CN114970366B - 一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统 - Google Patents

一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统。包括：根据所期望的减振频带范围和所述功能梯度超材料结构元胞的参数，定义所述功能梯度超材料结构的衰减程度指标；根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述多个元胞的参数进行优化，得到优化后的功能梯度超材料结构。本发明结合半解析微分求积法和遗传算法，针对多个元胞同时进行优化设计，建立了功能梯度超材料结构的高效优化模型，通过对超材料结构进行梯度优化设计可以实现弯曲振动在宽频范围内大幅度衰减，克服了传统周期超材料结构衰减频带仅限制在较窄带隙范围内的不足，得到具有更优减振效果的功能梯度超材料结构，能够满足包括航天工程在内的多种工程实际需求。

Description

一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统
技术领域
本发明涉及航天技术领域，特别涉及一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统。
背景技术
航天器在进行星箭分离、整流罩分离、组合体分离以及附件展开等飞行动作时，需要用到火工分离装置，该类装置会引入爆炸冲击载荷，从而产生航天器远场中低频冲击振动环境问题，传统主动隔振装置给航天器带来额外的附加质量，大大增加了发射成本。通过周期裁剪挖除材料得到的超材料结构可以实现对特定频带内振动的抑制，减轻航天器质量同时实现中低频冲击环境减缓，因此对这种超材料结构进行优化并用于火工分离装置中，对实现航天器有效减振具有重大意义。
目前，对于周期超材料结构传统的优化设计思路是将超材料结构简化为一个元胞，仅针对该元胞的几何参数进行带隙优化，以寻求最大带隙及带隙内最大程度衰减。但是，使用这种传统的优化方法得到的超材料结构，只有在特定带隙范围内才能实现明显的减振且带隙范围较窄，对解决航天器远场中低频宽带振动冲击环境问题的作用较为有限。
发明内容
为了至少部分地解决现有技术存在的技术问题，能够对多个元胞参数进行优化，并实现弯曲振动在宽频范围内大幅度衰减，克服传统周期超材料结构衰减频带仅限制在较窄带隙范围内的不足，得到具有更优减振效果的功能梯度超材料结构，发明人做出本发明，通过具体实施方式，提供一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统。
第一方面，本发明实施例提供一种功能梯度超材料结构优化方法，包括以下步骤：
根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标；
根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，设计所述功能梯度超材料结构模型，包括以下步骤：
所述功能梯度超材料结构模型包括多个元胞；
每个所述元胞沿变截面梁段长度方向依次顺序连接；
每个所述元胞包括均匀梁段和变截面梁段，所述均匀梁段和变截面梁段的宽度相同，所述均匀梁段的厚度固定，所述变截面梁段的厚度沿变截面梁段长度方向递减至变截面梁段截断厚度。
可选的，所述根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标，包括以下步骤：
基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程；
根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数；
基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标。
可选的，所述基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程，包括以下步骤：
基于Timoshenko梁理论建立起每段梁的横向运动方程，如下所示：
Figure 325863DEST_PATH_IMAGE001
其中，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，t为时间，
Figure 774162DEST_PATH_IMAGE002
为梁截 面相对于中心轴的转角，
Figure 944112DEST_PATH_IMAGE003
为梁密度，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 604901DEST_PATH_IMAGE004
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，上标n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数；
编号为n的梁段和编号为n+1的梁段连接面处需满足位移、转角、弯矩和剪切力连接条件，如下所示：
Figure 950431DEST_PATH_IMAGE005
其中，上标n表示编号为n的梁段，上标n+1表示编号为n+1的梁段，y为梁沿Y轴方向 上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure 913839DEST_PATH_IMAGE006
为梁截面相对于中心轴的转角，A为横截面积，E为 材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 446452DEST_PATH_IMAGE007
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，l n为编号为n的 梁段的长度，当n为偶数时，l n 为编号为n的变截面梁段长度；
根据实际自由边界条件，一端施加冲击载荷F，所述功能梯度超材料梁两端的弯矩和剪切力满足以下关系：
