CN110765519A - 一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法及其应用 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法及应用，本发明基于新挠度理论得到的大跨度悬索桥主缆非线性静力解析方程，再利用体积柔量变换求解主缆和吊杆的无应力长度，使得大跨径悬索桥结构力和形统一。相比现有技术中采用抛物线、分段悬链线、主缆体积不变等假定近似计算索长和索力带来的误差，本申请的计算方法可将大跨径悬索桥的施工控制精度提高到毫米级别，为特大跨径悬索桥索设计和监控提供新的理论支持。

Description

一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法及其应用

技术领域

本发明涉及一种悬索桥主缆精确计算方法，尤其涉及一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法及其应用，属于工程建设技术领域。

背景技术

悬索桥的理论研究大概起始于18世纪末19世纪初，先后出现了抛物线缆、等截面悬链线缆、均匀应力悬链线缆等缆索计算理论。悬索桥主体结构连续体分析方法经历了弹性理论、古典挠度理论等发展阶段。随着计算机和计算力学的普及，各种离散化分析方法迅猛发展，有力的推动了现代大跨度悬索桥的实践。

大跨径悬索桥的计算分析需要考虑主缆垂度引起的几何非线性影响，通常情况下利用分段悬链线和虎克定律迭代找形，或者假定成桥状态主缆为抛物线，求解有应力索长和主缆水平拉力，再利用虎克定律反推主缆的无应力索长，使几何非线性问题简化计算，以上近似计算带来的索长和索力的误差，使得大跨径悬索桥结构力和形不统一，按照无应力法施工监控难以达到设计线形。

发明内容

为了解决弹性理论和古典挠度理论计算大跨度悬索桥的成桥状态和设计状态带来的误差，本发明提供了一种基于新挠度理论得到的大跨度悬索桥主缆线形及应力计算方法，再利用体积柔量变换求解主缆和吊杆的无应力长度，使得大跨径悬索桥结构力和形统一，可将大跨径悬索桥的施工控制精度提高到毫米级别，为特大跨径悬索桥索设计和监控提供新的理论支持。

本发明采用的技术方案为：

(一)、一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法

所述计算方法包括基于新挠度理论，将悬索桥吊杆比拟为仅在竖向有抗力的膜，通过微分方程求解得到的大跨度悬索桥主缆非线性静力解析方程。

悬索桥锚固于任意两塔端锚固定点，悬索桥主缆每延米自重C作用下线形为悬链线，附加了主梁均布荷载Q后，主缆垂度增加ΔQ，附加了车道均布荷载P后，主缆垂度再增加ΔP，

设主缆曲线方程为：

y＝f(x) (1)；

所述方程(1)中，坐标轴以主缆跨中垂点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，

任意微元段平衡方程，

令：

求解微分方程(2)得悬链线公式：

其中，C表示悬索桥主缆每延米自重，T表示主缆水平拉力，Q表示主梁均布荷载量，P表示车道均布荷载量，θ表示与悬链线的垂跨比相关的参数，c1和c2表示待定系数。

当坐标轴原点选定在垂点上时：c1＝0，

(5)式变换为：

将(3)、(6)代入(4)式并化简可得：

(7)式中

时：

将(3)、(8)代入(6)式化简得主缆线性公式y：

主缆有应力索长S计算公式如下：

其中，L表示主缆跨径，S表示主缆有应力索长。

主梁均布荷载Q和车道均布荷载P作用后，主缆的线形还是悬链线，只是悬链线的垂度发生了变化，相应的θ值也发生了变化，无论主缆的线形如何变化，主缆的质量不变，

C₀S₀＝C₁S₁＝C₂S₂＝C₃S₃ (11)；

(10)式代入(11)式得：

(12)式代入(8)式得：

主缆任意点的拉力T_x：

主缆的名义拉力T_m：

主缆的拉力最大T_max：

主缆自重荷载集度：

C₀＝ρ₀·g·A₀ (18)；

将(13)、(17)、(18)式代入(19)得：

此时无应力索长S₀未知，考虑主缆弹性伸长有如下不等式S₀＜S₁＜S₂＜S₃，偏于安全考虑，将(20)式中S₀用

代替，(20)式简化为：

主跨主缆用钢体积：

悬链线的矢跨比：

其中，C_i表示i状态下主缆每延米自重，下标i取值0，1，2和3，C₀表示无应力状态下主缆每延米自重，C₁表示空缆状态下主缆每延米自重，C₂表示主缆附加主梁自重状态下主缆每延米自重，C₃表示主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆每延米自重，

