CN117271949A - 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统 - Google Patents

考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统 Download PDF

Info

Publication number
CN117271949A
CN117271949A CN202311566682.8A CN202311566682A CN117271949A CN 117271949 A CN117271949 A CN 117271949A CN 202311566682 A CN202311566682 A CN 202311566682A CN 117271949 A CN117271949 A CN 117271949A
Authority
CN
China
Prior art keywords
equation
suspension cable
cable
vibration
target suspension
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Granted
Application number
CN202311566682.8A
Other languages
English (en)
Other versions
CN117271949B (zh
Inventor
李涛
罗康
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
East China Jiaotong University
Original Assignee
East China Jiaotong University
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by East China Jiaotong University filed Critical East China Jiaotong University
Priority to CN202311566682.8A priority Critical patent/CN117271949B/zh
Publication of CN117271949A publication Critical patent/CN117271949A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN117271949B publication Critical patent/CN117271949B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G06F17/12—Simultaneous equations, e.g. systems of linear equations
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G06F17/13—Differential equations
    • Y—GENERAL TAGGING OF NEW TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS; GENERAL TAGGING OF CROSS-SECTIONAL TECHNOLOGIES SPANNING OVER SEVERAL SECTIONS OF THE IPC; TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS
    • Y02—TECHNOLOGIES OR APPLICATIONS FOR MITIGATION OR ADAPTATION AGAINST CLIMATE CHANGE
    • Y02T—CLIMATE CHANGE MITIGATION TECHNOLOGIES RELATED TO TRANSPORTATION
    • Y02T90/00—Enabling technologies or technologies with a potential or indirect contribution to GHG emissions mitigation

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Operations Research (AREA)
  • Databases & Information Systems (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Measurement Of Mechanical Vibrations Or Ultrasonic Waves (AREA)

Abstract

本发明提出一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统，所述方法包括：根据悬索静平衡状态参数和线形方程，建立悬索振动的偏微分方程，构建所述水平索力增量和所述振动位移的关系式；根据悬索的弹性边界条件，将竖向振动位移表示为满足弹性边界条件的三角函数的叠加，进而确定悬索振动的模态函数和水平索力增量，将其代入振动方程，并基于分离变量法，获得悬索振动的频率方程；根据加权余量原理，对频率方程求解，得到振动频率和对应的模态函数。本发明在计算悬索自振特性时能够准确考虑悬索的大垂度效应和弹性支撑边界，计算方便快捷且成本低，能广泛并准确地适用于各类索结构。