Figure 176510DEST_PATH_IMAGE008
其中，F为在所述功能梯度超材料梁一端施加的冲击载荷，上标表示梁段编号，m为 元胞总数，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure 226813DEST_PATH_IMAGE009
为梁截面相对于中心 轴的转角，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 751335DEST_PATH_IMAGE010
为横向剪切修正系数，J为 截面惯性矩，l 2m 为编号为2m的变截面梁段长度。
可选的，所述根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数，包括以下步骤：
引入无量纲参数，将所述波动方程改写成无量纲形式；
根据所述无量纲形式的波动方程，基于微分求积法，将每段梁离散成多个节点，功能梯度超材料结构的传递函数表示为：
Figure 771244DEST_PATH_IMAGE011
其中，T表示传递函数，
Figure 649201DEST_PATH_IMAGE012
为无量纲简谐激振力频率，
Figure 438166DEST_PATH_IMAGE013
为第i个元胞的变截面梁 段长度，i为元胞编号，
Figure 399168DEST_PATH_IMAGE014
和
Figure 31007DEST_PATH_IMAGE015
为功能梯度超材料梁在简谐激励下两端最大位移 幅值，n取1, 2, ..., 2m，m为元胞总数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数。
可选的，所述衰减程度指标的表达式为：
Figure 571710DEST_PATH_IMAGE016
其中，
Figure 746339DEST_PATH_IMAGE017
和
Figure 222451DEST_PATH_IMAGE018
分别为期望频带的上、下边界频率，T表示传递函数，
Figure 482531DEST_PATH_IMAGE019
为无量 纲简谐激振力频率，i为元胞编号，
Figure 826925DEST_PATH_IMAGE020
表示编号为2i的变截面梁段长度。
可选的，所述根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构，包括以下步骤：
根据所述衰减程度指标，构造优化目标函数；
将所述功能梯度超材料结构多个连续元胞变截面梁段长度选为优化变量；
设置约束条件；
设置遗传算法优化参数；
初始化种群，随机生成含N v个个体的种群，其中每个个体分别包括所述多个连续元胞变截面梁段长度；
根据所述优化目标函数，得到所述种群中每个个体的适应度；
依据种群中每个个体的适应度，利用遗传算法，迭代生成下一代个体；
当满足预设的遗传终止条件时，遗传终止，得到遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，并根据所述遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，所述设置约束条件，包括以下步骤：
设置每个元胞长度保持不变，即a i =a 0，其中a i 表示第i个元胞的长度，i=1, 2,..., m, m为元胞总数，a 0表示每个元胞的固定长度；
设置m个元胞变截面梁段总长度不变，即
Figure 715115DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure 17920DEST_PATH_IMAGE022
为第i个元胞的变截面 梁段长度，
Figure 234138DEST_PATH_IMAGE023
为m个元胞变截面梁段总长度；
将每个优化变量变化范围设定为不低于
Figure 257589DEST_PATH_IMAGE024
且不高于
Figure 406810DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 270730DEST_PATH_IMAGE026
是所述m个元 胞变截面梁段长度的平均值。
可选的，所述预设的遗传终止条件具体为：
当遗传代数达到所述停止代数gen或适应度优选值在规定进化代数内平均变化值 在给定的精度范围
Figure 115189DEST_PATH_IMAGE027
内，则遗传终止。
第二方面，本发明实施例提供一种功能梯度超材料结构优化系统，包括：
衰减程度指标设定模块，用于根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标；
优化结构确定模块，用于根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，所述衰减程度指标设定模块，包括：
波动方程确定单元，用于基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的
波动方程；
传递函数确定单元，用于根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函
数；
衰减指标设定单元，用于基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种功能梯度超材料结构，使用如前述的功能梯度超材料结构优化方法得到，或通过如前述的功能梯度超材料结构优化系统得到。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种电子设备，包括：存储器、处理器及存储于存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现前述的功能梯度超材料结构优化方法。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种计算机存储介质，所述计算机存储介质中存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令执行时实现前述的功能梯度超材料结构优化方法。
