CN111177859A - 一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，包括以下步骤：从周期性桁架天线中提取一个天线子单元进行分析；将天线子单元中纵梁的形状记忆复合材料等效为各向同性材料，并考虑铰链的连接特性，计算天线子单元的应变能及动能；基于能量等效原理，建立桁架天线的动力学等效连续体模型；桁架天线动力学等效连续体模型的有效性验证，并修正纵梁形状记忆复合材料的等效材料参数。本发明考虑纵梁形状记忆复合材料的材料特性及铰链的连接特性，使所建的桁架天线等效连续体模型更精确，并提供了一种工程实用的修正形状记忆复合材料等效材料参数的方法，同时，本发明公开的建模方法流程清晰，算法实现便捷，适合工程上的应用和推广。

Description

一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法

技术领域

本发明涉及柔性航天器动力学建模研究领域，具体涉及一种大尺度复杂 高维可展开桁架天线结构的动力学等效建模。

背景技术

传统的航天器中心刚体的质量和转动惯量在整个系统中所占的比例具有 绝对优势，是典型的中心刚体占优的刚柔耦合系统。随着航天技术的发展， 以大型化、轻质化和柔性化为典型特征的大型柔性航天器成为新一代航天器 发展的一个重要趋势。例如美国ISAT号(OCS)卫星上安装了超长的桁架式天 线，其长度将近达到300m。

大尺度空间可展桁架天线结构是典型的具有若干相同子单元的循环周期 结构，通常采用有限元软件对其进行计算分析。但由于天线结构构造复杂、 自由度数多，使得有限元建模难度大、计算耗时长，甚至无法实现。对于控 制律设计来说，要实现实时控制，也需要对天线结构进行降阶。鉴于传统结 构动力学建模方法存在模型复杂、阶次高、不利于控制的问题，因此必须对 大型可展开空间柔性结构的动力学模型进行简化。对于由周期桁架单元构成 的大尺度空间可展桁架结构，等效连续体建模方法是一种模型降阶的行之有效方法。它不会因单元数量的扩充而使计算量大幅增加，从而成为大尺度可 展桁架天线结构动力学建模与控制系统设计的焦点。如果能利用这种内部结 构呈现周期性排列的特征建立简化的等效动力学模型，则不仅可以降低动力 学分析计算量，而且可以为动力学控制提供低维的模型。

目前针对大型柔性复杂航天器结构的动力学建模，建立一种低维的等效 模型不仅对于动力学分析还是对于控制律设计，都具有重要的意义。等效连 续体建模是实现建立大尺度柔性航天器动力学低维模型的一种有效方法。目 前关于大型柔性航天器的等效连续体建模研究，大都集中在具有较理想几何 构型的柔性结构上，而对于较复杂的柔性桁架天线组合结构实现起来具有困 难；目前的等效建模方法均是针对具有单一均质材料的航天器结构，而对于 含形状记忆复合材料的非均质材料结构并未涉及，复杂新型智能材料如形状 记忆复合材料的应用给等效连续体建模带来了难度；当前的等效建模只考虑 理想连接的情况，而航天器桁架和面阵之间通过铰链连接，且航天器整体连 接铰链众多，铰链的连接刚度会对桁架天线结构的动力学特性造成较大的影 响。有鉴于此，目前的等效连续体建模技术并不能很好地解决大型柔性航天 器存在的这些问题。

发明内容

本发明提出一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，针对大尺度复 杂柔性可展桁架天线结构，实现高维复杂动力学模型的降维，同时能够反映 新型智能材料-形状记忆复合材料的粘弹性材料特性，并考虑连接铰链的刚度 对整体结构动力学特性造成的影响，为大尺度柔性航天器高精度高稳定性指 向控制的发展奠定技术基础。

为了达到上述目的，本发明提出了一种桁架天线的动力学等效连续体建 模方法,包括以下步骤：

S1、从周期性桁架天线中提取一个天线子单元，计算天线子单元任意点 处的位移、转角及应变；

S2、将天线子单元中的形状记忆复合材料纵梁等效为各向同性材料纵梁， 并根据等效材料参数以及天线子单元内任意点处的位移、转角和应变计算各 向同性材料纵梁和横梁的应变能；

S3、表征天线子单元的支撑桁架与面阵之间的连接铰链的刚度，计算连 接铰链的应变能，进而根据线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能求 得桁架天线子单元的总应变能，并计算天线子单元的总动能；

