CN116151079A - 基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法 - Google Patents

基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法 Download PDF

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CN116151079A CN202310223397.XA CN202310223397A CN116151079A CN 116151079 A CN116151079 A CN 116151079A CN 202310223397 A CN202310223397 A CN 202310223397A CN 116151079 A CN116151079 A CN 116151079A
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芮筱亭
黄开兴
张燕妮
周秦渤
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Abstract

本发明公开了一种基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法。基于多体系统传递矩阵法，建立主结构附加声学黑洞吸振器后组成的组合系统的总传递方程，由此求解得到其特征频率与稳态响应。该方法在计算声学黑洞动力吸振器的特征频率和稳态响应时具有计算速度快、适用性广的优点。

Description

基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法
技术领域
本发明涉及声学黑洞结构的动力学建模与分析领域，具体是一种基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振器的特征频率和稳态响应计算方法。
背景技术
使用动力吸振器作为附加减振装置是抑制结构不良振动的一种常用方法。近20年来，由于其紧凑、轻质和高能量集中的特性，声学黑洞结构在吸振领域得到了广泛的研究。关于声学黑洞结构的理论分析方法，有几何声学法、阻抗分析法、半解析法等，这些理论分析方法只适用于几何形状相对简单的声学黑洞结构，对于更复杂的声学黑洞结构的研究，则需借助有限元模拟或实验。因此仍然缺乏有效的理论计算方法来设计具有实际要求性能的声学黑洞动力吸振器。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振器动力学计算方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法，包括以下步骤：
(1)将声学黑洞动力吸振器作为主结构上的附加减振装置，二者构成组合系统；其中声学黑洞动力吸振器是一维声学黑洞结构，主结构采用梁结构形式；然后确定组合系统的各部分尺寸参数和材料参数；
(2)根据组合系统的结构形式将其拆分为各元件，对各元件进行编号，然后确定元件输入输出端的状态矢量；
(3)对多输入单输出元件推导表征其输入输出端状态矢量间关系的传递方程和表征其多个输入端状态矢量间关系的几何方程；对单输入单输出元件推导其传递方程；
(4)根据元件的传递方程及几何方程得到其输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e的递推方程；结合边界条件得到组合系统的特征方程和总传递方程，分别求解得到特征频率和稳态响应。
本发明与现有技术相比，其显著优点：1.相比于以往的理论分析方法，本发明的方法并不局限于一维声学黑洞结构的动力学问题，而是为具有各种结构部件和更复杂的声学黑洞结构的研究提供了一种通用方法。2.相比于有限元仿真，本发明的方法用低阶传递方程代替系统动力学方程，求解所涉及的矩阵阶次与系统自由度无关，计算速度更快，有利于声学黑洞结构的设计与优化。
附图说明
图1是带声学黑洞动力吸振器的主梁示意图。
图2是平面分叉多体系统。
图3是欧拉伯努利梁状态矢量方向定义图。
图4是带有阻尼层的声学黑洞结构的简化示意图。
图5是复合梁截面示意图。
图6是本发明的基于多体系统传递矩阵法的组合系统稳态响应计算过程图。
图7是传递矩阵法和有限元仿真稳态响应计算结果对比图。
具体实施方式
本发明所采取的技术方案是：确定声学黑洞动力吸振器和主结构的尺寸参数、材料参数；将组合系统拆分为各元件、各元件进行编号并确定元件状态矢量；推导各元件的传递方程和几何方程；组合系统总传递方程推导，并结合边界条件求解得到系统特征频率和稳态响应。
具体过程包括如下4个步骤：
(1)将声学黑洞动力吸振器作为主结构上的附加减振装置，其中声学黑洞动力吸振器是一维声学黑洞结构，主结构采用梁结构形式；确定组合系统各部分尺寸参数和材料参数；