本发明实施例提供的上述技术方案的有益效果至少包括：
本发明结合半解析微分求积法和遗传算法，针对多个元胞同时进行优化设计，建立了功能梯度超材料结构高效优化模型，通过对超材料结构进行梯度优化设计可以实现弯曲振动在宽频范围内大幅度衰减，克服了传统周期超材料结构衰减频带仅限制在较窄带隙范围内的不足，得到具有更优减振效果的功能梯度超材料结构，能够满足包括航天工程在内的多种工程实际需求。
本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在所写的说明书、权利要求书、以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
附图说明
附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。在附图中：
图1为本发明实施例中功能梯度超材料结构优化方法流程图；
图2为本发明实施例中功能梯度超材料结构优化方法的一个具体实施例流程图；
图3为本发明实施例中功能梯度超材料结构示意图；
图4a为本发明实施例中在低频范围内优化时适应度变化曲线图；
图4b为本发明实施例中在低频范围内优化时优化变量随迭代次数变化示意图；
图5a为本发明实施例中在高频范围内优化时适应度变化曲线图；
图5b为本发明实施例中在高频范围内优化时优化变量随迭代次数变化示意图；
图6为本发明实施例中沿功能梯度超材料结构中心轴方向第i个元胞中变截面梁段长度值优化前后对比图；
图7为本发明实施例中在低频范围内优化前后功能梯度超材料结构的传递函数对比图；
图8为本发明实施例中在高频范围内优化前后功能梯度超材料结构的传递函数对比图；
图9为本发明实施例中功能梯度超材料结构优化系统框图；
图10发明实施例中一种电子设备的结构示意图。
具体实施方式
下面将参照附图更详细地描述本公开的示例性实施例。虽然附图中显示了本公开的示例性实施例，然而应当理解，可以以各种形式实现本公开而不应被这里阐述的实施例所限制。相反，提供这些实施例是为了能够更透彻地理解本公开，并且能够将本公开的范围完整的传达给本领域的技术人员。
为了解决现有技术中存在的问题，本发明实施例提供一种功能梯度超材料结构优化设计方法及系统。
实施例一
本发明实施例一提供一种功能梯度超材料结构优化方法，其流程如图1所示，包括如下步骤：
步骤S1：设计功能梯度超材料结构模型。具体包括以下步骤：
所述功能梯度超材料结构模型包括多个元胞；
每个所述元胞沿变截面梁段长度方向依次顺序连接；
每个所述元胞包括均匀梁段和变截面梁段，所述均匀梁段和变截面梁段的宽度相同，所述均匀梁段的厚度固定，所述变截面梁段的厚度沿变截面梁段长度方向递减至变截面梁段截断厚度；元胞的变截面梁段长度即指元胞所包括的变截面梁段的长度。
其中，对应梁段的变截面梁段轮廓曲线在局部坐标系下的表达式为:
Figure 725687DEST_PATH_IMAGE028
式中，i为元胞编号，i=1,2,...,m，m为元胞总数，y 2i为第i个元胞的变截面梁段沿Y 轴方向上的位移，
Figure 994994DEST_PATH_IMAGE029
为变截面梁段轮廓斜率常数，x 2i为第i个元胞的变截面梁段沿X方向上 的位移，l 2i为第i个元胞的变截面梁段长度，p为厚度轮廓曲线的幂指数，h 0i为第i个元胞的 变截面梁段截断厚度；
其中，确定h 0i 的表达式为:
Figure 514968DEST_PATH_IMAGE030
式中，i为元胞编号，i=1,2,...,m，m为元胞总数，h 0i 为第i个元胞的变截面梁段截 断厚度；h为所述功能梯度超材料结构均匀梁段厚度，
Figure 361570DEST_PATH_IMAGE031
为变截面梁段轮廓斜率常数，l 2i为 第i个元胞的变截面梁段长度，p为厚度轮廓曲线的幂指数。
如图3所示的功能梯度超材料结构模型，该结构中最小的重复单元为元胞，每个元 胞由宽度均为b的均匀梁A段和变截面B段组成，其中均匀梁A段的厚度为h，变截面B段厚度 沿着X轴方向逐渐减小。假设功能梯度超材料结构包含m个元胞，为分析方便给每小段梁进 行编号段#1，#2，..., #2m。每个元胞的总长度可以表示为a i =l 2i-1+l 2i ， (i=1,2,...,m)，对 应梁段中的变截面梁段轮廓曲线在局部坐标系下由表达式
Figure 117037DEST_PATH_IMAGE032
，(i=1,2,...,m)决定，其中h 0i 为变截面梁段截断厚度，p 为厚度轮廓曲线的幂指数。变截面梁段轮廓斜率
Figure 116217DEST_PATH_IMAGE033
为常数，当给定某一变截面梁段长度l 2i 后，对应变截面梁段截断厚度可以由表达式
Figure 666147DEST_PATH_IMAGE034
(i=1,2,...,m)决定，功能梯度 超材料结构可以通过沿着X轴方向改变每个元胞中变截面梁段的长度实现。
步骤S2：根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标；
可选的，所述根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标，包括以下步骤：
基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程；
根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数；
基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标。
可选的，所述基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程，包括以下步骤：
基于Timoshenko梁理论建立起每段梁的横向运动方程，如下所示：
Figure 468887DEST_PATH_IMAGE035
其中，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，t为时间，
