CN111695188A - 一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种大跨度地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法，该方法首先对悬索桥主梁离散为若干离散质量块，通过对吊杆‑主梁的竖向刚度进行等效，建立了一种同时考虑主缆抗弯刚度、吊杆刚度等多因素影响的悬索桥简化动力学模型；进而基于该模型给出了悬索桥系统的运动微分方程，应用动力刚度法求解该方程并得到了系统的整体动刚度矩阵和频率方程；随后基于数值迭代算法求解了该频率方程，获得了悬索桥的模态频率和振型。该方法过程简单，由于采用的理论分析方法是一种频域解法，且所有中间变量均是以闭合形式给出，因此相比于传统数值解法具有更高计算精度和效率，能够更可靠地应用于工程结构的动力分析中。

Description

一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法

技术领域

本发明属于桥梁工程领域，涉及一种自锚式悬索桥动力特性的分析方法，尤其适用于悬索桥固有频率的快速分析。

背景技术

悬索桥由于其跨越能力强，抗震性能好、构造轻型美观，已成为特大跨度桥梁的首选桥型。目前，全世界已建成的跨度超千米的桥梁几乎均为悬索桥。

悬索桥的主要构件以承受拉力为主，因此材料利用效率高；且由于近代悬索桥的主缆由高强钢丝束制成，这种钢丝束的容许应力很高，当跨度很大时悬索桥相比其他桥型将更加经济合理；此外，由于悬索桥的构件简单、轻便，易于标准化制作及运输，便于用悬吊拼装，因此施工时不受地形、航道和季节的影响。以上特点表明：悬索桥自重轻，在刚度满足使用要求的前提下具有更为卓越的跨越能力。尤其当跨度很大时，悬索桥比其它桥型更为经济合理。

悬索桥由于结构刚度小，其动力问题相比于其他桥梁更为突出。虽然我国的公路规范当中并没有对悬索桥的动力分析做出特殊要求,但随着跨度的增大，悬索桥刚度变得更小、更柔，结构的几何非线性特征更为突出，对风的敏感性增大，其动力稳定性等问题将直接影响结构的安全性和适用性。同时，为了准确掌握悬索桥在全寿命周期内的性能退化和演变规律，也必须对悬索桥的动力行为加以准确了解。由于悬索桥的主要承力构件主缆具有几何非线性特征，其运动微分方程具有非线性特征，这给方程求解带来一定困难。若要在此方程基础上进一步考虑吊杆及主塔等局部构件的影响，则问题的理论求解将变得非常困难。

虽然现有研究工作针对悬索桥已提出了一些简化模型和动力分析方法，但其计算精度及适用范围有限，难以用于多塔多跨以及自锚式悬索桥的动力分析。可见，已有研究尚未形成一套具有普适性的悬索桥精细化动力分析理论，其主要原因可归结如下：(1)动力学模型的建模精度不够；(2)计算精度及效率不高。以有限元法为代表的数值分析方法是目前悬索桥的主流分析方法。该方法的优势主要在于适用性好、能够考虑结构细部构造的影响，同时在分析复杂结构时依然能获得较为可靠的结果。然而有限元法的计算精度依赖于单元选取的类型及数量，同时也不便于进行批量化的参数分析。

鉴于当下经济发展对于复杂工程结构的日益增长的需求，以及对其精确动力学分析的需求，迫切需要研究发展一套高精度、高效率、且具有普适性的悬索桥动力学分析理论，从而突破已有研究工作的技术瓶颈，为不同结构形式悬索桥的精细化动力分析提供理论依据。

发明内容

本发明解决的技术问题是：本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种更加符合实际情况、能够更可靠地应用于工程结构的优化设计、健康监测的地锚式悬索桥动力特性的快速确定方法。

本发明的技术方案是：一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法，包括以下步骤:

步骤一：基于多点弹性支撑-集中质量块的地锚式悬索桥的动力学模型，建立其运动微分方程，其过程包括以下子步骤：

子步骤一：定义该模型上方具有初始垂度的梁用于模拟悬索桥的主缆，下方跨径为l₀直梁用以模拟加劲梁，弹簧用于模拟各吊杆，同时进行初始参数设定：(1)假设全桥共有n个吊杆，主梁被这n个吊杆和两个桥塔分为n+1个索段，记第j-1个吊杆和第j个吊杆之间的索段为S_j，其水平方向长度为l_j；记第j个吊杆的等效支撑刚度为k_j,eq，k_j,eq由吊杆自身的轴向刚度和加劲梁的刚度共同决定；(2)将加劲梁离散为依附于主缆上的若干集中质量块，质量块m_i的大小等于长度为