S_i表示i状态下主缆长度，下标i取值0，1，2和3，S₀表示无应力状态下主缆长度，S₁表示空缆状态下主缆长度，S₂表示主缆附加主梁自重状态下主缆长度，S₃表示主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆长度，

θ_i表示i状态下与悬链线的垂跨比相关的参数，T_i表示i状态下主缆水平拉力，T_x表示主缆任意点的拉力，T_m表示主缆的名义拉力，T_max表示主缆的最大拉力，ρ₀表示主缆密度，g表示重力加速度，A₀表示主缆截面面积，f表示主缆强度，K表示主缆安全系数，λ表示主缆的矢跨比。

(二)、一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法的应用

(1)温度变化带来的索力影响：

根据体积柔量公式可得：

吊杆和主缆在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq关系式为

主缆锚固定后，当温度升降Δt时，相当于无应力索长S₀增减，增减比率为Δt·C，C为主缆的热膨胀系数，索的垂度增加，S_i增加，S₀和S_i增加量微小，(25)式改写为：

(30)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(24)式求解，得到(30)式的精确解；

由于(30)式实际应用太复杂，实际温升和温降的有应力索长变化率如(31)式，近似认为S_i′＝ S_i，引入的应力变化误差率在

以内，将(30)式改写为：

其中，ν表示材料泊松比，σ表示拉应力，σ_i表示i状态下的拉应力，E表示弹性模量，E_eq表示等效弹性模量，C表示主缆的热膨胀系数，Δt表示温度升降量。

(2)索的松弛带来的索力影响

根据体积柔量公式可得：

吊杆和主缆在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq关系式为

索的松弛和索的温度上升影响趋势一致，设应力σ下不同温度索的无量纲松弛系数为 R(t，σ)，可通过试验确定，在方程中取常量，(25)式改写为：

(37)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(24)式求解，得到(37)式的精确解；

其中，R表示索的无量纲松弛系数。

(3)主索鞍位移对主缆的应力影响如下

σ_i′＝E_eq·Δ+Δ·σ_i+σ_i (39)；

δσ(Δ)＝σ_i′-σ_i＝Δ·(E_eq+σ_i) (40)；

(41)式中L和θ可以通过(10)、(13)、(16)、(23)式联立求解；

其中，Δ表示锚点间有应力索长变化率(无量纲数)。

与现有技术相比，本发明采用新挠度理论避免了抛物线、分段悬链线、主缆体积不变等假定带来的误差。考虑了主缆在拉应力作用下的体积变化，利用体积柔量求解无应力长度，确保了主缆和吊杆无应力计算精度，对提高大跨径悬索桥施工控制精度有重要意义。

附图说明

图1为主缆悬挂荷载及线性；

图2双曲余弦、双曲正弦、单位圆函数图；

图3主索鞍位移对主缆的线形和应力影响；

图4高强钢丝主缆面积与跨度；

图5高强碳纤维主缆面积与跨度。

具体实施方式

以下结合实施例对本发明作进一步详细描述。

新挠度理论将悬索桥吊杆比拟为仅在竖向有抗力的膜，通过微分方程求解主缆线形，加劲梁内无应力，吊杆竖直，沿跨密布，主缆及吊杆的应力长度关系通过体积柔量换算闭合，以求达到力与形的统一。

如图1所示，一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法，任意IP点作用下，悬索桥主缆每延米自重C作用下线形为悬链线，附加了主梁均布荷载Q后，主缆垂度增加ΔQ，附加了车道均布荷载P后，主缆垂度再增加ΔP。

