CN108038324A - 一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 - Google Patents
一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 Download PDFInfo
- Publication number
- CN108038324A CN108038324A CN201711395742.9A CN201711395742A CN108038324A CN 108038324 A CN108038324 A CN 108038324A CN 201711395742 A CN201711395742 A CN 201711395742A CN 108038324 A CN108038324 A CN 108038324A
- Authority
- CN
- China
- Prior art keywords
- mrow
- msub
- msubsup
- mtd
- mtr
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Granted
Links
Classifications
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
- G06F30/10—Geometric CAD
- G06F30/13—Architectural design, e.g. computer-aided architectural design [CAAD] related to design of buildings, bridges, landscapes, production plants or roads
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
- G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
Landscapes
- Engineering & Computer Science (AREA)
- Physics & Mathematics (AREA)
- Geometry (AREA)
- Theoretical Computer Science (AREA)
- General Physics & Mathematics (AREA)
- Computer Hardware Design (AREA)
- Evolutionary Computation (AREA)
- General Engineering & Computer Science (AREA)
- Structural Engineering (AREA)
- Computational Mathematics (AREA)
- Civil Engineering (AREA)
- Mathematical Analysis (AREA)
- Mathematical Optimization (AREA)
- Pure & Applied Mathematics (AREA)
- Architecture (AREA)
- Design And Manufacture Of Integrated Circuits (AREA)
- Other Investigation Or Analysis Of Materials By Electrical Means (AREA)
Abstract
本发明公开了一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，该方法针对各向同性材料和各项异性材料同时存在的结构优化问题，将带罚函数的各向同性实体结构双材料插值模型引入到各向同性和各向异性共存的结构拓扑优化中来，采用刚度矩阵相融合的思想，构建了适用于各向同性与各向异性一体的连续体结构双材料拓扑优化的材料插值模型。然后以结构的相对质量分数为约束，以最小化结构柔度为目标，以单元的相对密度作为设计变量，采用移动渐近线优化算法，迭代优化得到给定设计空间下各向同性与各向异性一体的连续体结构的双材料拓扑构型。本发明在拓扑过程中实现了各向同性与各向异性的融合，避免了结构优化过程中人为干预的影响，确保了结构性能的最优性。
Description
技术领域
本发明涉及连续体结构拓扑优化设计技术领域，特别涉及一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，该方法考虑各向同性材料和各项异性材料同时在结构中存在的情况，采用单元刚度矩阵融合的方式，构建了各向同性材料和各向异性材料的双材料插值模型，在结构质量约束下，对连续体结构进行拓扑优化。
背景技术
对于结构设计来说，寻找结构在给定约束和目标下的最佳拓扑构型是至关重要的一步，这将决定着结构后续形状优化和尺寸优化的优化空间。拓扑优化已成为结构性能优化的一个有力工具，也是近十年结构优化领域的研究热点，其代表性方法有水平集法、ESO法(evolutionary structural optimization)、SIMP法(solid isotropic material withpenalization)等。值得注意的是，传统的拓扑优化一般是基于单种材料的。然而，与单一材料相比，多种材料的结合能够在更大程度上利用不同材料的性能，通过材料刚度和比刚度等特性选择不同材料进行空间布局，为结构优化提供性能更优的设计结果。
随着拓扑优化技术的发展和多功能设计需求的增长，双材料拓扑优化也越来越受到人们的重视。此外，日益成熟的3D打印技术也为双材料拓扑优化的制造铺平了道路。双材料融合的结构形式(例如实体材料和微结构相融合、不同金属材料相融合)势必会带来更高的结构性能，这也对传统的双材料拓扑优化手段提出了新的挑战。
值得注意的是，当前国内外学者所提出的双材料拓扑优化方法通常是基于各向同性假设的，即认为各材料都是各向同性的。这种方法虽然适用于两种金属或两种塑料相结合的拓扑形式，但是无法处理实体材料和微结构相结合、复合材料和各向同性材料相结合的拓扑优化问题。然而，各向异性材料在多材料结构中的应用是十分广泛的，例如同时有实体材料和微结构的卫星太阳板支架，或者复合材料和塑料相结合的接头。因此，为了解决传统多材料拓扑优化方法无法适用于各向同性材料和各项异性材料同时存在的问题，有必要提出能适用于不同类型材料的双材料拓扑优化方法。这将有助于解决宏微一体拓扑优化，两相材料拓扑优化问题。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法。本发明考虑实际工程中各向同性材料和各向异性材料同时存在的结构优化问题，以适用于各向异性材料的双材料的插值模型为基础，以结构相对质量分数为约束条件，所得到的拓扑结果能充分利用两种不同材料的弹性特性，能够获得单种材料不能达到的结构性能。
