CN108920789A - 一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，包括如下步骤：(1)、建立柔性航天器一体化有限元模型；(2)、以主动指向超静平台与载荷和星体连接节点、星体执行机构节点为输入节点，载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点为输出节点，建立航天器基于有限元方法的结构动力学方程；(3)、将航天器基于有限元方法的结构动力学方程变换为航天器模态坐标下的结构动力学方程，并改写成航天器的状态空间方程；(4)、对状态空间方程进行输入输出变换，得到以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型，用于控制系统仿真分析。

Description

一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法

技术领域

本发明属于航天器控制领域，涉及一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法。

背景技术

当前航天器对指向控制提出了三超(超高精度超高稳定度超敏捷)的要求，仅基于卫星姿态控制的单级控制技术已经难以满足要求。通过在航天器星体和载荷之间安装具有振动隔离、扰振抑制和精确指向调节的柔性环节，即主动指向超静平台，有效解决了航天器控制中的“稳、快、准”的突出矛盾问题，易于实现未来航天器的超高精度超高稳定度超敏捷控制目标，所述主动指向超静平台可以是由多个带作动器的支杆组成。

为验证添加主动指向超静平台后的控制效果，需要尽可能地利用现有模型，加入主动指向超静平台，进行一体化控制系统分析。然而，在进行建立一体化模型和进行控制系统分析时，面临以下问题。一是，在现有卫星控制系统中，星体平台和载荷平台都为刚性连接，在进行三超控制系统分析时，往往采用刚体模型，不能准确反映出各阶模态的响应。二是，已有的有限元模型为整体模型，无法直接添加主动指向超静平台模型进行控制系统设计与分析。三是，现有控制系统分析方法都只针对整星模型，无法验证添加主动指向超静平台后的控制效果。

基于此需要研究柔性航天器多级复合控制动力学建模方法。

发明内容

本发明解决的技术问题是：针对现有整星有限元模型无法进行三超控制系统分析的问题，提出了一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法。

本发明的技术解决方案是：一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，所述柔性航天器包括载荷、星体和主动指向超静平台三部分，所述主动指向超静平台为六自由度并联平台，用于连接星体和载荷，该方法包括如下步骤：

(1)、建立包含主动指向超静平台的航天器有限元模型，即航天器一体化有限元模型；

(2)、以主动指向超静平台与载荷和星体连接节点、星体执行机构节点为输入节点，载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点为输出节点，建立航天器基于有限元方法的结构动力学方程；

(3)、引入模态坐标变换公式，将航天器基于有限元方法的结构动力学方程变换为航天器模态坐标下的结构动力学方程，并进一步改写成航天器模态坐标下的状态空间方程；

(4)、对模态坐标下的状态空间方程进行输入输出变换，得到以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型，用于控制系统仿真分析。

所述航天器基于有限元方法的结构动力学方程为：

其中，x为航天器一体化有限元模型所有节点位移向量，为n×1维向量，n为自由度数，n＝R×N，N为航天器一体化有限元模型节点数，R为单个节点的自由度，M为航天器一体化有限元模型质量阵；D为航天器一体化有限元模型阻尼阵，G为航天器一体化模型陀螺阵；K为航天器一体化模型刚度阵；v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为R×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量；B_v与B_w分别为控制力向量和输入扰振力向量输入变换矩阵，y为输出节点的状态向量，C为输出变换矩阵。

所述航天器模态坐标下的结构动力学方程为：

式中，q为模态坐标，为航天器一体化有限元模型的特征向量振型矩阵，由求解的航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m≤n)个特征值λ_i对应的m个特征向量构成，i＝1～m，m为模态数。

所述航天器模态坐标下的状态空间方程为：

其中：

其中，x_s为模态坐标q表示的状态向量，为x_s的导数，q为模态坐标，为q的导数，Λ为求解航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m<<n)个特征值λ_{i，i＝1～m}构成的对角矩阵，v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为R×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量，σ、g、b_v、b_w、c分别为航天器一体化有限元模型模态坐标下的阻尼矩阵、陀螺矩阵、控制力向量输入变换矩阵、扰振力向量输入变换矩阵和输出变换矩阵。

所述步骤(5)的具体实现为：

(5.1)、忽略航天器一体化有限元模型陀螺阵G，设B_v和C均为单位阵，忽略B_w，设定航天器一体化有限元模型阻尼阵σ＝ξω_n，并将这些量代入模态坐标下的状态空间方程，得到航天器物理坐标下的状态空间方程：