设主缆曲线方程为：

y＝f(x) (1)；

所述方程(1)中，坐标轴以主缆跨中垂点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，

任意微元段平衡方程(1)得对其进行移项化简：

令：

(2)式变换为：

求解得悬链线公式：

其中，C为悬索桥主缆每延米自重，T为主缆水平拉力，Q为主梁均布荷载量，P为车道均布荷载量，θ为与悬链线的垂跨比相关的参数，c1和c2为待定系数。

(5)式中c1和c2为待定系数，当坐标轴原点选定在垂点上时：c1＝0，(5)式变换为：

将(3)、(6)代入(4)式得：

对其进行化简可得以下方程：

(7)式中

时，L为主缆跨径，求得主缆水平拉力T：

将(3)、(8)代入(6)式化简得：

主缆有应力索长S：

悬链线方程里面含了一个参数θ，θ与悬链线的垂跨比相关。考虑主梁均布荷载Q和车道均布荷载P作用后，主缆的线形还是悬链线，只是悬链线的垂度发生了变化，相应的θ值也发生了变化；无论主缆的线形如何变化，主缆的质量不变。

C₀S₀＝C₁S₁＝C₂S₂＝C₃S₃ (11)；

(10)式代入(11)式得：

(12)式代入(8)式得：

主缆任意点的拉力T_x：

主缆的名义拉力T_m：

IP高点主缆的拉力最大T_max：

主缆自重荷载集度：

C₀＝ρ₀·g·A₀ (18)；

将(13)、(17)、(18)式代入(19)得：

此时无应力索长S₀未知，考虑主缆弹性伸长有如下不等式S₀＜S₁＜S₂＜S₃，偏于安全考虑，将(20)式中S₀用

代替，(20)式简化为：

主跨主缆用钢体积：

图2所示悬链线的矢跨比：

其中，C_i为i状态下主缆每延米自重，下标i取值为0，1，2和3，C₀为无应力状态下主缆每延米自重，C₁为空缆状态下主缆每延米自重，C₂为主缆附加主梁自重状态下主缆每延米自重，C₃为主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆每延米自重，

S_i为i状态下主缆长度，下标i取值为0，1，2和3，S₀为无应力状态下主缆长度，S₁为空缆状态下主缆长度，S₂为主缆附加主梁自重状态下主缆长度，S₃为主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆长度，

θ_i为i状态下与悬链线的垂跨比相关的参数，T_i为i状态下主缆水平拉力，T_x为主缆任意点的拉力，T_m为主缆的名义拉力，T_max为主缆的最大拉力，ρ₀为主缆密度，g为重力加速度，A₀为主缆截面面积，f为主缆强度，K为主缆安全系数，λ为主缆的矢跨比；

当悬链线参数θ_i发生变化时，主缆的矢跨比发生变化，悬索桥主缆线形为确定θ_i情况下的双曲余弦函数按跨径在x、y方向的等比例放大，桥的跨径大比例则大。

悬索桥的正常设计流程为确定成桥状态的矢跨比λ，为保证车道活载作用下主梁的挠跨比满足规范要求(JTG/T D65-05-2015公路悬索桥设计规范建议挠跨比不大于1/250，合理矢跨比范围1/9-1/11范围，人行桥的矢跨比还可以调大)。确定矢跨比λ后，相应的悬链线参数θ_i也可以确定。利用公式(9)计算线形、公式(10)计算有应力索长、公式(14)计算索力，确定主缆的截面积。

(一)根据推导的总缆线形方程及应力方程，求解无应力索长S₀及应力σ计算

主缆和吊杆在拉应力σ作用下发生体积变化，其体积变化满足体积柔量公式：

V₀＝S₀·A₀

式中V₀为无应力状态体积，V_i为i状态下主缆体积，下标i为0，1，2，3时分别对应主缆无应力状态、空缆状态、主缆附加主梁自重状态、主缆主梁自重再附加车道荷载状态，K为体积柔量系数，v为材料泊松比；联立上述四个公式得：

