CN116341179A - 五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法 - Google Patents

五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法 Download PDF

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CN116341179A CN202211541115.2A CN202211541115A CN116341179A CN 116341179 A CN116341179 A CN 116341179A CN 202211541115 A CN202211541115 A CN 202211541115A CN 116341179 A CN116341179 A CN 116341179A
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Abstract

本发明属于结构优化相关技术领域，其公开了一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，包括以下步骤：(1)采用代理模型来预测待优化结构的任意相对密度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性；(2)将待优化结构的宏观设计域离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效渗流属性和力学属性及该代理模型构建以柔度最小和能量损耗最小为目标的多目标等几何拓扑优化模型，以优化每个单元内梯度点阵的密度值；(3)基于水平集函数以及形状插值获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。本发明同时提升了多孔结构的渗流性能和力学性能。

Description

五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法
技术领域
本发明属于结构优化相关技术领域，更具体地，涉及一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法。
背景技术
多孔结构因其具有较低的弹性模量、较高的抗压强度和丰富的细胞容纳空间，已成为骨支架设计的主要形式。为进一步提升多孔结构的性能，在传统宏观结构拓扑中，引入微结构拓扑评估宏观等效材料属性，建立宏观结构与微结构之间的联系，进一步拓展结构性能的提升空间。宏观结构的拓扑构型决定微结构在宏观结构中的分布形式；微结构的拓扑构型决定了宏观等效材料属性。等几何分析作为传统有限元分析方法的替代，能统一表达CAD模型和CAE模型，提高计算精度。引入等几何分析能在保证CAD、CAE、TO三者数学模型统一表达的同时优化点阵填充的多孔结构，使其拥有卓越的物理性能。
骨支架的拓扑设计应兼顾力学与质量传输特性，但这两点要求互相矛盾，为了获得高渗透率多孔结构，建议采用高孔隙率的支架，而随着孔隙率增加，支架的整体强度会随之降低。五模超材料是一种特殊的极端结构材料，在某些方向具有较高的抗变形能力，在其他方向具有很大的柔度。五模超材料的体积模量与剪切模量具有解耦关系。这种解耦特性可独立地调整孔隙率和力学特性，也意味着可同时实现适当机械刺激以及促进氧气、营养物质等高质量传输，可作为骨支架设计的微结构。
针对面向宏观刚度和渗流性能的多尺度拓扑优化，本领域相关技术人员已做了一些研究，如文献1：“J.K.Guest,J.H.Prévost,Optimizing multifunctional materials:design of microstructures for maximized stiffness and fluid permeability,Int.J.Solids Struct.43(2006)”引入最小渗流惩罚，探究了刚度与渗流特性对各向同性微结构拓扑构型的影响，该方法只考虑微结构的特性，没用与宏观层面建立联系。如文献2：Wang Y,Arabnejad S,Tanzer M,et al.Hip implant design with three-dimensionalporous architecture of optimized graded density[J].Journal of MechanicalDesign,2018,140(11):111406.该方法采用渐近均匀化方法计算点阵单胞的弹性张量，屈服强度和疲劳性能，并表示为相对密度的函数。在优化过程中，添加了点阵孔径、孔隙度和支撑厚度等多种约束，极大地提升了骨支架的力学性能。但该方法仅以刚度为目标，并未综合考虑结构的多种物理性能。如文献3：“Lei Zhang,Bo Song,Lei Yang et al.Tailoredmechanical response and mass transport characteristic of selective lasermelted porous metallic biomaterials for bone scaffolds,Acta Biomaterialia,2020,112:298-315.”用五模超材料点阵填充骨支架，研究该多孔金属生物材料的拓扑结构、力学性能和质量传输特性，但没有引入拓扑优化，进一步挖掘结构的性能。如文献4：Nguyen C,Zhuang X,Chamoin L,et al.Three-dimensional topology optimization ofauxetic metamaterial using isogeometric analysis and model order reduction[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2020,371:113306.