本发明采用的技术方案为：一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其实现步骤如下：
步骤一：基于经典的带罚函数的材料插值模型，构建适用于各向异性材料的双材料插值模型：
其中为插值后第i个单元的单元刚度矩阵，为对应于材料1的单元刚度矩阵，为对应于材料2的单元刚度矩阵，x1,i和x2,i分别为第i个单元的设计变量1和设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；
步骤二：利用弹性常数的插值模型去间接构建两种材料刚度矩阵相融合的插值模型：
其中，Ei,x1、Ei,x2、Ei,y1、Ei,y2、Ei,z1、Ei,z2、μi,xy1、μi,xy2、μi,yz1、μi,yz2、μi,xz1、μi,xz2、Gi,xy1、Gi,xy2、Gi,yz1、Gi,yz2、Gi,xz1、Gi,xz2分别是对应于材料1和材料2的弹性系数，依次为三个坐标方向的弹性模量E、泊松比μ和剪切模量G，其中，下标i表示第i个单元，下标1对应于材料1，下标2对应于材料2。
步骤三：基于一般的拓扑优化数学模型，以最小化结构柔度作为目标，以结构质量为约束，建立各向同性与各向异性一体的连续体结构双材料拓扑优化的数学模型：
其中，C是结构柔度，Vi为第i个单元的体积，fj为结构的第j个载荷，m为载荷的个数，n为设计域划分的单元总数，Vt1和Vt2分别为材料1和材料2的目标体积，x1,i为第i个单元的设计变量1，x2,i为第i个单元的设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；x1和x2分别为设计变量1和设计变量2的下界，和分别为设计变量1和设计变量2的上界。
步骤四：基于伴随向量法求解目标函数(结构柔度)对设计变量的敏度：
步骤五：使用移动渐近线优化算法(Method of Moving Asymptotes)，以最小化结构柔度为目标，以结构相对质量分数为约束，利用柔度和相对质量分数对涉及变量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则返回步骤二进行新一轮的迭代优化，否则，进行步骤六；
步骤六：如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则迭代结束，得到双材料连续体结构非概率可靠性拓扑优化的最优构型。
本发明与现有技术相比的优点在于：
本发明提供了一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化设计的新思路，通过构建适用于各向异性材料的双材料插值模型，通过两种材料相结合的设计，使得拓扑优化结果充分利用了不同材料的力学特性，获得更优的结构拓扑形式。解决了单材料拓扑优化或者只适用于各向同性材料的双材料拓扑优化所不能解决的问题。该方法在确保结构质量满足一定约束条件的同时，可大大提升结构的力学性能，对飞行器来说将可以降低使用的经济成本。
附图说明
图1是本发明针对面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化流程图；
图2是本发明拓扑优化实施例的初始模型示意图；
图3是本发明拓扑优化实施例的所采用的微结构单胞示意图；
图4是本发明针对面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化结果示意图，其中，图4(a)为优化结果正视图，图4(b)为优化结果后视图；
图5是本发明实施例接头原始机构示意图，其中，图5(a)为机构正视图，图5(b)为机构后视图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。
如图1所示，本发明提出了一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，包括以下步骤：
(1)基于经典的带罚函数的材料插值模型，构建适用于各向异性材料的双材料插值模型：
其为插值后第i个单元的单元刚度矩阵，为对应于材料1的单元刚度矩阵，为对应于材料2的单元刚度矩阵，x1,i和x2,i分别为第i个单元的设计变量1和设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；
(2)实际上，对于商用有限元软件来说，很难通过式(1)去重新构建单元刚度矩阵来进行有限元分析，为了解决这一问题，下面采用近似的方法去构建单元刚度矩阵。
由于微结构一般是正交各项异性材料，以下分析根据正交各项异性材料展开，但是同样适用于各项异性材料。在构建正交各向异性材料的刚度矩阵时，可以通过Ex、Ey、Ez、μxy、μyz、μxz、Gxy、Gyz、Gxz等9个弹性常数构建单元刚度矩阵，因此，单元刚度矩阵的融合可以通过9个弹性常数的融合来间接实现：
其中，Ei,x1、Ei,x2、Ei,y1、Ei,y2、Ei,z1、Ei,z2、μi,xy1、μi,xy2、μi,yz1、μi,yz2、μi,xz1、μi,xz2、Gi,xy1、Gi,xy2、Gi,yz1、Gi,yz2、Gi,xz1、Gi,xz2分别是对应于材料1和材料2的弹性系数；依次为三个坐标方向的弹性模量E、泊松比μ和剪切模量G，其中，下标i表示第i个单元，下标1对应于材料1，下标2对应于材料2。
(3)基于一般的拓扑优化数学模型，以最小化结构柔度作为目标，以结构质量为约束，建立各向同性与各向异性一体的连续体结构双材料拓扑优化的数学模型：
其中，C是结构柔度，Vi为第i个单元的体积，fj为结构的第j个载荷，m为载荷的个数，n为设计域划分的单元总数，Vt1和Vt2分别为材料1和材料2的目标体积，x1,i为第i个单元的设计变量1，x2,i为第i个单元的设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；x1和x2分别为设计变量1和设计变量2的下界，和分别为设计变量1和设计变量2的上界。
(4)由于拓扑优化需要知道目标函数关于设计变量的敏度，下面基于伴随向量法求解目标函数(结构柔度)对设计变量的敏度：
对于目标函数，有：
由于载荷不随设计变量变化，因此式(4)可以写为：
由于无法直接求解，需要构造如下的约束函数的增广拉格朗日函数进行间接求解：
其中，λj(j＝1,2,…,m)为拉格朗日乘子向量，也被称为伴随向量。由于F-Ku＝0，故上式对设计变量xk,i(k＝1,2)求全导数得：
