CN110837676A - 一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，包括以下过程：基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模，获取舵系统的动力学模型；根据舵系统的动力学模型确定考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程；根据舵系统中各元件的传递矩阵和传递方程，确定系统的总传递矩阵和总传递方程；求解总传递方程得到舵系统的振动特性。本发明充分考虑舵系统的结构细节，计算效率高并且仿真精度高，具有一定实用性；同时，为工程上类似的多刚柔耦合体系统动力学问题的快速建模与仿真提供参考。

Description

一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法

技术领域

本发明属于多体系统动力学技术领域，具体涉及一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法。

背景技术

工程实际中，如水翼艇的水翼，潜艇中的升降舵、尾舵等船舶构件作为复杂的多刚柔体动力学系统，结构参数设计不当时，在流场中高速运动会产生颤振现象导致结构破坏，或发生持续的弱振动现象诱发水噪声，降低水下航行器的隐蔽性。而对这些结构系统进行流固耦合仿真的第一步是高效准确的获取结构系统的振动特性。通常力学方法在计算多刚柔耦合体系统振动特性时，需要建立系统总体动力学方程，不仅需要解决涉及的矩阵阶次高计算工作量大的困难，还可能面临计算“病态”问题。因此寻求水下航行器舵系统等复杂多刚柔耦合体系统动力学快速建模和振动特性快速计算方法，是目前工程上解决大系统的流固耦合问题的迫切需要。

对于复杂多刚柔体的水下航行器舵系统，部分学者采用有限元法将舵系统的舵叶处理成柔性系统，将舵系统处理为单个柔性舵叶加一根扭簧的简化模型，计算出系统的振动模态，再结合势流理论或计算流体力学CFD理论，计算水翼系统的水弹性问题。前人很少从整个舵系统的角度出发，建立整个舵系统的动力学模型，考虑各部件的结构参数以及连接刚度对系统振动特性的影响。且采用有限元法对简化系统进行建模，依然单元数过多、矩阵阶次高、计算效率低且理论背景复杂、推导过程繁琐。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提出了一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，实现水下航行器舵系统等复杂多刚柔耦合体系统动力学快速建模和振动特性快速计算。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，包括以下过程：

基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模，获取舵系统的动力学模型；

根据舵系统的动力学模型确定考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程；

根据舵系统中各元件的传递矩阵和传递方程，确定系统的总传递矩阵和总传递方程；

求解总传递方程得到舵系统的振动特性。

进一步的，所述基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模包括：

根据舵系统的结构，将舵叶处理为7段考虑轴向振动的、不同结构参数的弯扭耦合梁；柱铰处理为铰元件；球铰以及考虑导向装置与水下航行器的连接刚度，在球铰元件中添加了x方向的弹簧刚度；舵轴处理为可以考虑横向、轴向振动以及扭转振动的非耦合梁；轴承与轴承套之间的接触刚度以及定位环与舵叶之间的接触刚度用弹簧铰表示；轴承座与水下航行器的连接刚度用弹簧表示；拉杆处理为可以考虑x轴方向、轴向振动的非耦合梁；传动杆在密封装置中只能上下运动，因此处理为杆元件；舵柄处理为刚体；液压缸提供的是液压弹簧刚度，同时考虑到密封装置与水下航行器之间的连接刚度，液压缸处理为一个弹簧铰；液压缸与水下航行器之间的连接刚度处理为一个弹簧铰。

进一步的，所述基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模包括：

根据多体系统传递矩阵法，舵系统所有元件的状态矢量统一为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T，X为沿坐标轴x位移对应的模态坐标列阵，Y为沿坐标轴y位移对应的模态坐标列阵，Θ_z为该点处相对于平衡位置相对于在z轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_z为沿坐标轴z内力矩对应的模态坐标列阵，Q_x为沿坐标轴x内力对应的模态坐标列阵，Q_y为沿坐标轴y内力对应的模态坐标列阵，Θ_x为该点处相对于平衡位置相对于x轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_x为沿坐标轴x内力矩对应的模态坐标列阵。

进一步的，所述根据舵系统的动力学模型确定考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程包括：

建立弯扭耦合梁的振动微分方程：

式中，m为单位长度质量，I_α为单位长度转动惯量，EI为弯曲刚度，GJ为扭转刚度，x为舵叶轴向位移，y为舵叶弯曲方向位移，θ_x为扭转角度，t为时间，b为舵叶弦长的一半，x_α质心到弹性轴的距离，且当质心在Z正方向，x_α为正；