Description

考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统
技术领域
本发明涉及桥梁结构工程领域，特别涉及一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统。
背景技术
索结构广泛应用于工程中的缆索承重桥梁、预应力钢桁架、高压输电结构、穹顶、索道等体系中，通常需要对这些索结构的各项指标进行计算和监测，而自振特性是索结构重要的指标之一。
目前，为研究悬索的自振特性，通常将其假定为小垂度，并有理想的刚性支撑边界。在实际工程中多数索结构满足小垂度假定（垂跨比小于0.1），此时可在结构的振动方程中忽略索质量沿弦长分布的不均匀性，取一恒定值。
然而，个别场景下悬索的垂跨比较大，如自锚式悬索桥的主缆，垂跨比可达0.25，此时若仍采用小垂度假定，将导致振动方程中的质量分布不够准确，致使自振特性的分析结果偏差较大。对于理想刚性边界的假定，在实际工程中也并不广泛适用，如斜拉桥的拉索，其下端通过锚具与主梁连接，在桥梁振动过程中主梁不可避免地存在动态位移，此时斜拉索的支撑不满足刚性边界；悬索桥主缆的各根高强钢丝，通过锚杆固定于锚面，而锚杆为高强钢丝提供了可变形的支撑边界。由此可见，工程中常见的情形是：悬索两端的边界条件并非理想刚性支撑，而是可变形的弹性支撑。因此，现有基于小垂度和理想刚性支撑假定的悬索自振特性分析，不能广泛并准确地适用于各类索结构。
发明内容
基于此，本发明的目的是提出一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统，旨在解决因小垂度和理想刚性支撑假定而导致悬索自振特性分析准确度不足的问题。
根据本发明提出的一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法，所述方法包括：
获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数。
与现有技术相比，本发明在采用分离变量法将偏微分转化为频率方程时，充分考虑了弹性支承边界的影响；在此基础上，根据加权余量原理，由频率方程获得未知量为振动频率的方程，对该方程进行求解，即可获取悬索的频率与模态。在振动偏微分方程中充分考虑了初始线形（大垂度悬链线）的影响。由此，本发明可同时考虑目标悬索大垂度效应和弹性支撑边界因素，使得悬索自振特性分析准确度大大提高，能广泛地适用于各类索结构自振分析。
进一步地，所述获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程的步骤包括：
用于表示所述目标悬索在静平衡状态的悬链线方程为：
，
其中，表示所述目标悬索的线形函数，/>表示与/>对应的横坐标位置，/>为静平衡状态下目标悬索的水平索力，/>为目标悬索弦长，/>为目标悬索容重。
进一步地，所述根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式的步骤包括：
所述目标悬索在竖向振动上的偏微分方程为：
，
其中，为单位长度索质量，/>为函数/>的简写，/>为目标悬索竖向振动位移，/>表示目标悬索竖向振动位移对位置/>求二阶导数，/>表示目标悬索竖向振动位移对时间求二阶导数，/>表示线形函数对位置/>求一阶导数，/>为目标悬索的水平索力增量。
进一步地，所述根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式的步骤包括：
构建所述目标悬索在变形前处于静平衡状态下的微分索段的长度表达式为：
，
其中，的上标“/>”表示线形函数对位置/>求一阶导数；
构建所述目标悬索在变形后处于动平衡状态下的微分索段的长度表达式为：
，
其中，分别表示所述微分索段在外荷载下的水平向和竖向振动位移，/>的上标“/>”表示水平向和竖向振动位移对位置/>求一阶导数；
联立与/>表达式，得所述微分索段的应变增量/>为：
，
该微分索段的拉力增量为：
，
其中为目标悬索截面轴向刚度，
则所述水平索力增量和振动位移/>的关系式为：
，
经等式变换并积分可得：
，
其中。
进一步地，所述根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件的步骤包括：
所述目标悬索的弹性边界条件为：
，
其中，、/>为目标悬索一端支座竖向与水平向支撑刚度，/>、/>为目标悬索另一端支座竖向与水平向支撑刚度。
进一步地，所述确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为反对称模态时，所述水平索力增量，则所述偏微分方程退化为：
，
对应的所述弹性边界条件退化为：
；
采用分离变量法，令：
，
其中为待定系数，/>为模态函数，/>为目标悬索振动的广义坐标，对应的频率方程表达为：
，
其中，为振动的圆频率。
进一步地，所述确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为正对称模态时，采用分离变量法，分别假定：
，/>，/>，
其中，、/>为满足所述弹性边界条件的函数，/>表示目标悬索振动的广义坐标，/>表示平均水平索力增量；
为保证满足所述弹性边界条件，设所述竖向振动位移为：
，
则有：
，
综合所述弹性边界条件及所述模态函数，得：
，
将上式代入所述竖向振动位移方程并约去广义坐标，所得对应的频率方程表达式为：
，
其中，为振动的圆频率。
进一步地，所述根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为反对称模态时，根据加权余量原理，所述微分方程应满足加权后的残差积分为零，即：
，