其中：
上式对任意λ均成立，因此可以选取适当的λ使得du/dxi,k所在项的系数为零，即令：
利用刚度矩阵的对称性可以将上式改为：
则通过给有限元模型施加虚拟载荷所求得的位移即为λ。求解出λ后，约束点位移对设计变量的灵敏度则由下式给出：
其中λj、Kj、uj分别为对应于uj的伴随向量、总体单元刚度矩阵和位移向量。由于载荷向量F不随设计变量变化，即dF/dxk,i，则上式可以改写为：
由式(1)可得dKj/dxk,i为：
所以式(12)最终写为：
结合式(5)和式(14)，利用线弹性力学的叠加原理，最终得到目标函数对设计变量的敏度为：
(5)使用移动渐近线优化算法(Method of Moving Asymptotes)，以最小化结构柔度为目标，以结构相对质量分数为约束，利用柔度和相对质量分数对涉及变量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则返回步骤(2)进行新一轮的迭代优化，否则，进行步骤(6)；
(6)如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则迭代结束，得到双材料连续体结构非概率可靠性拓扑优化的最优构型。；
实施例：
了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的飞机舱门接头实施了双材料拓扑优化。原始设计域为图中灰色网格部分，深色部位为非设计域。接头的上端施加图示形式的Y向载荷F＝45000kN，下端两个连接环固定。所采用的两种材料分别为：铝合金(弹性模量E＝70GPa，泊松比μ＝0.3，密度ρ＝2700kg/m3)，铝合金微结构(弹性系数为Ex＝Ey＝563Mpa、Ez＝4595Mpa、μxy＝0.8625、μyz＝μxz＝0.0574、Gxy＝3016Mpa、Gyz＝Gxz＝2952Mpa，密度ρ＝315.09kg/m3)。非设计域采用了铝合金实体材料。微结构的单胞构型如图3所示，单胞的尺寸为4×4×4mm，单胞杆径为0.3mm。对实体材料和微结构材料分别给定质量分数约束0.4和0.03。
拓扑优化结果如图4所示，图中设计域的深色部位是微单元，灰色部位为铝合金实体结构，从拓扑的结果来看，刚度比较大的实体材料分布于主承力路径上，刚度较弱的微结构分布于次承力路径上，起到了辅助支撑的作用，结果比较合理，优化后得到的结构位移为0.929mm，原始接头的结构如图5所示，原接头的相对质量为0.495，比拓扑得到的接头相对质量(0.43)要重，而且其位移为1.92mm，远大于拓扑优化得到的结构的位移。因此，本算例中实体结构和微结构相结合的双材料拓扑优化方法实现了结构质量下降的同时，提升了结构性能。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于各向异性材料的拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。
Claims (7)
1.一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：实现步骤如下：
步骤一：基于经典的带罚函数的材料插值模型，构建适用于各向异性材料的双材料插值模型：
<mrow>
<msubsup>
<mi>K</mi>
<mi>i</mi>
<mi>e</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>e</mi>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msubsup>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>e</mi>
</msubsup>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
其中为插值后第i个单元的单元刚度矩阵，为对应于材料1的单元刚度矩阵，为对应于材料2的单元刚度矩阵，x1,i和x2,i分别为第i个单元的设计变量1和设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；
步骤二：利用弹性常数的插值模型去间接构建两种材料刚度矩阵相融合的插值模型：
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>E</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，Ei,x1、Ei,x2、Ei,y1、Ei,y2、Ei,z1、Ei,z2、μi,xy1、μi,xy2、μi,yz1、μi,yz2、μi,xz1、μi,xz2、Gi,xy1、Gi,xy2、Gi,yz1、Gi,yz2、Gi,xz1、Gi,xz2分别是对应于材料1和材料2的弹性系数，依次为三个坐标方向的弹性模量E、泊松比μ和剪切模量G，其中，下标i表示第i个单元，下标1对应于材料1，下标2对应于材料2；
步骤三：基于一般的拓扑优化数学模型，以最小化结构柔度作为目标，以结构质量为约束，建立各向同性与各向异性一体的连续体结构双材料拓扑优化的数学模型：
<mfenced open = "" close = "}">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<munder>
<mi>min</mi>
<msub>
<mi>&rho;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
</munder>
<mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub>
<mi>u</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>...</mn>
<mo>,</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>.</mo>
<mi>t</mi>
<mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mn>...</mn>
<mo>,</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<munder>
<mi>x</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</munder>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<munder>