由模态坐标转换，令

y(x,t)＝Y(x)sinωt,θ_x(x,t)＝Θ_x(x)sinωt (2)

式中，ω为角速度；

将(2)带入(1)中，(1)式变为：

消去式(3)中的Y(x)或者Θ_x(x)，得到：

式中，

W＝Y或者Θ (5)

引入无量纲长度：

ξ＝x/L (6)

式(6)中L为划分后单元弯扭耦合梁长度；

式(4)可改写成无量纲形式：

(D⁶+aD⁴-bD²-abc)W＝0 (7)

其中，

六阶微分方程(7)的通解可以表示为：

W(ξ)＝C₁coshαξ+C₂sinhαξ+C₃cosβξ+C₄sinβξ+C₅cosγξ+C₆sinγξ (9)

式中C₁，C₂……C₆是常数，并且

q＝b+a²/3

式(9)中的W(ξ)代表弯曲位移Y和扭转角度Θ_x在不同常数下的解；因此，

Y(ξ)＝A₁coshαξ+A₂sinhαξ+A₃cosβξ+A₄sinβξ+A₅cosγξ+A₆sinγξ (11)

Θ_x(ξ)＝B₁coshαξ+B₂sinhαξ+B₃cosβξ+B₄sinβξ+B₅cosγξ+B₆sinγξ (12)

式中A₁，A₂……A₆和B₁，B₂……B₆是两组不同的常数；

将式(11)和(12)代入式(3)可以确定常数有如下规律：

式中，

从式(11)、(12)可以得到弯曲角度Θ_z(ξ)，弯矩M_z(ξ)，剪切力Q_y(ξ)和扭矩M_x(ξ)的表达式：

因此可得

即Z(ξ)＝B(ξ)·a,a＝[A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆]^T，其中Z(ξ)为状态矢量，即方程(19)等式左边项，B(ξ)代表方程(19)等式右边的第一个矩阵；令ξ＝0，且根据方程(19)和多体系统传递矩阵法可将方程(19)写成Z_I＝B(0)·a形式；令ξ＝1得到Z_O＝B(1)·a＝B(1)B(0)^-1Z_I＝D^CBZ_I。其中Z_O代表模态坐标下元件输出端的状态矢量，Z_I代表模态坐标下元件输入端的状态矢量；

所以弯扭耦合梁的传递矩阵为：

D^CB＝B(1)·B^-1(0) (20)

其中，

考虑弯扭耦合梁的轴向振动，将状态矢量写为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T；因此得到可以考虑弯曲扭转耦合振动、轴向振动的耦合梁新的传递矩阵：

式中，

E为舵叶的弹性模量，ω为旋转角速度，ρ为流体密度，l和A是每一段舵叶的长度和截面积，

为矩阵D^CB第i行第j列的元素。

进一步的，所述多系统的传递方程为：

-Z_19,0+T_1-19Z_1,0+T_27-19Z_27,0+T_29-19Z_29,0+T_25-19Z_25,0+T_31-19Z_31,0＝0 (25)

式中T_j-19的下标j-19表示传递方向中从元件j到元件19的传递分支。

进一步的，所述系统的总传递方程包括：

舵系统总传递方程如下：

U_all|_24×48Z_all|_48×1＝0 (30)

式中，

其中，O代表零距阵。

与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：

(1)以往前人研究舵系统动力学问题大多是将舵系统简化为单个舵叶加一根扭簧的形式来研究，没有考虑系统之间各部件的质量，刚度，以及连接关系对舵叶振动特性的影响。本方法从全系统的角度进行建模仿真并研究了舵系统的部分关键参数对舵系统振动特性的影响规律，预测结果更贴近实际。

(2)本方法在考虑了舵叶弯曲扭转耦合振动的基础上，进一步考虑了舵叶的轴向振动，建立了考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁模型，使模型更加精确。

(3)本方法具有建模快速简单、无需建立系统总体动力学方程、矩阵阶次低、计算速度快且可以方便考虑系统各部件对舵系统振动特性的影响等优点，并且能快速计算出结果，研究这些参数对舵系统的振动特性的影响，为工程上类似的多刚柔耦合体系统动力学问题的快速建模与仿真提供参考。

