CN107808038A - 一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法，首先构建拉索的横向振动泛函，然后采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解，得到拉索的横向振动圆频率，最后通过公式f＝ω/2π计算得到拉索的横向振动频率f，在构建横向振动泛函过程中，设定拉索两端的边界约束参数，在选取拉索两端的边界约束条件后可以获取拉索两端的边界约束参数用于拉索的横向振动泛函中，采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解的过程中，通过选取合适的拉索横向振动位移分布函数来得到拉索的特征矩阵方程，通过求解特征矩阵方程来得到拉索的横向振动圆频率；优点是在保证求解过程简单的基础上，误差较小，精度较高。

Description

一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法
技术领域
本发明涉及一种拉索横向振动频率的求解方法，尤其是涉及一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法。
背景技术
拉索作为桥梁主要的受力部件，对桥梁的安全起到了至关重要的作用。在桥梁建造和运营过程中，需要获取拉索的实际索力，由此来判断桥梁是否处于安全状态。由于拉索的索力与其横向振动频率之间存在着特定的关系，拉索的索力可由其横向振动频率换算而间接得到，目前主要是通过先求解得到拉索的横向振动频率，然后基于该横向振动频率换算得到拉索的索力。
现有的拉索横向振动频率的求解方法主要是基于拉索两端的边界约束条件和拉索相关参数实现求解。拉索两端的边界约束条件有三种：两端固支、两端简支以及一端固支一端简支。目前，主要是通过选择拉索两端的边界约束条件后采用不同的方法实现横向振动频率的求解的。将拉索两端的边界约束条件选择为两端固支时，需要求解双曲函数的超越方程来得到横向振动频率，虽然该方法求解精度高但求解过程很复杂。将拉索两端的边界约束条件选择为两端简支时，可以采用成熟的频率求解公式计算得到频率，求解过程简单，但是该求解方法中，是将拉索两端的边界约束条件视为理想状态，而在实际应用中，拉索的端部是通过锚具与主梁和索塔相连接的，在工程中锚具连接方式较为复杂，拉索两端与锚具连接，不可能处于理想状态，拉索两端的理想化边界约束条件与拉索两端的实际边界约束条件存在较大的误差，由此导致计算得到的拉索横向振动频率误差较大，进而通过该拉索横向振动频率转换得到的拉索索力误差也较大。将拉索两端的边界约束条件选择为一端固支一端简支时，也需要求解双曲函数的超越方程，求解过程仍然很复杂。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种在保证求解过程简单的基础上，误差较小，精度较高的任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法，包括以下步骤：
(1)构建拉索的横向振动泛函，具体过程为：
a.设定拉索两端的边界约束参数：假定拉索的左端被第一支撑弹簧支撑，被第一扭转弹簧扭转，拉索的右端被第二支撑弹簧支撑，被第二扭转弹簧扭转，将第一支撑弹簧对拉索左端的约束记为k1，第二支撑弹簧对拉索右端的约束记为k2，第一扭转弹簧对拉索左端的约束记为kr1，第二扭转弹簧对拉索右端的约束记为kr2；
b.选取拉索两端的边界约束条件：如果拉索两端的边界约束条件选为两端简支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝0N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为两端固支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝1011N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为一端简支一端固支，则k1＝1011N/m,k2＝1011N/m，kr1＝1011N·m/rad,kr2＝0N·m/rad；
c.定义拉索的振动坐标系，将拉索长度方向定义为振动坐标系的横坐标，拉索横向振动方向定义为振动坐标系的纵坐标，将拉索的左端定义为振动坐标系的零点；
将拉索的动能记为T，拉索的总势能记为V，拉索拉伸应变能记为Vs，拉索弯曲应变能记为Vf，拉索存储在第一支撑弹簧、第一扭转弹簧、第二支撑弹簧和第二扭转弹簧中的弹性势能之和记为Vk，其中：
w＝w(x)ejωt (1)
V＝＝Vs+Vf+Vk (3)
上述公式中，w为拉索在纵坐标上的位置，x为拉索在横坐标上的位置，w(x)为拉索横向振动位移分布函数，ejωt表示与时间有关的函数，e为自然对数的底，,j为虚数单位，t为拉索横向振动时间，ω为拉索待求解的横向振动圆频率，m为拉索单位长度的质量，单位为kg/m，符号“·”表示对时间t求导数，代表偏导数符号，∫代表积分号，E为拉索的弹性模量，I为拉索的截面惯性矩，S为拉索的初索力，l为拉索的长度；
d.构建拉索的拉格朗日泛函L：
L＝V-T (7)
e将公式(2)～公式(6)代入公式(7)中得到公式(8)：
d.将公式(8)作为拉索的横向振动泛函；