将等几何分析与参数化水平集拓扑优化方法相结合以优化超材料。该方法虽然在求解线弹性方程时，采用降阶模型来提高计算效率，但只限于微观单尺度的结构设计。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，所述方法基于水平集函数及形状插值获得了一系列的三维五模超材料点阵样本，使用均匀化法计算五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性，再预测任意密度值处梯度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性，采用基于多目标等几何分析的拓扑优化方法优化梯度点阵在宏观设计域内的分布，最后采用映射策略和形状插值技术将梯度点阵逐个填入宏观设计域中，得到最终的三维多孔结构，同时提升了多孔结构的渗流性能和力学性能，实现了拓扑优化过程。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，该方法包括以下步骤：
(1)对所有五模超材料点阵样本的相对密度及对应的宏观等效渗流属性和力学属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化结构的任意相对密度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性；
(2)将待优化结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效渗流属性和力学属性及该代理模型构建以柔度最小和能量损耗最小为目标的多目标等几何拓扑优化模型，采用多目标等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值；
多目标等几何拓扑优化模型的数学表达式为：
Find:
Figure BDA0003977693690000031
Minimize:
Figure BDA0003977693690000032
Subjectto:
Figure BDA0003977693690000033
Figure BDA0003977693690000034
u＝KpP,
F＝KU
Figure BDA0003977693690000035
其中，
Figure BDA0003977693690000036
为构造等几何网格的y个宏控制点上的初始密度，ρPM为设计变量场，C为目标函数，λ是权重，取0，0.1，0.2…1，f1＝UTKU表示结构的柔度，U为位移场，K为刚度矩阵；f2＝PTKpP表示结构的能量损耗，P为渗流压力场，Kp为粘度矩阵，f1 *和
Figure BDA0003977693690000041
是归一化系数，取优化迭代第一步的结果，
Figure BDA0003977693690000042
为构造等几何网格的y个宏单元上的初始密度，V为单元流体体积分数，Vmax为允许的最大流体体积，ΩPM为总宏观设计域，F为外力载荷向量，u为渗流速度场，
Figure BDA0003977693690000043
为设计变量的下边界，
Figure BDA0003977693690000044
为设计变量的上边界；
(3)根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。
进一步地，步骤(1)之前还包括通过均匀化方法计算待优化结构的每个五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性的步骤。
进一步地，计算力学属性所用的表达式为：
Figure BDA0003977693690000045
其中，|Ωm|为五模超材料点阵样本的体积，
Figure BDA0003977693690000046
为点阵单元弹性张量，
Figure BDA0003977693690000047
为元素相互能量形式的应变场，通过线性弹性方程求解，对应的公式为：
Figure BDA0003977693690000048
其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，
Figure BDA0003977693690000049
表示运动学所容许的位移空间。
进一步地，计算宏观等效渗流属性所用的公式为：
Figure BDA00039776936900000410
其中，Ω为五模超材料点阵的体积，<u>Ω是流体平均速率，μ是动力粘性系数，
Figure BDA00039776936900000411
是渗透系数张量，
Figure BDA00039776936900000412
是平均压力梯度，<b>Ω是施加的平均体力。
进一步地，原型点阵为五模超材料点阵，改变五模超材料点阵的大端直径，生成的梯度点阵样本的数量为20个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的小端直径为0.2mm，大端直径的范围为[0.2,1]mm，对应的密度范围为[0.0439,0.4612]。
进一步地，设计变量场
Figure BDA0003977693690000051
是根据三维NURBS基函数构造的，对应的表达式为：
Figure BDA0003977693690000052
其中，
Figure BDA0003977693690000053
表示设计变量场，
Figure BDA0003977693690000054
表示控制点上的密度，
Figure BDA0003977693690000055
为与
Figure BDA0003977693690000056
对应的NURBS基函数，对应的公式为：
Figure BDA0003977693690000057
