CN114254408A - 一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化相关技术领域，其公开了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，包括以下步骤：(1)通过基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的宏观等效属性；(2)构建代理模型，并通过代理模型来预测待优化多孔结构的任意相对密度点阵的宏观等效属性；(3)将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而构建以基频最大为目标的等几何拓扑优化模型，以优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值；(4)计算获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过等几何映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。本发明提供了计算精度及适用性。

Description

一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化相关技术领域，更具体地，涉及一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法。

背景技术

点阵结构由于超越传统结构的优良机械性能而在各个领域都有着广泛的应用，比如超轻质结构、能量吸收保险杠、隔热材料等。同时，等几何分析作为传统有限元分析方法的替代，能够实现CAD模型和CAE模型的统一表达，提高了计算精度。因此，引入等几何分析能在保证CAD、CAE、TO三者数学模型统一表达的同时优化点阵填充的多孔结构，使其拥有卓越的机械性能。

针对多尺度等几何拓扑优化，本领域相关技术人员已做了一些研究，如文献1：“Wang Y,Xu H,Pasini D.Multiscale isogeometric topology optimization forlattice materials[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2016,316.”通过点阵结构均匀填充的方式实现多尺度等几何拓扑优化，其中多孔结构由一种预先设计的点阵结构均匀填充。该方法中只考虑了一种点阵均匀填充，在一定程度上限制了设计空间，并且仅局限于二维算例的柔度问题。如文献2：“Yu C,Wang Q,Mei C,etal.Multiscale Isogeometric Topology Optimization with Unified StructuralSkeleton[J].Computer Modeling in Engineering&Sciences,2020,122(3).”采用等几何水平集方法，利用统一的微结构骨架得到一系列梯度渐变微结构，来实现针对非均质多孔结构的多尺度拓扑优化方法。该方法同时考虑了微结构的构型优化及其在多孔结构中的布局优化，且多孔结构每个单元所填充的微结构都不尽相同。该方法虽然设计空间较大，可以较为全面地优化多孔结构，但是其计算效率较低，且多种微结构之间的连接性难以得到保证，并且也同样仅局限于二维算例的柔度问题。

因此，以相对较低的计算代价，考虑点阵的逐点梯度变化，尽可能地提高计算精度，设计具有梯度点阵的三维多孔结构，以提升多孔结构柔度以外的其他结构性能，并让该设计方法便于扩展到更复杂的工程问题，是当前有待解决的研究热点问题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，所述方法基于水平集函数及形状插值技术获得了一系列的三维梯度点阵样本，使用基于等几何分析的均匀化法计算梯度点阵样本的宏观等效属性，再利用Kriging预测模型预测任意密度值处梯度点阵的宏观等效属性，采用基于等几何分析的拓扑优化方法优化梯度点阵在宏观设计域内的分布，最后采用等几何映射策略和形状插值技术将梯度点阵逐个填入宏观设计域中，得到最终的三维多孔结构，提升了多孔结构的动力学性能，实现了拓扑优化过程。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，所述方法主要包括以下步骤：

(1)通过基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的宏观等效属性；

(2)采用Kriging预测模型对所有梯度点阵样本的相对密度及对应的宏观等效属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化多孔结构的任意相对密度点阵的宏观等效属性；

(3)将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效属性及该代理模型构建以基频最大为目标的等几何拓扑优化模型，采用等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值；

(4)根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过等几何映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。

