CN108647405A - 多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法 - Google Patents

多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于结构拓扑优化相关技术领域，其公开了多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，包括以下步骤：选定子结构的构型形式及特征几何参数；定义子结构的密度为设计变量，建立设计变量与特征几何参数的关系；改变设计变量的值，生成系列具有不同密度值的子结构；有限元离散系列子结构；得到系列超单元刚度矩阵；提取系列超单元刚度矩阵的特征缩减基及各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数；构建特征缩减基映射系数与设计变量的关系；建立超单元刚度矩阵的近似计算公式。本发明建立了子结构的超单元刚度矩阵的近似计算模型，该模型用于尺度关联的多层级点阵结构的拓扑优化设计，可保证结构的连接性，设计方案可直接用于制造。

Description

多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法
技术领域
本发明属于结构拓扑优化相关技术领域，更具体地，涉及到多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法。
背景技术
点阵结构拓扑优化设计是新型的数字化结构设计方式，目的在于寻求既经济又适用的结构形式，以最少的材料用量或最低的造价实现结构的最佳性能。通过建立点阵材料微结构与宏观整体结构力学性能的关系，以结构分析为基础，在设计域内迭代设计出满足性能要求的较优材料结构构型，从而获得更大的经济效益。点阵材料作为一种含有多孔有序微结构的新型先进材料，被广泛应用于车身设计、航空航天、通信电子等相关结构设计领域。
目前，本领域相关技术人员已经做出了一些研究，如文献1：“Xia L,BreitkopfP.Concurrent topology optimization design of material and structure withinFE2nonlinear multiscale analysis framework.Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering,2014；278：524-542.”公开了一种基于多尺度有限元计算的宏观-微观结构拓扑优化并发设计方法。该方法假定宏观结构的每一个材料点对应一个独立的微结构构型设计，同时通过非线性求解实现宏观-微观尺度上的耦合计算，实现宏观整体结构构型和微观材料构型的并发设计。然而文献1提供的并发设计方法，由于是基于尺度分离的均匀化模型假设，只能保证微观尺度上的材料分布的连续性，而在宏观尺度上相邻微结构间的连接性却无法得以保障，即微观结构边界材料分布存在分离现象，优化的拓扑结果没有实际的物理意义，更不能应用到实际生活中，具有相当大的局限性。又如文献2：“Robbins J,Owen SJ,Clark BW,Voth TE.An efficient and scalable approach forgenerating topologically optimized cellular structures for additivemanufacturing.Additive Manufacturing.2016；12:296-304.”提出了一种以结构柔度最小化为设计目标的蜂窝结构拓扑优化设计方法。该方法通过均匀化方法计算得到代表性特征单胞的等效力学性能，继而用于宏观整体结构的拓扑优化设计，并最终通过增材制造技术实现宏观-微观结构的制造。但是，该方法缺乏明确定义宏观-微观尺度上的尺寸比例，其制造的宏观-微观结构的力学性能远低于理论设计结构的力学性能。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，应用该模型开展的多层级点阵结构的拓扑优化设计，兼具稳定性、高效性及可制造性。所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用连续设计变量，其取值范围为[0,1]，具有明确的物理意义，该方法采用有限元子结构进行模拟计算，子结构的构型可任意设定，宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构与微观尺度上的子结构具有明确的尺寸比例，能够保证微观尺度上的子结构在宏观尺度上的连接性，设计得到的拓扑结构构型可直接用于加工制造。
为实现上述目的，本发明提供了多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)选定子结构的构型形式以及特征几何参数；