由上式得个线性方程组，未知系数包含/>，所述线性方程组表示为：
，
其中，矩阵表示包含频率/>的系数矩阵；由于上式必存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数行列式等于零，即：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，求解所述非线性方程，获得/>个解，即对应目标悬索的/>个频率；
指定其中一个=1，并在线性方程组中去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(-1)个未知量的线性方程组，求解获得所有未知系数/>的值，代入/>表达式，即得到所述反对称模态。
进一步地，所述根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为正对称模态时，根据加权余量原理，所述分方程应满足加权后的残差积分最小，即：
，
由上式可得个线性方程组，未知系数包含/>，所述线性方程组表示为：
，
其中，矩阵表示包含频率/>的系数矩阵，由于所述线性方程组存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数矩阵行列式等于零，即：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，求解所述非线性方程，获得/>个解，即对应目标悬索的/>个频率；
指定其中一个=1，并在线性方程组中去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(-1)个未知量的线性方程组，求解获得所有未知系数/>的值，代入对应的/>表达式，即得到所述正对称模态。
根据本发明实施例的一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析系统，所述系统包括：
收集悬索参数模块，用于获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
构建振动方程模块，用于根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
考虑边界条件模块，用于根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
构建频率方程模块，用于确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
求解频率及模态模块，用于根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数。
本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实施例了解到。
附图说明
图1为本发明第一实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法的流程图；
图2为本发明第二实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法的流程图；
图3为本发明第二实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法中任意微索段在初始静平衡状态受力分析图；
图4为本发明第二实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法中微索段变形理论模型；
图5为本发明第二实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法中悬索弹性边界的力学分析示意图；
图6为本发明第三实施例提出的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析系统的结构示意图。
如下具体实施方式将结合上述附图进一步说明本发明。
具体实施方式
为了便于理解本发明，下面将参照相关附图对本发明进行更全面的描述。附图中给出了本发明的若干个实施例。但是，本发明可以以许多不同的形式来实现，并不限于本文所描述的实施例。相反地，提供这些实施例的目的是使本发明的公开内容更加透彻全面。
除非另有定义，本文所使用的所有的技术和科学术语与属于本发明的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本文中在本发明的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是旨在于限制本发明。本文所使用的术语“及／或”包括一个或多个相关的所列项目的任意的和所有的组合。
请参阅图1，所示为本发明第一实施例中的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法的流程图，该方法包括步骤S01至步骤S05，其中：
步骤S01：获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
具体地，构建目标悬索初始静平衡状态的线形函数，需要获取到目标悬索处于静力平衡状态下的相关参数，这些参数包括：弹性模量，截面积/>，容重/>，弦长/>，以及水平索力/>；根据力学平衡原理，可以得到微分索段受力分析图，再根据受力分析图可以得到微分索段的力学平衡方程式：
，
解上式方程可得：
，
其中，、/>为与边界条件相关的参数；
考虑在边界条件下，可以经方程式变形后得到用于表示所述目标悬索振动特征的悬链线方程：
。
步骤S02：根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
具体地，由汉密尔顿原理建立悬挂缆索竖向振动的偏微分方程为：