(2)根据系统的结构形式将系统拆分为各元件、各元件进行编号并确定元件输入输出端的状态矢量；
(3)对多输入单输出元件推导表征其输入输出端状态矢量间关系的传递方程和表征其多个输入端状态矢量间关系的几何方程；对单输入单输出元件推导其传递方程；
(4)根据元件传递方程及几何方程得到其输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e的递推方程；然后结合边界条件得到系统特征方程和总传递方程，分别求解得到系统的特征频率和稳态响应。
所述步骤(1)中的尺寸参数包括声学黑洞均匀段长度L1、厚度h1，楔形段长度L2、截断厚度h0，阻尼层厚度hd，主梁长L、厚度h；材料参数包括铝的杨氏模量E1、密度ρ1、损耗因子η1，阻尼层的杨氏模量E2、密度ρ2、损耗因子η2。
所述步骤(2)中通过下述步骤实现：
(2a)在系统不同传递路径连接处采用无质量的虚拟单元作为连接元件，主梁和声学黑洞动力吸振器都采用欧拉伯努利梁模型；给各元件编号，组合系统被简化为一个多元件组成的分叉多体系统；
(2b)对于线性系统，定义元件j的广义位移和广义力状态矢量为
Figure BDA0004117632210000031
其中x、y分别表示x、y方向上的线位移；θz表示角位移；qx、qy和mz分别表示力和力矩，P表示输入端I或输出端O。相关模态坐标系中的状态矢量可以表示为
Figure BDA0004117632210000041
zj,p＝Zj,peiωt，ω为角频率。沿着传递方向，一个元件输出端状态矢量作为下一个元件输入端状态矢量。
所述步骤(3)，在多体系统传递矩阵法中，对任意多输入单输出元件列写的方程共分两种，分别为描述元件输入输出端状态矢量间关系的传递方程和描述元件不同输入端间运动学关系的几何方程，单输入单输出元件可视为多输入单输出元件的特殊情况。由以下步骤得到组合系统各元件的传递方程和几何方程：
(3a)对多输入单输出的无质量虚拟单元由其输入端和输出端的运动学和动力学方程和不同输入端的运动学方程分别得到其传递方程和几何方程：
N个不同输入端与单个输出端的运动学和动力学方程：
Figure BDA0004117632210000042
Figure BDA0004117632210000043
写成矩阵形式：
Figure BDA0004117632210000044
Figure BDA0004117632210000045
为描述元件j第k个输入端与输出端广义位移与广义力状态矢量间关系的传递矩阵；I3和03分别为3阶单位阵和3阶零矩阵。
不同输入端的运动学方程：
Figure BDA0004117632210000046
写成矩阵形式：
Figure BDA0004117632210000051
其中
Figure BDA0004117632210000052
Figure BDA0004117632210000053
为描述元件j第k个输入端与第1个输入端广义位移状态矢量间关系的几何矩阵。
(3b)对单输入单输出的梁元件，可由其抗弯刚度、线密度求其传递方程：
对附加阻尼层的声学黑洞单元，将其均分为n段均匀梁，然后利用复杨氏模量法得到均匀梁与阻尼层组成的复合梁的等效抗弯刚度：
Figure BDA0004117632210000054
同时考虑阻尼层附加质量的影响得到复合梁等效线密度：
Figure BDA0004117632210000055
式中，EI和EiIi分别为复合梁和均匀梁的抗弯刚度；η为复合梁的材料损耗系数；ηi,Ei,hi,ρi,Ai和ηl,El,hl,ρl,Al分别是均匀梁和阻尼层的材料损耗因子、杨氏模量、厚度、密度和横截面积；e＝El/Ei为复合梁和均匀梁的杨氏模量比，H＝hl/hi为复合梁和均匀梁的厚度比。
考虑梁的横向弯曲和纵向刚体运动，声学黑洞单元的传递矩阵可由以下获得：
Zn+1,n+2＝Un+1Un...Ui...U2 U1 Z0,1＝UZ0,1 (6)
式中Z0,1、...、Zn+1,n+2表示每个连接点的状态矢量，Ui(i＝1,2,...n+1)为第i个长度为l的复合梁的传递矩阵：
Figure BDA0004117632210000061
Figure BDA0004117632210000062
对于没有附加阻尼层的梁元件，将分段n设为1，阻尼层厚度hl设为0既可得到其传递方程。
所述步骤(4)，在Riccati传递矩阵法中，为了求解系统特征频率与稳态响应，首先要得到各元件输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e的递推方程，然后结合边界条件求解特征频率与稳态响应。通过以下步骤实现：
(4a)元件输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e递推方程推导：
多输入单输出元件j的状态矢量之间的关系如下：