(2)定义子结构的密度为设计变量，并建立该设计变量与特征几何参数之间的关系；
(3)通过改变与设计变量相关的特征几何参数的值来改变子结构的设计变量的值，从而生成一系列具有不同密度值的子结构；
(4)对步骤(3)中生成的一系列子结构进行有限元离散，其中，在离散过程中保证不同子结构的边界上具有相同离散分布的有限元节点；
(5)凝聚子结构内部的有限元节点的自由度，得到与各子结构分别对应的超单元刚度矩阵；
(6)提取该系列超单元刚度矩阵的特征缩减基及与各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数；
(7)通过三次样条插值方法，构建子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式；
(8)结合对子结构的设计变量的惩罚，建立与子结构相对应的超单元刚度矩阵的解析近似计算公式。
优选地，在步骤(1)中先选定子结构的构型形式，然后根据宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的尺寸，选定对应微观尺度上的子结构的尺寸；其中，这两种尺度上的尺寸比例在整个优化过程中保持不变，即微观尺度上的子结构的尺寸越小，则对应宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的子结构数目越多。
优选地，在步骤(3)中为了生成一系列具有不同密度值的子结构，使设计变量ρ取一系列不同的值ρj，其中，j表示生成的各子结构的编号，并且j＝1，2，…，M，M表示生成的这些子结构的总数；所述子结构的设计变量ρ∈[0,1]，0表示子结构没有材料，1表示子结构充满实体材料，0＜ρ＜1表示子结构含有孔洞而没有完全充满实体材料。
优选地，一系列所述超单元刚度矩阵由以下公式获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵，Kbb(ρj)是第j个子结构边界节点对应的子刚度矩阵，Kii(ρj)是第j个子结构内部节点对应的子刚度矩阵，Kib(ρj)，Kbi(ρj)均是第j个子结构边界节点与内部节点相互耦合的子刚度矩阵。
优选地，通过本征正交分解，该系列超单元刚度矩阵的特征缩减基由以下公式获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵所有列向量顺序排列而成的列向量形式刚度矩阵，λq是第q阶特征值，φq是第q个特征缩减基，本征正交分解过程中，取q＝1，2，…，m，m表示保留的特征缩减基的个数。
优选地，所述各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数由以下公式获得：
式中，α(ρj)＝[α1(ρj),α2(ρj),...,αm(ρj)]是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数，α(ρj)中的第q个分量αq(ρj)与φq是一一对应的。
优选地，基于步骤(6)提取的特征缩减基映射系数，在第h个设计变量区间[ρh,ρh+1]上，所述子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式表示如下：
式中，是子结构对应的第q个特征缩减基映射系数，c(h,q,r)是三次样条插值多项式第(r+1)项的系数，其中，r＝0，1，2，3；h＝1，2，…，M-1。
优选地，所述子结构对应的超单元刚度矩阵K*(ρ)的解析近似计算公式表示如下：
式中，p为惩罚因子，是通过三次样条插值方法得到的与第l个特征缩减基相对应的特征缩减基映射系数，[φl]表示将向量形式的特征缩减基φl转换为与其对应的矩阵形式，l＝1，2，…，m。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法主要具有以下有益效果：
1)本发明采用子结构的密度作为拓扑设计变量，其取值范围为0到1，既对应子结构材料有无，也对应子结构材料的分布构型，具有明确的物理意义；
2)本发明采用的有限元子结构，大大缩减了优化计算规模，能够保证在有限的优化迭代步数内得到材料分布合理的设计方案，兼具稳定性及高效性；
3)本发明采用的子结构的构型可任意设定，并且宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构与微观尺度上的子结构具有明确的尺寸比例，能够确保所设计的拓扑结构即为实际需要的物理结构，还能够同时保证子结构内部材料的连续以及整个拓扑结构材料的连接性，兼具可制造性。
附图说明
图1是本发明较佳实施方式提供的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法的构造流程示意图；
图2是两种子结构的构型定义示意图；
图3是待优化设计的悬臂梁的结构及尺寸示意图；