，
其中，为单位长度索质量，/>为函数/>的简写，/>为索竖向振动的位移函数，上标“/>”表示变量对位置/>求二阶导数（同理，以下“/>”表示求一阶导数），/>表示竖向位移对时间求二阶导数，/>为水平索力增量。
进一步地，确定所述水平索力增量与振动位移之间的表达式；
首先，构建所述目标悬索在变形前处于静平衡状态下的微分索段的长度表达式为：
，
其中，为函数/>的简写，/>的上标“/>”表示线性函数对位置/>求一阶导数；
其次，构建所述目标悬索在变形后的微分索段的长度为：
，
其中，分别表示所述微分索段在外荷载下的水平向和竖向位移，/>的上标“/>”表示水平向和竖向位移对位置/>求一阶导数。
联立以上两式，可得该索段的应变增量为：
，
对应的拉力增量应为：
，
则所述水平索力增量和所述振动位移的关系式为：
，
经等式变换并积分可得：
，
其中，。
步骤S03：根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
具体地，所述目标悬索的弹性边界条件为：
，
其中，、/>为悬索一端支座竖向与水平向支撑刚度，/>、/>为悬索另一端支座竖向与水平向支撑刚度。
步骤S04：确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
具体地，若所述悬索竖向振动为反对称模态时，所述水平索力增量，则对应的所述偏微分方程退化为：
，
对应的所述弹性边界条件退化为：
；
采用分离变量法，令：
，
其中，为待定系数，/>为模态函数，/>为悬索振动的广义坐标；将上式代入振动方程并约去广义坐标，可得对应的频率方程为：
，
其中，为振动的圆频率。
若所述悬索竖向振动为正对称模态时，采用分离变量法，分别假定：
，/>，/>，
其中，、/>为满足所述弹性边界条件的函数，/>表示悬索振动的广义坐标，/>表示平均水平索力增量；
为保证满足所述弹性边界条件，设所述竖向振动位移为：
，
则有：
，
综合所述弹性边界条件及所述模态函数表达式，代入上式可得：
，
将所述偏微分振动方程转化为频率方程式：
。
步骤S05：根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数；
具体地，根据加权余量原理，所述微分方程应满足加权后的残差积分为零，即反对称模态时，有：
，
正对称模态时，有：
，
由上式得个线性方程组，未知系数包含/>，所述线性方程组表示为：
，
其中，矩阵表示包含频率/>的系数矩阵，由于所述线性方程组存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数矩阵行列式等于零，即：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，求解所述非线性方程，获得/>个解，即对应悬索的/>个频率；
指定其中一个=1，并在线性方程组中去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(-1)个未知量的线性方程组，求解获得所有未知系数/>的值，分别代入对应的/>、表达式，即得到反对称模态和正对称模态函数。
综上，根据上述的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法，通过根据目标悬索处于静力平衡下的悬链线方程和结构参数，确定目标悬索在竖向振动的偏微分方程，构建水平索力增量和振动位移之间的关系式；另外，由于目标悬索在弹性支撑下发生振动，还需考虑弹性边界条件对模态函数的影响；通过对悬索振动的反对称模态和正对称模态分别进行分析，可得出水平索力增量表达式；在此基础上，采用分离变量将振动方程转化为对应的频率方程式；根据加权余量原理，对该频率方程式进行求解，可以得到悬索频率和对应的模态函数；由此，本发明同时考虑了目标悬索大垂度效应和弹性支撑边界因素，使得悬索自振特性分析准确度大大提高，能广泛地适用于各类索结构。
请参阅图2，所示为本发明第二实施例中的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法的流程图，该方法包括以下步骤：
步骤S1：获取悬索静力平衡状态参数；
具体参数包括：弹性模量，截面积/>，容重/>，弦长/>，以及水平索力/>；
步骤S2：建立微分索段受力分析图式；
如图 3所示，根据力学平衡方程，可得悬索静平衡状态的微分方程：
，
式中为线形函数/>的简写，解此微分方程可得：
，
式中、/>为与边界条件相关的参数，在边界/>条件下，可确定上式中的边界参数，则可表达为：
，
值得说明的是，上式是在悬索两端等高的条件下确定的；若悬索两端存在高差，则应根据具体情况，修改边界条件。
步骤S3：建立悬索振动位移图式；
如图 4所示，其中，代表变形前微分索段静平衡状态，/>代表变形后微分索段动平衡状态；任取一长度为/>的微索段，其左端(/>节点)坐标为/>，右端(/>节点)坐标可表示为/>，则/>可表示为：
，
设为该索段变形后的长度，/>分别表示该索段在外荷载下的水平向和竖向位移，则发生变形后该索段左端坐标为/>，右端坐标为，其中/>，此时该索段的长度/>可表示为：
，
联立及/>表达式，可得该索段的应变增量/>为：
，
对应的拉力增量应为：
，
则水平索力增量为：
，
经等式变换并在等式两边积分可得：
,
其中，为悬索纵向振动的位移，/>；
由汉密尔顿原理建立悬索竖向振动的偏微分方程：
，
其中为单位长度索质量，/>为函数/>的简写，/>为索竖向振动的位移函数，上标“/>”表示变量对位置/>求二阶导数，同理，以下“/>”表示求一阶导数；
如图5所示，在弹性支承下，悬索的边界条件如下：
，/>
其中、/>为悬索左支座竖向与水平向支撑刚度，/>、/>为悬索右支座竖向与水平向支撑刚度。
