CN111339616A - 一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，可以实现在质量约束条件下最大化机械结构基频的拓扑优化，具有更高的计算效率。该方法的具体步骤包括：一、建立机械结构的拓扑优化数学模型；二、推导设计变量的迭代计算公式；三、拓扑优化迭代求解过程控制；四、根据单元相对密度的优化解获得机械结构最优拓扑形式。本发明可高效解决机械结构动力学拓扑优化问题，在优化迭代的前几步就可以获得较为清晰的结构拓扑形式，具有收敛速度快、计算效率高等优点，可推广应用到复杂机械装备的结构设计中。

Description

一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法

技术领域

本发明属于机械结构轻量化设计领域，具体涉及一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法。

背景技术

在机械结构设计等领域，以最少的材料和最低的成本实现机械结构的最优性能一直是设计者追求的目标。结构优化设计主要包括拓扑优化、形状优化和尺寸优化三个层次。其中，拓扑优化设计处于基础的概念设计阶段，结构拓扑设计的好坏直接影响后续的形状和尺寸设计。当结构的初始拓扑设计非最优时，形状和尺寸优化可能产生次优结构，因此在初始概念设计阶段需要确定结构的最佳拓扑形式。

机械结构的基频与机械的动态性能密切相关。在机械结构动力学拓扑优化方面，其中一类较为常见的情况是：在质量约束条件下，固有频率最大化拓扑优化问题。针对这类问题，目前常采用的一种结构拓扑优化方法是双向渐进结构优化方法(Bi-directionalEvolutionary Structural Optimization，BESO法)。BESO法在每一迭代步中可同时完成低效能单元的删除和高效能单元的添加，使结构拓扑形式趋于最优状态。由于拓扑优化设计变量过多等原因，BESO 法存在收敛速度慢、计算效率低等不足。寻求一种高效的拓扑优化方法一直是研究人员追求的目标。

发明内容

在现有的拓扑优化方法中，由于设计变量众多，导致在求解目标函数和约束函数对设计变量的灵敏度时，工作量大、计算效率低。针对现有技术中存在不足，本发明提供了一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，能实现质量约束条件下结构基频最大化拓扑优化设计，其计算迭代步数少、求解效率高。

本发明是通过以下技术手段实现上述技术目的的。

一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，建立机械结构的拓扑优化数学模型，结合导重法获取拓扑优化数学模型中设计变量的迭代计算公式，从而对单元相对密度进行迭代求解，并对迭代求解过程进行控制，根据单元相对密度的优化解获得机械结构的最优拓扑形式；

所述对迭代求解过程进行控制包括迭代过程稳定性控制、质量约束控制以及获取清晰优化拓扑形式控制。

进一步，所述迭代过程稳定性控制，具体为：采用

处理单元导重，其中： G_i为有限元模型单元相对密度的导重，k为迭代步。

进一步，所述质量约束控制，包括以下步骤：

步骤(1)，按设计变量的迭代公式计算当前的单元相对密度值，并通过各单元质量求和得到设计区域当前的总质量；

步骤(2)，求出质量约束限与当前总质量的比值s，若s≤1，则继续下一步迭代，否则，转入步骤(3)；

步骤(3)，将当前各单元相对密度值乘以比值s，并限定ρ_min≤ρ_i≤1，转入步骤(1)；

其中：ρ_i是单元i的相对密度，ρ_min是设计变量的取值下限。

更进一步，所述设计变量的迭代公式为：

其中：k为迭代步，

和

分别为单元的模态动能和模态应变能，p为惩罚因子，λ为拉格朗日乘子，α为步长因子。

进一步，所述获取清晰优化拓扑形式控制，具体为：将相对密度ρ_i大于ρ_ut的单元转换为实单元，相对密度ρ_i小于ρ_lt的单元转换为空单元，具体的表达式为：

进一步，所述机械结构的拓扑优化数学模型为：

其中：ρ是代表有限元模型中单元相对密度的设计变量，ρ_i是单元i的相对密度，N是单元的个数，f(ρ)是目标函数，ω₁为结构的基频，m(ρ)是结构的总质量，f_m为质量约束因子，m₀是结构的初始总质量，ρ_min是设计变量的取值下限。

更进一步，在迭代求解过程中，定义单元节点导重为节点周围单元导重的平均值，再将每个单元所包含节点的导重进行平均，其值作为最终的单元导重值。

进一步，所述机械结构的最优拓扑形式的获取方式为：在拓扑优化迭代完成后，导出单元各节点的坐标值、节点编号和各单元的相对密度值，再在MATLAB软件中通过patch()函数画出优化拓扑图形。

本发明的有益效果为：

(1)本发明利用导重法获取拓扑优化数学模型中设计变量的迭代计算公式，对单元相对密度进行迭代求解，并对迭代求解过程进行控制，对迭代求解过程进行控制包括迭代过程稳定性控制、质量约束控制以及获取清晰优化拓扑形式控制；迭代过程稳定性控制可保证迭代过程的稳定性，收敛性能好；质量约束控制，保证拓扑优化数学模型中质量约束条件成立；获取清晰优化拓扑形式控制，用于消除中间单元产生的模糊效果。

