元主要用来表示模型和进行积分的计算。对于第i个粗单元，定义在上面的单元刚度矩阵为：

其中，Ω_i是第i个粗单元所占的区域，B为应变矩阵，Dⁱ为本构矩阵，n_b表示粗单元内细单元的个数，E_ij为节点处的弹性模量值，D⁰为常值杨氏模量下满材料单元的本构矩阵，x_ij为细单元内部积分点的位置坐标，v_b为细单元的体积。通过这种方式求得多有的局部单元刚度矩阵之后，就可以整合得到总体刚度矩阵K，然后就可以得到优化问题(12-13)的离散形式：

使得

其中，I为雕刻模型的应变能，U为偏移量向量，F为节点力向量，N_b为求解域中总的细单元的个数，V为模型占设计域的体积分数，

为指定的体积约束，

为第j个细单元的第l个节点处形状描述函数φ^s的值。

其中，α为一个很小的正数，η由有限元剖分时细单元的精度决定。

3.求解优化问题

有了上面优化问题的离散形式，就可以采用数值优化方法来对构建的最优化问题进行迭代地求解，得到最优化的参数，这里需要优化的参数一共有2＊NC个，即

本发明中采用有效集的方法去求解优化问题，需要目标函数和约束函数关于优化变量的敏感度信息，即

其中，Lⁱ为第i个雕刻部件的参数，N_s为粗单元的个数，N_b为细单元的个数，U_k为第k个粗单元的位移向量，

为第k个粗单元中第j个细单元的第l个节点处φ^s的值，K⁰为第k个粗单元满材料填充下的局部刚度矩阵，v_b为细单元的体积。然后将目标函数值、约束函数值以及一阶梯度信息传递给解优化算法中进行迭代地求解，就可以得到优化问题(16-17)的局部最优解。将得到的最优化参数值传入参数化雕刻设计方法中，就可以获得最优化的雕刻模型，其在用户指定的体积下，具有最大的结构刚度。

本发明属于计算机辅助设计和机械制造的交叉领域，面向3D打印和工业化需求，在薄壳结构上提出了一种参数化建模方法，对结构表面进行雕刻镂空设计，可应用于建筑、医学和工程设计等领域。对于工业领域，这种雕刻镂空设计可以实现结构的轻量化，在保证力学性能的前提下，减少结构材料的消耗；而对于生物或者医学领域，这种雕刻镂空设计可以有利于功能结构的散热、细胞迁移等，具有十分重要的应用价值。本发明提出了一种隐式化建模方法，将结构表面的雕刻设计转化为参数化设计的方式，建立了一套完整的从设计到优化再到制作生产的完整系统，该系统完全用函数形式进行结构的表示、分析、优化和存储，表现得非常的高效，便捷。因为采用了隐式的方法，功能分析和优化框架之间能够巧妙地进行耦合，很大程度上降低了计算的复杂度，提高了效率，缩短了整个设计与优化的周期，并能够满足生产和生活需求。本发明还具有很强的可扩展性，一方面表现在雕刻部件的多样性，只要满足发明所指出的特征，都可以用来在薄壳结构上进行雕刻设计；另一方面，该框架可以很容易扩展应用到热力学、生物学、声学和光学等领域。

附图说明

图1是基于薄壳结构的参数化雕刻设计与优化流程图。

图2是基于薄壳结构的参数化雕刻设计与优化结果图。

图2中：(a)输入的原始薄壳结构；(b)由超椭球体设计的雕刻部件；(c)对原始网格曲面进行Voronoi剖分；(d)雕刻设计优化结果。

具体实施方式

以下结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

本发明具体实施步骤如下：

1.薄壳结构的构造及其隐式化

在输入三角网格表示的流形曲面S₀并指定厚度之后，第一步要做的是得到薄壳结构并对其隐式化。具体做法是先计算曲面的顶点法向量，将S₀沿着法向量正反方向分别等距偏移

得到厚度为h₀的薄壳结构S_T。然后计算整个设计域Ω中S_T的有向距离场SDF作为其隐式表示。

2.对S₀进行Voronoi剖分

指定剖分精度，根据精度对S₀进行Voronoi剖分，求出Voronoi多边形的质心

作为雕刻部件的中心坐标。计算每个多边形质心到多边形边界的最短距离，并结合打印精度确定雕刻部件的轴长范围

3.雕刻部件的构建及其隐式化

计算中心点处的外法向量，并以此求出旋转矩阵R₀＝{R_ij}_3×3，从而确定雕刻部件的摆放方向。假设雕刻部件采用4个超椭球体融合的方式得到，则4个超椭球体的旋转角度分别是

和π，根据旋转角度确定了xy-平面上的旋转矩阵分量之后，就可以得到每个超椭球体的形状描述函数φ_k。于是，雕刻部件的隐式函数表示就是：

其中，

就是第i个中心点处第j个分超椭球体的形状描述函数，每个超椭球体的轴长L₁和L₂都是可优化的参数，L₃对应z-轴方向的轴长，确定为轴长允许的最大值

4.雕刻设计过程

利用布尔操作将薄壳结构与雕刻部件相交的部分挖去，完成雕刻设计工作。因为薄壳结构和雕刻部件都有隐式的函数表示，布尔操作也可以简化为隐式操作：

φ^s＝min(SDF，φ¹，φ²，...，φ^NC)