步骤S4：当竖向振动模态为反对称模态时；
步骤S41：根据分离变量法，结合弹性边界条件，确定模态函数；
需要说明的是，已知为关于跨径中点的奇函数，当/>为关于中点的反对称模态时，函数/>则为关于跨径中点的奇函数，此时/>，将边界条件、/>、/>、/>代入式得：
，
由上式可知，此时，则振动方程/>退化为：
，
边界条件退化为：
，
采用分离变量法，可令：
，
其中为待定系数，/>为模态函数，/>为悬索振动的广义坐标，对应的频率方程可表达为：
，
其中，为振动的圆频率；
步骤S42：根据加权余量法，使频率方程与各三角函数的加权在跨径范围积分为零，得到包含振动频率和各三角函数系数的线性方程组；
具体地，频率方程应满足加权后的残差积分为零：
，
由上式可得个线性方程组；
步骤S43：获取未知方程组中系数的系数矩阵，令系数矩阵行列式等于零，求解确定频率，所得频率代入方程组确定模态；
具体地，在个线性方程组中，未知系数为含/>，可表示为：
，
矩阵表示矩阵/>是未知频率/>的函数。由于上式必存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数行列式等于零：/>
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，解此方程可获取其/>个解，即对应悬索的/>个频率。为获取频率/>对应的模态，可指定其中一个/>=1，并在方程组/>中任意去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(/>-1)个未知量的线性方程组，求解即可获得所有未知系数/>的值，代入/>中的/>表达式，即得对应的反对称模态。
步骤S5：当竖向振动模态为正对称模态时；
步骤S51：根据分离变量法，结合弹性边界条件，确定模态函数，进而确定水平索力增量；
具体地，采用分离变量法，可分别假定，/>，，其中/>、/>为满足边界条件/>、/>、、/>的函数，/>索振动的广义坐标，/>为平均水平索力增量。为保证/>满足边界条件，可设：
，
则有：
，
将边界条件及/>表达式代入上式，可得：
，
将及/>表达式代入振动方程/>，并约去广义坐标/>，将其化为频率方程：
，
其中，为振动的圆频率；
步骤S52：根据加权余量法，使频率方程与各三角函数的加权在跨径范围积分为零，得到包含振动频率和各三角函数系数的线性方程组；
根据加权余量原理，频率方程应满足加权后的残差积分为零，即：
，
可得个线性方程组；
步骤S53：获取方程组中未知系数的系数矩阵，令系数矩阵行列式等于零，求解确定频率，所得频率代入方程组确定模态；
具体地，在个线性方程组中，未知系数包含/>，可表示为：
，
矩阵表示矩阵/>是未知频率/>的函数。由于该物理问题存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数行列式等于零：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，解此方程可获取其/>个解，即对应悬索的/>个频率。为获取频率/>对应的模态，可指定其中一个/>=1，并在方程组/>中任意去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(/>-1)个未知量的线性方程组，求解即可获得所有未知系数/>的值，代入/>中的/>表达式，即得对应的正对称模态。
综上，本发明具有如下有益效果：本发明通过在频率方程中将索段质量表达为，可准确考虑在大垂跨比情况下，悬索质量沿弦长分布不均的问题；在索力增量计算过程中，考虑了弹性支承的影响，可用于实际工程中各类索结构的频率、模态计算，思路清晰，物理意义也更加明确，具有较高精度，较强的通用性和实用性。
请参阅图6，所示为本发明第三实施例中的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析系统的结构示意图，该系统包括：
收集悬索参数模块10，用于获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
构建振动方程模块20，用于根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
考虑边界条件模块30，用于根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
构建频率方程模块40，用于确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
求解频率及模态模块50，用于根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数。
综上，根据上述的考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法，通过根据目标悬索处于静力平衡下的悬链线方程和结构参数，确定目标悬索在竖向振动的偏微分方程，构建水平索力增量和振动位移之间的关系式；另外，由于目标悬索在弹性支撑下发生振动，因此需要考虑弹性边界条件；通过对悬索振动的反对称模态和正对称模态分别进行分析，可得出水平索力增量；在此基础上，采用分离变量将振动方程转化为对应的频率方程式；根据加权余量原理，对该频率方程式进行求解，可以得到悬索频率和对应的模态函数；由此，本发明同时考虑了目标悬索大垂度效应和弹性支撑边界因素，使得悬索自振特性分析准确度大大提高，能广泛地适用于各类索结构。
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。
以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (10)