Figure BDA0004117632210000063
Figure BDA0004117632210000064
其中fj是载荷函数列阵。Riccati传递矩阵法将元件的状态矢量重新划分。式(7)、(8)可重写为：
Figure BDA0004117632210000065
Figure BDA0004117632210000066
其中Za、Zb均为m/2×1的列阵，在系统的边界，Za包含m/2个零元素，Zb包含剩余的m/2个未知元素，中间连接点的Za、Zb可以任意划分。对于多输入单输出元件，其第k个输入的状态矢量的Riccati变换表示为：
Figure BDA0004117632210000071
式(11)代入等式(9)、(10)得到多输入单输出元件的输出端状态矢量的Riccati变换形式：
Figure BDA0004117632210000072
其中：
Figure BDA0004117632210000073
Figure BDA0004117632210000074
Figure BDA0004117632210000075
其中Ea，Eb，ea，eb满足：
Figure BDA0004117632210000076
Figure BDA0004117632210000077
Figure BDA0004117632210000078
式(13)是多输入单输出元件的S和e的递推方程，单输入单输出元件的S和e的递推方程可以通过去除多余输入和几何方程项来简化，结果如下式：
Figure BDA0004117632210000081
(4b)稳态响应求解：
根据状态矢量重新划分的原则和系统边界条件，系统的每个输入对应有Za＝0、Zb≠0，则在系统输入点有S＝0、e＝0。系统的每个中间连接点和输出端的S和e可以沿系统传递路径从递推方程(13)、(20)获得。然后将系统输出端的边界条件代入方程(12)求解系统输出端状态矢量中的未知变量，在获得系统输出端状态矢量后，系统的任一连接点的状态矢量可由方程(9)、(11)、(17)、(19)逆着传递路径递推获得，由此可得到系统任一点的稳态响应。
(4c)特征频率求解：
通过去除(4a)中的外部激励，可得到分叉多体系统的特征方程。但如果直接采用二分法等基于符号变换的求根方法，极点会被误认为是方程的根。为解决这个问题，将(4b)中
Figure BDA0004117632210000082
记为/>
Figure BDA0004117632210000083
Figure BDA0004117632210000084
记为/>
Figure BDA0004117632210000085
获得分叉多体系统特征方程的一般形式：
Figure BDA0004117632210000086
/>
其中n是系统输出端元件编号，|Γj|的表达式如下：
Figure BDA0004117632210000087
Figure BDA0004117632210000088
排除了|Sn,0|中分母为0的影响，避免了将极点误认为根的情况。
下面结合说明书附图通过如下仿真实验进一步说明。
1.确定各部分结构参数和材料参数：
本发明以如图1所示的一维声学黑洞吸振器和主梁组合系统为例加以说明。声学黑洞单元上的涂层是粘弹性材料，系统其余部分是铝，各部分材料参数和尺寸参数如表1。
Figure BDA0004117632210000091
表1：组合系统的材料和尺寸参数
2.将系统拆分为各元件、各元件进行编号并确定元件输入输出端的状态矢量：
声学黑洞的尖端和主梁自由端作为系统输入，主梁固定端作为系统输出。无质量虚拟单元3是两条不同传递路径之间的连接元件。考虑到低频振动，主梁、声学黑洞动力吸振器均采用欧拉伯努利梁模型。该组合系统可简化为图2所示的包含5个元件的分叉多体系统，图2中xj-yj表示元件j所处的局部惯性坐标系，x-y为系统主惯性坐标系。梁元件在各自局部惯性坐标系中的状态矢量方向定义如图3。
3.根据各元件的动力学与运动学方程推导其传递方程和几何方程：
(3a)对于附加阻尼层的声学黑洞单元，可以将其简化为n个均匀梁相连，如图4，对于每一段附加阻尼层的复合梁，如图5，其等效抗弯强度和线密度可由式(4)、(5)得到，因此声学黑洞单元即元件1在坐标系x1-y1中的传递矩阵
Figure BDA0004117632210000092
可由式(6)得到。将分段n设为1，阻尼层厚度设为0既可得到其余不含阻尼层的均匀梁元件2、4、5在各自局部惯性坐标系xj-yj(j＝2,4,5)中的传递矩阵/>
Figure BDA0004117632210000093
然后得到系统主惯性坐标系中的上述元件的传递方程：/>
Figure BDA0004117632210000101
其中Aj为局部惯性坐标系xj-yj到主惯性坐标系x-y的坐标转换矩阵。
(3b)元件3的传递矩阵和几何方程可由式(1)、(2)得到。