主缆计算应力：

吊杆计算应力：

式中N为吊杆轴力，m为吊杆质量，g为重力加速度。

(二)根据推导的总缆线形方程及应力方程，求解吊杆和主缆的任意应力σ下的等效弹性模量E_eq

将

式变化代入(35)式左侧，可求得任意应力σ作用下的E_eq。

本申请进一步讨论温度变化、索的松弛、主索鞍位移对主缆的线形应力影响

①温度变化带来的索力影响

主缆锚固后，当温度升降Δt时，相当于无应力索长S₀增减，增减比率为Δt·C，C为主缆的热膨胀系数，索的垂度增加，S_i增加，S₀和S_i增加量微小，(25)式改写为：

(30)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(32)式求解，得到(30)式的精确解。

考虑到(30)式实际应用太复杂，实际温升和温降的有应力索长变化率如(31)式，近似认为 S_i′＝S_i，引入的应力变化误差率在

以内，将(30)式改写为：

其中，ν为材料泊松比，σ为拉应力，σ_i为i状态下的拉应力，E为弹性模量，E_eq为等效弹性模量，C为主缆的热膨胀系数，Δt为温度升降量。

②索的松弛带来的索力影响

索的松弛和索的温度上升影响趋势一致。R为索的无量纲松弛系数，设应力σ下不同温度索的无量纲松弛系数为R(t，σ)，可通过试验确定，在方程中取常量，(25)式改写为：

(37)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(32)式求解，得到(37)式的精确解。

悬索桥主缆一般选择I级松弛的钢丝拉索，斜拉索一般选择II级松弛钢丝拉索，满足GB/T 17101-2008《桥梁缆索用热镀锌钢丝》中表2的要求。注意规范里面松弛系数的定义是应力比，上述公式里面松弛系数的定义是长度比。考虑到主缆的安全系数2.5，主缆温度一般不会超过 80℃，同时主缆在施工阶段已经完成部分松弛，悬索桥主缆的松弛系数R的研究，参照(31)、(32) 式的方法进行简化计算，并分析简化计算带来的误差。

③主索鞍位移对主缆的线形应力影响

考查(31)式，主索鞍位移对主缆的应力影响如下：

σ_i′＝E_eq·Δ+Δ·σ_i+σ_i (39)；

δσ(Δ)＝σ_i′-σ_i＝Δ·(E_eq+σ_i) (40)；

式中Δ为锚点间有应力索长变化率(无量纲数)：

(41)式中L和θ可以通过(10)、(13)、(16)、(23)式联立求解。

考察(21)式，暂按照成桥状态矢跨比λ＝1∶9，此时θ₂＝0.4374250404，满足

挠跨比的θ₃＝0.4391747406，采用f＝1960MPa高强钢丝，主缆安全系数K＝2.5，主缆密度ρ₀＝7850kg/ m³，六车道主梁每延米自重Q≈30·9810＝294300N/m，六车道主梁每延米车道荷载P＝ 10500·6·0.55＝34650N/m，重力加速度g＝9.81m/s²，画出不同跨度下主缆截面积曲线，得到六车道高强钢丝主缆悬索桥的极限跨度曲线，如图4所示。

当主缆材料采用高强碳纤维(CRFP)，密度ρ₀＝2000kg/m³，主缆强度f＝3500MPa，其余参数与钢主缆相同，画出不同跨度下主缆截面积曲线，得到六车道高强碳纤维主缆悬索桥的极限跨度曲线，如图5所示。

通过图4和图5的曲线对比，可以很明了的知道采用高强轻质主缆，可以显著增加悬索桥的跨径，对于大跨径悬索桥的研究，可从主缆材料着手。

Claims (7)

1.一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法，其特征在于：所述计算方法包括基于新挠度理论，将悬索桥吊杆比拟为仅在竖向有抗力的膜，通过微分方程求解得到的大跨度悬索桥主缆非线性静力解析方程。

2.根据权利要求1所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法，其特征在于：悬索桥锚固于任意两塔端锚固定点，悬索桥主缆在每延米自重C作用下线形为悬链线，附加了主梁均布荷载Q后，主缆垂度增加ΔQ，附加了车道均布荷载P后，主缆垂度再增加ΔP，