进一步地，基于等几何分析的均匀化法计算梯度点阵样本的宏观等效属性，所用的公式为：

其中，|Ω_m|为梯度点阵样本的体积，

为点阵单元弹性张量，

为元素相互能量形式的应变场。

进一步地，

通过线性弹性方程求解，对应的公式为：

其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，

表示运动学所容许的位移空间。

进一步地，等几何拓扑优化模型的数学表达式为：

其中，

为构造等几何网格的N_c个宏观控制点上的初始密度，χ^c为

和对应的NURBS基函数线性组合而成的设计变量场，ω_k表示结构第k个固有频率，J为目标函数，u为相应的特征向量，δu为属于运动学容许位移场

的虚位移场，G_M表示结构的体积约束，V_M为允许的最大体积，v_M为单元体积分数，即梯度点阵的体积分数，Ω_M为总宏观设计域，

为设计变量的下边界；a和l分别是双线性能量和线性负载函数。

进一步地，a和l对应的表达式为：

其中，ε为设计域Ω_M上的应变场，D^H为等效弹性张量，通过Kriging代理模型预测获得。

进一步地，设计变量场χ^c是根据三维NURBS基函数构造的，对应的表达式为：

其中，χ(ξ,η,γ)表示设计变量场，ρ_i,j,k表示控制点上的密度，

为与ρ_i,j,k对应的NURBS基函数，对应的公式为：

其中，N_i,p(ξ)、N_j,q(η)和N_k,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量

和Z＝{γ₁,γ₂,…,γ_l+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ω_ijk为NURBS基函数对应的权重。

进一步地，更新设计变量的方法为优化准则法，对应的表达式为：

其中，

为迭代第k+1步的密度，

为迭代第k步的密度，τ、η分别为步长限制和阻尼系数，ρ_min和ρ_max分别为最小密度和最大密度，

为更新因子。

进一步地，原型点阵为体心立方点阵，生成的梯度点阵样本的数量为50个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的密度值范围为[0.01,1]。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

1.本发明提供的方法基于等几何分析，保证优化过程中CAD模型和CAE模型统一，能够有效避免传统有限元方法中存在的几何近似误差，提高了计算精度。

2.本发明利用等几何映射策略，消除传统均匀化法只能针对具有规则边界的点阵的局限性，能够对半圆梁等异形结构进行梯度点阵分布的优化设计。

3.本发明提供的等几何拓扑优化模型考虑了动力学中的基频优化问题，实现了梯度点阵在三维异形设计域内的分布优化，不仅在大大减少了计算成本的基础上保证了微结构之间的连接性，也极大地扩展了多孔结构的设计空间，能有效提升多孔结构的动力学性能。

4.本发明由于采用了体心立方点阵作为原型点阵，并以原型点阵为基础通过形状插值获得一系列的梯度点阵，所有梯度点阵均基于原型点阵插值获得，保证了梯度点阵具有相似的拓扑构型，继而保证了点阵之间具有较好的连接性。

5.本发明采用Kriging代理模型来预测任意等效密度的点阵的宏观等效属性，避免了在迭代过程中多次使用均匀化法所带来的计算成本，大幅减小计算量。

附图说明

图1是本发明提供的一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法的流程示意图；

图2是本发明所构建的体心立方点阵的构型示意图；

图3是本发明所构建的Kriging代理模型示意图；

图4是本发明所构建中的等几何映射策略的过程示意图；

图5是本发明所构建的多孔结构设计域、载荷及边界条件示意图；

图6是本发明所构建的图5中多孔结构优化过程的迭代曲线示意图；

图7是本发明所构建的图5中多孔结构自上而下第五层优化后点阵填充的示意图；

图8是发明所构建的图5中多孔结构优化后点阵填充的示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明提供了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，所述优化方法主要包括以下步骤：

步骤一，通过基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的宏观等效属性。

具体地，通过水平集函数构造待优化多孔结构的三维原型点阵，采用形状插值技术对该原型点阵进行处理以得到一系列的梯度点阵样本，通过基于等几何分析的均匀化法计算得到每个梯度点阵样本的宏观等效属性。

本实施方式中，原型点阵为体心立方点阵，其等效密度值为0.01。所述原型点阵由四根桁架组成，所述体心立方点阵的水平集函数为：

其中，φ^s(x)＝max(φ_i)，φ_i＝φ_3D,i(x),i＝1,2,3,4.，φ_3D,i是点阵中四根桁架的水平集函数，x表示在空间H内任意点的坐标，H是一个固定的设计空间，