4.各元件输入输出端的S、e递推方程推导，结合边界条件得到系统特征方程和总传递方程，分别求解得到系统特征频率和稳态响应：
(4a)将3中得到的各元件传递方程和几何方程代入式(7)～(12)可得到各元件输入输出端的S、e递推方程(13)或(20)，之后将边界条件S1,I＝0、e1,I＝0、S4,I＝0、e4,I＝0代入各元件的递推方程既可沿传递路径依次得到系统每个连接点的S和e，然后将系统输出端的边界条件Za,5,O代入方程(12)求解系统输出端状态矢量中的未知变量Zb,5,O，然后将系统输出端状态矢量代入方程(9)、(11)、(17)、(19)既可递推得系统任意连接点的状态矢量，整个递推过程如图6。
(4b)去掉步骤(4a)中的载荷相关列阵，由式(21)、(22)得到组合系统的特征方程：
Figure BDA0004117632210000102
然后使用二分法或递归特征值搜索算法等可求解系统特征频率。
5.传递矩阵法验证
为了证明传递矩阵法计算的正确性和快速性，还在COMSOL固体力学模块中建立了图1所示的组合系统的二维有限元模型，随着网格密度的逐渐增加，当系统前12阶特征频率的误差都在1％以内时，达到收敛。
(5a)首先，分别使用传递矩阵法(MSTMM)和有限元仿真(FEM)计算系统的特征频率，结果如表2所示，其中n是声学黑洞单元楔形部分的段数，t是计算时间，σ＝(fMSTMM-fFEM)/fFEM表示相对误差。
Figure BDA0004117632210000111
表2：传递矩阵法和有限元仿真特征频率计算结果对比
(5b)然后，比较由两种方法计算的稳态响应。为了保证两种方法计算结果的收敛性，将声学黑洞单元的楔形段分成200段，计算频率间隔取0.1Hz。分别利用MSTMM和FEM计算系统的激励点处的速度导纳(Mobility＝20log jωY/F)的稳态响应，结果如图7。

Claims (5)

1.一种基于多体系统传递矩阵法的声学黑洞动力吸振计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)将声学黑洞动力吸振器作为主结构上的附加减振装置，二者构成组合系统；其中声学黑洞动力吸振器是一维声学黑洞结构，主结构采用梁结构形式；然后确定组合系统的各部分尺寸参数和材料参数；
(2)根据组合系统的结构形式将其拆分为各元件，对各元件进行编号，然后确定元件输入输出端的状态矢量；
(3)对多输入单输出元件推导表征其输入输出端状态矢量间关系的传递方程和表征其多个输入端状态矢量间关系的几何方程；对单输入单输出元件推导其传递方程；
(4)根据元件的传递方程及几何方程得到其输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e的递推方程；结合边界条件得到组合系统的特征方程和总传递方程，分别求解得到特征频率和稳态响应。
2.根据权利要求1所述的计算方法，其特征在于：所述步骤(1)中的尺寸参数包括声学黑洞均匀段长度L1、厚度h1，楔形段长度L2、截断厚度h0，阻尼层厚度hd，主梁长L、厚度h；材料参数包括铝的杨氏模量E1、密度ρ1、损耗因子η1，阻尼层的杨氏模量E2、密度ρ2、损耗因子η2。
3.根据权利要求1所述的计算方法，其特征在于：所述步骤(2)中通过下述步骤实现：
(2a)确定组合系统输入输出端，在系统不同传递路径连接处采用无质量的虚拟单元作为连接元件，主梁和声学黑洞动力吸振器都采用欧拉伯努利梁模型；给各元件编号，组合系统被简化为一个多元件组成的分叉多体系统；
(2b)对于线性系统，定义元件j的广义位移和广义力状态矢量为
Figure FDA0004117632190000021
其中x、y分别表示x、y方向上的线位移；θz表示角位移；qx、qy和mz分别表示力和力矩，P表示输入端I或输出端O；相关模态坐标系中的状态矢量表示为
Figure FDA0004117632190000022
ω为角频率；沿着传递方向，一个元件的输出端状态矢量作为下一个元件的输入端状态矢量。
4.根据权利要求1所述的计算方法，其特征在于：所述步骤(3)中，由以下步骤得到组合系统各元件的传递方程和几何方程：
(3a)对多输入单输出的无质量虚拟单元，由其不同输入端与输出端的运动学和动力学方程、以及不同输入端的运动学方程分别得到其传递方程和几何方程：
N个不同输入端与单个输出端的运动学和动力学方程：
Figure FDA0004117632190000023
Figure FDA0004117632190000024
写成矩阵形式：
Figure FDA0004117632190000025
Figure FDA0004117632190000026
为描述元件j第k个输入端与输出端广义位移与广义力状态矢量间关系的传递矩阵；I3和03分别为3阶单位阵和3阶零矩阵；
不同输入端的运动学方程：
Figure FDA0004117632190000031