其中，u_s为每个输入节点的六维作用力和力矩，Xs为模态坐标q表示的状态向量，y_s为每个输出节点的位移和速度；

(5.2)、取有限元模型输入节点的三维力和三维力矩作为输入变量u，输出节点位移、角位移、速度、角速度、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离作为输出变量y；

(5.3)、将u_s变换成u两次左乘形式，即

u_s＝B₁B₂u

(5.4)、将y_s变换成y两次左乘形式，即：

y＝C₁C₂y_s

(5.5)、将步骤(5.3)和步骤(5.4)变换后的u_s和y_s代入步骤(5.1)得到的物理坐标下的状态空间方程，得到输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型。

所述步骤(5.2)中输入变量u为：

其中，u_b为作用于星体执行机构节点的三维力和三维力矩向量，F_a为作用于主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的三维力和三维力矩向量，即主动指向超静平台作动杆输出力。

所述步骤(5.2)中输出变量y为：

其中，X_p为载荷敏感器节点的三维位移和角位移向量，X_b为星体敏感器节点的三维位移和角位移向量，为载荷敏感器节点的三维速度和角速度向量，为星体敏感器节点的三维速度和角速度向量，δl为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离。

步骤(5.3)中B₂变换矩阵表达式为：

式中，I₁为单位阵，为R×R的单位阵，R为单个节点的自由度，n₁＝R+R′，主动指向超静平台与载荷和星体连接节点数相等，R'为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点数之和，I₂为单位阵。

B₁变换矩阵表达式为：

其中，n₃＝R′×R+2×R，n₄＝R+R′，假设第Ni个节点上的控制力向量为其中中的元素分别为作用于该节点，方向沿节点坐标系X、Y、Z轴的力，分别为作用于该节点，方向绕节点坐标系X、Y、Z轴的力矩，I_1,R×1＝[1,0,0,0,0,...,0]^T表示将输入变量u中主动指向超静平台作动杆输出力F_a直接作为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点X轴方向上的输入力

C₂变换矩阵表达式为

其中，I_1,1×R＝[1,0,0,0,0,...,0]，n₄＝R′+2×R，n₅＝4×R+R′/2，n₆＝4×R+2×R′。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)、与刚体模型相比，本发明中所有部件均采用有限元模型建模，能够准确反映出各部件各阶模态的响应；

(2)、本发明直接以执行机构输出力的作用点(如：主动指向超静平台与载荷和星体连接点)和执行机构输出力矩的作用点(星体执行机构节点)为输入节点，以传感器的测量点(如：载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接点)为输出节点，建立航天器模态坐标下的结构动力学方程，物理意义明确直观；

(3)、本发明对模态坐标下的状态空间方程进行输入输出变换，得到以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型，可直接用于控制系统仿真分析；

(4)、本发明各级模型均采用物理坐标，可直接进行多级复合控制器设计，提供了一种基于载荷-主动指向超静平台-星体多级复合控制系统分析的有效手段。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为本发明对已有模型改进示意图；

图3为本发明方法一般构型的主动指向超静平台坐标系图；

具体实施方式

以下结合附图与具体实施例对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明提供了一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，包括如下步骤：

(1)、建立包含主动指向超静平台的航天器有限元模型，即航天器一体化有限元模型；

(1.1)、采用有限元分析方法，对载荷和星体两部分建模，分别得到载荷模型和星体模型；

如图2所示，所述柔性航天器包括载荷(上平台)、星体(下平台)和主动指向超静平台三部分，星体包括了安装于星体的挠性附件所述挠性附件包括太阳帆板、天线。

所述主动指向超静平台为六自由度并联平台，也可以是三自由度并联平台，用于连接星体和载荷。本发明实施例采用6根作动杆组成桁架结构的主动指向超静平台连接星体和载荷。

(1.2)、将满足设计构型和刚度系数要求的主动指向超静平台有限元模型，添加到载荷模型和星体模型之间，共同构成包含主动指向超静平台的航天器有限元模型，即航天器一体化有限元模型。

(2)、将满足设计构型和刚度系数要求的主动指向超静平台有限元模型，添加到载荷模型和星体模型之间，共同构成包含主动指向超静平台的航天器有限元模型，即航天器一体化有限元模型；