图4a-图4c是图3中的悬臂梁采用图2中的第一类子结构在子结构离散精度分别为Nx×Ny＝8×4，Nx×Ny＝16×8，Nx×Ny＝8×4下以结构刚度最大化为目标，在材料用量体分比为30％的约束条件下，通过优化准则法设计得到的结构构型示意图,图4d-图4f是图3中的悬臂梁采用图2中的第二类子结构，在与图4a-图4c分别相同的离散精度以及相同的约束条件下，通过优化准则法设计得到的结构构型示意图，其中，Nx表示在水平方向上离散悬臂梁得到的子结构数目，Ny表示在竖直方向上离散悬臂梁得到的子结构数目，惩罚因子均为p＝1；
图5a-图5c是图3中的悬臂梁采用图2中的第二类子结构在子结构离散精度为Nx×Ny＝24×12情况下，采用三种不同大小的惩罚因子，通过优化准则法设计得到的结构构型示意图,其中,图5a-图5c惩罚因子分别为p＝1，p＝1.5和p＝2.0。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施实例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施实例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互结合。
请参阅图1，本发明较佳实施方式提供的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用连续设计变量，其取值范围为0到1，不同的设计变量值对应不同的微观尺度上的子结构，具有明确的物理意义。所述多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用有限元子结构，大大缩减了优化计算规模，能够保证在有限的优化迭代步数内得到材料分布合理的设计方案，兼具稳定性及高效性。另外，该方法采用的子结构的构型可任意设定，宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构与微观尺度上的子结构具有明确的尺寸比例，能够确保所设计的拓扑结构即为实际需要的物理结构，还能够同时保证子结构内部材料的连续以及整个拓扑结构材料的连接性，兼具可制造性。
所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，选定子结构的构型形式以及特征几何参数；
具体地，先选定子结构的构型形式，然后根据宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的尺寸，选定对应微观尺度上的子结构的尺寸；其中，这两种尺度上的尺寸比例在整个优化过程中保持不变，即微观尺度上的子结构的尺寸越小，则对应宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的子结构数目越多。
步骤二，定义子结构的密度为设计变量，并建立该设计变量与特征几何参数之间的关系；
具体地，定义子结构的密度ρ为设计变量，并且ρ∈[0,1]，其中，0表示子结构没有材料，1表示子结构充满实体材料，0＜ρ＜1表示子结构含有孔洞而没有完全充满实体材料，并建立子结构的设计变量与子结构的特征几何参数之间的关系。
步骤三，通过改变与设计变量相关的特征几何参数的值来改变子结构的设计变量的值，从而生成一系列具有不同密度值的子结构；
具体地，通过改变子结构特征几何参数的值而改变设计变量ρ的值，生成一系列具有不同密度值的子结构，即设计变量ρ取一系列不同的值ρj，其中，j表示生成的各子结构的编号，并且j＝1，2，…，M，M表示生成的这些子结构的总数。
步骤四，对步骤(三)中生成的一系列子结构进行有限元离散，其中，在离散过程中保证不同子结构的边界上具有相同离散分布的有限元节点；
具体地，对生成的一系列具有不同密度值的子结构进行有限元网格离散，并且在子结构离散时，确保所有子结构的离散网格相同，即子结构中有相同离散分布的有限元节点。
步骤五，凝聚子结构内部的有限元节点的自由度，得到与各子结构分别对应的超单元刚度矩阵；
具体地，凝聚子结构内部的有限元节点的自由度，所述一系列超单元刚度矩阵由公式(1)获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵，Kbb(ρj)是第j个子结构边界节点对应的子刚度矩阵，Kii(ρj)是第j个子结构内部节点对应的子刚度矩阵，Kib(ρj)，Kbi(ρj)均是第j个子结构边界节点与内部节点相互耦合的子刚度矩阵。
步骤六，提取该系列超单元刚度矩阵的特征缩减基及与各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数；
具体地，把得到的系列超单元刚度矩阵组成一个矩阵，对其进行本征正交分解，得到对应的特征值与特征向量。所述系列超单元刚度矩阵的特征缩减基由公式(2)获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵所有列向量顺序排列而成的列向量形式刚度矩阵，λq是第q阶特征值，φq是第q个特征缩减基，本征正交分解过程中，取q＝1，2，…，m，m表示保留的特征缩减基的个数。