表示体心立方点阵的结构边界，Ω^s是体心立方点阵实体所占的空间，Ω^s满足Ω^s＝Ω₁∪Ω₂∪Ω₃∪Ω₄，Ω₁,Ω₂,Ω₃,Ω₄分别是四根桁架实体所占的空间。

所述体心立方点阵中一根桁架的水平集函数为：

φ_3D(x)＝max(φ_3D,c(x,y,z),φ_3D,s1(x,y,z),φ_3D,s2(x,y,z)),

φ_3D,c(x,y,z)＝min(φ_3D,c1(x,y,z),φ_3D,c2(x,y,z)),

φ_3D,c1(x,y,z)＝(L_3D/2)²-(cosθ_3D·L_d)²,φ_3D,c2(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(sinθ_3D·L_d)²,

d_x2＝x₂-x₀,d_y2＝y₂-y₀,d_z2＝z₂-z₀,d_x＝x-x₀,d_y＝y-y₀,d_z＝z-z₀,

φ_3D,s1(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²,

φ_3D,s2(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(x-x₂)²+(y-y₂)²+(z-z₂)²

其中，H是一个固定的设计空间，x表示在空间H内任意点的坐标，

表示所述一根桁架的结构边界，Ω是所述的一根桁架实体所占的空间，φ_3D,c(x,y,z)、φ_3D,s1(x,y,z)和φ_3D,s2(x,y,z)分别表示组成一根桁架的一个圆柱体和两个球体的水平集函数，(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)分别表示所述两个球体的球心坐标，同时也是圆柱体两个底面的圆心；(x₀,y₀,z₀)表示一根桁架的中心坐标，t_3D和L_3D分别表示所述圆柱体的直径和长度。

本实施方式中，形状插值技术的表达式为：

其中，φ^e是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φ^pro是原型点阵的水平集函数，

是插值系数矩阵，

的取值范围为

的值可以通过二分法计算得到。

本实施方式中，基于等几何分析的均匀化法计算梯度点阵样本的宏观等效属性，所用的表达式为：

其中，|Ω_m|为梯度点阵样本的体积，

为点阵单元弹性张量，

为元素相互能量形式的应变场，通过线性弹性方程求解，对应的公式为：

其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，

表示运动学所容许的位移空间。

另外，生成的梯度点阵样本的数量为50个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的密度值范围为[0.01,1]。

步骤二，采用Kriging预测模型对所有梯度点阵样本的相对密度及对应的宏观等效属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化多孔结构的任意相对密度点阵的宏观等效属性。

本实施方式中，通过Kriging预测将50个梯度点阵样本的等效密度以及宏观等效属性进行拟合，以构造预测点阵单元力学属性的代理模型，从而可以直接获得任意等效密度的梯度点阵的宏观等效属性，从而省略了迭代更新时均匀化法的反复使用，大幅提高计算效率；所述代理模型为Kriging代理模型。

步骤三，将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效属性及该代理模型构建以基频最大为目标的等几何拓扑优化模型，采用等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值。

具体地，采用优化准则法优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值，使得多孔结构具有较高的固有频率，从而避免共振。等几何拓扑优化模型的数学表达式为：

其中，

为构造等几何网格的N_c个宏观控制点上的初始密度，χ^c为

和对应的NURBS基函数线性组合而成的设计变量场，ω_k表示结构第k个固有频率，J为目标函数，u为相应的特征向量，δu为属于运动学容许位移场

的虚位移场，G_M表示结构的体积约束，V_M为允许的最大体积，v_M为单元体积分数，即梯度点阵的体积分数，Ω_M为总宏观设计域，

为设计变量的下边界；a和l分别是双线性能量和线性负载函数，对应的表达式为：

其中，ε为设计域Ω_M上的应变场，D^H为等效弹性张量，通过Kriging代理模型预测获得。

本实施方式中，设计变量场χ^c根据三维NURBS基函数构造，表达式为：

其中，

表示设计变量场，ρ_i,j,k表示控制点上的密度，

为与之对应的NURBS基函数，对应的公式为：

其中，N_i,p(ξ)、N_j,q(η)和N_k,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量

和Z＝{γ₁,γ₂,…,γ_l+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ω_ijk为NURBS基函数对应的权重。