1.一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法，所述方法包括：
获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数。
2.根据权利要求1所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程的步骤包括：
用于表示所述目标悬索在静平衡状态的悬链线方程为：
，
其中，表示所述目标悬索的线形函数，/>表示与/>对应的横坐标位置，/>为静平衡状态下目标悬索的水平索力，/>为目标悬索弦长，/>为目标悬索容重。
3.根据权利要求2所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式的步骤包括：
所述目标悬索在竖向振动上的偏微分方程为：
，
其中，为单位长度索质量，/>为函数/>的简写，/>为目标悬索竖向振动位移，/>表示目标悬索竖向振动位移对位置/>求二阶导数，/>表示目标悬索竖向振动位移对时间求二阶导数，/>表示线形函数对位置/>求一阶导数，/>为目标悬索的水平索力增量。
4.根据权利要求3所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式的步骤包括：
构建所述目标悬索在变形前处于静平衡状态下的微分索段的长度表达式为：
，
其中，的上标“/>”表示线形函数对位置/>求一阶导数；
构建所述目标悬索在变形后处于动平衡状态下的微分索段的长度表达式为：
，
其中，分别表示所述微分索段在外荷载下的水平向和竖向振动位移，/>的上标“/>”表示水平向和竖向振动位移对位置/>求一阶导数；
联立与/>表达式，得所述微分索段的应变增量/>为：
，
该微分索段的拉力增量为：
，
其中为目标悬索截面轴向刚度，
则所述水平索力增量和振动位移/>的关系式为：
，
经等式变换并积分可得：
，
其中。
5.根据权利要求4所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件的步骤包括：
所述目标悬索的弹性边界条件为：
，
其中，、/>为目标悬索一端支座竖向与水平向支撑刚度，/>、/>为目标悬索另一端支座竖向与水平向支撑刚度。
6.根据权利要求5所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为反对称模态时，所述水平索力增量，则所述偏微分方程退化为：
，
对应的所述弹性边界条件退化为：
；
采用分离变量法，令：
，
其中为待定系数，/>为模态函数，/>为目标悬索振动的广义坐标，对应的频率方程表达为：
，
其中，为振动的圆频率。
7.根据权利要求5所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为正对称模态时，采用分离变量法，分别假定：
，/>，/>，
其中，、/>为满足所述弹性边界条件的函数，/>表示目标悬索振动的广义坐标，/>表示平均水平索力增量；
为保证满足所述弹性边界条件，设所述竖向振动位移为：
，
则有：
，
综合所述弹性边界条件及所述模态函数，得：
，
将上式代入所述竖向振动位移方程并约去广义坐标，所得对应的频率方程表达式为：
，
其中，为振动的圆频率。
8.根据权利要求6所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为反对称模态时，根据加权余量原理，所述微分方程应满足加权后的残差积分为零，即：
，
由上式得个线性方程组，未知系数包含/>，所述线性方程组表示为：
，
其中，矩阵表示包含频率/>的系数矩阵；由于上式必存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数行列式等于零，即：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，求解所述非线性方程，获得/>个解，即对应目标悬索的/>个频率；
指定其中一个=1，并在线性方程组中去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(/>-1)个未知量的线性方程组，求解获得所有未知系数/>的值，代入/>表达式，即得到所述反对称模态。
9.根据权利要求7所述的悬索自振分析方法，其特征在于，所述根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数的步骤包括：
若所述目标悬索的竖向振动为正对称模态时，根据加权余量原理，所述分方程应满足加权后的残差积分最小，即：
，
由上式可得个线性方程组，未知系数包含/>，所述线性方程组表示为：
，
其中，矩阵表示包含频率/>的系数矩阵，由于所述线性方程组存在非零解，故以/>为未知数的线性方程组系数矩阵行列式等于零，即：
，
由此得到仅包含频率的非线性方程，求解所述非线性方程，获得/>个解，即对应目标悬索的/>个频率；
指定其中一个=1，并在线性方程组中去掉一个方程，获得包含(/>-1)个方程和(/>-1)个未知量的线性方程组，求解获得所有未知系数/>的值，代入对应的/>表达式，即得到所述正对称模态。
10.一种考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析系统，其特征在于，所述系统包括：
收集悬索参数模块，用于获取目标悬索处于静力平衡下的状态参数，并根据所述状态参数构建用于表示所述目标悬索的线形的悬链线方程；
构建振动方程模块，用于根据所述悬链线方程和所述状态参数建立所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程，并推导构建悬索水平索力增量和竖向振动位移的关系式；
考虑边界条件模块，用于根据所述目标悬索在弹性支撑下的竖向支撑刚度和纵向支撑刚度确定所述目标悬索的弹性边界条件；
构建频率方程模块，用于确定所述目标悬索的振动模态，在所述振动模态下，采用分离变量法构建关于竖向振动的广义坐标与模态函数的表达式，将所述目标悬索在竖向振动的偏微分方程转化为对应的频率方程；
求解频率及模态模块，用于根据加权余量原理对所述频率方程进行求解，以得到所述目标悬索的频率值，进而根据所述频率值得到对应的所述模态函数。
CN202311566682.8A 2023-11-23 2023-11-23 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统 Active CN117271949B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202311566682.8A CN117271949B (zh) 2023-11-23 2023-11-23 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202311566682.8A CN117271949B (zh) 2023-11-23 2023-11-23 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN117271949A true CN117271949A (zh) 2023-12-22
CN117271949B CN117271949B (zh) 2024-03-12