所述各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数由公式(3)获得：
式中，α(ρj)＝[α1(ρj),α2(ρj),...,αm(ρj)]是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数，α(ρj)中的第q个分量αq(ρj)与φq是一一对应的。
步骤七，通过三次样条插值方法，构建子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式；
具体地，基于步骤(6)提取的特征缩减基映射系数，在第h个设计变量区间[ρh,ρh+1]上，所述子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式表示如下：
式中，是子结构对应的第q个特征缩减基映射系数，c(h,q,r)是三次样条插值多项式第(r+1)项的系数，其中，r＝0，1，2，3；h＝1，2，…，M-1。
步骤八，结合对子结构的设计变量的惩罚，建立与子结构相对应的超单元刚度矩阵的解析近似计算公式。
具体地，结合对子结构的设计变量的惩罚，所述子结构对应的超单元刚度矩阵K*(ρ)的解析近似计算公式表示如下：
式中，p为惩罚因子，是通过三次样条插值方法得到的与第l个特征缩减基相对应的特征缩减基映射系数，[φl]表示将向量形式的特征缩减基φl转换为与其对应的矩阵形式，l＝1，2，…，m。
本实施方式中，所述许用材料用量分数、惩罚因子都是在步骤一预先设定的。
请参阅图2至图5，以下以悬臂梁结构作为拓扑优化设计对象对本发明提供给的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法进行进一步地详细说明，其具体包括以下步骤：
S1，设定悬臂梁的许用材料分数为30％，惩罚因子p＝1；
S2，选定微观尺度上的子结构的构型为正方形；
S3，定义子结构的密度为设计变量，其设计变量由子结构的特征几何参数控制；
S4，通过改变与设计变量相关的特征几何参数的值来改变子结构的设计变量的值，从而改变子结构中材料的分布，并确保材料尽可能地分布在子结构的边界区域；
S5，对上述步骤中生成的一系列子结构使用同一种离散方法进行有限元离散，保证不同子结构的边界上具有相同离散分布的有限元节点；
S6，凝聚子结构内部节点的自由度到其边界上，每条边界保留相同数目的节点，得到与各子结构相对应的超单元刚度矩阵
S7，通过本征正交分解，提取步骤S6得到的系列超单元刚度矩阵的特征缩减基[φ1,φ2,...,φm]；
S8，通过步骤S7提取的系列超单元刚度矩阵的特征缩减基，可以得到各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数；
S9，基于步骤S8得到的各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数，通过三次样条插值方法可以得到子结构的设计变量与特征缩减基映射系数的关系，结合对子结构的设计变量的惩罚，建立与子结构相对应的超单元刚度矩阵的解析近似计算公式K*(ρ)；
S10，基于解析计算得到的灵敏度信息，通过优化准则法开展优化设计。
由优化结果看出，采用本发明提供的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，以结构整体的刚度最小作为优化目标获得的设计构型明显不同于传统的基于均匀化方法的设计构型。传统的均匀化法忽略了宏观-微观尺度上的尺寸比例，同时材料在宏观的分布上呈现出非连接性，均与实际的物理现象相违背；相比之下，本发明设定了宏观-微观尺度上的尺寸比例，保证了所设计的构型即为实际的物理尺寸构型。与此同时，本发明提出的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用的有限元子结构，大大缩减了优化计算规模，能够保证在有限的优化迭代步数内得到材料分布合理的设计方案，兼具稳定性及高效性。
此外，本发明提供的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用连续设计变量，其取值范围为0到1，不同的密度值对应不同的微观结构构型，具有明确的物理意义。并且所述多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法采用的子结构的构型可任意设定，宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构与微观尺度上的子结构具有明确的尺寸比例，能够确保所设计的拓扑结构即为实际需要的物理结构，还能够同时保证子结构内部材料的连续以及整个拓扑结构材料的连接性，兼具可制造性。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施实例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)选定子结构的构型形式以及特征几何参数；