附图说明

附图1是本发明方法流程图；

附图2是某水下航行器舵系统的结构示意图；

附图3是舵系统的简化动力学模型示意图；

附图4是舵叶的弯扭耦合梁模型示意图；

附图5是舵叶圆频率计算结果示意图：(a)是舵叶内部不含水情况下舵系统的圆频率计算结果，(b)是舵叶内部充满水情况下舵系统的圆频率计算结果；

附图6是舵叶内部充满水情况下舵系统前四阶X方向振型示意图；(a)是第一阶振型；(b)是第二阶振型；(c)是第三阶振型；(d)是第四阶振型；

附图7舵叶内部充满水情况下是舵系统前四阶Y,Θ_x方向振型示意图：(a)是第一阶振型；(b)是第二阶振型；(c)是第三阶振型；(d)是第四阶振型。

附图标记：1、舵叶；2、轴承；3、拉杆；4、导向装置；5、传动杆；6、密封装置；7、液压缸。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

现有技术中，芮筱亭院士及其团队建立了多体系统动力学新方法——多体系统传递矩阵法(MSTMM)。该方法先后实现了线性多体系统的固有振动特性和动力响应及非线性、时变、大运动、受控、一般多体系统动力学研究，无需系统总体动力学方程，程式化程度高、系统矩阵阶次低、可以实现复杂系统的快速建模与快速计算。为了实现水下航行器舵系统等复杂多刚柔耦合体系统动力学快速建模和振动特性，本发明采用MSTMM首先推导了考虑轴向振动的弯扭耦合梁模型，然后对整个舵系统动力学进行快速建模和仿真，本发明的建模和仿真方法为工程上类似的多刚柔体系统动力学问题的快速建模和仿真提供参考。

本发明的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，参见图1所示，具体包括以下过程：

步骤一：基于MSTMM对整个舵系统进行建模获取其动力学模型。

以某水下航行器舵系统为例加以说明。现有的某水下航行器舵系统的几何模型示意图如图2所示，主要由舵叶1、舵轴、轴承2、舵柄、拉杆3、传动杆5、球铰、柱铰、液压缸7组成。该舵系统被称为围壳舵，其轴承2、导向装置4、密封装置6、液压缸7与该航行器的围壳直接相连，固定在航行器上。球铰允许拉杆3上下运动带动舵柄转动，舵柄与舵轴固结在一起，因此也带动舵轴转动。传动杆5穿过密封装置，只能上下运动。在轴承的两端以及舵叶之间有定位环装置，以确保舵轴没有左右串动。当航行器以一定速度在水流中运动时，舵系统的两片舵叶在水流作用下会发生流固耦合振动。

考虑到水下航行器的舵系统是一个复杂的多刚柔体系统，对舵系统模型做出一定假设，忽略影响舵系统振动特性的次要部分。从整个舵系统的角度出发，将舵系统处理为考虑各关键部件结构参数及连接刚度的简化模型，以舵叶展向为x轴，以传动杆方向为y轴，以x轴、y轴交点为原点，z轴为经过原点垂直于xy平面的一条线。

首先对舵系统做出简化，由于水下航行器舵系统的舵叶是位于水下，舵叶表面有细孔，水流可以通过细孔流进流出，假设舵叶内部的水为附加质量，舵叶应变很小，应力应变为线性关系；舵系统的轴承座、导向装置、密封装置、液压缸都是螺栓连接在水下航行器上。水下航行器质量远远大于舵系统，因此假设水下航行器为固定边界。螺栓连接刚度用弹簧表示。

考虑舵系统每个部件之间的相互作用，基于MSTMM对整个舵系统进行建模，动力学模型如图3所示。根据舵系统的结构，将舵叶处理为7段考虑轴向振动的、不同结构参数的弯扭耦合梁(参见图3中左侧舵叶为元件1～7，右侧舵叶为元件13～19)；柱铰(元件20)处理为铰元件；球铰以及考虑导向装置与水下航行器的连接刚度，因此在球铰元件(元件22)中添加了x方向的弹簧刚度；舵轴(元件9、11)处理为可以考虑横向、轴向振动以及扭转振动的非耦合梁；轴承与轴承套之间的接触刚度以及定位环与舵叶之间的接触刚度用弹簧铰表示(元件26、28、30)；轴承座与水下航行器的连接刚度用弹簧表示(元件27、29、31)；拉杆处理为可以考虑x轴方向、轴向振动的非耦合梁(元件21)；传动杆在密封装置中只能上下运动，因此处理为杆元件(元件23)；舵柄处理为刚体(元件10)；液压缸提供的是液压弹簧刚度，同时考虑到密封装置与水下航行器之间的连接刚度，液压缸处理为一个弹簧铰(元件24)；液压缸与水下航行器之间的连接刚度处理为一个弹簧铰(元件25)。