其中，Ni,p(ξ)、Nj,q(η)和Nk,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量Ξ＝{ξ1,ξ2,…,ξn+p+1}、
Figure BDA0003977693690000058
和Z＝{γ1,γ2,…,γl+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ωijk为NURBS基函数对应的权重。
进一步地，采用移动渐近线方法优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值。
进一步地，先通过水平集函数描述五模超材料原型点阵的拓扑构型；再对该原型点阵采用形状插值方式以获得20个相对密度在[0.0439,0.4612]区间内呈等差数列排列的五模超材料点阵样本；接着，通过均匀化法计算所有五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性。
进一步地，步骤(2)中，通过链式法则计算目标函数及约束条件对设计变量的灵敏度，再将计算得到的灵敏度信息带入移动渐近线方法中，即可迭代更新设计变量；根据两步迭代之间设计变量改变的大小来构造收敛条件，如果满足收敛条件，则输出设计域每个单元内点阵的密度值，如果不满足收敛条件，则返回而继续更新设计变量。
进一步地，在计算灵敏度时通过采用相邻控制点灵敏度的均值代替当前控制点灵敏度的方式进行过滤。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法主要具有以下有益效果：
1.本发明所提供的方法基于等几何分析，保证优化过程中CAD模型和CAE模型统一，能够有效避免传统有限元方法中存在的几何近似误差，提高了计算精度。
2.本发明提供的多目标等几何拓扑优化模型综合考虑了结构的力学和渗流性能，实现了梯度点阵在三维设计域内的分布优化，不仅在大大减少了计算成本的基础上保证了微结构之间的连接性，也极大地扩展了多孔结构的设计空间，能综合考虑结构的力学性能和渗流性能，通过改变权重，可得到不同要求下的优化结果。
3.本发明以原型点阵为基础通过形状插值获得一系列的梯度点阵，所有梯度点阵均基于原型点阵插值获得，点阵的设计变量为大端直径，限定五模超材料点阵的小端直径不变，保证了点阵之间具有较好的连接性。
4.本发明采用五模超材料点阵单胞，五模超材料是一种特殊的极端结构材料，其体积模量与剪切模量具有解耦关系。采用该点阵填充的多孔结构可在渗流性能稳定的前提下调整其力学性能，相反，也能在其力学性能稳定的前提下，改变渗流性能。
5.本发明采用代理模型来预测任意等效密度的点阵的宏观等效渗流属性和力学属性，避免了在迭代过程中多次使用均匀化法所带来的计算成本，大幅减小了计算量。
附图说明
图1是本发明提供的一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法的流程示意图；
图2是本发明所构建的五模超材料点阵的构型示意图；
图3是本发明所构建的宏观渗流属性代理模型示意图；
图4是本发明所构建的宏观力学属性代理模型示意图；
图5是本发明所构建的多孔结构设计域与边界条件的示意图，图5中的(a)是渗流场的边界条件、图5中的(b)是位移场的边界条件；
图6是本发明所构建的图5中多孔结构多目标优化的Pareto前沿示意图；
图7是本发明所构建的图5中多孔结构优化后点阵填充的示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明以骨支架的刚度和渗流特性为多目标，以力学性能和质量传输性能解耦的五模超材料为微结构，设计具有梯度点阵的三维多孔结构，同时提升骨支架的刚度和渗流性能，以相对较低的计算代价，考虑点阵的逐点梯度变化，并引入等几何分析，尽可能地提高计算精度和效率，让该设计方法便于扩展到更复杂的工程问题。
本发明提供了一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，所述优化方法主要包括以下步骤：
步骤一，通过均匀化方法计算待优化多孔结构的每个五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性。
具体地，通过水平集函数构造待优化多孔结构的五模超材料原型点阵，采用形状插值技术对该原型点阵进行处理以得到一系列的五模超材料点阵样本，通过均匀化法计算得到每个五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性。
本实施方式中，原型点阵为五模超材料点阵，其等效密度值为0.0439。所述原型点阵由16根双锥桁架组成，所述五模超材料点阵的水平集函数为：
Figure BDA0003977693690000081
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x),i＝1,2,3,...,16.，φ3D,i是点阵中16根桁架的水平集函数，x表示在空间H内任意点的坐标，H是一个固定的设计空间，
Figure BDA0003977693690000082
表示五模超材料点阵的结构边界，Ωs是五模超材料点阵实体所占的空间，Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪...∪Ω16，Ω1,Ω2,Ω3,...,Ω16分别是16根双锥桁架实体所占的空间。
所述五模超材料点阵中一根双锥桁架的水平集函数为：
Figure BDA0003977693690000083
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,
Figure BDA0003977693690000084
Figure BDA0003977693690000085
dx2＝x2-x0,dy2＝y2-y0,dz2＝z2-z0,dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure BDA0003977693690000091