(2)采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解，得到拉索的横向振动圆频率，具体求解过程为：
A.先根据公式(9)进行坐标转化，将坐标系的横坐标x的变化范围0～l变换到Chebyshev级数法的定义区间[-1，1]上，然后采用Chebyshev级数法构建得到拉索横向振动位移分布函数w(x)的表达式：
x＝l(1+ζ)/2 (9)
其中，ζ为Chebyshev级数法定义区间的变量，|ζ|≤1，| |为取绝对值符号，“/”为除运算符号，N为Chebyshev多项式的总阶数，N为大于等于10且小于等于80的整数，n＝0，1，2…，N，Σ为求和运算符号，Tn(ζ)为Chebyshev多项式的第n项表达式，An为拉索横向振动位移分布函数中的未知系数；
B.将Tn(ζ)采用公式(11)表示为；
其中，g＝0，1，2…，[n/2],其中，[]为取整符号，！为阶乘符号。
C.按照Rayleigh-Ritz法，令拉索的横向振动泛函对拉索横向振动位移分布函数中的未知系数An取极值，公式为：
展开公式(12)得到特征矩阵方程：
(K-ω2Μ)G＝0 (13)
G表示未知系数An的向量，K表示拉索的刚度矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的刚度矩阵K中第a行第b列的元素记为Ka,b，a＝0，1，2，…，N，b＝0，1，2…，N；Μ表示拉索的质量矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的质量矩阵Μ中第a行第b列的元素记为Ma,b；Ka,b、Ma,b和G的表达式如下所示：
G＝[A0,A1,…AN]T (16)
其中，公式(16)中，[]T表示矩阵的转置；
D.对特征矩阵方程进行求解，计算得到拉索的横向振动圆频率ω；
(3)根据公式f＝ω/2π计算得到拉索的横向振动频率f。
与现有技术相比，本发明的优点在于首先构建拉索的横向振动泛函，然后采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解，得到拉索的横向振动圆频率，最后通过公式f＝ω/2π计算得到拉索的横向振动频率f，在构建拉索的横向振动泛函过程中，基于能量变分方法设定拉索两端的边界约束参数，在选取拉索两端的边界约束条件后可以获取拉索两端的边界约束参数用于拉索的横向振动泛函中，采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解的过程中，通过选取合适的拉索横向振动位移分布函数来得到拉索的特征矩阵方程，通过求解特征矩阵方程来得到拉索的横向振动圆频率，从而解决了对拉索横向振动特性中需要求解超越方程的问题，保证求解过程比较简单，拉索的特征矩阵方程既考虑了拉索的弯曲刚度，同时也考虑了边界约束条件，误差较小，精度较高；本发明方法不需要考虑含有双曲函数的超越方程对计算结果不收敛的影响，同时当边界约束条件改变时，仅需变化边界约束参数即可实现，处理过程简单，易于编程计算，输出结果精度高。
附图说明
图1为任意边界约束条件下拉索的横向振动模型。
具体实施方式
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
实施例：一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法，包括以下步骤：
(1)构建拉索的横向振动泛函，具体过程为：
a.设定拉索两端的边界约束参数：假定拉索的左端被第一支撑弹簧支撑，被第一扭转弹簧扭转，拉索的右端被第二支撑弹簧支撑，被第二扭转弹簧扭转，将第一支撑弹簧对拉索左端的约束记为k1，第二支撑弹簧对拉索右端的约束记为k2，第一扭转弹簧对拉索左端的约束记为kr1，第二扭转弹簧对拉索右端的约束记为kr2；任意边界约束条件下拉索的横向振动模型如图1所示；
b.选取拉索两端的边界约束条件：如果拉索两端的边界约束条件选为两端简支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝0N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为两端固支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝1011N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为一端简支一端固支，则k1＝1011N/m,k2＝1011N/m，kr1＝1011N·m/rad,kr2＝0N·m/rad；
c.定义拉索的振动坐标系，将拉索长度方向定义为振动坐标系的横坐标，拉索横向振动方向定义为振动坐标系的纵坐标，将拉索的左端定义为振动坐标系的零点；
将拉索的动能记为T，拉索的总势能记为V，拉索拉伸应变能记为Vs，拉索弯曲应变能记为Vf，拉索存储在第一支撑弹簧、第一扭转弹簧、第二支撑弹簧和第二扭转弹簧中的弹性势能之和记为Vk，其中：
w＝w(x)ejωt (1)
V＝＝Vs+Vf+Vk (3)
上述公式中，w为拉索在纵坐标上的位置，x为拉索在横坐标上的位置，w(x)为拉索横向振动位移分布函数，ejωt表示与时间有关的函数，e为自然对数的底，,j为虚数单位，t为拉索横向振动时间，ω为拉索待求解的横向振动圆频率，m为拉索单位长度的质量，单位为kg/m，符号“·”表示对时间t求导数，代表偏导数，∫代表积分号，E为拉索的弹性模量，I为拉索的截面惯性矩，S为拉索的初索力，l为拉索的长度；