S4、根据天线子单元与等效连续体铁木辛柯梁的应变能与动能分别相等， 推导出等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵和惯性矩阵，从而建立桁架天线的 动力学等效连续体模型；

S5、验证桁架天线动力学等效连续体模型的有效性，并修正形状记忆复 合材料纵梁的等效材料参数。

进一步，所述的步骤S1中，从周期性桁架天线中提取一个天线子单元， 在天线子单元左截面中心处建立直角坐标系。将天线子单元内任意点的位移 关于x轴在坐标原点处进行泰勒展开，并忽略应变的导数项，则天线子单元 内任意点的位移及该点处横截面绕x轴的转角可表示为：

式中，w_x0、w_y0、w_z0、φ_x0、φ_y0和φ_z0分别为天线子单元坐标原点处的位 移和坐标原点所在截面的转角；ε_x0、ε_y0和ε_z0为坐标原点处的正应变，γ_xy0、 γ_xz0和γ_yz0为坐标原点处的剪切应变；κ_x0,κ_y0,κ_z0是坐标原点处的曲率分量；

天线子单元内任意点处的6个应变分量为：

进一步，所述的步骤S2中：将天线子单元中形状记忆复合材料纵梁的 形状记忆复合材料等效为各向同性材料，并采用工程计算近似得到形状记忆 复合材料纵梁的等效材料参数：弹性模量E₁和剪切模量G₁，进而计算天线子 单元中横梁和纵梁的应变能；

天线子单元中各向同性材料纵梁的应变能为：

天线子单元中横梁的应变能为：

式中，k₁＝1,2,3，k₂＝4,5,6,7,8,9，

定义在天线子单元构件的 局部坐标系

下，

轴为沿天线子单元构件的轴线方向，E₁A₁、E₁I_z1、E₁I_y1、 G₁J₁分别表示各向同性材料纵梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度；E₂A₂、 E₂I_z2、E₂I_y2、G₂J₂分别表示横梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度，其 中A₁和A₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的横截面积，I_z1和I_y1分别表示 各向同性材料纵梁的截面沿z轴和y轴的惯性矩，I_z2和I_y2分别表示横梁的截 面沿z轴和y轴的惯性矩，J₁和J₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的截面极惯性矩，E₂和G₂分别为横梁的弹性模量和剪切模量，l₁和l₂分别是各向同 性材料纵梁和横梁的长度。

进一步，所述的步骤S3包括以下步骤：

S3.1、表征天线子单元横梁与天线子单元面阵之间的铰链连接刚度，计 算铰链的应变能；

采用扭簧对连接铰链进行建模，以表征天线子单元中横梁与面阵之间的 铰链连接刚度，铰链的应变能表示为：

式中，k_i为铰链的连接刚度，铰链的转角等于与其相邻的横梁转角与面 阵转角在连接处的转角差

为铰链与其相邻的横梁连接处的转 角，

为铰链与面阵连接处的转角(

由于面阵的刚度较大，其弹性变 形可忽略)；

S3.2、根据天线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能以及铰链的 应变能，计算天线子单元的总应变能；

天线子单元的总应变能为：

式中，

为天线子单元中铰链的应变能，

为各向同性材料纵梁的应 变能，

横梁的应变能，各系数N_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

N₂₂＝0

N₃₆＝k₁l₁

S3.3、计算天线子单元的总动能；

天线子单元的总动能为：

式中，T_B为天线子单元支撑桁架的动能，T_P为天线子单元中面阵的动能，

和

分别为天线子单元中心处的速度分量和角速度 分量，各系数H_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

ρ₁和ρ₂分别表示形状记忆复合材料纵梁和横梁的密度，m_p是每个铰链点 上分配的面阵的质量。

进一步，所述的步骤S4中：

根据天线子单元的应变能与等效连续体铁木辛柯梁的应变能相等，可得 到等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵D为：

式中，D中对角线元素E′A′表示等效连续体铁木辛柯梁模型的拉伸刚度， G′A′_y和G′A′_z分别表示剪切刚度，G′J′表示扭转刚度，E′I′_z和E′I′_y分别表示弯曲 刚度，其中A′_y和A′_z分别表示受剪截面面积，D为对称矩阵，非对角线元素ξ_sj表示刚度耦合参数，其中元素为：