φ3D,s1(x,y,z)＝(d3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(d3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，H是一个固定的设计空间，x表示在空间H内任意点的坐标，
Figure BDA0003977693690000092
表示所述一根双锥桁架的结构边界，Ω是所述的一根双锥桁架实体所占的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示组成一根双锥桁架的一个双锥体和两个球体的水平集函数，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，同时也是双锥体两个底面的圆心；(x0,y0,z0)表示一根桁架的中心坐标，d3D、D3D和L3D分别表示所述双锥体的小端直径、大端直径和长度。
本实施方式中，形状插值技术的表达式为：
Figure BDA0003977693690000093
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是原型点阵的水平集函数，
Figure BDA0003977693690000094
是插值系数矩阵，
Figure BDA0003977693690000095
的取值范围为
Figure BDA0003977693690000096
Figure BDA0003977693690000097
的值可以通过二分法计算得到。
本实施方式中，均匀化法计算五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性，计算力学属性所用的表达式为：
Figure BDA0003977693690000098
其中，|Ωm|为五模超材料点阵样本的体积，
Figure BDA0003977693690000099
为点阵单元弹性张量，
Figure BDA00039776936900000910
为元素相互能量形式的应变场，通过线性弹性方程求解，对应的公式为：
Figure BDA00039776936900000911
其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，
Figure BDA00039776936900000912
表示运动学所容许的位移空间。
计算宏观等效渗流属性所用的公式为：
Figure BDA0003977693690000101
其中，Ω为五模超材料点阵的体积，<u>Ω是流体平均速率，μ是动力粘性系数，
Figure BDA0003977693690000102
是渗透系数张量，
Figure BDA0003977693690000103
是平均压力梯度，<b>Ω是施加的平均体力。<u>Ω通过对微观尺度速度场u取均值得到：
Figure BDA0003977693690000104
微观尺度的特征流场u可以通过求解不可压缩Stokes方程得到：
Figure BDA0003977693690000105
Figure BDA0003977693690000106
其中，u为单位体力作用下的流体速度张量，p为相应体力作用下的压力场，b为施加的单位体力。
另外，生成的梯度点阵样本的数量为20个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的小端直径为0.2mm，大端直径的范围为[0.2,1]mm，对应的密度范围为[0.0439,0.4612]。
步骤二，对所有五模超材料点阵样本的相对密度及对应的宏观等效渗流属性和力学属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化多孔结构的任意相对密度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性。
本实施方式中，将20个五模超材料点阵样本的等效密度以及宏观等效渗流属性和力学属性进行拟合，以构造预测点阵单元力学属性和渗流属性的代理模型，从而可以直接获得任意等效密度的梯度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性，从而省略了迭代更新时均匀化法的反复使用，大幅提高计算效率；所述代理模型为最小二乘拟合模型。
步骤三，将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效渗流属性和力学属性及该代理模型构建以柔度最小和能量损耗最小为目标的多目标等几何拓扑优化模型，采用多目标等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值。
具体地，采用移动渐近线方法优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值，使得多孔结构具有较高的刚度和较好的渗流性能。多目标等几何拓扑优化模型的数学表达式为：
Find:
Figure BDA0003977693690000111
Minimize:
Figure BDA0003977693690000112
Subjectto:
Figure BDA0003977693690000113
Figure BDA0003977693690000114
u＝KpP,
F＝KU
Figure BDA0003977693690000115
其中，
Figure BDA0003977693690000116
为构造等几何网格的y个宏控制点上的初始密度，ρPM为设计变量场，C为目标函数，λ是权重，取0，0.1，0.2…1，f1＝UTKU表示结构的柔度，U为位移场，K为刚度矩阵；f2＝PTKpP表示结构的能量损耗，P为渗流压力场，Kp为粘度矩阵，f1 *和