(2)定义子结构的密度为设计变量，并建立该设计变量与特征几何参数之间的关系；
(3)通过改变与设计变量相关的特征几何参数的值来改变子结构的设计变量的值，从而生成一系列具有不同密度值的子结构；
(4)对步骤(3)中生成的一系列子结构进行有限元离散，其中，在离散过程中保证不同子结构的边界上具有相同离散分布的有限元节点；
(5)凝聚子结构内部的有限元节点的自由度，得到与各子结构分别对应的超单元刚度矩阵；
(6)提取该系列超单元刚度矩阵的特征缩减基及与各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数；
(7)通过三次样条插值方法，构建子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式；
(8)结合对子结构的设计变量的惩罚，建立与子结构相对应的超单元刚度矩阵的解析近似计算公式。
2.如权利要求1所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：在步骤(1)中先选定子结构的构型形式，然后根据宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的尺寸，选定对应微观尺度上的子结构的尺寸；其中，这两种尺度上的尺寸比例在整个优化过程中保持不变，即微观尺度上的子结构的尺寸越小，则对应宏观尺度上采用大小一致的子结构有限元离散的整体结构的子结构数目越多。
3.如权利要求2所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：在步骤(3)中为了生成一系列具有不同密度值的子结构，使设计变量ρ取一系列不同的值ρj，其中，j表示生成的各子结构的编号，并且j＝1，2，…，M，M表示生成的这些子结构的总数；所述子结构的设计变量ρ∈[0,1]，0表示子结构没有材料，1表示子结构充满实体材料，0＜ρ＜1表示子结构含有孔洞而没有完全充满实体材料。
4.如权利要求3所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：一系列所述超单元刚度矩阵由以下公式获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵，Kbb(ρj)是第j个子结构边界节点对应的子刚度矩阵，Kii(ρj)是第j个子结构内部节点对应的子刚度矩阵，Kib(ρj)，Kbi(ρj)均是第j个子结构边界节点与内部节点相互耦合的子刚度矩阵。
5.如权利要求4所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：通过本征正交分解，该系列超单元刚度矩阵的特征缩减基由以下公式获得：
式中，是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵所有列向量顺序排列而成的列向量形式刚度矩阵，λq是第q阶特征值，φq是第q个特征缩减基，本征正交分解过程中，取q＝1，2，…，m，m表示保留的特征缩减基的个数。
6.如权利要求5所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：所述各超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数由以下公式获得：
式中，α(ρj)＝[α1(ρj),α2(ρj),...,αm(ρj)]是与第j个子结构相对应的超单元刚度矩阵的特征缩减基映射系数，α(ρj)中的第q个分量αq(ρj)与φq是一一对应的。
7.如权利要求6所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：基于步骤(6)提取的特征缩减基映射系数，在第h个设计变量区间[ρh,ρh+1]上，所述子结构的设计变量与特征缩减基映射系数之间的参数化计算公式表示如下：
式中，是子结构对应的第q个特征缩减基映射系数，c(h,q,r)是三次样条插值多项式第(r+1)项的系数，其中，r＝0，1，2，3；h＝1，2，…，M-1。
8.如权利要求7所述的多层级点阵结构拓扑优化设计的子结构插值模型建模方法，其特征在于：所述子结构对应的超单元刚度矩阵K*(ρ)的解析近似计算公式表示如下：
式中，p为惩罚因子，是通过三次样条插值方法得到的与第l个特征缩减基相对应的特征缩减基映射系数，[φl]表示将向量形式的特征缩减基φl转换为与其对应的矩阵形式，l＝1，2，…，m。
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