d.构建拉索的拉格朗日泛函L：
L＝V-T (7)
e将公式(2)～公式(6)代入公式(7)中得到公式(8)：
d.将公式(8)作为拉索的横向振动泛函；
(2)采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解，得到拉索的横向振动圆频率，具体求解过程为：
A.先根据公式(9)进行坐标转化，将坐标系的横坐标x的变化范围0～l变换到Chebyshev级数法的定义区间[-1，1]上，然后采用Chebyshev级数法构建得到拉索横向振动位移分布函数w(x)的表达式：
x＝l(1+ζ)/2 (9)
其中，ζ为Chebyshev级数法定义区间的变量，|ζ≤1，| |为取绝对值符号，“/”为除运算符号，N为Chebyshev多项式的总阶数，N为大于等于10且小于等于80的整数，n＝0，1，2…，N，Σ为求和运算符号，Tn(ζ)为Chebyshev多项式的第n项表达式，An为拉索横向振动位移分布函数中的未知系数；
B.将Tn(ζ)采用公式(11)表示为；
其中，g＝0，1，2…，[n/2],其中，[]为取整符号，！为阶乘符号。
C.按照Rayleigh-Ritz法，令拉索的横向振动泛函对拉索横向振动位移分布函数中的未知系数An取极值，公式为：
展开公式(12)得到特征矩阵方程：
(K-ω2Μ)G＝0 (13)
G表示未知系数An的向量，K表示拉索的刚度矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的刚度矩阵K中第a行第b列的元素记为Ka,b，a＝0，1，2，…，N，b＝0，1，2…，N；Μ表示拉索的质量矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的质量矩阵Μ中第a行第b列的元素记为Ma,b；Ka,b、Ma,b和G的表达式如下所示：
G＝[A0,A1,…AN]T (16)
其中，公式(16)中，[]T表示矩阵的转置；
D.对特征矩阵方程进行求解，计算得到拉索的横向振动圆频率ω；
(3)根据公式f＝ω/2π计算得到拉索的横向振动频率f。
以下通过实验验证对本发明方法的优益性进行验证：
将拉索两端的边界约束条件选为两端简支，此时k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝0N·m/rad，其他具体数据为：拉索长度l＝190.22m，拉索的单位长度的质量m＝60.74kg/m，拉索的初索力S＝3959kN，拉索的弹性模量E＝2×1011N/m2，拉索的截面惯性矩I＝7.1869×10- 4m4,，在模态阶数1-5时，采用本发明的方法得到的拉索横向振动频率与理想值的对比数据如下表1所示。
表1
将拉索两端的边界约束条件选为两端固支，k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝1011N·m/rad，其他具体数据为：拉索的弹性模量E＝2×1011N/m2，拉索的截面惯性矩I＝1.335×10- 6m-4，拉索的长度l＝8.21m，拉索的初索力S＝574.31kN，拉索的单位长度的质量m＝24.0kg/m。，采用本发明的方法得到的拉索横向振动频率在模态阶数1-5是与现有方法求解得到的拉索横向振动频率对比数据如下表2所示。
表2
分析表1和表2可知，本发明的求解结果与理想值以及采用现有的求解方法得到的结果吻合良好，验证了本发明在拉索横向振动频率求解的正确性，并且本发明方法在求解方法上更加简洁，当边界条件改变时，不需要对理论模型进行修改，仅需设置边界约束刚度系数即可得到，在求解拉索横向振动频率上更加方便；同时处理过程简单，易于编程计算，输出结果精度高。

Claims (1)

1.一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法，其特征在于包括以下步骤：
(1)构建拉索的横向振动泛函，具体过程为：
a.设定拉索两端的边界约束参数：假定拉索的左端被第一支撑弹簧支撑，被第一扭转弹簧扭转，拉索的右端被第二支撑弹簧支撑，被第二扭转弹簧扭转，将第一支撑弹簧对拉索左端的约束记为k1，第二支撑弹簧对拉索右端的约束记为k2，第一扭转弹簧对拉索左端的约束记为kr1，第二扭转弹簧对拉索右端的约束记为kr2；
b.选取拉索两端的边界约束条件：如果拉索两端的边界约束条件选为两端简支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝0N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为两端固支，则k1＝k2＝1011N/m，kr1＝kr2＝1011N·m/rad；如果拉索两端的边界约束条件选为一端简支一端固支，则k1＝1011N/m,k2＝1011N/m，kr1＝1011N·m/rad,kr2＝0N·m/rad；
c.定义拉索的振动坐标系，将拉索长度方向定义为振动坐标系的横坐标，拉索横向振动方向定义为振动坐标系的纵坐标，将拉索的左端定义为振动坐标系的零点；