Figure BDA0003977693690000117
是归一化系数，取优化迭代第一步的结果，
Figure BDA0003977693690000118
为构造等几何网格的y个宏单元上的初始密度，V为单元流体体积分数，Vmax为允许的最大流体体积，ΩPM为总宏观设计域，F为外力载荷向量，u为渗流速度场，
Figure BDA0003977693690000119
为设计变量的下边界，
Figure BDA00039776936900001110
为设计变量的上边界。
本实施方式中，设计变量场
Figure BDA00039776936900001111
是根据三维NURBS基函数构造的，对应的表达式为：
Figure BDA0003977693690000121
其中，
Figure BDA0003977693690000122
表示设计变量场，
Figure BDA0003977693690000123
表示控制点上的密度，
Figure BDA0003977693690000124
为与
Figure BDA0003977693690000125
对应的NURBS基函数，对应的公式为：
Figure BDA0003977693690000126
其中，Ni,p(ξ)、Nj,q(η)和Nk,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量Ξ＝{ξ1,ξ2,…,ξn+p+1}、
Figure BDA0003977693690000127
和Z＝{γ1,γ2,…,γl+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ωijk为NURBS基函数对应的权重。
本实施方式中，采用移动渐近线方法更新设计变量。
步骤四，根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。
以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。
实施例1
本实施例中待优化的多孔结构的设计域、载荷及边界条件如图5所示，为立方体骨支架，其边长为40mm，设定其材料的杨氏模量E0＝120GPa，泊松比μ＝0.34,有限元分析的单元网格为10×10×10。本实施例中的优化目标设置为多孔结构的能量损耗最小，允许的材料密度为25.25％。
如图1所示，本发明提供的一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法包括如下步骤：
步骤一，通过水平集函数描述三维点阵的拓扑构型并将等效密度值为0.0439的五模超材料点阵作为原型点阵，采用形状插值技术对该原型点阵进行处理以获得一系列的五模超材料点阵样本，通过均匀化法计算每个五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性，具体包括以下子步骤：
(1.1)通过水平集函数描述五模超材料原型点阵的拓扑构型，对应的表达式为：
Figure BDA0003977693690000131
其中，φs(x)＝max(φi)，φi＝φ3D,i(x),i＝1,2,3,...,16.，φ3D,i是点阵中16根双锥桁架的水平集函数，x表示在空间H内任意点的坐标，H是一个固定的设计空间，
Figure BDA0003977693690000132
表示五模超材料点阵的结构边界，Ωs是五模超材料点阵实体所占的空间，Ωs满足Ωs＝Ω1∪Ω2∪Ω3∪...∪Ω16，Ω1,Ω2,Ω3,...,Ω16分别是16根双锥桁架实体所占的空间。
所述五模超材料点阵中一根双锥桁架的水平集函数为：
Figure BDA0003977693690000133
φ3D(x)＝max(φ3D,c(x,y,z),φ3D,s1(x,y,z),φ3D,s2(x,y,z)),
φ3D,c(x,y,z)＝min(φ3D,c1(x,y,z),φ3D,c2(x,y,z)),
φ3D,c1(x,y,z)＝(L3D/2)2-(cosθ3D·Ld)2,
Figure BDA0003977693690000134
Figure BDA0003977693690000135
Figure BDA0003977693690000137
dx＝x-x0,dy＝y-y0,dz＝z-z0,
Figure BDA0003977693690000136
φ3D,s1(x,y,z)＝(d3D/2)2-(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2,
φ3D,s2(x,y,z)＝(d3D/2)2-(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2
其中，H是一个固定的设计空间，x表示在空间H内任意点的坐标，
Figure BDA0003977693690000141
表示所述一根双锥桁架的结构边界，Ω是所述的一根双锥桁架实体所占的空间，φ3D,c(x,y,z)、φ3D,s1(x,y,z)和φ3D,s2(x,y,z)分别表示组成一根双锥桁架的一个双锥体和两个球体的水平集函数，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别表示所述两个球体的球心坐标，同时也是双锥体两个底面的圆心；(x0,y0,z0)表示一根桁架的中心坐标，d3D、D3D和L3D分别表示所述双锥体的小端直径、大端直径和长度。
(1.2)对该原型点阵采用形状插值技术以获得20个相对密度在[0.0439,0.4612]区间内呈等差数列排列的五模超材料点阵样本，形状插值技术的表达式如下：
Figure BDA0003977693690000142
其中，φe是希望获得的梯度点阵的水平集函数，φpro是所述原型点阵的水平集函数，
Figure BDA0003977693690000143
是插值系数矩阵，