E′A′＝N₁₁，G′A′_y＝N₂₂，G′A′_z＝N₃₃，G′J′＝N₄₄，E′I′_z＝N₅₅，E′I′_y＝N₆₆，

弹性矩阵D中非对角线元素中其余耦合刚度参数皆为 零；

根据天线子单元的动能与等效连续体铁木辛柯梁的动能相等，可得到等 效连续体铁木辛柯梁的惯性矩阵M为：

式中，M对角线上的元素m′_c表示等效连续体铁木辛柯梁模型单位长度上 的质量，J′_x,J′_y,J′_z分别为转动惯量，M为对称矩阵，非对角线元素m_sj为质量 耦合参数，其中元素为：

m′_c＝H₁₁＝H₂₂＝H₃₃,J′_x＝H₄₄,J′_y＝H₅₅,J′_z＝H₆₆,

M中非对角线元素中其余耦合质量参数皆为零。

进一步，所述的桁架天线等效连续体模型的有效性验证，分为以下步骤：

采用S2步骤中得到的形状记忆复合材料的等效弹性模量E₁和剪切模量 G₁，求解桁架天线的动力学等效连续体模型，求得其前5阶固有频率；

在有限元软件中建立桁架天线结构模型，并采用形状记忆复合材料的等 效弹性模量E₁和剪切模量G₁对桁架天线结构进行模态分析，计算得到其前 5阶固有频率，并将有限元软件计算的结果作为参考值；

将二者计算结果进行比较，当桁架天线的动力学等效连续体模型求解得 到的固有频率与有限元软件计算得到的固有频率相比误差小于3％时，即验 证桁架天线等效连续体模型是有效的。

进一步，所述的形状记忆复合材料纵梁的等效材料参数的修正，包括以 下步骤：

将形状记忆复合材料的粘弹性材料本构方程导入到有限元软件中桁架天 线结构模型中的纵梁模型，并在有限元软件中对桁架天线结构进行模态分析， 计算前若干阶固有频率；

在桁架天线动力学等效连续体模型中不断调整等效材料参数E₁和G₁的 数值，并计算桁架天线的动力学等效连续体模型的前若干阶固有频率；

将桁架天线动力学等效连续体模型计算得到的固有频率与有限元软件计 算的固有频率相比较，当二者结果误差小于3％时，此时得到的形状记忆复 合材料的等效材料参数E₁和G₁即是修正的最优值。

相对于现有技术，本发明具有以下优势：

(1)本专利采用等效连续体建模方法的方法实现了大型高维复杂柔性桁 架天线结构的动力学模型的降维，有利于后续控制器的设计，对实现大尺度 柔性航天器的高精度高稳定性指向控制奠定坚实的理论和技术基础。

(2)本专利考虑了形状记忆复合材料纵梁的粘弹性材料特性的影响，提 供了一种工程实用的修正形状记忆复合材料等效材料参数的方法，使得桁架 天线的连续体等效模型能够充分反映形状记忆复合材料纵梁的粘弹性材料特 性，更加符合物理实际。

(3)考虑了连接铰链刚度影响的桁架天线等效连续体建模方法。连接铰 链的刚度会对桁架天线结构的固有特性和动态响应特性造成较大的影响，因 此本专利在应变能的计算中考虑了铰链的应变能部分，使得模型更加精确。

(4)本专利建模流程清晰，算法实现便捷，建立的桁架天线低维动力学 连续体模型便于控制律的设计，理论建模与有限元分析法相互验证，更适合 工程上的应用和推广。

本专利考虑形状记忆复合材料纵梁的粘弹性材料特性及铰链的连接特性， 建立了一种大尺度桁架天线的动力学连续体等效建模方法，并提供了一种工 程实用的修正形状记忆复合材料等效材料参数的方法，为控制律的设计提供 一种有效的低维动力学建模方法，为大尺度柔性航天器高精度高稳定性指向 控制的发展奠定技术基础。

附图说明

图1为本发明实施例提供的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法 的流程图；

图2为本发明实施例提供大尺度桁架天线的部分结构构型图；

图3为本发明实施例提供天线子单元的结构构型图；

图4为本发明实施例提供天线子单元中横梁与纵梁的编号图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明提出的一种桁架天线的动力学等效 连续体建模方法作进一步详细说明。根据下面说明和权利要求书，本发明的 优点和特征将更清楚。需说明的是，附图均采用非常简化的形式且均使用非 精准的比率，仅用以方便、明晰地辅助说明本发明实施例的目的。