的加劲梁的质量；(3)记悬索桥主缆的抗弯刚度和单位长度线质量分别为E_cI_c和m_c，加劲梁的抗弯刚度和单位长度线质量分别为E_gI_g和m_g，主缆水平张力记为H；

子步骤二：对索段S_j列动力平衡方程，建立局部坐标系下悬索桥各索段的运动微分方程如下：

其中，EI、m分别为主缆和主梁的抗弯刚度之和、主缆的每延米质量；u_j、y_j分别是第j个索段的位移函数和初始构型，x_j为各索段的局部坐标，h_j为该索段在振动过程中由于弹性伸长引起的振动索力值；其计算式如下：

其中A_c和ε_j(t)表示主缆的横截面面积和索段S_j的动应变，l_j为索段S_j的水平长度；

表示j个索段的有效长度。其余索段的运动微分方程的建立和求解步骤与索段j完全相同。步骤二：对(15)式进行分离变量并求其通解，可以得到悬索桥无量纲化后的振型函数

如下：

其中ξ_j＝x_j/l₀，

无量纲振动索力

式中

g为重力加速度，μ_j＝l_j/l₀，

求解(19)式即可确定出索段的振型函数

为

其中A^(j)＝{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}^T为待定系数向量，它可由索段两端结点的边界条件确定；

为振型向量，其中

B^(j)为垂度矩阵，它由(19)式的特解项

确定，具体如下：

其中

步骤三：计算各索段的单元动刚度矩阵K^(j)，包括以下子步骤：

子步骤一：根据第j个索段的结点位移U^(j)与其振型函数

的关系，可以将结点位移U^(j)统一表示为：

其中

和

分别表示第j个索段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第j个索段右端结点的位移和转角；

记号()′表示对ξ_j求导。

子步骤二：由结点力平衡条件可将索段S_j两端的结点力向量F^(j)表示为

其中

和

分别表示索段S_j左、右两端的结点剪力；

和

分别表示索段S_j左、右两端的结点弯矩；矩阵D^(j)表示如下：

式(9)可进一步写为

F^(j)＝K^(j)·U^(j) (11)

K^(j)即为索段S_j的单元动刚度矩阵

步骤四：对单元动刚度阵K^(j)进行集组，计算悬索桥整体动刚度矩阵K，包括以下子步骤：

子步骤一：计算各吊杆的等效支撑刚度k_j,eq：根据竖向支撑刚度的定义，第j个吊杆和主梁所构成的系统提供的等效支撑刚度k_j,eq为二者共同产生单位位移所需要的外力；

子步骤二：单元刚度矩阵的集组：求得K^(j)和k_j,eq后，即可按照与有限元法相同的方式，叠加各单元和弹簧对结构整体刚度的贡献，通过矩阵集组的方式得到整体动刚度矩阵K；

步骤五：矩阵K是一关于系统模态频率ω的方阵，ω可通过求解频率方程

|K(ω)|＝0 (13)

来确定：其中|·|为行列式符号；进而可得系统的各阶模态频率ω，将求得的模态频率ω代入(20)式，再结合边界条件确定系数A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)，进而求得系统各阶模态振型

本发明的进一步技术方案是：所述步骤五中的频率方程(12)可借助常用的数值算法如Newton法、Muller法等迭代求解。

发明效果

本发明的技术效果在于：

1.目前，对悬索桥动力特性的求解缺乏快速有效的分析方法，致使其动力分析多采用以有限元法为代表的数值解法，因此计算效率较低，不便于进行批量化参数分析。本发明提出的方法是一种频域解法，其求解过程全部是闭合形式的，因此相比于传统时域解法具有更高的计算效率和精度。

2.本发明方法过程简单，根据动力刚度法给出了悬索桥频率方程的闭合解，解此频率方程即可求得系统的模态频率和振型。本发明建立了一套完整的、充分考虑悬索桥主缆、主梁、以及吊杆刚度影响的精细化动力学模型，给出了其动力特性分析的全部计算流程，便于工程人员应用于悬索桥结构优化设计、健康监测、以及振动控制等。

附图说明

图1为计算流程图

图2为力学模型图

具体实施方式

参见图1—图2，一种地锚式悬索桥动力特性的精细化快速分析方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