Figure BDA0003977693690000144
的取值范围为
Figure BDA0003977693690000145
Figure BDA0003977693690000146
的值可以通过二分法计算得到。
(1.3)通过均匀化法计算所有五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性，计算宏观等效力学属性所用的公式为：
Figure BDA0003977693690000147
其中，|Ωm|为五模超材料点阵样本的体积，
Figure BDA0003977693690000148
为点阵单元弹性张量，
Figure BDA0003977693690000149
为元素相互能量形式的应变场。
Figure BDA00039776936900001410
通过线性弹性方程求解，对应的公式为：
Figure BDA00039776936900001411
其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，
Figure BDA00039776936900001412
表示运动学所容许的位移空间。
计算宏观等效渗流属性所用的公式为：
Figure BDA0003977693690000151
其中，Ω为五模超材料点阵的体积，<u>Ω是流体平均速率，μ是动力粘性系数，
Figure BDA0003977693690000152
是渗透系数张量，
Figure BDA0003977693690000153
是平均压力梯度，<b>Ω是施加的平均体力。
<u>Ω通过对微观尺度速度场u取均值得到：
Figure BDA0003977693690000154
微观尺度的特征流场u可以通过求解不可压缩Stokes方程得到：
Figure BDA0003977693690000155
Figure BDA0003977693690000156
其中，u为单位体力作用下的流体速度张量，p为相应体力作用下的压力场，b为施加的单位体力。
步骤二，根据20个五模超材料点阵样本的相对密度以及对应的宏观等效渗流属性和力学属性进行拟合，以构造预测点阵单元力学性能和渗流性能的代理模型，从而可以直接获得任意等效密度的梯度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性，以省略迭代更新时均匀化法的反复使用，提高了计算效率。
步骤三，将待优化多孔结构的宏观设计域通过等几何分析方法离散为若干个单元，根据步骤二构造的代理模型建立基于梯度点阵填充的等几何拓扑优化模型，采用移动渐近线方法迭代更新宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值，使得多孔结构具有较高的刚度和较好的渗流性能，具体包括以下子步骤：
(3.1)基于梯度点阵填充的多目标等几何拓扑优化模型的表达式如下：
Find:
Figure BDA0003977693690000161
Minimize:
Figure BDA0003977693690000162
Subjectto:
Figure BDA0003977693690000163
Figure BDA0003977693690000164
u＝KpP,
F＝KU
Figure BDA0003977693690000165
其中，
Figure BDA0003977693690000166
为构造等几何网格的y个宏控制点上的初始密度，ρPM为设计变量场，C为目标函数，λ是权重，取0，0.1，0.2…1，f1＝UTKU表示结构的柔度，U为位移场，K为刚度矩阵；f2＝PTKpP表示结构的能量损耗，P为渗流压力场，Kp为粘度矩阵，f1 *和
Figure BDA0003977693690000167
是归一化系数，取优化迭代第一步的结果，G1表示结构的体积约束，G2表示结构的孔隙约束，
Figure BDA0003977693690000168
为构造等几何网格的y个宏单元上的初始密度，V为单元流体体积分数，Vmax为允许的最大流体体积，ΩPM为总宏观设计域，F为外力载荷向量，u为渗流速度场，
Figure BDA0003977693690000169
为设计变量的下边界，
Figure BDA00039776936900001610
为设计变量的上边界。
具体地，设计变量场
Figure BDA00039776936900001611
根据三维NURBS基函数构造，表达式如下：
Figure BDA00039776936900001612
其中，
Figure BDA00039776936900001613
表示设计变量场，
Figure BDA00039776936900001614
表示控制点上的密度，
Figure BDA00039776936900001615
为与
Figure BDA00039776936900001616
对应的NURBS基函数，对应的公式为：
Figure BDA00039776936900001617
其中，Ni,p(ξ)、Nj,q(η)和Nk,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量Ξ＝{ξ1,ξ2,…,ξn+p+1}、
Figure BDA0003977693690000171
和Z＝{γ1,γ2,…,γl+r+1}构成的B样条基函数，n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ωijk为NURBS基函数对应的权重。
(3.2)通过链式法则计算目标函数及约束条件对设计变量的灵敏度，目标函数及设计变量对单元密度的灵敏度计算公式如下：
Figure BDA0003977693690000172
Figure BDA0003977693690000173
Figure BDA0003977693690000174
其中，