<mi>x</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</munder>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，C是结构柔度，Vi为第i个单元的体积，fj为结构的第j个载荷，m为载荷的个数，n为设计域划分的单元总数，Vt1和Vt2分别为材料1和材料2的目标体积，x1,i为第i个单元的设计变量1，x2,i为第i个单元的设计变量2，p(p＞1)为惩罚因子；x 1和x 2分别为设计变量1和设计变量2的下界，和分别为设计变量1和设计变量2的上界；
步骤四：基于伴随向量法求解目标函数结构柔度对设计变量的敏度：
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>C</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>px</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msup>
<mi>u</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>u</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>C</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>,</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>px</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msup>
<mi>u</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>,</mo>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mi>p</mi>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>,</mo>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>&rsqb;</mo>
<mi>u</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
步骤五：使用移动渐近线优化算法(Method of Moving Asymptotes)，以最小化结构柔度为目标，以结构相对质量分数为约束，利用柔度和相对质量分数对涉及变量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则返回步骤二进行新一轮的迭代优化，否则，进行步骤六；
步骤六：如果当前设计不满足相对质量约束，或前后两次迭代的设计变量变化绝对值之和大于预设值ε时，则迭代结束，得到双材料连续体结构非概率可靠性拓扑优化的最优构型。
2.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤一中的材料插值模型采用了适用于各向异性材料的双材料插值模型。
3.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤二中利用两种材料的弹性常数插值模型去间接构建两种材料刚度矩阵相融合的材料插值模型。
4.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤三中构建的各向同性与各向异性一体的连续体结构双材料拓扑优化的数学模型以最小化结构柔度作为目标，以结构质量为约束。
5.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度。
6.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五使用移动渐近线优化算法去求解拓扑优化问题，并采用商用有限元软件求解拓扑的有限元模型。
7.根据权利要求1所述的一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤六中根据质量小于约束质量和设计变量变化绝对值之和小于ε来判定迭代收敛。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN201711395742.9A CN108038324B (zh) | 2017-12-21 | 2017-12-21 | 一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN201711395742.9A CN108038324B (zh) | 2017-12-21 | 2017-12-21 | 一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| CN108038324A true CN108038324A (zh) | 2018-05-15 |
| CN108038324B CN108038324B (zh) | 2020-06-30 |
Family
ID=62100465
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| CN201711395742.9A Active CN108038324B (zh) | 2017-12-21 | 2017-12-21 | 一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| CN (1) | CN108038324B (zh) |
Cited By (8)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN109472056A (zh) * | 2018-10-15 | 2019-03-15 | 上海交通大学 | 任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法 |
| CN109840348A (zh) * | 2018-12-15 | 2019-06-04 | 华南理工大学 | 一种三重加速的拓扑优化方法 |
| CN111079327A (zh) * | 2019-11-27 | 2020-04-28 | 大连理工大学 | 一种基于各向异性过滤技术的异形曲面加筋拓扑优化方法 |