根据MSTMM，传递模型传递方向是从图3中几何模型左端点和下端点到右端点，所有元件的状态矢量统一为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T，X为沿坐标轴x位移对应的模态坐标列阵，Y为沿坐标轴y位移对应的模态坐标列阵，Θ_z为该点处相对于平衡位置相对于在z轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_z为沿坐标轴z内力矩对应的模态坐标列阵，Q_x为沿坐标轴x内力对应的模态坐标列阵，Q_y为沿坐标轴y内力对应的模态坐标列阵，Θ_x为该点处相对于平衡位置相对于x轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_x为沿坐标轴x内力矩对应的模态坐标列阵。

步骤二：建立同时考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程。

如图4所示为某段等截面舵叶的弯扭耦合梁模型，该段舵叶的长度为L，x_α是质心到弹性轴的距离，质心在Z轴正方向，则x_α为正。根据图4推导舵叶弯扭耦合梁传递矩阵，建立弯扭耦合梁的振动微分方程：

式中，m为单位长度质量，I_α为单位长度转动惯量，EI为弯曲刚度，GJ为扭转刚度，x为舵叶轴向位移，y为舵叶弯曲方向位移，θ_x为扭转角度，t为时间，b为舵叶弦长的一半，x_α质心到弹性轴的距离，且当质心在Z正方向，x_α为正。

由模态坐标转换，令

y(x,t)＝Y(x)sinωt,θ_x(x,t)＝Θ_x(x)sinωt (2)

式中，ω为角速度。

将(2)带入(1)中，(1)式变为：

消去式(3)中的Y(x)或者Θ_x(x)，得到：

式中，

W＝Y或者Θ (5)

引入无量纲长度：

ξ＝x/L (6)

式(6)中L为划分后单元弯扭耦合梁长度。

式(4)可改写成无量纲形式：

(D⁶+aD⁴-bD²-abc)W＝0 (7)

其中，

六阶微分方程(7)的通解可以表示为：

W(ξ)＝C₁coshαξ+C₂sinhαξ+C₃cosβξ+C₄sinβξ+C₅cosγξ+C₆sinγξ (9)

式中C₁，C₂……C₆是常数，并且

q＝b+a²/3

式(9)中的W(ξ)代表弯曲位移Y和扭转角度Θ_x在不同常数下的解。因此，

Y(ξ)＝A₁coshαξ+A₂sinhαξ+A₃cosβξ+A₄sinβξ+A₅cosγξ+A₆sinγξ (11)

Θ_x(ξ)＝B₁coshαξ+B₂sinhαξ+B₃cosβξ+B₄sinβξ+B₅cosγξ+B₆sinγξ (12)

式中A₁，A₂……A₆和B₁，B₂……B₆是两组不同的常数。

将式(11)和(12)代入式(3)可以确定常数有如下规律：

式中，

从式(11)、(12)可以得到弯曲角度Θ_z(ξ)，弯矩M_z(ξ)，剪切力Q_y(ξ)和扭矩M_x(ξ)的表达式：

因此可得

即Z(ξ)＝B(ξ)·a,a＝[A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆]^T，其中Z(ξ)为状态矢量，即方程(19)等式左边项，B(ξ)代表方程(19)等式右边的第一个矩阵。令ξ＝0，且根据方程(19)和多体系统传递矩阵法可将方程(19)写成Z_I＝B(0)·a形式。令ξ＝1得到Z_O＝B(1)·a＝B(1)B(0)^-1Z_I＝D^CBZ_I。其中Z_O代表模态坐标下元件输出端的状态矢量，Z_I代表模态坐标下元件输入端的状态矢量。

所以弯扭耦合梁的传递矩阵为：

D^CB＝B(1)·B^-1(0) (20)

其中，

考虑弯扭耦合梁的轴向振动，将状态矢量写为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T。因此得到可以考虑弯曲扭转耦合振动、轴向振动的耦合梁新的传递矩阵：

式中，

E为舵叶的弹性模量，ω为旋转角速度，ρ为流体密度，l和A是每一段舵叶的长度和截面积，

为矩阵D^CB第i行第j列的元素。

步骤三：建立整个舵系统的传递方程。

根据多体系统传递矩阵法对系统拓扑结构的定义，推导舵系统的传递方程：

式中，U_i,j舵系统元件i到元件j的传递矩阵，Z_i,j代表模态坐标下舵系统元件i到元件j输入端节点的状态矢量,并定义：

令，

因此，式(22)可以写为：

-Z_19,0+T_1-19Z_1,0+T_27-19Z_27,0+T_29-19Z_29,0+T_25-19Z_25,0+T_31-19Z_31,0＝0 (25)