将拉索的动能记为T，拉索的总势能记为V，拉索拉伸应变能记为Vs，拉索弯曲应变能记为Vf，拉索存储在第一支撑弹簧、第一扭转弹簧、第二支撑弹簧和第二扭转弹簧中的弹性势能之和记为Vk，其中：
w＝w(x)ejωt (1)
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V＝＝Vs+Vf+Vk (3)
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上述公式中，w为拉索在纵坐标上的位置，x为拉索在横坐标上的位置，w(x)为拉索横向振动位移分布函数，ejωt表示与时间有关的函数，e为自然对数的底，,j为虚数单位，t为拉索横向振动时间，ω为拉索待求解的横向振动圆频率，m为拉索单位长度的质量，单位为kg/m，符号“·”表示对时间t求导数，代表偏导数，∫代表积分号，E为拉索的弹性模量，I为拉索的截面惯性矩，S为拉索的初索力，l为拉索的长度；
d.构建拉索的拉格朗日泛函L：
L＝V-T (7)
e将公式(2)～公式(6)代入公式(7)中得到公式(8)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>l</mi> </msubsup> <mi>E</mi> <mi>I</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>l</mi> </msubsup> <mi>S</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>m&amp;omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>l</mi> </msubsup> <msup> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
d.将公式(8)作为拉索的横向振动泛函；
(2)采用Chebyshev级数法对拉索的横向振动泛函进行求解，得到拉索的横向振动圆频率，具体求解过程为：
A.先根据公式(9)进行坐标转化，将坐标系的横坐标x的变化范围0～l变换到Chebyshev级数法的定义区间[-1，1]上，然后采用Chebyshev级数法构建得到拉索横向振动位移分布函数w(x)的表达式：
x＝l(1+ζ)/2 (9)
<mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>A</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ζ为Chebyshev级数法定义区间的变量，|ζ|≤1，| |为取绝对值符号，“/”为除运算符号，N为Chebyshev多项式的总阶数，N为大于等于10且小于等于80的整数，n＝0，1，2…，N，Σ为求和运算符号，Tn(ζ)为Chebyshev多项式的第n项表达式，An为拉索横向振动位移分布函数中的未知系数；
B.将Tn(ζ)采用公式(11)表示为；
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>n</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>g</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，g＝0，1，2…，[n/2],其中，[]为取整符号，！为阶乘符号。
C.按照Rayleigh-Ritz法，令拉索的横向振动泛函对拉索横向振动位移分布函数中的未知系数An取极值，公式为：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
展开公式(12)得到特征矩阵方程：
(K-ω2Μ)G＝0 (13)
G表示未知系数An的向量，K表示拉索的刚度矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的刚度矩阵K中第a行第b列的元素记为Ka,b，a＝0，1，2，…，N，b＝0，1，2…，N；Μ表示拉索的质量矩阵，其维数为N行N列，将位于拉索的质量矩阵Μ中第a行第b列的元素记为Ma,b；Ka,b、Ma,b和G的表达式如下所示：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> <msup> <mi>l</mi> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>l</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>l</mi> </msubsup> <msub> <mi>T</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;zeta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
G＝[A0,A1,…AN]T (16)
其中，公式(16)中，[]T表示矩阵的转置；
D.对特征矩阵方程进行求解，计算得到拉索的横向振动圆频率ω；
(3)根据公式f＝ω/2π计算得到拉索的横向振动频率f。
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