如图1所示，为本发明提出的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方 法，包括以下步骤：

S1、从周期性桁架天线中提取一个天线子单元，计算天线子单元任意点 处的位移、转角及应变；

从周期性桁架天线中提取一个天线子单元，将天线子单元任意点处的位 移、应变及所在截面转角表示为单元坐标原点处位移、截面转角、应变、曲 率的表达式。

如图2所示，为大尺度桁架天线的部分结构构型图，大尺度桁架天线结 构具有周期性特性，其由相同构型的天线子单元组成。天线子单元包括：形 状记忆复合材料纵梁、隔板、面阵，隔板包括至少三个横梁，所述的形状记 忆复合材料纵梁和隔板一起构成天线子单元的支撑桁架，所述的支撑桁架和 面阵通过铰链连接。

具体地，根据大尺度桁架天线的周期性特征，提取其中一个天线子单元 进行分析。如图3所示，天线子单元包括三个形状记忆复合材料纵梁1、两 个隔板2和一个面阵3，所述的隔板2为正三角形，其包含三个横梁4；三个 形状记忆复合材料纵梁1和两个隔板2构成天线子单元支撑桁架，因此，天 线子单元支撑桁架的构件共有九个，包括三个形状记忆复合材料纵梁1和六 个横梁4；所述的面阵3通过四个铰链5与天线子单元支撑桁架中的横梁连 接。

在天线子单元的左截面中心处建立直角坐标系o-xyz，其中，o点为坐标 原点，x轴沿垂直于天线子单元横截面方向且位于隔板正三角形横截面的中 心。根据平截面假定，假设天线子单元的横截面变形之后仍然保持为一个平 面，则子单元横截面上任意点的位移w_x，w_y，w_z在平面oyz上线性变化，那 么天线子单元上任意点的位移可表示为：

式中，

为天线子单元任意点处横截面中心的位移；φ_x、φ_y、φ_z为 子单元任意点处横截面绕x轴、y轴和z轴的转角；

是子单元横 截面中心处分别沿y轴和z轴的正应变，

是该点处在oyz平面上的切应变。

将天线子单元任意点的位移关于x轴在坐标原点处进行泰勒展开，并忽 略应变的导数项，则天线子单元内任意点的位移及该点处横截面绕x轴的转 角可表示为：

式中，w_x0、w_y0、w_z0、φ_x0、φ_y0和φ_z0分别为子单元坐标原点处的位移和 坐标原点所在截面的转角；ε_x0、ε_y0和ε_z0为坐标原点处的正应变，γ_xy0、γ_xz0和γ_yz0为坐标原点处的剪切应变；κ_x0,κ_y0,κ_z0是坐标原点处的曲率分量，分别 为：

将式(2)代入下面的几何方程中：

则得到天线子单元内任意点处的6个应变分量为：

天线子单元内任一构件的轴向应变可由式(5)中的6个应变分量表示为：

式中，k为构件编号，l^(k)、m^(k)和n^(k)表示该构件在天线子单元坐标系下 的方向余弦。

由(5)式和(6)式可得到天线子单元支撑桁架各构件的轴向应变 ε^(k)(k＝1,…,9)。如图4所示，为天线子单元支撑桁架的各构件编号，其中编 号1、2、3分别表示天线子单元中的形状记忆复合材料纵梁的编号；4、5、6、 7、8、9分别表示天线子单元中的横梁的编号。所以，天线子单元支撑桁架 各构件的轴向应变中，ε⁽¹⁾、ε⁽²⁾和ε⁽³⁾分别表示三个形状记忆复合材料纵梁的 轴向应变，ε⁽⁴⁾、ε⁽⁵⁾和ε⁽⁶⁾分别表示左端三根横梁的轴向应变，ε⁽⁷⁾、ε⁽⁸⁾和ε⁽⁹⁾分别表示右端三根横梁的轴向应变，其表达式分别为：

S2、将天线子单元中的形状记忆复合材料纵梁等效为各向同性材料纵梁， 并根据等效材料参数以及天线子单元内任意点处的位移、转角和应变计算各 向同性材料纵梁和横梁的应变能；

将天线子单元中形状记忆复合材料纵梁的形状记忆复合材料等效为各向 同性材料，并采用工程计算近似得到形状记忆复合材料纵梁的等效材料参数： 弹性模量E₁和剪切模量G₁，进而计算天线子单元中横梁和各向同性材料纵梁 的应变能。