式中T_j-19的下标j-19表示传递方向中从元件j到元件19的传递分支。

舵系统的几何方程为：

式中：G_k-l的下标k-l表示几何方程从该元件k到元件l的传递分支。

步骤四：确定舵系统的边界条件，将边界条件代入舵系统总传递方程可得到系统特征方程，求解舵系统动力学模型，得到舵系统的固有频率和振型，即求解舵系统的固有振动特性。

根据式(22～29)可以写出舵系统总传递方程如下：

U_all|_24×48Z_all|_48×1＝0 (30)

式中，

其中，O代表零距阵。

边界条件为：

式中，状态矢量Z_i,0中为0处代表相应的端点i的某状态值可确定为0。

总传递矩阵只与系统的结构参数和固有频率有关，对于实际的线性振动系统，式(30)必有非零解，即可求出舵系统固有频率，然后求解对应于固有频率的系统边界点状态矢量Z_all，进而通过元件传递方程得到系统全部联接点的状态矢量，即为系统的振型。

通过该方法可以快速计算系统每个部件的参数对舵系统整机振动特性，即振型和频率的影响。

求解模型，得到舵叶圆频率计算结果如图5所示，图5(a)图为舵叶中不含水条件下的仿真结果，图5(b)图舵叶内部充满水条件下的仿真结果。图中横坐标为圆频率，纵坐标表示|Δ|值的大小，当|Δ|值接近于0时即可以求出圆频率。图中显示的竖线即搜根过程，每条竖线下对应的就是该阶模态的圆频率。

图6是舵叶内部充满水情况下舵系统前四阶X方向振型示意图；(a)是第一阶振型；(b)是第二阶振型；(c)是第三阶振型；(d)是第四阶振型；此图表明，舵系统前四阶振型在X方向上没有任何振动。附图7舵叶内部充满水情况下是舵系统前四阶Y,Θ_x方向振型示意图：(a)是第一阶振型；(b)是第二阶振型；(c)是第三阶振型；(d)是第四阶振型；从图中可以看出，舵系统的第一、三阶为对称模态，第二、四阶为反对称模态。第二、四反对称模态中看到，只有舵叶和舵轴这条线有振型，而液压缸到舵柄这条线振型为0，说明第二、四阶模态是舵系统的局部模态。局部模态对系统的整体动力学响应的贡献可以忽略。

同样，本方法预测具有弯扭耦合梁的多刚柔耦合体系统动力学问题时，只需修改部分传递矩阵和传递方程即可。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，包括以下过程：

基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模，获取舵系统的动力学模型；

根据舵系统的动力学模型确定考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程；

根据舵系统中各元件的传递矩阵和传递方程，确定系统的总传递矩阵和总传递方程；

求解总传递方程得到舵系统的振动特性。

2.根据权利要求1所述的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，所述基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模包括：

根据舵系统的结构，将舵叶处理为7段考虑轴向振动的、不同结构参数的弯扭耦合梁；柱铰处理为铰元件；球铰以及考虑导向装置与水下航行器的连接刚度，在球铰元件中添加了x方向的弹簧刚度；舵轴处理为可以考虑横向、轴向振动以及扭转振动的非耦合梁；轴承与轴承套之间的接触刚度以及定位环与舵叶之间的接触刚度用弹簧铰表示；轴承座与水下航行器的连接刚度用弹簧表示；拉杆处理为可以考虑x轴方向、轴向振动的非耦合梁；传动杆在密封装置中只能上下运动，因此处理为杆元件；舵柄处理为刚体；液压缸提供的是液压弹簧刚度，同时考虑到密封装置与水下航行器之间的连接刚度，液压缸处理为一个弹簧铰；液压缸与水下航行器之间的连接刚度处理为一个弹簧铰。

3.根据权利要求1所述的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，所述基于多体系统传递矩阵法对舵系统进行建模包括：