其中，SDF为薄壳结构的函数描述，

是NC个雕刻部件的形状描述函数，φ^s即为最终结构的函数表示，满足：

其中，x＝(x,y,z)∈Ω为设计域中的任何一点。

5.优化模型构建

以结构刚度最大化为目标，以体积为约束，用雕刻部件在薄壳上进行雕刻挖洞设计，需要优化的参数一共有2＊NC个，即

通过优化使得在给定约束材料体积的前提下，结构的全局刚度最强。首先采用多重网格的方法对上述问题进行离散化，将设计域Ω均匀分为两套粗细不同的网格单元，即先分为粗单元，然后将每个粗单元细分为细单元，用粗单元去插值位移场函数，用细单元去描述模型且进行积分计算。计算所有的局部单元刚度矩阵，然后整合成总体的刚度矩阵K之后，就可以得到优化问题的离散形式：

使得

KU＝F

其中，I为雕刻模型的应变能，U为偏移量向量，F为节点力向量，N_b为求解域中总的细单元的个数，V为模型占设计域的体积分数，

为指定的体积约束，

为第j个细单元的第l个节点处形状描述函数φ^s的值。

6.优化问题求解

求出目标函数和约束函数关于优化变量的敏感度信息：

将敏感度信息代入数值解优化算法——有效集法中去，即可得到优化问题的最优解，这样就得到了满足用户指定体积之下，能量最小即结构柔度最大的雕刻镂空薄壳结构，在满足一定受力条件的前提下减小了物体的质量，减少了材料的消耗。

Claims (1)

1.一种基于薄壳结构的参数化雕刻设计方法，其特征在于，步骤如下：

(一)薄壳结构和雕刻部件的隐式表示

输入由三角网格表示的任意形状的流形曲面S₀；然后计算流形曲面的顶点法向量，将流形曲面沿着法向量正负方向分别等距偏移

得到厚度为h₀的薄壳结构S_T；接下来计算整个设计域Ω中薄壳结构的有向距离场SDF作为其函数描述；选用n个超球体的融合来构建形状丰富的雕刻部件；先在指定精度下计算流形曲面S₀的Voronoi剖分，用Voronoi的多边形来确定雕刻部件的中心位置

和轴长范围

通过计算雕刻部件中心点的外法向量确定雕刻部件局部坐标系的旋转矩阵R₀＝{R_ij}_3×3，从而确定雕刻部件的摆放方向；如果该中心点处确定有n个超椭球体构建雕刻部件，则根据等分原则确定旋转角

然后计算旋转矩阵R_kR₀确定这n个超椭球体的旋转方向，从而得到雕刻部件的函数表示：

其中，

就是第i个中心点处第j个分超椭球体的形状描述函数，每个超椭球体的轴长L₁，L₂和L₃都是可优化的参数；

(二)基于隐式表示的参数化雕刻设计

雕刻设计就是在薄壳结构上挖去雕刻部件所占的部分，采用布尔操作来处理，因为薄壳结构和雕刻部件都有隐式的函数表示，布尔操作简化为隐式操作：

φ^s＝min(SDF,φ¹,φ²,...,φ^NC)

其中，SDF为薄壳结构的函数描述，

是NC个雕刻部件的形状描述函数，φ^s即为最终结构的函数表示，满足：

其中，x＝(x,y,z)∈Ω为设计域中的任何一点；

(三)优化模型构建及其求解

以结构刚度最大化为目标，以体积为约束，用雕刻部件在薄壳结构上进行雕刻挖洞设计，需要优化的参数一共有2*NC个，即

通过优化使得在给定约束材料体积的前提下，结构的全局刚度最强；采用有限元分析的方法对优化问题进行求解，首先对上述问题进行离散化；采用多重网格的方法，在保证计算精度的同时提高计算效率，将设计域Ω均匀分为两套粗细不同的网格单元，即先分为粗单元，然后将每个粗单元细分为细单元，用粗单元去插值位移场函数，用细单元去描述模型且进行积分计算；计算所有的局部单元刚度矩阵，然后整合成总体的刚度矩阵K后，得到优化问题的离散形式：

使得

KU＝F

其中，I为雕刻模型的应变能，K为总刚度矩阵，U为偏移量向量，F为节点力向量，N_b为求解域中总的细单元的个数，V为模型占设计域的体积分数，H(x)为Heaviside函数，η为Heaviside函数的正则化参数，

为指定的体积约束，φ_l ^j为第j个细单元的第l个节点处形状描述函数φ^s的值；

然后求出目标函数和约束函数关于优化变量的敏感度信息：

其中，Lⁱ为第i个雕刻部件的参数，N_s为粗单元的个数，N_b为细单元的个数，U_k为第k个粗单元的位移向量，

为第k个粗单元中第j个细单元的第l个节点处φ^s的值，K⁰为第k个粗单元满材料填充下的局部刚度矩阵,v_b为细单元的体积；

将敏感度信息代入数值解优化算法——有效集法中去，即得到优化问题的最优解，这样就得到了满足用户指定体积之下，能量最小即结构柔度最大的雕刻镂空薄壳结构，在满足一定受力条件的前提下减小了物体的质量，减少了材料的消耗。

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