形状记忆复合材料纵梁和横梁应变能包括轴向拉压应变能、扭转应变能 和弯曲应变能。因此，各向同性材料纵梁的应变能计算公式为：

横梁的应变能计算公式为：

式中，k₁＝1,2,3，k₂＝4,5,6,7,8,9，

定义在天线子单元构件的局部坐标系

下，

轴为沿天线子单元构件的轴线方向，E₁A₁、E₁I_z1、E₁I_y1、G₁J₁分别表示各向同性材料纵梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度；E₂A₂、 E₂I_z2、E₂I_y2、G₂J₂分别表示横梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度。其 中A₁和A₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的横截面积，I_z1和I_y1分别表示 各向同性材料纵梁的截面沿

轴和

轴的惯性矩，I_z2和I_y2分别表示横梁的截 面沿

轴和

轴的惯性矩，J₁和J₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的截面极惯性矩，E₂和G₂分别为横梁的弹性模量和剪切模量，l₁和l₂分别是各向同 性材料纵梁和横梁的长度。

S3、表征天线子单元的支撑桁架与面阵之间的连接铰链的刚度，计算连 接铰链的应变能，进而根据天线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能 求得桁架天线子单元的总应变能，并计算天线子单元的总动能；

由于天线子单元以横向弯曲变形为主，铰链弯曲方向刚度较低，因此铰 链采用扭簧来进行建模，以表征支撑桁架与面阵之间的铰链连接刚度。铰链 的应变能表示为：

式中，k_i为铰链的连接刚度，铰链的转角等于与其相邻的横梁转角与面 阵转角在连接处的转角差

为铰链与其相邻的横梁连接处的转 角，

为铰链与面阵连接处的转角(

由于面阵的刚度较大，其弹性变 形可忽略)。

铰链刚度k_i的大小会对大尺度桁架天线整体的应变能造成较大的影响， 从而会对天线子单元结构的固有频率造成较大的影响。因此铰链的刚度k_i在 等效连续体建模中不能忽略。令天线子单元中4个铰链的刚度均等于k₁。

天线子单元的总应变能为天线子单元各个构件的应变能之和，由于天线 子单元中面阵的刚度较大，面阵的应变能可忽略。天线子单元的总应变能包 括形状记忆复合材料纵梁的应变能、横梁的应变能以及铰链的应变能，其中 横梁组成的隔板与相邻天线子单元共用，因此计算应变能时取其一半。

故天线子单元的总应变能为：

将式(2)和式(7)代入到式(11)中，则天线子单元应变能表示为关于坐标原 点处的应变分量和曲率分量这9个参数的函数。由于经典连续体铁木辛柯梁 模型的变形及应变能中不包含ε_y0、ε_z0、γ_yz0项，因此需要消除天线子单元横 截面上与这3项对应的应力，所以天线子单元的应变能写成ε_x0、γ_xy0、γ_xz0、 κ_x0、κ_y0、κ_z0这6个参数的函数：

式中，各系数N_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

N₂₂＝0

N₃₆＝k₁l₁

由于刚体运动为天线子单元动能中的主要部分，因此计算天线子单元的 动能时忽略其位移中的应变项。天线子单元的总动能为形状记忆复合材料纵 梁、横梁和面阵的动能之和，其中横梁组成的隔板与相邻天线子单元共用， 计算动能时取其一半。

由形状记忆复合材料纵梁和横梁构成的天线子单元的支撑桁架动能表达 式为：

分别表示天线子单元坐标原点处的速度分量 和角速度分量，可由(2)式对时间t求导得到，即：

将天线子单元的支撑桁架的动能由

这6个参 数表示，则天线子单元中支撑桁架的动能为：

式中，各系数F_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

F₂₆＝3ρ₁A₁l₁+3ρ₂A₂l₂

F₃₅＝-3ρ₁A₁l₁-3ρ₂A₂l₂

式中，ρ₁和ρ₂分别表示形状记忆复合材料纵梁和横梁的密度。

面阵动能的处理采用集中质量模型，假设面阵的质量平均分布于天线子 单元的各个铰链上，面阵的动能可用天线子单元截面中心处的速度表示为：

式中，m_p是每个铰链点上分配的质量。

因此，天线子单元的动能可以表示为：

其中，系数F_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

S4、根据天线子单元与等效连续体铁木辛柯梁的应变能与动能分别相等， 推导出等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵和惯性矩阵，从而建立桁架天线的 动力学等效连续体模型；