所述航天器基于有限元方法的结构动力学方程为：

其中，x为航天器一体化有限元模型所有节点位移向量，为n×1维向量，n为自由度数，n＝R×N，N为航天器一体化有限元模型节点数，R为单个节点的自由度，M为航天器一体化有限元模型质量阵，为对称正定矩阵，反映了结构的质量特性；D为航天器一体化有限元模型阻尼阵，G为航天器一体化模型陀螺阵，为反对称矩阵，反映了结构上安装的高速转动部件，如飞轮、控制力矩陀螺等产生的陀螺效应；K为航天器一体化模型刚度阵；K、D分别反映了结构的刚度、阻尼特性，当航天器处于在轨自由状态时，二者均为半正定矩阵；v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为R×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量；B_v与B_w分别为控制力向量和输入扰振力向量输入变换矩阵，y为输出节点的状态向量，C为输出变换矩阵。

(3)、以主动指向超静平台与载荷和星体连接节点、星体执行机构节点为输入节点，载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点为输出节点，建立航天器基于有限元方法的结构动力学方程；

本发明实施例中，航天器一体化有限元模型输出节点包括：载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点(即作动杆两端节点)。航天器一体化有限元模型输入节点包括：主动指向超静平台与载荷和星体连接节点、星体执行机构节点。

所述航天器模态坐标下的结构动力学方程为：

式中，q为模态坐标，为航天器一体化有限元模型的特征向量振型矩阵，由求解的航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m≤n)个特征值λ_i对应的m个特征向量构成，i＝1～m，m为模态数，等于航天器控制所关心的模态阶数。

所述航天器一体化有限元模型的特征方程为：

(4)、引入模态坐标变换公式，将航天器基于有限元方法的结构动力学方程变换为航天器模态坐标下的结构动力学方程，并进一步改写成航天器模态坐标下的状态空间方程；

模态坐标变换公式为：

x＝Φq

定义模态坐标下的阻尼矩阵σ、陀螺矩阵g、控制力向量输入变换矩阵b_v、扰振力向量输入变换矩阵b_w、输出变换矩阵c：

2σ＝Φ^TDΦ,g＝Φ^TGΦ

b_v＝Φ^TB_v,b_w＝Φ^TB_w,c＝CΦ

将航天器模态坐标下的结构动力学方程用状态空间形式进行改写，得到航天器模态坐标下的状态空间方程为：

其中：

其中，x_s为模态坐标q表示的状态向量，为2m×1向量，为x_s的导数，q为模态坐标，为q的导数，Λ为求解航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m<<n)个特征值λ_{i，i＝1～m}构成的对角矩阵，v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为6×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量，σ、g、b_v、b_w、c分别为航天器一体化有限元模型模态坐标下的阻尼矩阵、陀螺矩阵、控制力向量输入变换矩阵、扰振力向量输入变换矩阵和输出变换矩阵。u_s为输入控制力和扰振力向量的组合。A_s为模态坐标下的状态变换矩阵，B_s为模态坐标下的输入变换矩阵，Cs为模态坐标下的输出变换矩阵；y_s为模态坐标下的输出向量；

(5)、对模态坐标下的状态空间方程进行输入输出变换，得到以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型，用于控制系统仿真分析。

(5.1)、忽略航天器一体化有限元模型陀螺阵G，设B_v和C均为单位阵，忽略B_w，设定航天器一体化有限元模型阻尼阵σ＝ξω_n，并将这些量代入模态坐标下的状态空间方程，得到航天器物理坐标下的状态空间方程：

其中，u_s为每个输入节点的六维作用力和力矩，x_s为模态坐标q表示的状态向量，y_s为每个输出节点的位移和速度；ξ为给定的经验值0.005。

根据航天器一体化有限元模型的特征向量振型矩阵Φ，计算得到模态坐标下的控制力向量输入变换矩阵b_v、输出变换矩阵c为：

b_v＝Φ^T,c＝Φ

u_s为每个输入节点的六维作用力和力矩，为n_v×1维向量，y_s为每个输出节点的位移和速度，为2n_y×1维向量，n_y＝输出节点数×6。因此，状态空间表示的是以模态坐标为内部状态，以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的系统。

本发明实施例中，在模型仿真时，不需要改变模态坐标。

(5.2)、取有限元模型输入节点的三维力和三维力矩作为输入变量u，输出节点位移、角位移、速度、角速度、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离作为输出变量y；

输入变量u为：

其中，u_b为作用于星体执行机构节点的三维力和三维力矩向量，F_a为作用于主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的三维力和三维力矩向量，即主动指向超静平台作动杆输出力。