Family

ID=89216426

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN202311566682.8A Active CN117271949B (zh) 2023-11-23 2023-11-23 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN117271949B (zh)

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN117902055A (zh) * 2024-03-19 2024-04-19 四川腾盾科技有限公司 一种空投无人机开伞钢索载荷的设计方法及开伞装置

Citations (9)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN107808038A (zh) * 2017-10-12 2018-03-16 宁波大学 一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法
CN108763674A (zh) * 2018-05-16 2018-11-06 宁波大学 一种弹性边界条件下拉索弯曲振动频率的求解方法
CN111310269A (zh) * 2020-02-25 2020-06-19 东南大学 一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法
CN111651907A (zh) * 2020-07-17 2020-09-11 同济大学 一种复杂索网体系的建模分析方法
CN111695188A (zh) * 2020-06-21 2020-09-22 西北工业大学 一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法
CN111783200A (zh) * 2020-06-21 2020-10-16 西北工业大学 一种大跨度悬索桥阻尼特性的快速分析方法
CN114580148A (zh) * 2022-01-26 2022-06-03 东南大学 一种双缆悬索桥侧弯自振频率和振型的确定方法
CN115876371A (zh) * 2022-10-26 2023-03-31 东南大学 基于多阶模态振型拟合的索力光学测量方法及其测量系统
US20230341280A1 (en) * 2022-04-24 2023-10-26 Hohai University Cable tension calculation method simultaneously considering sag, inclination angle and bending stiffness