第一步：根据悬索桥吊杆的位置和数量，计算被吊杆划分的主缆各索段的附加索力h_j和振型函数

第二步：计算各索段的垂度矩阵B^(j)，再结合结点位移连续条件及力平衡条件计算中间矩阵C^(j)和D^(j)，进而计算单元动刚度矩阵K^(j)；

第三步：将主梁进行离散为若干附加在吊杆上的集中质量块m_i，依据刚度等效原则计算考虑主缆竖向支撑作用后各吊杆的等效刚度k_i；

第四步：叠加各索段和弹簧质量块的贡献，对各单元动刚度矩阵进行集组，得到悬索桥整体动刚度矩阵K；

第五步：利用Newton或Muller等数值迭代算法求解系统频率方程det(K(ω))＝0，该超越方程的根即对应于模态频率ω；

第六步：将求得的模态频率ω代入通解

结合边界条件求解待定系数

{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}，进而得到对应阶次的模态振型。

进一步可以描述为：

1.计算被吊杆划分的主缆各索段的附加索力h_j，建立局部坐标系下各索段的运动微分方程，采用分离变量法将其变换至频域并求其振型函数

2.计算各索段的垂度矩阵B^(j)，再结合结点位移连续条件及力平衡条件计算过度矩阵C^(j)和D^(j)，最后计算单元动刚度矩阵K^(j)：

3.将主梁进行离散为若干附加在吊杆上的集中质量块m_j，依据刚度等效原则计算考虑主缆竖向支撑作用后各吊杆的等效刚度k_j,eq；

4.叠加各索段和弹簧质量块的贡献，对各单元动刚度矩阵进行集组，得到悬索桥整体动刚度矩阵K；

5.利用Newton或Muller等数值迭代算法求解系统频率方程det(K(ω))＝0，该超越方程的根即系统的各阶模态频率；

6.将求得的模态频率ω代入通解

结合边界条件求解待定系数

{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}，进而得到对应模态振型。

下面通过一个最佳实施例，对本发明技术方案进行详细说明，但本发明的保护范围不局限于所述实施例。

如图1所示，本发明所述一种地锚式悬索桥的快速精细分析方法，包括以下步骤：

1.建立如附图2所示的悬索桥简化动力学模型，列出主缆第j个索段的运动微分方程如下：

其中，EI、m、H分别为主缆和主梁的抗弯刚度之和、主缆的每延米质量以及主缆初始预张力；u_j、y_j分别是第j个索段的运动和初始构型，h_j为索段在振动过程中由于弹性伸长引起的附加索力值；x_j为各索段的局部坐标，l₀为主跨跨径。为了求解(15)式，首先需要确定各索度附加索力h_j的解析表达式。第j个索段的附加索力h_j定义为：索段在振动过程中，由于动构型偏离静构型而产生的弹性伸长，从而引起的附加应变ε_j(t)和轴向刚度EA的乘积，即：

h_j＝EAε_j(t) (16)

根据上式可得多段式拉索附加索力的一般表达式为

其中

为第j个索段的有效长度。

2.各索段振型函数

的求解

本发明应用动刚度理论求解(15)式表示的拉索自由振动问题。将

和(17)式代入(15)式可得：

引入无量纲参数：ξ_j＝x_j/l₀，

及

则可得到系统无量纲化后的运动微分方程如下

其中

由式(19)可确定各索段的振型函数

为

其中

为振型向量，{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}是与边界条件有关的待定系数，可在后续分析过程中通过代换先行消去，在求得了系统模态频率ω后予以确定。

3.单元动刚度矩阵K^(j)的求解

垂度矩阵B^(j)可由特解项

确定，其具有如下形式：

求得垂度矩阵B^(j)后，根据(20)式可将任意索段端点的动位移表示为

其中

再根据力平衡条件

随后可得结点力

令

于是可得多段式系统索段的动刚度矩阵K^(j)如下

4.等效支撑刚度k_j,eq的确定

根据竖向支撑刚度的定义，第j个吊杆和主梁所构成的系统提供的等效支撑刚度k_j,eq为二者共同发生单位位移所需要的外力。其中主梁在第j个吊杆位置处提供的竖向刚度K_j可通过柔度系数δ_j来确定。在计算δ_j时，可将主梁视为简支梁，通过在主梁第j个吊杆位置(结点)处施加单位力后的挠度予以确定。计算出K_j后，通过与吊杆刚度K_j串联即可得出第j个吊杆和主梁的等效竖向支承刚度k_j,eq。计算时主梁的质量依然采用均匀分配至主缆上的方式予以考虑。

5.悬索桥整体动刚度矩阵K的确定

求出等效刚度k_eq,j和单元动刚度矩阵K^(j)后，即可按照与有限元法相同的方式对单元动刚度矩阵进行集组，进而得到整体坐标系下的整体动刚度矩阵K。

其中各元素的上下标含义与(25)式中元素的一致。

6.频率方程的求解

得到整体刚度矩阵K后，求解特征方程det(K(ω))＝0即可求得系统的各阶模态频率。该方程是一个超越方程，可采用数值算法迭代求解，如Newton法，Muller法等。