输出变量y为：

其中，X_p为载荷敏感器节点的三维位移和角位移向量，X_b为星体敏感器节点的三维位移和角位移向量，为载荷敏感器节点的三维速度和角速度向量，为星体敏感器节点的三维速度和角速度向量，δl为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离。

本发明实施例中，有限元模型的输入节点包括1个上平台质心节点、1个下平台质心节点以及12个主动指向超静平台与载荷和星体连接节点，因此u_s为(2+R')×R＝84维向量，其中，R＝6为单个节点的自由度，R'＝12为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点数。

(5.3)、将u_s变换成u两次左乘形式，即

u_s＝B₁B₂u

B₂变换矩阵表达式为：

式中，I₁为单位阵，为R×R的单位阵，I₂为R'×R'单位阵。

B₁变换矩阵表达式为：

其中，n₃＝R′×R+2×R’n₄＝R+R′，假设第N_i个节点上的控制力向量为其中中的元素分别为作用于该节点，方向沿节点坐标系X、Y、Z轴的力，分别为作用于该节点，方向绕节点坐标系X、Y、Z轴的力矩，I_1,R×1＝[1,0,0,0,0,...,0]^T表示将输入变量u中主动指向超静平台作动杆输出力F_a直接作为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点X轴方向上的输入力

本发明实施例中，B₂的具体形式为

B₁是元素为0和1的坐标分配矩阵，具体形式为

其中，I_1,6×1＝[1,0,0,0,0,0]^T表示将作动杆输出力直接作为节点X轴方向上的输入力，因此要求在有限元模型中，将这12个节点的X轴设定为为沿作动杆轴向方向，正方向均指向上平台。

(5.4)、将y_s变换成y两次左乘形式，即：

y＝C₁C₂y_s

C₂变换矩阵表达式为

其中，I_1,1×R＝[1,0,0,0,0,...,0]，n₄＝R′+2×R，n₅＝4×R+R′/2，n₆＝4×R+2×R′

本发明实施例中，三超平台的输出为1个上平台质心节点、1个下平台质心节点以及12个主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的六维位移/角位移和六维速度角速度，因此y_s为(2+R')×R×2＝168维向量。

其中，y_ij表示第i个节点的第j个自由度的位移/角位移值，表示第i个节点的第j个自由度的速度/角速度值。

对y_s进行两次左乘变换得到y，即

y＝C₁C₂y_s

其中，C₂是将y_s中的节点坐标变换为三超平台坐标系中坐标的变换矩阵，具体形式为：

由此可看出，C₂是将y_s中的12个主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的位移/速度和1个上平台质心节点、1个下平台质心节点的六自由度位移/速度/角位移/角速度取出。

C₁是元素为0和1的坐标分配矩阵，具体形式为

综上所述，得到输入输出变换，如图3所示。

(5.5)、将步骤(5.3)和步骤(5.4)变换后的u_s和y_s代入步骤(5.1)得到的物理坐标下的状态空间方程，得到输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型。

由上述模态分析可比较清楚地确定各结构的固有振动特性，识别出模态参数，为基于有限元模型的建模、稳定性分析、控制器设计、振动的传递特性提供了基础。同时主动指向超静平台的引入也带来了同/异位控制、解耦控制等问题。通过细致的动力学分析，把上述真实的动力学对象特性纳入的仿真和设计中来。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (9)

1.一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，所述柔性航天器包括载荷、星体和主动指向超静平台三部分，所述主动指向超静平台为六自由度并联平台，用于连接星体和载荷，其特征在于包括如下步骤：

(1)、建立包含主动指向超静平台的航天器有限元模型，即航天器一体化有限元模型；

(2)、以主动指向超静平台与载荷和星体连接节点、星体执行机构节点为输入节点，载荷敏感器节点、星体敏感器节点、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点为输出节点，建立航天器基于有限元方法的结构动力学方程；

(3)、引入模态坐标变换公式，将航天器基于有限元方法的结构动力学方程变换为航天器模态坐标下的结构动力学方程，并进一步改写成航天器模态坐标下的状态空间方程；

(4)、对模态坐标下的状态空间方程进行输入输出变换，得到以输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型，用于控制系统仿真分析。

2.根据权利要求1所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于：所述航天器基于有限元方法的结构动力学方程为：