根据多体系统传递矩阵法，舵系统所有元件的状态矢量统一为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T，X为沿坐标轴x位移对应的模态坐标列阵，Y为沿坐标轴y位移对应的模态坐标列阵，Θ_z为该点处相对于平衡位置相对于在z轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_z为沿坐标轴z内力矩对应的模态坐标列阵，Q_x为沿坐标轴x内力对应的模态坐标列阵，Q_y为沿坐标轴y内力对应的模态坐标列阵，Θ_x为该点处相对于平衡位置相对于x轴的角位移对应的模态坐标列阵，M_x为沿坐标轴x内力矩对应的模态坐标列阵。

4.根据权利要求1所述的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，所述根据舵系统的动力学模型确定考虑舵叶弯曲扭转耦合振动和轴向振动的耦合梁传递方程包括：

建立弯扭耦合梁的振动微分方程：

式中，m为单位长度质量，I_α为单位长度转动惯量，EI为弯曲刚度，GJ为扭转刚度，x为舵叶轴向位移，y为舵叶弯曲方向位移，θ_x为扭转角度，t为时间，b为舵叶弦长的一半，x_α质心到弹性轴的距离，且当质心在Z正方向，x_α为正；

由模态坐标转换，令

y(x,t)＝Y(x)sinωt,θ_x(x,t)＝Θ_x(x)sinωt (2)

式中，ω为角速度；

将(2)带入(1)中，(1)式变为：

消去式(3)中的Y(x)或者Θ_x(x)，得到：

式中，

W＝Y或者Θ (5)

引入无量纲长度：

ξ＝x/L (6)

式(6)中L为划分后单元弯扭耦合梁长度；

式(4)可改写成无量纲形式：

(D⁶+aD⁴-bD²-abc)W＝0 (7)

其中，

六阶微分方程(7)的通解可以表示为：

W(ξ)＝C₁ coshαξ+C₂ sinhαξ+C₃ cosβξ+C₄ sinβξ+C₅ cosγξ+C₆ sinγξ (9)

式中C₁，C₂……C₆是常数，并且

q＝b+a²/3

式(9)中的W(ξ)代表弯曲位移Y和扭转角度Θ_x在不同常数下的解；因此，

Y(ξ)＝A₁ coshαξ+A₂ sinhαξ+A₃ cosβξ+A₄ sinβξ+A₅ cosγξ+A₆ sinγξ (11)

Θ_x(ξ)＝B₁ coshαξ+B₂ sinhαξ+B₃ cosβξ+B₄ sinβξ+B₅ cosγξ+B₆ sinγξ (12)

式中A₁，A₂……A₆和B₁，B₂……B₆是两组不同的常数；

将式(11)和(12)代入式(3)可以确定常数有如下规律：

式中，

从式(11)、(12)可以得到弯曲角度Θ_z(ξ)，弯矩M_z(ξ)，剪切力Q_y(ξ)和扭矩M_x(ξ)的表达式：

因此可得

即Z(ξ)＝B(ξ)·a,a＝[A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆]^T，其中Z(ξ)为状态矢量，即方程(19)等式左边项，B(ξ)代表方程(19)等式右边的第一个矩阵；令ξ＝0，且根据方程(19)和多体系统传递矩阵法可将方程(19)写成Z_I＝B(0)·a形式；令ξ＝1得到Z_O＝B(1)·a＝B(1)B(0)^-1Z_I＝D^CBZ_I。其中Z_O代表模态坐标下元件输出端的状态矢量，Z_I代表模态坐标下元件输入端的状态矢量；

所以弯扭耦合梁的传递矩阵为：

D^CB＝B(1)·B^-1(0) (20)

其中，

考虑弯扭耦合梁的轴向振动，将状态矢量写为[X,Y,Θ_z,M_z,Q_x,Q_y,Θ_x,M_x]^T；

因此得到可以考虑弯曲扭转耦合振动、轴向振动的耦合梁新的传递矩阵：

式中，

E为舵叶的弹性模量，ω为旋转角速度，ρ为流体密度，l和A是每一段舵叶的长度和截面积，

为矩阵D^CB第i行第j列的元素。

5.根据权利要求1所述的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，所述多系统的传递方程为：

-Z_19,0+T_1-19Z_1,0+T_27-19Z_27,0+T_29-19Z_29,0+T_25-19Z_25,0+T_31-19Z_31,0＝0 (25)

式中T_j-19的下标j-19表示传递方向中从元件j到元件19的传递分支。

6.根据权利要求1所述的一种基于多体系统传递矩阵法的舵系统振动特性预测方法，其特征是，所述系统的总传递方程包括：

舵系统总传递方程如下：

U_all|_24×48Z_all|_48×1＝0 (30)

式中，

其中，O代表零距阵。

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