等效连续体铁木辛柯梁的应变能可表示为：

式中，l₁表示桁架天线子单元纵梁的长度，

表示等效连续体铁木辛柯梁 中性轴上的应变向量

D为弹性矩阵，可表示 为：

其中，D中对角线元素E′A′表示等效连续体铁木辛柯梁模型的拉伸刚度， G′A′_y和G′A′_z分别表示剪切刚度，G′J′表示扭转刚度，E′I′_z和E′I′_y分别表示弯曲 刚度。其中A′_y和A′_z分别表示受剪截面面积。D为对称矩阵，非对角线元素ξ_sj表示刚度耦合参数。

令天线子单元的应变能U与等效连续体铁木辛柯梁的应变能U_e相等，则 可得到等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵D，其中元素为：

E′A′＝N₁₁，G′A′_y＝N₂₂，G′A′_z＝N₃₃，G′J′＝N₄₄，E′I′_z＝N₅₅，E′I′_y＝N₆₆，

弹性矩阵D中非对角线元素中其余耦合刚度参数皆为 零。

等效连续体铁木辛柯梁的动能可表示为：

其中，v表示梁中性轴上的速度向量

M可 表示为：

其中，M对角线上的元素m′_c表示等效连续体铁木辛柯梁模型单位长度上 的质量，J′_x,J′_y,J′_z分别为转动惯量。M为对称矩阵，非对角线元素m_sj为质量 耦合参数。

令天线子单元的动能T与等效连续体铁木辛柯梁的动能T_e相等，则可得 等效连续体铁木辛柯梁的惯性矩阵M，其中元素为：

m′_c＝H₁₁＝H₂₂＝H₃₃,J′_x＝H₄₄,J′_y＝H₅₅,J′_z＝H₆₆,

M中非对角线元素中其余耦合质量参数皆为零。

由上述的等效连续体铁木辛柯梁模型的弹性矩阵和惯性矩阵，可获得等 效连续体铁木辛柯梁的等效刚度参数和等效质量参数，从而能够建立桁架天 线的动力学等效连续体模型的动力学方程。对其进行动力学特性分析，求解 其前若干阶固有频率。

S5、验证桁架天线动力学等效连续体模型的有效性，并修正形状记忆复 合材料纵梁的等效材料参数；

桁架天线等效连续体模型的有效性验证，分为以下步骤：

采用S2步骤中得到的形状记忆复合材料的等效弹性模量E₁和剪切模量 G₁，求解桁架天线的动力学等效连续体模型，求得其前5阶固有频率；

在有限元软件中建立桁架天线模型，并采用形状记忆复合材料的等效弹 性模量E₁和剪切模量G₁对桁架天线结构进行模态分析，计算得到其前5阶 固有频率，并将有限元软件计算的结果作为参考值；

将二者计算结果进行比较，当桁架天线的动力学等效连续体模型求解得 到的固有频率与有限元软件计算得到的固有频率相比误差小于3％时，即可 验证桁架天线动力学等效连续体模型是有效的。

在此部分中，桁架天线的动力学等效连续体模型和有限元软件的桁架天 线结构模型均采用S2步骤中得到的等效弹性模量E₁和剪切模量G₁，目的主 要是验证动力学等效连续体模型的正确性。

修正形状记忆复合材料纵梁的等效材料参数E₁和G₁：

在实际工程应用中，通常将形状记忆复合材料等效为各向同性的材料， 但这种材料参数的等效会与材料实际参数存在误差，为了尽量消除这种误差， 本专利对形状记忆复合材料纵梁的各向同性材料纵梁的材料参数E₁和G₁进 行修正。

具体地，考虑形状记忆复合材料纵梁的材料非线性，基于粘弹性的材料 本构关系，使用Tobushi的粘弹性的材料本构方程：

式中

分别表示应变、应力、温度对时间的导数，E为弹性模量， μ为粘性系数，λ为延迟时间，α为热膨胀系数，ε_s为蠕变残余应变，T为 温度。

使用有限元ABAQUS软件自带的UMAT子程序，将上述Tobushi的粘 弹性材料本构方程导入到桁架天线结构中的形状记忆复合材料纵梁模型中， 并在有限元软件中对桁架天线结构进行模态分析，计算前若干阶固有频率；

在桁架天线动力学等效连续体模型中不断调整等效材料参数E₁和G₁的 数值，并计算桁架天线的动力学等效连续体模型的前若干阶固有频率；

将桁架天线动力学等效连续体模型计算得到的固有频率与有限元软件计 算的固有频率相比较，当二者结果误差小于3％时，此时得到的形状记忆复 合材料的等效材料参数E₁和G₁即是修正的最优值。