7.振型的求解

求得系统第i阶模态频率ω_i后，可将其回代至(20)式求得

再根据边界条件，即将

代入下式求得

{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}

其中C^(j)已由(22)式给出。求得

后可按照同样的方式求出其他索段的振型函数，最终确定出系统的第i阶模态振型

Claims (2)

1.一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法，其特征在于，包括以下步骤:

步骤一：基于多点弹性支撑-集中质量块的地锚式悬索桥的动力学模型，建立其运动微分方程，其过程包括以下子步骤：

子步骤一：定义该模型上方具有初始垂度的梁用于模拟悬索桥的主缆，下方跨径为l₀直梁用以模拟加劲梁，弹簧用于模拟各吊杆，同时进行初始参数设定：(1)假设全桥共有n个吊杆，主梁被这n个吊杆和两个桥塔分为n+1个索段，记第j-1个吊杆和第j个吊杆之间的索段为S_j，其水平方向长度为l_j；记第j个吊杆的等效支撑刚度为k_j,eq，k_j,eq由吊杆自身的轴向刚度和加劲梁的刚度共同决定；(2)将加劲梁离散为依附于主缆上的若干集中质量块，质量块m_i的大小等于长度为

的加劲梁的质量；(3)记悬索桥主缆的抗弯刚度和单位长度线质量分别为E_cI_c和m_c，加劲梁的抗弯刚度和单位长度线质量分别为E_gI_g和m_g，主缆水平张力记为H；

子步骤二：对索段S_j列动力平衡方程，建立局部坐标系下悬索桥各索段的运动微分方程如下：

其中，EI、m分别为主缆和主梁的抗弯刚度之和、主缆的每延米质量；u_j、y_j分别是第j个索段的位移函数和初始构型，x_j为各索段的局部坐标，h_j为该索段在振动过程中由于弹性伸长引起的振动索力值；其计算式如下：

其中A_c和ε_j(t)表示主缆的横截面面积和索段S_j的动应变，l_j为索段S_j的水平长度；

表示j个索段的有效长度。其余索段的运动微分方程的建立和求解步骤与索段j完全相同。

步骤二：对(1)式进行分离变量并求其通解，可以得到悬索桥无量纲化后的振型函数

如下：

其中ξ_j＝x_j/l₀，

无量纲振动索力

式中

g为重力加速度，μ_j＝l_j/l₀，

求解(3)式即可确定出索段的振型函数

为

其中A^(j)＝{A₁ ^(j) A₂ ^(j) A₃ ^(j) A₄ ^(j)}^T为待定系数向量，它可由索段两端结点的边界条件确定；

为振型向量，其中

B^(j)为垂度矩阵，它由(3)式的特解项

确定，具体如下：

其中

步骤三：计算各索段的单元动刚度矩阵K^(j)，包括以下子步骤：

子步骤一：根据第j个索段的结点位移U^(j)与其振型函数

的关系，可以将结点位移U^(j)统一表示为：

其中

和

分别表示第j个索段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第j个索段右端结点的位移和转角；

记号()′表示对ξ_j求导。

子步骤二：由结点力平衡条件可将索段S_j两端的结点力向量F^(j)表示为

其中

和

分别表示索段S_j左、右两端的结点剪力；

和

分别表示索段S_j左、右两端的结点弯矩；矩阵D^(j)表示如下：

式(9)可进一步写为

F^(j)＝K^(j)·U^(j) (11)

K^(j)即为索段S_j的单元动刚度矩阵

步骤四：对单元动刚度阵K^(j)进行集组，计算悬索桥整体动刚度矩阵K，包括以下子步骤：

子步骤一：计算各吊杆的等效支撑刚度k_j,eq：根据竖向支撑刚度的定义，第j个吊杆和主梁所构成的系统提供的等效支撑刚度k_j,eq为二者共同产生单位位移所需要的外力；

子步骤二：单元刚度矩阵的集组：求得K^(j)和k_j,eq后，即可按照与有限元法相同的方式，叠加各单元和弹簧对结构整体刚度的贡献，通过矩阵集组的方式得到整体动刚度矩阵K；

步骤五：矩阵K是一关于系统模态频率ω的方阵，ω可通过求解频率方程

|K(ω)|＝0 (13)

来确定：其中|·|为行列式符号；进而可得系统的各阶模态频率ω，将求得的模态频率ω代入(5)式，再结合边界条件确定系数A₁ ^(j)A₂ ^(j)A₃ ^(j)A₄ ^(j)，进而求得系统各阶模态振型

2.如权利要求1所述的一种地锚式悬索桥动力特性的快速精细分析方法，其特征在于，所述步骤五中的频率方程(12)可借助常用的数值算法如Newton法、Muller法等迭代求解。

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