| CN111950149A (zh) * | 2020-08-13 | 2020-11-17 | 北京航空航天大学 | 基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法 |
| CN112182768A (zh) * | 2020-09-30 | 2021-01-05 | 大连理工大学 | 一种基于拓扑优化的类“龟甲型”拼装舱门结构 |
| CN112989648A (zh) * | 2021-02-04 | 2021-06-18 | 西安理工大学 | 一种协同拓扑构型与纤维路径的柔性机构优化设计方法 |
| CN117725801A (zh) * | 2024-02-06 | 2024-03-19 | 北京大学 | 基于混合有限元空间计算线弹性力学问题的方法 |
| CN117892414A (zh) * | 2024-03-18 | 2024-04-16 | 华东交通大学 | 简谐激励下的各向异性材料结构稳健性拓扑优化设计方法 |
Citations (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN101504678A (zh) * | 2009-03-09 | 2009-08-12 | 西北工业大学 | 薄壁加筋结构加筋布局优化设计方法 |
| US20130246025A1 (en) * | 2006-03-15 | 2013-09-19 | The Mathworks, Inc. | System and method of generating equation-level diagnostic error messages for use in circuit simulation |
| CN104268326A (zh) * | 2014-09-18 | 2015-01-07 | 重庆大学 | 基于优化准则法的约束阻尼板拓扑优化方法 |
| CN105760631A (zh) * | 2016-03-28 | 2016-07-13 | 大连理工大学 | 一种实现多样性设计的结构拓扑优化方法 |
-
2017
- 2017-12-21 CN CN201711395742.9A patent/CN108038324B/zh active Active
Patent Citations (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US20130246025A1 (en) * | 2006-03-15 | 2013-09-19 | The Mathworks, Inc. | System and method of generating equation-level diagnostic error messages for use in circuit simulation |
| CN101504678A (zh) * | 2009-03-09 | 2009-08-12 | 西北工业大学 | 薄壁加筋结构加筋布局优化设计方法 |
| CN104268326A (zh) * | 2014-09-18 | 2015-01-07 | 重庆大学 | 基于优化准则法的约束阻尼板拓扑优化方法 |
| CN105760631A (zh) * | 2016-03-28 | 2016-07-13 | 大连理工大学 | 一种实现多样性设计的结构拓扑优化方法 |
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 王晓军 等: "基于非概率集合可靠性的结构优化设计", 《计算力学学报》 * |
Cited By (14)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN109472056A (zh) * | 2018-10-15 | 2019-03-15 | 上海交通大学 | 任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法 |
| CN109840348A (zh) * | 2018-12-15 | 2019-06-04 | 华南理工大学 | 一种三重加速的拓扑优化方法 |
| CN109840348B (zh) * | 2018-12-15 | 2023-06-20 | 华南理工大学 | 一种三重加速的拓扑优化方法 |
| CN111079327B (zh) * | 2019-11-27 | 2022-09-06 | 大连理工大学 | 一种基于各向异性过滤技术的异形曲面加筋拓扑优化方法 |
| CN111079327A (zh) * | 2019-11-27 | 2020-04-28 | 大连理工大学 | 一种基于各向异性过滤技术的异形曲面加筋拓扑优化方法 |
| CN111950149A (zh) * | 2020-08-13 | 2020-11-17 | 北京航空航天大学 | 基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法 |
| CN112182768A (zh) * | 2020-09-30 | 2021-01-05 | 大连理工大学 | 一种基于拓扑优化的类“龟甲型”拼装舱门结构 |
| CN112182768B (zh) * | 2020-09-30 | 2024-04-12 | 大连理工大学 | 一种基于拓扑优化的类“龟甲型”拼装舱门结构 |
| CN112989648A (zh) * | 2021-02-04 | 2021-06-18 | 西安理工大学 | 一种协同拓扑构型与纤维路径的柔性机构优化设计方法 |
| CN112989648B (zh) * | 2021-02-04 | 2022-11-25 | 西安理工大学 | 一种协同拓扑构型与纤维路径的柔性机构优化设计方法 |
| CN117725801A (zh) * | 2024-02-06 | 2024-03-19 | 北京大学 | 基于混合有限元空间计算线弹性力学问题的方法 |
| CN117725801B (zh) * | 2024-02-06 | 2024-05-03 | 北京大学 | 基于混合有限元空间计算线弹性力学问题的方法 |
| CN117892414A (zh) * | 2024-03-18 | 2024-04-16 | 华东交通大学 | 简谐激励下的各向异性材料结构稳健性拓扑优化设计方法 |