(2)本发明利用导重法获取拓扑优化数学模型中设计变量的迭代计算公式，将导重法引入到结构动力学拓扑优化设计中，拓展了导重法在结构拓扑优化领域的应用范围；

(3)利用本发明方法能获得与BESO法相近的结构拓扑形式和基频值，但是本发明迭代步数更少，计算效率更高。

附图说明

图1为本发明所述质量约束控制流程框图；

图2为本发明所述两端简支梁示意图；

图3为本发明不同迭代步的优化拓扑形式，图3(a)为迭代步取10时的优化拓扑形式，图3(b)为迭代步取24时的优化拓扑形式，图3(c)为迭代步取35时的优化拓扑形式，图 3(d)为迭代步取47时的优化拓扑形式；

图4为本发明拓扑优化迭代历程曲线图；

图5为BESO法得到的最优拓扑形式。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步的说明，但本发明的保护范围并不限于此。

导重法是严格按照约束优化问题的库恩-塔克条件推导得到的结构最优设计准则，其核心思想是“最优结构应当按照各组构件的导重正比分配各组构件的重量”。导重法是一种意义明确、严密简洁的结构优化方法，具有公式简单、收敛速度快等优点。

一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，具体包括以下步骤：

步骤一：建立机械结构的拓扑优化数学模型

在质量约束条件下，以机械结构基频最大化为优化目标的拓扑优化问题的数学模型为：

式中，ρ是代表有限元模型中单元相对密度的设计变量，ρ_i是单元i的相对密度，N是单元的个数，f(ρ)是目标函数，ω₁为结构的基频，m(ρ)是结构的总质量，f_m为质量约束因子， m₀是结构的初始总质量，ρ_min是设计变量的取值下限。

步骤二：推导设计变量的迭代计算公式

机械结构模态振动的一般表达式为：

(K-ω₁ ²M)φ₁＝0 (2)

式中，K是结构刚度矩阵，M是结构质量矩阵，φ₁是与

相对应的振型。

将振型φ₁关于质量矩阵M正则化处理，可得目标函数f(ρ)对设计变量的偏导数为：

为了避免机械结构分析中局部模态的产生，本发明方法采用修正的固定各向同性惩罚微结构模型(Solid Isotropic Microstructure with Penalization，SIMP模型)：

式中，

是单元i的实际密度，

是单元i满材料(即ρ_i＝1)的密度，E_i是单元i的弹性模量，

是单元i满材料的弹性模量，p为惩罚因子。根据密度与质量的关系及弹性模量与刚度的关系，有下式成立：

式中，M_i和K_i分别为单元i的质量矩阵和刚度矩阵，

和

分别为单元i满材料时的质量矩阵和刚度矩阵，

和M_i与结构质量矩阵M维数相同，

和K_i与刚度矩阵K维数相同，且在矩阵

M_i、

和K_i中，与单元i无关的元素为零。

由式(5)可得式(3)中M和K对ρ_i的偏导数为：

根据导重法的有关定义，可得如下变量：

W_i＝ρ_iH_i＝ρ_iv_i (8)

式中，H_i为ρ_i的等效容重，v_i为单元体积，W_i为ρ_i的等效质量，G_i为ρ_i的导重，G为总导重。

根据单元模态动能和模态应变能的定义，有下式成立：

式中，

和

分别为单元的模态动能和模态应变能。

将式(3)、式(5)、式(6)和式(11)代入式(9)中并消去相同项，可得导重G_i表达式为：

导重法迭代的基本方程为：

式中，λ为拉格朗日乘子，其计算公式为：

采用步长迭代法，选取步长因子α，得到设计变量的迭代计算公式为：

式中，k为迭代步。

步骤三：拓扑优化迭代求解过程控制

在机械结构的设计区域划分有限元网格，施加载荷和边界条件，进行有限元分析，提取单元的模态应变能和模态动能，计算单元的导重，再根据公式(15)对单元相对密度进行迭代求解。在迭代求解过程中，为避免棋盘格现象，在迭代过程中采用如下策略：定义单元节点导重为节点周围单元导重的平均值，再将每个单元所包含节点的导重进行平均，其值作为最终的单元导重值。同时，为了保证迭代过程的稳定性，采用下式处理单元导重：

在下一迭代步中，令

在迭代求解过程中，设计区域的质量不断减少，为了保证等式质量约束条件成立，采用如下控制策略：(1)按迭代公式(15)计算当前的单元相对密度值，并通过各单元质量求和得到设计区域当前的总质量；(2)求出质量约束限(即f_mm₀)与当前总质量的比值s，若s小于等于1，则继续下一步迭代，否则，转入(3)；(3)将当前各单元相对密度值乘以比值s，并限定ρ_min≤ρ_i≤1，并转入(1)。质量约束控制相应的流程如图1所示。