本实施方式中，更新设计变量的方法为优化准则法，对应的表达式为：

其中，

为迭代第k+1步的密度，

为迭代第k步的密度，τ、η分别为步长限制和阻尼系数，ρ_min和ρ_max分别为最小密度和最大密度，

为更新因子。

步骤四，根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过等几何映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。

本实施方式中，所述等几何映射策略主要是通过根据分布在物理空间上一系列控制点以及对应的NURBS基函数来控制几何模型从参数空间映射到物理空间的形状，可以将点阵填充后的多孔结构映射成所需要的任意形状。

以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。

实施例1

本实施例中待优化的多孔结构，其设计域、载荷及边界条件如图5所示，为三维半圆梁结构，其外圆半径为R＝125mm，内圆半径为r＝83.33mm，宽度为W＝50mm，设定其材料的杨氏模量E₀＝2750MPa，泊松比μ＝0.38，材料密度ρ₀＝1.12g/cm³。等几何分析的单元网格为60×9×11，控制点网格为65×11×13。本实施例中的优化目标设置为多孔结构的基频最大，允许的材料体积率为50％。

如图1所示，本发明提供的一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法包括如下步骤：

步骤一，通过水平集函数描述三维点阵的拓扑构型并将等效密度值为0.01的体心立方点阵作为原型点阵，采用形状插值技术对该原型点阵进行处理以获得一系列的梯度点阵样本，通过基于等几何分析的均匀化法计算每个梯度点阵样本的宏观等效属性，具体包括以下子步骤：

(1.1)通过水平集函数描述体心立方原型点阵的拓扑构型，对应的表达式为：

其中，φ^s(x)＝max(φ_i)，φ_i＝φ_3D,i(x),i＝1,2,3,4.，φ_3D,i是点阵中四根桁架的水平集函数，x表示在空间H内任意点的坐标，H是一个固定的设计空间，

表示体心立方点阵的结构边界，Ω^s是体心立方点阵实体所占的空间，Ω^s满足Ω^s＝Ω₁∪Ω₂∪Ω₃∪Ω₄，Ω₁,Ω₂,Ω₃,Ω₄分别是四根桁架实体所占的空间。

所述体心立方点阵中一根桁架的水平集函数为：

φ_3D(x)＝max(φ_3D,c(x,y,z),φ_3D,s1(x,y,z),φ_3D,s2(x,y,z)),

φ_3D,c(x,y,z)＝min(φ_3D,c1(x,y,z),φ_3D,c2(x,y,z)),

φ_3D,c1(x,y,z)＝(L_3D/2)²-(cosθ_3D·L_d)²,φ_3D,c2(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(sinθ_3D·L_d)²,

d_x2＝x₂-x₀,d_y2＝y₂-y₀,d_z2＝z₂-z₀,d_x＝x-x₀,d_y＝y-y₀,d_z＝z-z₀,

φ_3D,s1(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(x-x₁)²+(y-y₁)²+(z-z₁)²,

φ_3D,s2(x,y,z)＝(t_3D/2)²-(x-x₂)²+(y-y₂)²+(z-z₂)²

其中，H是一个固定的设计空间，x表示在空间H内任意点的坐标，

表示一根桁架的结构边界，Ω是一根桁架实体所占的空间，φ_3D,c(x,y,z)、φ_3D,s1(x,y,z)和φ_3D,s2(x,y,z)分别表示组成一根桁架的一个圆柱体和两个球体的水平集函数，(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)分别表示所述两个球体的球心坐标，同时也是圆柱体两个底面的圆心，(x₀,y₀,z₀)表示一根桁架的中心坐标，t_3D和L_3D分别表示所述圆柱体的直径和长度。

(1.2)对该原型点阵采用形状插值技术以获得50个相对密度在[0.01,1]区间内呈等差数列排列的梯度点阵样本，形状插值技术的表达式如下：

其中，φ^e是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φ^pro是所述原型点阵的水平集函数，

是插值系数矩阵，

的取值范围为

的值可以通过二分法计算得到。

(1.3)通过基于等几何分析的均匀化法计算所有梯度点阵样本的宏观等效属性，表达式如下：

其中，|Ω_m|为梯度点阵样本的体积，

为点阵单元弹性张量，

为元素相互能量形式的应变场，通过线性弹性方程求解，如下：

其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，

表示运动学所容许的位移空间。

步骤二，根据50个梯度点阵样本的相对密度以及对应的宏观等效属性通过Kriging预测模型进行拟合，以构造预测点阵单元力学性能的代理模型，从而可以直接获得任意等效密度的梯度点阵的宏观等效属性，以省略迭代更新时均匀化法的反复使用，提高了计算效率。