Figure BDA0003977693690000175
是多孔结构的柔度和能量损耗加权后对单元密度的灵敏度，
Figure BDA0003977693690000176
为通过代理模型预测的点阵单元弹性张量，
Figure BDA0003977693690000177
为通过代理模型预测的点阵单元渗透率张量，
Figure BDA0003977693690000178
是材料体积分数约束对单元密度的灵敏度，
Figure BDA0003977693690000179
是材料孔隙约束对单元密度的灵敏度。
单元密度对控制密度的计算公式如下：
Figure BDA00039776936900001710
进而得到目标函数及约束条件对控制密度的灵敏度：
Figure BDA00039776936900001711
Figure BDA00039776936900001712
Figure BDA00039776936900001713
在计算灵敏度时通过采用相邻控制点灵敏度的均值代替当前控制点灵敏度的方式进行过滤，以避免出现棋盘格、网格依赖性等数值不稳定现象，在这里过滤半径取1.2。
(3.3)将步骤(3.2)计算得到的灵敏度信息带入移动渐近线方法中，即可迭代更新设计变量。
(3.4)根据两步迭代之间设计变量改变的大小来构造收敛条件，如果满足收敛条件，则输出设计域每个单元内点阵的密度值，如果不满足收敛条件，则返回步骤(3.1)继续更新设计变量。
步骤四，根据步骤三得到的优化后宏观设计域内所有点阵单元的密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元内密度值对应的梯度点阵构型，并填入单元中，得到最终的多孔结构，实现了拓扑优化。
请参阅图2至图7，以下以五模超材料骨支架的设计来进一步说明本发明。
如图2所示为五模超材料点阵的构型示意图，由16根双锥桁架构成。如图3所示为根据一系列五模超材料点阵样本所对应的密度值以及渗透率张量所构造的最小二乘拟合模型的示意图，可以看出五模超材料点阵样本的密度值在[0.0439,4612]区间内，且拟合模型所预测的渗透率张量与真实的渗透率张量误差很小。如图4所示为根据一系列五模超材料点阵样本所对应的密度值以及弹性张量所构造的最小二乘拟合模型的示意图，可以看出五模超材料点阵样本的密度值同样在[0.0439,4612]区间内，且拟合模型所预测的弹性张量与真实的弹性张量误差很小。
如图5所示为骨支架的设计域，该设计域为边长20mm的正方体，图5中的(a)是施加的渗流场边界条件，即设置渗流流体在下底面的压力为0，同时在上表面中间区域施加均匀的渗流速率，大小为1mm/s。图5中的(b)是施加的位移场边界条件，即正方体底面完全固定，同时在上表面施加均布向下的面力，大小为1kN。
如图6所示给出了双目标最大化问题的目标空间。在给定权重为0，0.1，…,0.9,1后，由帕累托最优解集合形成了帕累托前沿，如图6中黑实线所示,从双目标优化的角度来看，帕累托前沿的所有解都是最优的。其中，E点为具有最大刚度的解，K点为渗流性能最好的解。使用乌托邦点方法选择折衷解，如图6所示，乌托邦点U是同时使两个目标最大化的理想点。一般来说，乌托邦点是不可能实现的，可在帕累托前沿中选择距离乌托邦点U最近的点作为最优点，在本例中，当权重取0.6时，优化结果的点距离乌托邦点U最近，即C点。还可以观察到，当权重取0到0.1之间时，可在渗流性能较稳定的前提下，较大程度改变结构的刚度；当权重取0.9到1之间时，可在刚度较稳定的前提下，较大程度改变结构的渗流性能。
如图7所示为按照本发明所提供方法进行优化后，选取权重为0.6时，梯度点阵填充后的完整的多孔结构示意图。从图7中可以看出，本发明所提供的一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，与传统方法相比，同时考虑了刚度问题和渗流问题，梯度点阵之间的连接性较好，并可以对方形骨支架多孔结构进行优化设计，同时等几何的引入保证了优化过程中CAD模型、CAE模型与TO模型的统一，提高了计算精度，极大地扩展了多孔结构的设计空间，能同时提升多孔结构的力学性能和渗流性能。
本发明还提供了一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如上所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法。
本发明还提供了一种基于代理模型的梯度点阵等几何拓扑优化设备，该设备包括如上所述的计算机可读存储介质以及处理器，处理器用于调用和处理计算机可读存储介质中存储的计算机程序。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)对所有五模超材料点阵样本的相对密度及对应的宏观等效渗流属性和力学属性进行拟合以构建代理模型，并通过该代理模型来预测待优化结构的任意相对密度点阵的宏观等效渗流属性和力学属性；
(2)将待优化结构的宏观设计域通过等几何方法离散为若干个单元，进而基于点阵的宏观等效渗流属性和力学属性及该代理模型构建以柔度最小和能量损耗最小为目标的多目标等几何拓扑优化模型，采用多目标等几何拓扑优化模型优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值；
多目标等几何拓扑优化模型的数学表达式为：
Find:
Figure FDA0003977693680000011
Minimize:
Figure FDA0003977693680000012
Subjectto:
Figure FDA0003977693680000013
Figure FDA0003977693680000014
u＝KpP,
F＝KU
Figure FDA0003977693680000015
其中，
Figure FDA0003977693680000016