为了能够得到更清晰的优化拓扑形式，消除中间单元产生的模糊效果。在迭代求解过程中，将相对密度大于ρ_ut的单元转换为实单元，相对密度小于ρ_lt的单元转换为空单元，具体的表达式为：

式中，ρ_ut为实单元转换阈值，ρ_lt为空单元转换阈值。

当目标函数满足公式(18)所示条件时，迭代终止。

式中，τ为收敛误差限。

步骤四：根据单元相对密度的优化解获得机械结构的最优拓扑形式

拓扑优化迭代完成后，由有限元计算软件导出单元各节点的坐标值、节点编号和各单元的相对密度值，再在MATLAB软件中通过patch()函数画出优化拓扑图形。

本实施例以最大化两端简支梁基频的拓扑优化为例，图2为两端简支梁结构，具体的结构有关参数为：尺寸为8m×1m，材料的弹性模量为10MPa，泊松比为0.3，密度为1kg/m³，质量约束因子f_m为0.5，设计区域网格划分尺寸为0.025m。迭代计算中有关控制参数为：p＝3，ρ_min＝10^-6，α＝0.5，ρ_ut＝0.75，ρ_lt＝0.20，τ＝0.0005。拓扑优化迭代完成后，利用MATLAB中的patch() 函数画出如图3所示的优化拓扑形式。图3(a)-(d)分别为迭代步k为10、24、35、47时的拓扑形式，由此可知，本发明方法在拓扑优化迭代的早期就能获得较清晰的结构拓扑形式。图4为两端简支梁基频拓扑优化迭代的历程曲线，可见本发明方法能保证迭代收敛过程的平稳。

为了与现有方法进行对比，采用BESO法得到的结构拓扑形式如图5所示，本发明和BESO 法两种方法得到的最优拓扑基频和迭代步数如表1所示：

表1 BESO法与本发明方法结果对比

由此可知，本发明方法能获得与BESO法相近的结构拓扑形式和基频值，但是本发明方法的迭代步数更少，也即计算效率更高。

上述通过最大化两端简支梁基频的拓扑优化实例对本发明方法的有效性进行了验证，需要说明的是本发明并不限于上述实施例。本领域技术人员在掌握本发明基本原理方法的前提下，还可将其应用到其他形式结构基频拓扑优化当中。在不背离本发明实质内容的情况下，本领域技术人员能够做出的任何显而易见的改进、替换或变型均属于本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，建立机械结构的拓扑优化数学模型，结合导重法获取拓扑优化数学模型中设计变量的迭代计算公式，从而对单元相对密度进行迭代求解，并对迭代求解过程进行控制，根据单元相对密度的优化解获得机械结构的最优拓扑形式；

所述对迭代求解过程进行控制包括迭代过程稳定性控制、质量约束控制以及获取清晰优化拓扑形式控制。

2.根据权利要求1所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述迭代过程稳定性控制，具体为：采用

处理单元导重，其中：G_i为有限元模型单元相对密度的导重，k为迭代步。

3.根据权利要求1所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述质量约束控制，包括以下步骤：

步骤(1)，按设计变量的迭代公式计算当前的单元相对密度值，并通过各单元质量求和得到设计区域当前的总质量；

步骤(2)，求出质量约束限与当前总质量的比值s，若s≤1，则继续下一步迭代，否则，转入步骤(3)；

步骤(3)，将当前各单元相对密度值乘以比值s，并限定ρ_min≤ρ_i≤1，转入步骤(1)；

其中：ρ_i是单元i的相对密度，ρ_min是设计变量的取值下限。

4.根据权利要求1或3所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述设计变量的迭代公式为：

其中：k为迭代步，E_i ^KENE和

分别为单元的模态动能和模态应变能，p为惩罚因子，λ为拉格朗日乘子，α为步长因子。

5.根据权利要求1所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述获取清晰优化拓扑形式控制，具体为：将相对密度ρ_i大于ρ_ut的单元转换为实单元，相对密度ρ_i小于ρ_lt的单元转换为空单元，具体的表达式为：

6.根据权利要求1所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述机械结构的拓扑优化数学模型为：

其中：ρ是代表有限元模型中单元相对密度的设计变量，ρ_i是单元i的相对密度，N是单元的个数，f(ρ)是目标函数，ω₁为结构的基频，m(ρ)是结构的总质量，f_m为质量约束因子，m₀是结构的初始总质量，ρ_min是设计变量的取值下限。

7.根据权利要求2所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，在迭代求解过程中，定义单元节点导重为节点周围单元导重的平均值，再将每个单元所包含节点的导重进行平均，其值作为最终的单元导重值。

8.根据权利要求1所述的使机械结构基频最大化的拓扑优化方法，其特征在于，所述机械结构的最优拓扑形式的获取方式为：在拓扑优化迭代完成后，导出单元各节点的坐标值、节点编号和各单元的相对密度值，再在MATLAB软件中通过patch()函数画出优化拓扑图形。

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