其中，x为航天器一体化有限元模型所有节点位移向量，为n×1维向量，n为自由度数，n＝R×N，N为航天器一体化有限元模型节点数，R为单个节点的自由度，M为航天器一体化有限元模型质量阵；D为航天器一体化有限元模型阻尼阵，G为航天器一体化模型陀螺阵；K为航天器一体化模型刚度阵；v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为R×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量；B_v与B_w分别为控制力向量和输入扰振力向量输入变换矩阵，y为输出节点的状态向量，C为输出变换矩阵。

3.根据权利要求2所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于所述航天器模态坐标下的结构动力学方程为：

式中，q为模态坐标，为航天器一体化有限元模型的特征向量振型矩阵，由求解的航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m≤n)个特征值λ_i对应的m个特征向量构成，i＝1～m，m为模态数。

4.根据权利要求1所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于所述航天器模态坐标下的状态空间方程为：

其中：

其中，x_s为模态坐标q表示的状态向量，为x_s的导数，q为模态坐标，为q的导数，Λ为求解航天器一体化有限元模型的特征方程得到的m(m<<n)个特征值λ_{i，i＝1～m}构成的对角矩阵，v为航天器一体化有限元模型中输入节点的控制力向量，为n_v×1维向量,n_v为R×N_v，N_v为输入节点的个数，w为输入扰振力向量，为n_v×1维向量，σ、g、b_v、b_w、c分别为航天器一体化有限元模型模态坐标下的阻尼矩阵、陀螺矩阵、控制力向量输入变换矩阵、扰振力向量输入变换矩阵和输出变换矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于所述步骤(5)的具体实现为：

(5.1)、忽略航天器一体化有限元模型陀螺阵G，设B_v和C均为单位阵，忽略B_w，设定航天器一体化有限元模型阻尼阵σ＝ξω_n，并将这些量代入模态坐标下的状态空间方程，得到航天器物理坐标下的状态空间方程：

其中，u_s为每个输入节点的六维作用力和力矩，Xs为模态坐标q表示的状态向量，y_s为每个输出节点的位移和速度；

(5.2)、取有限元模型输入节点的三维力和三维力矩作为输入变量u，输出节点位移、角位移、速度、角速度、主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离作为输出变量y；

(5.3)、将u_s变换成u两次左乘形式，即

u_s＝B₁B₂u

(5.4)、将y_s变换成y两次左乘形式，即：

y＝C₁C₂y_s

(5.5)、将步骤(5.3)和步骤(5.4)变换后的u_s和y_s代入步骤(5.1)得到的物理坐标下的状态空间方程，得到输入节点作用力为输入，以输出节点运动学状态为输出的柔性航天器多级复合控制动力学模型。

6.根据权利要求5所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于所述步骤(5.2)中输入变量u为：

其中，u_b为作用于星体执行机构节点的三维力和三维力矩向量，F_a为作用于主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的三维力和三维力矩向量，即主动指向超静平台作动杆输出力。

7.根据权利要求5所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于所述步骤(5.2)中输出变量y为：

其中，X_p为载荷敏感器节点的三维位移和角位移向量，X_b为星体敏感器节点的三维位移和角位移向量，为载荷敏感器节点的三维速度和角速度向量，为星体敏感器节点的三维速度和角速度向量，δl为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点的距离。

8.根据权利要求5所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于步骤(5.3)中B₂变换矩阵表达式为：

式中，I₁为单位阵，为R×R的单位阵，R为单个节点的自由度，n₁＝R+R′，主动指向超静平台与载荷和星体连接节点数相等，R'为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点数之和，I₂为单位阵。

B₁变换矩阵表达式为：

其中，n₃＝R′×R+2×R，n₄＝R+R′，假设第Ni个节点上的控制力向量为其中中的元素分别为作用于该节点，方向沿节点坐标系X、Y、Z轴的力，分别为作用于该节点，方向绕节点坐标系X、Y、Z轴的力矩，I_1,R×1＝[1,0,0,0,0,...,0]^T表示将输入变量u中主动指向超静平台作动杆输出力F_a直接作为主动指向超静平台与载荷和星体连接节点X轴方向上的输入力

9.根据权利要求5所述的一种柔性航天器多级复合控制动力学建模方法，其特征在于：C₂变换矩阵表达式为

其中，I_1,1×R＝[1,0,0,0,0,...,0]，n₄＝R′+2×R，n₅＝4×R+R′/2，n₆＝4×R+2×R′。