Figure 28044DEST_PATH_IMAGE036
为梁截面 相对于中心轴的转角，
Figure 475206DEST_PATH_IMAGE037
为梁密度，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 805824DEST_PATH_IMAGE038
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩, 上标n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数；
编号为n的梁段和编号为n+1的梁段连接面处需满足位移、转角、弯矩和剪切力连接条件，如下所示：
Figure 236805DEST_PATH_IMAGE039
其中，上标n表示编号为n的梁段，上标n+1表示编号为n+1的梁段，y为梁沿Y轴方向 上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure 68495DEST_PATH_IMAGE040
为梁截面相对于中心轴的转角，A为横截面积，E为 材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 760377DEST_PATH_IMAGE041
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，l n 为编号为n的 梁段的长度，当n为偶数时，l n 为编号为n的变截面梁段长度；
根据实际自由边界条件，一端施加冲击载荷F，所述功能梯度超材料梁两端的弯矩和剪切力满足以下关系：
Figure 652109DEST_PATH_IMAGE042
其中，F为在所述功能梯度超材料梁一端施加的冲击载荷，上标表示梁段编号，m为 元胞总数，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure 304807DEST_PATH_IMAGE043
为梁截面相对于中心 轴的转角，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure 815554DEST_PATH_IMAGE044
为横向剪切修正系数，J为 截面惯性矩，l 2m 为编号为2m的变截面梁段长度。由于编号为2m的梁段即第m个元胞的变截面 梁段，所以l 2m 也是第m个的元胞的变截面梁段长度。
可选的，根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数，包括以下步骤：
引入无量纲参数，将所述波动方程改写成无量纲形式；
根据所述无量纲形式的波动方程，基于微分求积法，将每段梁离散成多个节点，功能梯度超材料结构的传递函数表示为：
Figure 237308DEST_PATH_IMAGE045
其中，T表示传递函数，
Figure 299942DEST_PATH_IMAGE046
为无量纲简谐激振力频率，
Figure 567500DEST_PATH_IMAGE047
为第i个元胞的变截面梁 段长度，i为元胞编号，
Figure 6572DEST_PATH_IMAGE048
和
Figure 423778DEST_PATH_IMAGE049
为功能梯度超材料梁在简谐激励下两端最大位 移幅值，n取1, 2, ..., 2m，m为元胞总数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数。
具体地，为获取鲁棒性更好的数值解，引入如下无量纲参数：
Figure 657313DEST_PATH_IMAGE050
其中，上标n表示编号为n的梁段，n=1，2，...，2m-1，m为元胞总数，y为梁沿Y轴方向 上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure 284603DEST_PATH_IMAGE051
为梁截面相对于中心轴的转角，A为横截面积，b为 梁段宽度，h为所述功能梯度超材料结构均匀梁段厚度，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模 量，
Figure 386420DEST_PATH_IMAGE052
为横向剪切修正系数，l n 为编号为n的梁段的长度，t为时间，A n(x)代表第n个梁段在x 位置处的横截面积，J n(x)代表第n个梁段在x位置处的截面惯性矩，
Figure 782767DEST_PATH_IMAGE053
代表第n个梁段在x 位置处横截面积对x的导数，
Figure 328149DEST_PATH_IMAGE054
代表第n个梁段在x位置处截面惯性矩对x的导数。
基于以上无量纲参数，将式1和式2的横向运动方程写成以下无量纲形式：
Figure 177156DEST_PATH_IMAGE055
Figure 692451DEST_PATH_IMAGE056
其中，n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数，上述式子中其他字母具体含义参照式5；
将式3和式4的边界条件写成以下无量纲形式：
Figure 333517DEST_PATH_IMAGE057
Figure 908855DEST_PATH_IMAGE058
其中，n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数，上述式子中其他字母具体含义参照式5；
基于微分求积法，将每段梁离散成多个节点，借助拉格朗日插值多项式将全域上所有的离散节点的函数值进行加权求和来逼近函数在某一离散节点的偏导数：
Figure 510737DEST_PATH_IMAGE059
Figure 970669DEST_PATH_IMAGE060
其中，
Figure 341607DEST_PATH_IMAGE061
和
Figure 212480DEST_PATH_IMAGE062