写成矩阵形式：
Figure FDA0004117632190000032
其中
Figure FDA0004117632190000033
Figure FDA0004117632190000034
为描述元件j第k个输入端与第1个输入端广义位移状态矢量间关系的几何矩阵；
(3b)对单输入单输出的梁元件，可由其抗弯刚度、线密度求其传递方程：
对附加阻尼层的声学黑洞单元，将其均分为n段均匀梁，利用复杨氏模量法得到均匀梁与阻尼层组成的复合梁的等效抗弯刚度：
Figure FDA0004117632190000035
复合梁的等效线密度：
Figure FDA0004117632190000036
式中，EI和EiIi分别为复合梁和均匀梁的抗弯刚度；η为复合梁的材料损耗系数；ηi,Ei,hi,ρi,Ai和ηl,El,hl,ρl,Al分别是均匀梁和阻尼层的材料损耗因子、杨氏模量、厚度、密度和横截面积；e＝El/Ei为复合梁和均匀梁的杨氏模量比，H＝hl/hi为复合梁和均匀梁的厚度比；
考虑梁的横向弯曲和纵向刚体运动，声学黑洞单元的传递矩阵由以下获得：
Zn+1,n+2＝Un+1 Un...Ui...U2 U1 Z0,1＝UZ0,1 (6)
式中Z0,1、...、Zn+1,n+2表示每个连接点的状态矢量，Ui(i＝1,2,...n+1)为第i个长度为l的复合梁的传递矩阵：
Figure FDA0004117632190000041
Figure FDA0004117632190000042
对没有附加阻尼层的梁元件，将式(4)、(5)、(6)中分段n设为1，阻尼层厚度hl设为0既可得到其传递方程。
5.根据权利要求1所述的计算方法，其特征在于：所述步骤(4)通过以下步骤实现：
(4a)元件输入输出端的Riccati传递矩阵S和载荷函数相关列阵e递推方程推导：
多输入单输出元件j的状态矢量之间的关系如下：
Figure FDA0004117632190000043
Figure FDA0004117632190000044
其中fj是载荷函数列阵；将元件的状态矢量重新划分，式(7)、(8)可写为：
Figure FDA0004117632190000051
Figure FDA0004117632190000052
其中Za、Zb均为m/2×1的列阵，Taa、Tab、Tba、Tbb、Ha和Hb分别是传递矩阵
Figure FDA0004117632190000053
和几何矩阵
Figure FDA0004117632190000054
中的元素重新排列后形成的子矩阵，fa、fb分别是载荷函数列阵f中与Za、Zb对应的m/2个元素组成的列阵。元件第k个输入端的状态矢量的Riccati变换为：
Figure FDA0004117632190000055
式(11)代入等式(9)、(10)得到多输入单输出元件的输出端状态矢量的Riccati变换形式：
Figure FDA0004117632190000056
其中：
Figure FDA0004117632190000057
Figure FDA0004117632190000058
Figure FDA0004117632190000059
Ea，Eb，ea，eb满足：
Figure FDA00041176321900000510
Figure FDA00041176321900000511
Figure FDA0004117632190000061
式(13)是多输入单输出元件的S和e的递推方程，单输入单输出元件的S和e的递推方程可通过去除多余输入和几何方程项来简化，结果如下式：
Figure FDA0004117632190000062
(4b)稳态响应求解：
根据状态矢量重新划分的原则和系统边界条件，在系统输入点有S＝0、e＝0；系统的每个中间连接点和输出端的S和e可以沿系统传递路径从递推方程(13)、(20)获得；然后将系统输出端的边界条件代入方程(12)求解系统输出端状态矢量中的未知变量；在获得系统输出端状态矢量后，系统的任一连接点的状态矢量可由方程(9)、(11)、(17)、(19)逆着传递路径递推获得，由此得到系统任一点的稳态响应；
(4c)特征频率求解：
通过去除(4a)中的外部激励，可得到分叉多体系统的特征方程，将(4b)中
Figure FDA0004117632190000063
记为
Figure FDA0004117632190000064
记为/>
Figure FDA0004117632190000065
分叉多体系统特征方程的一般形式为：
Figure FDA0004117632190000066
其中n是系统输出端元件编号，|Γj|的表达式如下：
Figure FDA0004117632190000067
/>
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