| CN117892414B (zh) * | 2024-03-18 | 2024-05-24 | 华东交通大学 | 简谐激励下的各向异性材料结构稳健性拓扑优化设计方法 |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| CN108038324B (zh) | 2020-06-30 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| CN108038324A (zh) | 一种面向各向异性材料的连续体结构双材料拓扑优化方法 | |
| Li et al. | Topology optimization for concurrent design of structures with multi-patch microstructures by level sets | |
| Nomura et al. | Inverse design of structure and fiber orientation by means of topology optimization with tensor field variables | |
| Benson et al. | Blended isogeometric shells | |
| Liu et al. | Parameterized level-set based topology optimization method considering symmetry and pattern repetition constraints | |
| Thai et al. | Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a layerwise deformation theory | |
| Arciniega et al. | Large deformation analysis of functionally graded shells | |
| Senatore et al. | Interactive real-time physics: an intuitive approach to form-finding and structural analysis for design and education | |
| Tang et al. | Equivalent-force density method as a shape-finding tool for cable-membrane structures | |
| Alsafadie et al. | Corotational mixed finite element formulation for thin-walled beams with generic cross-section | |
| Thai et al. | Large deflection inelastic analysis of space trusses using generalized displacement control method | |
| Mavriplis | Multigrid solution of the discrete adjoint for optimization problems on unstructured meshes | |
| Nguyen-Van et al. | Free vibration analysis of laminated plate/shell structures based on FSDT with a stabilized nodal-integrated quadrilateral element | |
| Polit et al. | A multilayered/sandwich triangular finite element applied to linear and non-linear analyses | |
| CN104254878A (zh) | 用于生成3d对象的设备和方法 | |
| Yuan et al. | Nonlinear dynamic formulation for flexible origami-based deployable structures considering self-contact and friction | |
| Ren et al. | An adaptive triangular element of absolute nodal coordinate formulation for thin plates and membranes | |
| CN111125963A (zh) | 基于拉格朗日积分点有限元的数值仿真系统及方法 | |
| Yang et al. | Design of single degree-of-freedom triangular resch patterns with thick-panel origami | |
| Steinmann | A finite element formulation for strong discontinuities in fluid‐saturated porous media | |
| Rah et al. | A partial hybrid stress solid-shell element for the analysis of laminated composites | |
| Wang et al. | One-step inverse isogeometric analysis for the simulation of sheet metal forming | |
| Jiang et al. | Explicit layout optimization of complex rib-reinforced thin-walled structures via computational conformal mapping (CCM) | |
| Gan et al. | Topology optimization design of porous infill structure with thermo-mechanical buckling criteria | |
| Thai et al. | Isogeometric cable elements based on B-spline curves |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| GR01 | Patent grant | ||
| GR01 | Patent grant |