步骤三，将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何分析方法离散为若干个单元，根据步骤二构造的Kriging代理模型建立基于梯度点阵填充的等几何拓扑优化模型，采用优化准则法迭代更新宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值，使得多孔结构具有较高的固有频率，从而避免共振，具体包括以下子步骤：

(3.1)基于梯度点阵填充的等几何拓扑优化模型的表达式如下：

其中，

为构造等几何网格的N_c个宏观控制点上的初始密度，χ^c为

和对应的NURBS基函数线性组合而成的设计变量场，ω_k表示结构第k个固有频率，J为目标函数，u为相应的特征向量，δu为属于运动学容许位移场

的虚位移场，G_M表示结构的体积约束，V_M为允许的最大体积，v_M为单元体积分数，即梯度点阵的体积分数，Ω_M为总宏观设计域，

为设计变量的下边界。a和l分别是双线性能量和线性负载函数，表达式如下：

其中，ε为设计域Ω_M上的应变场，D^H为等效弹性张量，通过Kriging代理模型预测获得，因此目标函数J可以写成：

具体地，设计变量场χ^c根据三维NURBS基函数构造，表达式如下：

其中，

表示设计变量场，ρ_i,j,k表示控制点上的密度，

为与之对应的NURBS基函数，形式如下：

其中，N_i,p(ξ)、N_j,q(η)和N_k,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量

和Z＝{γ₁,γ₂,…,γ_l+r+1}构成的B样条基函数，n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ω_ijk为NURBS基函数对应的权重。

(3.2)计算目标函数及约束条件对设计变量的灵敏度，灵敏度的计算公式如下：

其中，

是多孔结构的基频对设计变量的灵敏度，

为通过Kriging代理模型预测的点阵单元弹性张量，

是材料体积分数约束对设计变量的灵敏度。

在计算灵敏度时通过采用相邻控制点灵敏度的均值代替当前控制点灵敏度的方式进行过滤，以避免出现棋盘格、网格依赖性等数值不稳定现象，在这里过滤半径取1.5。

(3.3)将步骤(3.2)计算得到的灵敏度信息带入优化准则法中，即可迭代更新设计变量。其中，采用基于梯度的启发式准则法更新设计变量，形式如下：

其中，

为第k+1步迭代的密度，

为第k步迭代的密度，τ、η分别为步长限制和阻尼系数，ρ_min和ρ_max分别为密度的最小值和最大值，在这里分别取0.01和1，

为更新因子，形式如下：

其中，

为目标函数J相对于设计变量ρ_i的灵敏度，

为体积约束G相对于设计变量ρ_i的灵敏度。

(3.4)根据两步迭代之间设计变量改变的大小来构造收敛条件，如果满足收敛条件，则输出设计域每个单元内点阵的密度值，如果不满足收敛条件，则返回步骤(3.1)继续更新设计变量。

步骤四，根据步骤三得到的优化后宏观设计域内所有点阵单元的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内密度值对应的梯度点阵构型，并填入单元中，通过等几何映射策略将点阵填充后的多孔结构映射成三维半圆梁结构，得到最终的多孔结构，实现了拓扑优化过程。

请参阅图2至图8，以下以三维半圆梁多孔结构的设计来进一步说明本发明。

如图2所示为体心立方点阵的构型示意图，由四根桁架构成。如图3所示为根据一系列梯度点阵样本所对应的密度值以及弹性张量所构造Kriging代理模型的示意图，可以看出梯度点阵样本的密度值在[0.01,1]区间内均匀分布，且Kriging代理模型所预测的弹性张量与真实的弹性张量误差很小。