为构造等几何网格的y个宏控制点上的初始密度，ρPM为设计变量场，C为目标函数，λ是权重，取0，0.1，0.2…1，f1＝UTKU表示结构的柔度，U为位移场，K为刚度矩阵；f2＝PTKpP表示结构的能量损耗，P为渗流压力场，Kp为粘度矩阵，f1 *和
Figure FDA0003977693680000017
是归一化系数，取优化迭代第一步的结果，
Figure FDA0003977693680000018
为构造等几何网格的y个宏单元上的初始密度，V为单元流体体积分数，Vmax为允许的最大流体体积，ΩPM为总宏观设计域，F为外力载荷向量，u为渗流速度场，
Figure FDA0003977693680000021
为设计变量的下边界，
Figure FDA0003977693680000022
为设计变量的上边界；
(3)根据得到的优化后宏观设计域内所有梯度点阵的密度值，基于水平集函数以及形状插值获得每个单元内具体的梯度点阵构型，并通过映射策略将得到的梯度点阵构型填入对应的单元中，以得到所需几何形状的三维多孔结构。
2.如权利要求1所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：步骤(1)之前还包括通过均匀化方法计算待优化结构的每个五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性的步骤。
3.如权利要求2所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：计算力学属性所用的表达式为：
Figure FDA0003977693680000023
其中，|Ωm|为五模超材料点阵样本的体积，
Figure FDA0003977693680000024
为点阵单元弹性张量，
Figure FDA0003977693680000025
为元素相互能量形式的应变场，通过线性弹性方程求解，对应的公式为：
Figure FDA0003977693680000026
其中，u为点阵中的位移场，δu为点阵中的虚位移，
Figure FDA0003977693680000027
表示运动学所容许的位移空间。
4.如权利要求3所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：计算宏观等效渗流属性所用的公式为：
Figure FDA0003977693680000028
其中，Ω为五模超材料点阵的体积，<u>Ω是流体平均速率，μ是动力粘性系数，
Figure FDA0003977693680000031
是渗透系数张量，
Figure FDA0003977693680000032
是平均压力梯度，<b>Ω是施加的平均体力。
5.如权利要求2所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：原型点阵为五模超材料点阵，改变五模超材料点阵的大端直径，生成的梯度点阵样本的数量为20个，且梯度点阵样本的等效密度呈等差数列，所述梯度点阵样本的小端直径为0.2mm，大端直径的范围为[0.2,1]mm，对应的密度范围为[0.0439,0.4612]。
6.如权利要求1所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：设计变量场
Figure FDA0003977693680000033
是根据三维NURBS基函数构造的，对应的表达式为：
Figure FDA0003977693680000034
其中，
Figure FDA0003977693680000035
表示设计变量场，
Figure FDA0003977693680000036
表示控制点上的密度，
Figure FDA0003977693680000037
为与
Figure FDA0003977693680000038
对应的NURBS基函数，对应的公式为：
Figure FDA0003977693680000039
其中，Ni,p(ξ)、Nj,q(η)和Nk,r(γ)是分别由三个参数方向上的节点向量Ξ＝{ξ1,ξ2,…,ξn+p+1}、
Figure FDA00039776936800000310
和Z＝{γ1,γ2,…,γl+r+1}构成的B样条基函数；n、m和l分别为三个参数方向上控制点的数量，p、q和r分别为对应的B样条阶数，ωijk为NURBS基函数对应的权重。
7.如权利要求1-6任一项所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：采用移动渐近线方法优化宏观设计域内每个单元内梯度点阵的密度值。
8.如权利要求2所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：先通过水平集函数描述五模超材料原型点阵的拓扑构型；再对该原型点阵采用形状插值方式以获得20个相对密度在[0.0439,0.4612]区间内呈等差数列排列的五模超材料点阵样本；接着，通过均匀化法计算所有五模超材料点阵样本的宏观等效渗流属性和力学属性。
9.如权利要求1-6任一项所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：步骤(2)中，通过链式法则计算目标函数及约束条件对设计变量的灵敏度，再将计算得到的灵敏度信息带入移动渐近线方法中，即可迭代更新设计变量；根据两步迭代之间设计变量改变的大小来构造收敛条件，如果满足收敛条件，则输出设计域每个单元内点阵的密度值，如果不满足收敛条件，则返回而继续更新设计变量。
10.如权利要求9所述的五模超材料骨支架的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，其特征在于：在计算灵敏度时通过采用相邻控制点灵敏度的均值代替当前控制点灵敏度的方式进行过滤。
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