(1)本专利采用等效连续体建模方法的方法实现了大型高维复杂柔性桁 架天线结构的动力学模型的降维，有利于后续控制器的设计，对实现大尺度 柔性航天器的高精度高稳定性指向控制奠定坚实的理论和技术基础。

(2)本专利考虑了形状记忆复合材料纵梁的粘弹性材料特性的影响。首 先将纵梁的形状记忆复合材料等效为各向同性的材料以建立桁架天线动力学 等效连续体模型；然后采用有限元软件ABAQUS自带的UMAT子程序，将Tobushi的粘弹性材料本构方程导入到形状记忆复合材料纵梁模型，对桁架天 线结构进行模态分析。通过将本专利桁架天线的动力学等效连续体模型的解 与有限元分析的计算结果相比较，以不断修正形状记忆复合材料纵梁的等效 材料参数，使得桁架天线的连续体等效模型能够充分反映形状记忆复合材料纵梁的粘弹性材料特性，更加符合物理实际。

(3)考虑了连接铰链刚度影响的桁架天线等效连续体建模方法。连接铰 链的刚度会对桁架天线结构的固有特性和动态响应特性造成较大的影响，因 此本专利在应变能的计算中考虑了铰链的应变能部分，使得模型更加精确。

(4)本专利建模流程清晰，算法实现便捷，建立的桁架天线低维动力学 连续体模型便于控制律的设计，理论建模与有限元分析法相互验证，更适合 工程上的应用和推广。

尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识 到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述 内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的 保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (6)

1.一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、从周期性桁架天线中提取一个天线子单元，计算天线子单元任意点处的位移、转角及应变；

S2、将天线子单元中的形状记忆复合材料纵梁等效为各向同性材料纵梁，并根据等效材料参数以及天线子单元内任意点处的位移、转角和应变计算各向同性材料纵梁和横梁的应变能；

S3、表征天线子单元的支撑桁架与面阵之间的连接铰链的刚度，计算连接铰链的应变能，进而根据线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能求得桁架天线子单元的总应变能，并计算天线子单元的总动能；

S4、根据天线子单元与等效连续体铁木辛柯梁的应变能与动能分别相等，推导出等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵和惯性矩阵，从而建立桁架天线的动力学等效连续体模型；

S5、验证桁架天线动力学等效连续体模型的有效性，并修正形状记忆复合材料纵梁的等效材料参数。

2.如权利要求1所述的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，所述的步骤S1中：

从周期性桁架天线中提取一个天线子单元，在天线子单元左截面中心处建立直角坐标系，天线子单元内任意点的位移及该点处横截面绕x轴的转角可表示为：

式中，w_x0、w_y0、w_z0、φ_x0、φ_y0和φ_z0分别为天线子单元坐标原点处的位移和坐标原点所在截面的转角；ε_x0、ε_y0和ε_z0为坐标原点处的正应变，γ_xy0、γ_xz0和γ_yz0为坐标原点处的剪切应变；κ_x0,κ_y0,κ_z0是坐标原点处的曲率分量；

天线子单元内任意点处的6个应变分量为：

3.如权利要求1所述的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，所述的步骤S2中：

将天线子单元中形状记忆复合材料纵梁的形状记忆复合材料等效为各向同性材料，进而计算天线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能；

天线子单元中各向同性材料纵梁的应变能为：

天线子单元中横梁的应变能为：

式中，k₁＝1,2,3，k₂＝4,5,6,7,8,9，

定义在天线子单元构件的局部坐标系

下，

轴为沿天线子单元构件的轴线方向，E₁A₁、E₁I_z1、E₁I_y1、G₁J₁分别表示各向同性材料纵梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度；E₂A₂、E₂I_z2、E₂I_y2、G₂J₂分别表示横梁的轴向拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度，其中A₁和A₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的横截面积，I_z1和I_y1分别表示各向同性材料纵梁的截面沿