如图4所示为等几何映射策略过程示意图，以构造四分之一圆环几何模型为例，在参数空间上几何模型为矩形，而经过等几何映射策略变换到物理空间则变成了四分之一圆环，这是通过在物理空间设置构造圆环的一系列控制点以及对应的NURBS基函数实现的。

如图5所示为三维半圆梁的设计域，该设计域其外圆半径为R＝125mm，内圆半径为r＝83.33mm，宽度为W＝50mm，半圆梁底部两端完全固定，并在上表面的中心施加一个0.224kg的集中质量点，优化目标为半圆梁的基频最大，体积分数设置为50％。

如图6所示为优化设计域中每个单元中梯度点阵的相对密度值的迭代曲线图，迭代过程较为平稳，最终得到的基频为212.77Hz。如图7所示为优化后梯度点阵填充后设计域自上而下第五层的结构示意图。如图8所示为按照本发明所提供方法进行优化后的梯度点阵填充后的完整的多孔结构示意图。从图中可以看出，本发明所提供的一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，与传统方法相比，考虑了动力学中的基频问题，计算成本较低，梯度点阵之间的连接性较好，并可以对三维半圆梁等异形多孔结构进行优化设计，同时等几何的引入保证了优化过程中CAD模型、CAE模型与TO模型的统一，提高了计算精度，极大地扩展了多孔结构的设计空间，能有效提升多孔结构的动力学性能。

本发明还提供了一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如上所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法。

本发明还提供了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化设备，该设备包括如上所述的计算机可读存储介质以及处理器，处理器用于调用和处理计算机可读存储介质中存储的计算机程序。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)通过基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的宏观等效属性；

(2)采用Kriging预测模型对所有梯度点阵样本的相对密度及对应的宏观等效属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化多孔结构的任意相对密度点阵的宏观等效属性；

(3)将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效属性及该代理模型构建以基频最大为目标的等几何拓扑优化模型，采用等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值；

(4)根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过等几何映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。

2.如权利要求1所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：基于等几何分析的均匀化法计算梯度点阵样本的宏观等效属性，所用的公式为：

其中，|Ω_m|为梯度点阵样本的体积，

为点阵单元弹性张量，

为元素相互能量形式的应变场。

3.如权利要求2所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：

通过线性弹性方程求解，对应的公式为：

其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，

表示运动学所容许的位移空间。

4.如权利要求1所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：等几何拓扑优化模型的数学表达式为：

其中，

为构造等几何网格的N_c个宏观控制点上的初始密度，

为

和对应的NURBS基函数线性组合而成的设计变量场，ω_k表示结构第k个固有频率，J为目标函数，u为相应的特征向量，δu为属于运动学容许位移场

的虚位移场，G_M表示结构的体积约束，V_M为允许的最大体积，v_M为单元体积分数，即梯度点阵的体积分数，Ω_M为总宏观设计域，

为设计变量的下边界；a和l分别是双线性能量和线性负载函数。

5.如权利要求4所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：a和l对应的表达式为：

其中，ε为设计域Ω_M上的应变场，D^H为等效弹性张量，通过Kriging代理模型预测获得。

6.如权利要求5所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：设计变量场

是根据三维NURBS基函数构造的，对应的表达式为：

其中，

表示设计变量场，ρ_i,j,k表示控制点上的密度，

为与ρ_i,j,k对应的NURBS基函数，对应的公式为：

其中，N_i,p(ξ)、N_j,q(η)和N_k,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量Ξ＝{ξ₁,ξ₂,…,ξ_n+p+1}、

和Z＝{γ₁,γ₂,…,γ_l+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ω_ijk为NURBS基函数对应的权重。

7.如权利要求6所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：更新设计变量的方法为优化准则法，对应的表达式为：

其中，

为迭代第k+1步的密度，

为迭代第k步的密度，τ、η分别为步长限制和阻尼系数，ρ_min和ρ_max分别为最小密度和最大密度，

为更新因子。

8.如权利要求1所述的基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化方法，其特征在于：原型点阵为体心立方点阵，生成的梯度点阵样本的数量为50个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的密度值范围为[0.01,1]。

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