为梁段n在第j个节点处的无量纲 位移，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数，
Figure 36079DEST_PATH_IMAGE063
为拉格朗日插值函数，
Figure 299702DEST_PATH_IMAGE064
为权重系 数，s和j是节点编号，r代表第r阶导数；
利用Chebyshev-Gauss-Lobatto多项式确定各个离散节点的位置：
Figure 259567DEST_PATH_IMAGE065
其中，s是节点编号，
Figure 176708DEST_PATH_IMAGE066
N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点 数。需要注意的是，当s=0和s=N-1时，
Figure 880746DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure 541535DEST_PATH_IMAGE068
分别表示每段梁的两端端点。
将式10、式11和式12带入无量纲运动方程式6和式7中可得:
Figure 621486DEST_PATH_IMAGE069
Figure 116053DEST_PATH_IMAGE070
其中，n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数，s和j是节点编 号，
Figure 648665DEST_PATH_IMAGE071
代表一阶导数下的权重系数，
Figure 503357DEST_PATH_IMAGE072
代表二阶导数下的权重系数，N为每段梁沿着局部 坐标轴x的总节点数，
Figure 172236DEST_PATH_IMAGE073
代表梁沿Y轴方向上无量纲位移对时间的二阶导数，上述式子中 其他字母具体含义参照式5；
将式10、式11和式12带入无量纲边界条件式8和式9中可得:
Figure 962338DEST_PATH_IMAGE074
Figure 857612DEST_PATH_IMAGE075
其中，n表示编号为n的梁段，其中n取1, 2, ..., 2m-1，m为元胞总数，j是节点编 号，
Figure 125783DEST_PATH_IMAGE076
代表一阶导数下的权重系数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数，上述式子中 其他字母具体含义参照式5；
根据式13至式16，可得到
Figure 914747DEST_PATH_IMAGE077
个线性代数方程，为简化起见，将功能梯度超材料 梁的横向运动方程简写成如下矩阵形式：
Figure 734805DEST_PATH_IMAGE078
其中，M为质量矩阵，K为刚度矩阵，p为无量纲外力矢量，下标‘d’和‘b’分别表示每 段梁内部的离散点和两端的离散点，
Figure 242009DEST_PATH_IMAGE079
为无量纲位移矢量，将
Figure 48291DEST_PATH_IMAGE079
拆分为矢量
Figure 98287DEST_PATH_IMAGE080
和矢量
Figure 699032DEST_PATH_IMAGE081
， 将p拆分为矢量
Figure 83746DEST_PATH_IMAGE082
和矢量
Figure 428140DEST_PATH_IMAGE083
，可表示为：
Figure 191697DEST_PATH_IMAGE084
其中，n取1, 2, ..., 2m，m为元胞总数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数，上述式子中其他字母具体含义参照式5；
假设激励力和位移表达式为
Figure 104289DEST_PATH_IMAGE085
和
Figure 586086DEST_PATH_IMAGE086
，其中，i为虚数单位，
Figure 734170DEST_PATH_IMAGE087
是假设激励力的幅值，
Figure 757095DEST_PATH_IMAGE088
是要求取的假设位移的最大幅值，上述式子中其他字母具体含 义参照式5；
将
Figure 965222DEST_PATH_IMAGE089
和
Figure 668736DEST_PATH_IMAGE090
带入式17可得：
Figure 495878DEST_PATH_IMAGE091
其中，
Figure 234027DEST_PATH_IMAGE092
,
Figure 347476DEST_PATH_IMAGE093
，
Figure 928499DEST_PATH_IMAGE094
，K为刚度矩阵，
Figure 418386DEST_PATH_IMAGE095
为无量纲简谐激振力频率；
则功能梯度超材料结构的传递函数可表示为：
Figure 11042DEST_PATH_IMAGE096
其中，T表示传递函数，
Figure 701917DEST_PATH_IMAGE097
为无量纲简谐激振力频率，i为元胞编号，
Figure 380023DEST_PATH_IMAGE098
为第i个 元胞的变截面梁段长度，
Figure 408022DEST_PATH_IMAGE099
和
Figure 245397DEST_PATH_IMAGE100
为功能梯度超材料梁在简谐激励下两端最大 位移幅值，n取1, 2, ..., 2m，m为元胞总数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数。
可选的，所述衰减程度指标的表达式为：
Figure 966228DEST_PATH_IMAGE101
其中，
Figure 397210DEST_PATH_IMAGE102
和
Figure 104266DEST_PATH_IMAGE103
分别为期望频带的上、下边界频率，T表示传递函数，
Figure 405934DEST_PATH_IMAGE104
为无 量纲简谐激振力频率，i为元胞编号，
Figure 563246DEST_PATH_IMAGE105