Patent Citations (9)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN107808038A (zh) * 2017-10-12 2018-03-16 宁波大学 一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法
CN108763674A (zh) * 2018-05-16 2018-11-06 宁波大学 一种弹性边界条件下拉索弯曲振动频率的求解方法
CN111310269A (zh) * 2020-02-25 2020-06-19 东南大学 一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法
CN111695188A (zh) * 2020-06-21 2020-09-22 西北工业大学 一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法
CN111783200A (zh) * 2020-06-21 2020-10-16 西北工业大学 一种大跨度悬索桥阻尼特性的快速分析方法
CN111651907A (zh) * 2020-07-17 2020-09-11 同济大学 一种复杂索网体系的建模分析方法
CN114580148A (zh) * 2022-01-26 2022-06-03 东南大学 一种双缆悬索桥侧弯自振频率和振型的确定方法
US20230341280A1 (en) * 2022-04-24 2023-10-26 Hohai University Cable tension calculation method simultaneously considering sag, inclination angle and bending stiffness
CN115876371A (zh) * 2022-10-26 2023-03-31 东南大学 基于多阶模态振型拟合的索力光学测量方法及其测量系统

Non-Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
PHANYASAHACHART, THONGCHAI.ET: "Natural Frequencies of a Very Large-Sag Extensible Cable", 《JOURNAL OF ENGINEERING MECHANICS》 *
张鹏;卢文胜;吕西林;: "支座激励下附加弹簧保护装置悬索的非线性动力分析", 振动与冲击, no. 17 *
王振等: "基于振动频率与自适应模糊神经网络的索力计算研究", 《计算机应用与软件》 *

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN117902055A (zh) * 2024-03-19 2024-04-19 四川腾盾科技有限公司 一种空投无人机开伞钢索载荷的设计方法及开伞装置
CN117902055B (zh) * 2024-03-19 2024-06-11 四川腾盾科技有限公司 一种空投无人机开伞钢索载荷的设计方法及开伞装置

Also Published As

Publication number Publication date
CN117271949B (zh) 2024-03-12

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Zhu et al. Multiscale modeling and model updating of a cable-stayed bridge. I: Modeling and influence line analysis
CN117271949B (zh) 考虑弹性边界和大垂度影响的悬索自振分析方法及系统
Banerjee et al. Exact Bernoulli–Euler dynamic stiffness matrix for a range of tapered beams
CN111783198B (zh) 一种基于双梁模型的悬索桥精细化动力分析方法
Luco et al. Linear vertical vibrations of suspension bridges: A review of continuum models and some new results
Piccardo et al. Equivalent nonlinear beam model for the 3-D analysis of shear-type buildings: Application to aeroelastic instability
CN111695188B (zh) 一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法
CN106323528B (zh) 一种索张力的高精度动测法
CN110765519A (zh) 一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法及其应用
Türker et al. Assessment of semi-rigid connections in steel structures by modal testing
CN114329697A (zh) 横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法
CN111783199A (zh) 一种多段式索缆结构动力特性的精细化快速求解方法
Li et al. Structural full-field responses reconstruction by the SVD and pseudo-inverse operator-estimated force with two-degree multi-scale models
CN111783200A (zh) 一种大跨度悬索桥阻尼特性的快速分析方法
CN113468632B (zh) 一种偏心活载作用下的悬索桥全桥响应的确定方法
CN110704894B (zh) 斜拉桥桥塔地震响应的计算方法
Kiisa et al. Discrete analysis of elastic cables
Piana et al. Long-span Suspension Bridge Flutter Analysis‎ with Drag Force Effects
CN115017681B (zh) 一种小垂度拉索动力特性的精细化分析方法
Hayashikawa Torsional vibration analysis of suspension bridges with gravitational stiffness
Demšić et al. Cable oscillations due indirect excitation
Li et al. Post Earthquake Evaluation of Axial Forces and Boundary Conditions for High-Tension Bars
You et al. 659. Comparative studies of computation tools for moving force identification.
Bozdogan et al. Vibration analysis of asymmetric shear wall structures using the transfer matrix method
Zakersalehi et al. A new integration scheme for application to seismic hybrid simulation

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant