CN112836295B

CN112836295B - 一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法

Info

Publication number: CN112836295B
Application number: CN202110106236.3A
Authority: CN
Inventors: 邱志平; 刘东亮; 王磊; 王晓军
Original assignee: Beihang University
Current assignee: Beihang University
Priority date: 2021-01-26
Filing date: 2021-01-26
Publication date: 2022-07-01
Anticipated expiration: 2041-01-26
Also published as: CN112836295A

Abstract

本发明公开了一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法，针对带有区间有界不确定性参数的类桁架微结构拓扑优化问题，首先采用数值均匀化方法获取了类桁架微结构胞元的等效性能。然后考虑载荷、材料和加工工艺的区间不确定性，对区间范围较大的参数区间进行分割，通过对每个子区间采用逐维法进行不确定性传播分析，获取响应的上下界及其相应的不确定性参数的值。最后，基于获取的响应上下界，构建了结构柔度鲁棒拓扑优化模型，实现不确定性参数区间范围较大情况下类桁架微结构的结构柔度鲁棒拓扑优化。

Description

一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及结构鲁棒拓扑优化技术领域，特别涉及一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法。该方法以子区间逐维法为基础，考虑载荷、材料、类桁架微结构的尺寸误差的不确定性，通过建立结构柔顺度的鲁棒性指标，实现结构的鲁棒约束拓扑优化。

背景技术

结构优化，特别是形状和拓扑优化，已被确定为结构设计中最具挑战性的任务之一。在过去二十年中，人们已经开发了各种技术和方法用于结构的拓扑优化。其中的代表性方法有水平集法、ESO法(evolutionary structural optimization)、SIMP法(solidisotropic material with penalization)等。随着拓扑优化技术的广泛使用以及3D打印成型技术的日益成熟，多材料结构也成为了可能，其设计也日益受到人们的重视，尤其是在航空航天结构中，由于多材料结构优异的单位质量性能，其使用能够很大程度上减小结构的质量，提高航空航天飞行器的承载能力。

值得注意的是，传统的多材料拓扑优化往往是基于各向同性材料的。但是，在当前的实际应用中，多种微桁架材料相结合的结构形式是最具有应用前景的，尤其是在卫星结构中的应用。然而，微桁架材料由于其单元微桁架的结构形式，难以等同于各向同性材料，常用的微桁架构型都是等同于正交各项异性材料的。因此，考虑材料的各向异性，并且能够反映微桁架特性的拓扑优化技术，有很大的应用前景和工程价值。

在实际应用中，结构优化往往是采用确定性参数的。然而，在实际工程问题中，由于载荷环境的变化、加工工艺的影响，结构的载荷大小、载荷方向、材料模量、微结构的杆径等，都是具有一定不确定性的，往往分布在特定的区间范围内。因此考虑上述不确定性因素，实现结构在不确定性参数下的鲁棒优化，具有重要的工程价值。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法。本发明考虑实际工程中载荷、材料模量和加工工艺的不确定性，以载荷大小、载荷方向、材料弹性模量、类桁架微结构胞元的杆径作为不确定性变量，采用多材料插值模型，建立了多种类型胞元共存的多材料模型。最后，以结构柔度为对象，建立区间鲁棒指标，采用子区间逐维法求解上下界，采用伴随方法求解敏度，获得鲁棒约束下质量最小的结构构型。该方法能充分利用不同胞元的材料性能，获得传统单一胞元所难以获得的结构性能，为多材料类桁架微结构的鲁棒优化设计提供一种新的设计方法。

本发明采用的技术方案为：一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法，用于对带有区间不确定性参数的类桁架微结构实现柔顺度鲁棒拓扑优化，其实现步骤如下：

步骤一：针对类桁架微结构的区间不确定性参数，对胞元杆径的不确定性区间划分为一个或多个子区间；

步骤二：当对类桁架微结构的胞元杆径的不确定性区间进行子区间划分后，采用数值均匀化方法获取胞元杆径对应的等效弹性矩阵D_L，其中下标L表示第L种胞元；

步骤三：对于给定的D_L，构建多材料插值模型，求解得到结构每个单元的弹性矩阵；

步骤四：基于子区间逐维法，求解响应的上下界以及对应的不确定性参数的值；

步骤五：基于伴随向量法求解鲁棒约束对设计变量的敏度；

步骤六：使用移动渐近线优化算法(Method of Moving Asymptotes)，以最小化结构质量为目标，以结构的相对鲁棒值为约束，利用结构质量和鲁棒约束对设计变量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足鲁棒约束，或前后两个迭代步之间设计变量的变化量的绝对值之和大于预设值时，则返回步骤一进行新一轮的迭代优化，否则，进行步骤七；

步骤七：如果当前设计满足鲁棒度约束，而且前后两个迭代步之间设计变量的变化量的绝对值之和小于预设值时，则优化迭代结束，得到鲁棒约束下质量最小的结构构型。

进一步的，所述步骤一中的不确定性参数，包括材料模量、载荷大小、载荷方向、类桁架微结构的胞元杆径；对胞元杆径的不确定性区间划分为一个或多个子区间，具体包括：

其中，

是第l个区间不确定性参数，其中l＝1,2,…,M，

是第l个区间参数的第k_l个子区间，n_l是第l个区间参数所划分的子区间的数量，标志“-”和“_”分别表示区间的上界和下界，M是不确定性参数的个数。

进一步的，所述步骤二中D_L的计算只在胞元杆径的上下界处进行。

进一步的，所述步骤三中构建的多材料插值模型适用于任意多种不同的胞元类型，求解得到结构每个单元的弹性矩阵：

其中，p是惩罚因子，m表示材料的数量，n表示设计变量的数量，D_i,e是第i个单元的弹性模量，ρ_k,i是第i个单元的第k个设计变量。

进一步的，所述步骤四基于子区间逐维法来获取响应的上下界及对应的不确定性参数值，具体包括：

其中，x_min和x_max分别是不确定性参数对应于响应下界的向量值和对应于响应上界的向量值，f代表响应函数，f_min和f_max分别代表响应的下界和上界，NV代表子分区的数量，

和

分别是不确定性参数对应于第q个子分区的响应下界的向量值和响应上界的向量值。

进一步的，所述步骤五基于伴随向量求解结构鲁棒约束对设计变量的偏导数，对于双材料，计算过程如下：

其中，

为结构柔顺度名义值，

和

分别是对应于材料1和材料2的第i个单元的单元刚度矩阵，

是第i个单元的位移向量，

和C分别表示结构柔顺度上界和下界，R_r和R_r,targ为第r个鲁棒约束。

进一步的，所述步骤六中使用移动渐近线优化算法去求解结构鲁棒度约束的拓扑优化问题。

进一步的，所述步骤七中根据约束的满足情况和前后迭代步的设计变量的变化量来判断内层优化的收敛状态。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种区间不确定性条件下类桁架微结构的鲁棒拓扑优化的新思路，通过对不确定性参数进行子区间划分，所采用的子区间逐维法能够有效处理大不确定性变量情况下的传播分析问题，有效提升了结构的力学性能，为航空航天飞行器的结构设计提供了新的理论方法。

附图说明

图1是本发明基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化流程示意图；

图2是本发明实施例载荷及边界条件示意图；

图3：是本发明实施例优化结果。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明提出了一种基于子区间逐维法的类桁架微结构鲁棒拓扑优化方法，可以对带有区间不确定性参数的类桁架微结构实现柔顺度鲁棒拓扑优化，实现步骤如下：

步骤一：针对结构的区间不确定性参数，如材料模量、载荷、类桁架微结构的胞元杆径，对其划分为一个或多个子区间：

其中，

是第l个区间不确定性参数，

是第l个区间参数的第k_l个子区间，n_l是第l个区间参数所划分的子区间的数量，标志“-”和“_”分别表示区间的上界和下界，M是不确定性参数的个数；

步骤二：当对类桁架微结构的胞元杆径的不确定性区间进行子区间划分后，采用数值均匀化方法获取胞元杆径子区间上下界对应的等效弹性矩阵D_L，其中下标L表示第L种胞元；

步骤三：对于给定的D_L，构建多材料插值模型，求解得到每个结构单元的弹性矩阵：

步骤四：基于子区间逐维法，求解响应的上下界以及对应的不确定性参数的值：

为了方便，定义不确定性参数为：

对于每个不确定性参数

可以被划分为n_l个子区间如下：

其中

因此，区间向量x^I的等价表述可以写为：

根据Φ的定义，Φ包含

个区间向量。令

(q＝1,2,…,NV)是Φ中的一个区间向量，对于任意的向量

向量

可以表示为：

其中：

是

的中值向量；

是

的半径向量；

δ_q＝[δ_1,q,δ_1,q,…,δ_M,q] (δ_l,q∈[-1,1],l＝1,2,…,M) (9)

是参数向量。

代表δ_q和

的阿达玛积。注意到

和

的值是给定的。因此寻找函数

的极值等价于寻找函数G(δ_q)＝f(g(δ_q))的极值，其中

由于δ_q中每个元素的取值范围都是[-1,1]，如果只考虑δ_q中第l个元素δ_l,q，函数G(δ_q)相对于δ_l,q的R阶正交多项式展开可以表示为：

其中P_r(*)r阶勒让德多项式，

是展开系数。勒让德多项式是区间[-1,1]内的正交多项式，满足：

注意到δ_l,q(q＝1,2,…,NV,l＝1,2,…,M)的取值范围是[-1,1]，通过对式(10)进行变量替换，式(10)可以简化为：

其中y∈[-1,1]。

根据式(11)，式(11)中的展开系数

可以通过以下方程来求解：

通过使用高斯-勒让德积分公式，式(13)可以表示为：

其中T代表积分点的数量，y_s是第s个积分点，也是多项式P_T(y)的第s个解，w_s是权重系数，由下式给出：

根据式(14)和式(15)，可以计算

的值，并获得多项式G_q,l(y)的表达式。因此，多项式G_q,l(y)的极值点可以被解析地求解。令：

那么，多项式G_q,l(y)的极值点便位于集合{Y_q,l,-1,1}中。

因此，多项式G_q,l(y)在y∈[-1,1]的最小值点和最大值点可以通过下式求解：

相应的，对应于最大值和最小值的向量也可以计算得：

基于x和y的关系，得：

最终，f(x)(x∈x^I)的最小值和最大值及其相应的不确定性参数值可以表示为：

和

分别是不确定性参数对应于第q个子分区的响应下界的向量值和响应上界的向量值；

步骤五：基于伴随向量法求解鲁棒约束对设计变量的敏度：

结构柔度

相对于设计变量ρ_k,i(k＝1,2,…,M)的灵敏度可以通过伴随方法来求解：

不失一般性，以双材料情况为例，结构的总体刚度矩阵

可以分解为：

其中B单元几何矩阵，Ω_i是第i个单元的积分域，

是第i个单元对应于第l个弹性矩阵

的单元刚度矩阵。将式(22)代入式(11)中，得：

第r个鲁棒约束

相对于设计变量ρ_k,i的灵敏度可以表示为：

其中，

为结构的相对鲁棒度。因此，有：

其中，偏微分

可以通过式(23)来计算。

和

也可以通过类似方法获得；

步骤六：使用移动渐近线优化算法，以最小化结构质量为目标，以结构的相对鲁棒值为约束，利用结构质量和鲁棒约束对设计变量的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足鲁棒约束，或前后两个迭代步之间设计变量的变化量的绝对值之和大于预设值时，则返回步骤一进行新一轮的迭代优化，否则，进行步骤七；

步骤七：如果当前设计满足鲁棒约束，而且前后两个迭代步之间设计变量的变化量的绝对值之和小于预设值时，则优化迭代结束，得到鲁棒约束下质量最小的结构构型。

实施例：

如图所示，实施例的设计域是T形，并且设计域的右端是固定的。在左侧的上下端点处施加大小和方向可变的载荷F₁和F₂。F₁和F₂的方向变化范围为[-45°,45]，大小变化范围为[80N,120N]。用于结构优化的单元是具有X和Y方向支柱的X型单元(XXY胞元)和具有X方向支柱的X型单元(XX胞元)。胞元的尺寸大小为2mm×2mm，胞元的杆径变化范围为[0.15mm,0.25mm]。胞元的材料模量同样考虑为不确定性变量，其变化范围为[95GPa,105GPa]。对结构柔度进行相对鲁棒度为20％的鲁棒约束，分别进行了单一材料(XXY胞元)和双材料(XXY胞元和XX胞元)的鲁棒约束拓扑优化，同时还进行了确定性的优化。优化结果如图3所示，其中，图片中第三和第四列的，深灰色为XXY胞元，浅灰色为XX胞元。从图中可以看出，鲁棒优化的结果满足了鲁棒性要求，而确定性优化结果的鲁棒值远远超过了鲁棒优化结果。此外，对比单材料和双材料的优化结果可知，采用双材料的优化结果质量更小。综上所说，当结构参数具有不确定性时，采用本方法优化得到的结构具有更好的鲁棒性和更轻的质量。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于多材料类桁架微结构柔度鲁棒拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。