轴和

轴的惯性矩，I_z2和I_y2分别表示横梁的截面沿

轴和

轴的惯性矩，J₁和J₂分别表示各向同性材料纵梁和横梁的截面极惯性矩，E₂和G₂分别为横梁的弹性模量和剪切模量，l₁和l₂分别是各向同性材料纵梁和横梁的长度。

4.如权利要求1所述的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，所述的步骤S3包括以下步骤：

S3.1、表征天线子单元横梁与天线子单元面阵之间的铰链连接刚度，计算铰链的应变能；

采用扭簧对连接铰链进行建模，以表征天线子单元中横梁与面阵之间的铰链连接刚度，铰链的应变能表示为：

式中，k_i为铰链的连接刚度，铰链的转角等于与其相邻的横梁转角与面阵转角在连接处的转角差

为铰链与其相邻的横梁连接处的转角，

为铰链与面阵连接处的转角(

由于面阵的刚度较大，其弹性变形可忽略)；

S3.2、根据天线子单元中横梁和各向同性材料纵梁的应变能以及铰链的应变能，计算天线子单元的总应变能；

天线子单元的总应变能为：

式中，

为天线子单元中铰链的应变能，

为各向同性材料纵梁的应变能，

为横梁的应变能，各系数N_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

N₂₂＝0

N₃₆＝k₁l₁

S3.3、计算天线子单元的总动能；

天线子单元的总动能为：

式中，T_B为天线子单元支撑桁架的动能，T_P为天线子单元中面阵的动能，

和

分别为天线子单元中心处的速度分量和角速度分量，各系数H_sj(s,j＝1,…,6)的表达式为：

ρ₁和ρ₂分别表示形状记忆复合材料纵梁和横梁的密度，m_p是每个铰链点上分配的面阵的质量。

5.如权利要求1所述的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，所述的步骤S4中：

根据天线子单元的应变能与等效连续体铁木辛柯梁的应变能相等，可得到等效连续体铁木辛柯梁的弹性矩阵D为：

式中，D中对角线元素E′A′表示等效连续体铁木辛柯梁模型的拉伸刚度，G′A′_y和G′A′_z分别表示剪切刚度，G′J′表示扭转刚度，E′I′_z和E′I′_y分别表示弯曲刚度，其中A′_y和A′_z分别表示受剪截面面积，D为对称矩阵，非对角线元素ξ_sj表示刚度耦合参数，其中元素为：

E′A′＝N₁₁，G′A′_y＝N₂₂，G′A′_z＝N₃₃，G′J′＝N₄₄，E′I′_z＝N₅₅，E′I′_y＝N₆₆，

弹性矩阵D中非对角线元素中其余耦合刚度参数皆为零；

根据天线子单元的动能与等效连续体铁木辛柯梁的动能相等，可得到等效连续体铁木辛柯梁的惯性矩阵M为：

式中，M对角线上的元素m′_c表示等效连续体铁木辛柯梁模型单位长度上的质量，J′_x,J′_y,J′_z分别为转动惯量，M为对称矩阵，非对角线元素m_sj为质量耦合参数，其中元素为：

m′_c＝H₁₁＝H₂₂＝H₃₃,J′_x＝H₄₄,J′_y＝H₅₅,J′_z＝H₆₆,

M中非对角线元素中其余耦合质量参数皆为零。

6.如权利要求1所述的一种桁架天线的动力学等效连续体建模方法，其特征在于，所述的步骤S5包括以下步骤：

S5.1、桁架天线的动力学等效连续体模型的有效性验证，包括以下步骤：

采用S2步骤中得到的形状记忆复合材料的等效弹性模量E₁和剪切模量G₁，求解桁架天线的动力学等效连续体模型，求得其前5阶固有频率；

在有限元软件中建立桁架天线结构模型，并采用形状记忆复合材料的等效弹性模量E₁和剪切模量G₁对桁架天线结构进行模态分析，计算得到其前5阶固有频率，并将有限元软件计算的结果作为参考值；

将二者计算结果进行比较，当桁架天线的动力学等效连续体模型求解得到的固有频率与有限元软件计算得到的固有频率相比误差小于3％时，即验证桁架天线等效连续体模型是有效的；

S5.2、形状记忆复合材料纵梁的等效材料参数的修正，包括以下步骤：

将形状记忆复合材料的粘弹性材料本构方程导入到有限元软件中桁架天线结构模型中的纵梁模型，并在有限元软件中对桁架天线结构进行模态分析，计算前若干阶固有频率；

在桁架天线动力学等效连续体模型中不断调整等效材料参数E₁和G₁的数值，并计算桁架天线的动力学等效连续体模型的前若干阶固有频率；

将桁架天线动力学等效连续体模型计算得到的固有频率与有限元软件计算的固有频率相比较，当二者结果误差小于3％时，此时得到的形状记忆复合材料的等效材料参数E₁和G₁即是修正的最优值。

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