为第i个元胞的变截面梁段长度。
步骤S3：根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，所述根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构，包括以下步骤：
根据所述衰减程度指标，构造优化目标函数；
将所述功能梯度超材料结构多个连续元胞变截面梁段长度选为优化变量；
设置约束条件；
设置遗传算法优化参数，所述遗传算法优化参数包括初始种群大小N v，交叉率P c， 变异率P m，停止代数gen，收敛精度
Figure 340578DEST_PATH_IMAGE106
；
初始化种群，随机生成含N v个个体的种群，其中每个个体分别包括所述多个连续元胞变截面梁段长度；具体的，随机生成含Nv个个体的种群，每个个体分别对应7个变截面梁段长度，个体对应的变截面梁段长度值在指定范围内随机生成。种群包含个体的数量决定着遗传算法的求解效率及求解能力，个体数量越多，最终获得最优解的概率会较高，但算法的效率会被大幅度降低。而个体数量越少，寻找最优解的难度越大。因此，个体数量值一般根据具体问题测试确定。
根据所述优化目标函数，得到所述种群中每个个体的适应度；具体的，用衰减程度 指标
Figure 710379DEST_PATH_IMAGE107
构造优化目标函数，以此目标函数来度量种群个体的适应度，适应度的大小可以用 来评判该个体的优劣，适应度比较接近优化目标的个体更容易遗传给下一代。
依据种群中每个个体的适应度，利用遗传算法，迭代生成下一代个体；具体的，为保证优良个体，从群体中选择适应度较高的个体使其继续生存并繁殖后代，采用轮盘赌选择作为选择方法。采用两点交叉方式，随机从群体中选择两个个体以P c概率对个体编码串中某些基因位进行交换。采用均匀变异方式，用符合某一范围内均匀分布的随机数，以P m概率替换个体编码串中各基因位的原有基因值。通过交叉和变异操作，提高种群的多样性，并增强算法全局搜索能力。但变异率和交叉概率越大，产生越多新的子代，但不利于算法收敛。交叉和变异概率越小，容易陷入局部最优。因此，一般根据具体问题测试确定Pc和Pm的取值。
当满足预设的遗传终止条件时，遗传终止，得到遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，并根据所述遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，所述设置约束条件，包括以下步骤：
设置每个元胞长度保持不变，即a i =a 0，其中a i 表示第i个元胞的长度，i=1, 2,..., m, m为元胞总数，a 0表示每个元胞的固定长度；
设置m个元胞变截面梁段总长度不变，即
Figure 397713DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure 335713DEST_PATH_IMAGE109
为第i个元胞的变截面梁 段长度，
Figure 475707DEST_PATH_IMAGE110
为m个元胞变截面梁段总长度；
将每个优化变量变化范围设定为不低于
Figure 914779DEST_PATH_IMAGE111
且不高于
Figure 584182DEST_PATH_IMAGE112
，
Figure 817717DEST_PATH_IMAGE113
是所述m个元 胞变截面梁段长度的平均值。
可选的，所述预设的遗传终止条件具体为：
当遗传代数达到所述停止代数gen或适应度优选值在规定进化代数内平均变化值 在给定的精度范围
Figure 179428DEST_PATH_IMAGE114
内，则遗传终止。
在一个具体实施例中，流程如图2所示，通过波动方程、传递函数，得到衰减程度指 标，再设置遗传算法的优化变量、优化目标函数、算法参数和约束条件，其中各类参数设置 如下，材料杨氏模量
Figure 31978DEST_PATH_IMAGE115
，材料剪切模量
Figure 428324DEST_PATH_IMAGE116
, 梁密度
Figure 832761DEST_PATH_IMAGE117
，横向剪切修正系数μ=5/6,厚度轮廓曲线的幂指数p=2，元胞总数m=7， 变截面梁段轮廓斜率常数ε=1.25,每个元胞的固定长度a0=0.1m，功能梯度超材料结构均匀 梁段厚度h=0.02m，梁段宽度b=0.02m, 7个元胞变截面梁段长度的平均值
Figure 71981DEST_PATH_IMAGE118
，m 个元胞变截面梁段总长度
Figure 587276DEST_PATH_IMAGE119
,每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数N=20，初 始种群大小N v=200，交叉率P c=0.7，变异率P m=0.01，停止代数gen=700，收敛精度
Figure 979074DEST_PATH_IMAGE120
=1e -6。图 4a和图4b为基于低频范围1Hz-1000Hz的优化结果，图5a和图5b为基于高频范围1kHz-10kHz 的优化结果。由图4a、图4b、图5a和图5b可以看出，对于两个不同目标频带，遗传算法分别在 166和133次迭代后终止。在优化过程中，一些变量的明显变化可能对优化目标影响不大，例 如在高频范围内优化时，当迭代次数超过20次后l 4取值不断发生变化，但目标值几乎不变。 对低频范围优化，优化变量的最终结果为l 2=72mm, l 4=88mm, l 6=72mm, l 8=88mm, l 10= 72mm, l 12=88mm, l 14=80mm, 对应的优化目标值为-29317.7dB；在高频范围内优化，优化变 量的最终结果为l 2=88mm, l 4=79.9mm, l 6=72mm, l 8=72mm, l 10=88mm, l 12=88mm，l 14= 72.1mm, 对应的优化目标值为-56702.7dB。如图6所示，横轴代表元胞编号，纵轴代表元胞 的变截面梁段长度，优化后带功能梯度超材料结构沿X方向的变截面梁段长度是不相同的， 并以近似正弦形式变化。图7和图8对比了优化前带周期功能梯度超材料结构和优化后功能 梯度超材料结构的频率响应曲线。图7为低频范围内优化前后的对比结果，可以发现衰减程 度指标由-1493.4dB变化为-29317.7dB(下降约1863.15%)。图8为高频范围内优化前后的对 比结果，可以发现衰减指标由由-27178dB变化为-56703dB(下降约108.64%)。这表明，优化 后的功能梯度超材料结构由于沿X方向变截面梁段长度无序分布时，可以实现衰减效应的 增强。总之，上述方法根据所期望的减振频带范围，通过寻求每个元胞对应的最优变截面梁 段长度，得到了具有最优减振效果的带梯度排列功能梯度超材料结构；并且这种基于遗传 优化算法和微分求积法构建起来的优化系统，能够高效准确地实现对功能梯度超材料结构 的优化，相比于传统周期超材料结构，能够更好满足航天器远场中低频宽频减振需求。
本实施例的上述方法中，本发明结合半解析微分求积法和遗传算法，针对多个元胞同时进行优化设计，建立了功能梯度超材料结构的高效优化模型，通过对超材料结构进行梯度优化设计可以实现弯曲振动在宽频范围内大幅度衰减，克服了传统周期超材料结构衰减频带仅限制在较窄带隙范围内的不足，得到具有更优减振效果的功能梯度超材料结构，能够满足包括航天工程在内的多种工程实际需求。
实施例二
本发明实施例二提供一种功能梯度超材料结构优化系统，其结构如图9所示，包括：
衰减程度指标设定模块100，用于根据所设计的功能梯度超材料结构模型和所期望的减振频带范围，建立关于所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数的衰减程度指标；
优化结构确定模块200，用于根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
可选的，所述衰减程度指标设定模块100，包括：
波动方程确定单元101，用于基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程；
传递函数确定单元102，用于根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数；
衰减指标设定单元103，用于基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标。
关于上述实施例中的系统，其中各个模块执行操作的具体方式已经在有关该方法的实施例中进行了详细描述，此处将不做详细阐述说明。
本实施例的上述系统中，本发明结合半解析微分求积法和遗传算法，针对多个元胞同时进行优化设计，建立了功能梯度超材料结构的高效优化模型，通过对超材料结构进行梯度优化设计可以实现弯曲振动在宽频范围内大幅度衰减，克服了传统周期超材料结构衰减频带仅限制在较窄带隙范围内的不足，得到具有更优减振效果的功能梯度超材料结构，能够满足包括航天工程在内的多种工程实际需求。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种功能梯度超材料结构，其结构如图3所示，使用如前述的功能梯度超材料结构优化方法得到，或通过如前述的功能梯度超材料结构优化系统得到。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种电子设备，其结构如图10所示，包括：存储器、处理器及存储于存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现前述的功能梯度超材料结构优化方法。
基于同一发明构思，本发明实施例还提供一种计算机存储介质，所述计算机存储介质中存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令执行时实现前述的功能梯度超材料结构优化方法。
关于上述实施例中的功能梯度超材料结构、电子设备和计算机存储介质，其中具体实施方式已经在有关该方法的实施例中进行了详细描述，此处将不做详细阐述说明。

Claims (11)

1.一种功能梯度超材料结构优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
设计功能梯度超材料结构模型，所述功能梯度超材料结构模型包括多个元胞，每个所述元胞沿变截面梁段长度方向依次顺序连接，每个所述元胞包括均匀梁段和变截面梁段，所述均匀梁段和变截面梁段的宽度相同，所述均匀梁段的厚度固定，所述变截面梁段的厚度沿变截面梁段长度方向递减至变截面梁段截断厚度；
基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程；
根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数；
基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标；
根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程，包括以下步骤：
基于Timoshenko梁理论建立起每段梁的横向运动方程，如下所示：
Figure QLYQS_1
Figure QLYQS_2
其中，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，t为时间，
Figure QLYQS_3
为梁截面相对于中心轴的转角，
Figure QLYQS_4
为梁密度，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure QLYQS_5
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，上标n表示编号为n的梁段，其中k取1, 2, ..., m，m为元胞总数，
Figure QLYQS_6
为偏微分符号；
编号为n的梁段和编号为n+1的梁段连接面处需满足位移、转角、弯矩和剪切力连接条件，如下所示：
Figure QLYQS_7
其中，上标n表示编号为n的梁段，上标n+1表示编号为n+1的梁段，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure QLYQS_8
为梁截面相对于中心轴的转角，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure QLYQS_9
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，ln为编号为n的梁段的长度，当n为偶数时，ln为编号为n的变截面梁段长度，
Figure QLYQS_10
为偏微分符号；
根据实际自由边界条件，一端施加冲击载荷F，所述功能梯度超材料结构梁两端的弯矩和剪切力满足以下关系：
Figure QLYQS_11
其中，F为在所述功能梯度超材料结构一端施加的冲击载荷，上标表示梁段编号，m为元胞总数，y为梁沿Y轴方向上的位移，x为梁沿X轴方向上的位移，
Figure QLYQS_12
为梁截面相对于中心轴的转角，A为横截面积，E为材料杨氏模量，G为材料剪切模量，
Figure QLYQS_13
为横向剪切修正系数，J为截面惯性矩，l2m为编号为2m的变截面梁段长度，
Figure QLYQS_14
为偏微分符号。
3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，所述根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数，包括以下步骤：
引入无量纲参数，将所述波动方程改写成无量纲形式；
根据所述无量纲形式的波动方程，基于微分求积法，将每段梁离散成多个节点，功能梯度超材料结构的传递函数表示为：
Figure QLYQS_15
其中，T表示传递函数，
Figure QLYQS_16
为无量纲简谐激振力频率，
Figure QLYQS_17
为第i个元胞的变截面梁段长度，i为元胞编号，
Figure QLYQS_18
和
Figure QLYQS_19
为功能梯度超材料梁在简谐激励下两端最大位移幅值，n取1, 2, ..., 2m，m为元胞总数，N为每段梁沿着局部坐标轴x的总节点数。
4.如权利要求3所述的方法，其特征在于，所述衰减程度指标的表达式为：
Figure QLYQS_20
其中，
Figure QLYQS_21
和
Figure QLYQS_22
分别为期望频带的上、下边界频率，T表示传递函数，
Figure QLYQS_23
为无量纲简谐激振力频率，i为元胞编号，
Figure QLYQS_24
表示编号为2i的变截面梁段长度。
5.如权利要求1-4任一所述的方法，其特征在于，所述根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构，包括以下步骤：
根据所述衰减程度指标，构造优化目标函数；
将所述功能梯度超材料结构多个连续元胞变截面梁段长度选为优化变量；
设置约束条件；
设置遗传算法优化参数；
初始化种群，随机生成含N v个个体的种群，其中每个个体分别包括所述多个连续元胞变截面梁段长度；
根据所述优化目标函数，得到所述种群中每个个体的适应度；
依据种群中每个个体的适应度，利用遗传算法，迭代生成下一代个体；
当满足预设的遗传终止条件时，遗传终止，得到遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，并根据所述遗传终止时新生成个体所对应的变截面梁段长度，确定优化后的功能梯度超材料结构。
6.如权利要求5所述的方法，其特征在于，所述设置约束条件，包括以下步骤：
设置每个元胞长度保持不变，即a i =a 0，其中a i表示第i个元胞的长度，i=1, 2, ..., m,m为元胞总数，a 0表示每个元胞的固定长度；
设置m个元胞变截面梁段总长度不变，即
Figure QLYQS_25
，
Figure QLYQS_26
为第i个元胞的变截面梁段长度，
Figure QLYQS_27
为m个元胞变截面梁段总长度；
将每个优化变量变化范围设定为不低于0.9
Figure QLYQS_28
且不高于1.1
Figure QLYQS_29
，
Figure QLYQS_30
是所述m个元胞变截面梁段长度的平均值。
7.如权利要求5所述的方法，其特征在于，所述预设的遗传终止条件具体为：
当遗传代数达到停止代数gen或适应度优选值在规定进化代数内平均变化值在给定的精度范围
Figure QLYQS_31
内，则遗传终止。
8.一种功能梯度超材料结构优化系统，其特征在于，包括：
衰减程度指标设定模块，用于设计功能梯度超材料结构模型，所述功能梯度超材料结构模型包括多个元胞，每个所述元胞沿变截面梁段长度方向依次顺序连接，每个所述元胞包括均匀梁段和变截面梁段，所述均匀梁段和变截面梁段的宽度相同，所述均匀梁段的厚度固定，所述变截面梁段的厚度沿变截面梁段长度方向递减至变截面梁段截断厚度；基于微分求积法建立弯曲波在所述功能梯度超材料结构中的波动方程；根据所述波动方程，获取所述功能梯度超材料结构的传递函数；基于所述传递函数和所期望频带的上下边界频率，定义关于所述功能梯度超材料结构变截面梁段长度的衰减程度指标；
优化结构确定模块，用于根据所述衰减程度指标，利用遗传算法，对所述功能梯度超材料结构多个连续元胞的参数进行优化，确定优化后的功能梯度超材料结构。
9.一种功能梯度超材料结构，其特征在于，使用如权利要求1-7任一所述的功能梯度超材料结构优化方法得到，或通过如权利要求8所述的功能梯度超材料结构优化系统得到。
10.一种电子设备，其特征在于，包括：存储器、处理器及存储于存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现权利要求1-7任一所述的功能梯度超材料结构优化方法。
11.一种计算机存储介质，其特征在于，所述计算机存储介质中存储有计算机可执行指令，所述计算机可执行指令执行时实现权利要求1-7任一所述的功能梯度超材料结构优化方法。
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