设主缆曲线方程为：

y＝f(x) (1)；

所述方程(1)中，坐标轴以主缆跨中垂点为原点，x轴水平向右，y轴竖直向上，

任意微元段平衡方程，

令：

求解微分方程(2)得悬链线公式：

其中，C表示悬索桥主缆每延米自重，T表示主缆水平拉力，Q表示主梁均布荷载量，P表示车道均布荷载量，θ表示与悬链线的垂跨比相关的参数，c1和c2表示待定系数。

3.根据权利要求2所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法，其特征在于：当坐标轴原点选定在垂点上时：c1＝0，

(5)式变换为：

将(3)、(6)代入(4)式并化简可得：

(7)式中

时：

将(3)、(8)代入(6)式化简得主缆线性公式y：

主缆有应力索长S计算公式如下：

其中，L表示主缆跨径，S表示主缆有应力索长。

4.根据权利要求2所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法，其特征在于：主梁均布荷载Q和车道均布荷载P作用后，主缆的线形还是悬链线，只是悬链线的垂度发生了变化，相应的θ值也发生了变化，无论主缆的线形如何变化，主缆的质量不变，

C₀S₀＝C₁S₁＝C₂S₂＝C₃S₃ (11)；

(10)式代入(11)式得：

(12)式代入(8)式得：

主缆任意点的拉力T_x：

主缆的名义拉力T_m：

主缆的拉力最大T_max：

主缆自重荷载集度：

C₀＝ρ₀·g·A₀ (18)；

将(13)、(17)、(18)式代入(19)得：

此时无应力索长S₀未知，考虑主缆弹性伸长有如下不等式S₀＜S₁＜S₂＜S₃，偏于安全考虑，将(20)式中S₀用

代替，(20)式简化为：

主跨主缆用钢体积：

悬链线的矢跨比：

其中，C_i表示i状态下主缆每延米自重，下标i取值0，1，2和3，C₀表示无应力状态下主缆每延米自重，C₁表示空缆状态下主缆每延米自重，C₂表示主缆附加主梁自重状态下主缆每延米自重，C₃表示主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆每延米自重，

S_i表示i状态下主缆长度，下标i取值0，1，2和3，S₀表示无应力状态下主缆长度，S₁表示空缆状态下主缆长度，S₂表示主缆附加主梁自重状态下主缆长度，S₃表示主缆主梁自重再附加车道荷载状态主缆长度，

θ_i表示i状态下与悬链线的垂跨比相关的参数，T_i表示i状态下主缆水平拉力，T_x表示主缆任意点的拉力，T_m表示主缆的名义拉力，T_max表示主缆的最大拉力，ρ₀表示主缆密度，g表示重力加速度，A₀表示主缆截面面积，f表示主缆强度，K表示主缆安全系数，λ表示主缆的矢跨比。

5.根据权利要求1所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法的应用，其特征在于：

温度变化带来的索力影响：

根据体积柔量公式可得：

吊杆和主缆在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq关系式为

主缆锚固定后，当温度升降Δt时，相当于无应力索长S₀增减，增减比率为Δt·C，C为主缆的热膨胀系数，索的垂度增加，S_i增加，S₀和S_i增加量微小，(25)式改写为：

(30)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(24)式求解，得到(30)式的精确解；

由于(30)式实际应用太复杂，实际温升和温降的有应力索长变化率如(31)式，近似认为S_i′＝S_i，引入的应力变化误差率在以内，将(30)式改写为：

其中，ν表示材料泊松比，σ表示拉应力，σ_i表示i状态下的拉应力，E表示弹性模量，E_eq表示等效弹性模量，C表示主缆的热膨胀系数，Δt表示温度升降量。

6.根据权利要求1所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法的应用，其特征在于：

索的松弛带来的索力影响：

根据体积柔量公式可得：

吊杆和主缆在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq关系式为

索的松弛和索的温度上升影响趋势一致，设应力σ下不同温度索的无量纲松弛系数为R(t，σ)，可通过试验确定，在方程中取常量，(25)式改写为：

(37)式中各种状态索长S可以联合(10)、(13)、(16)、(24)式求解，得到(37)式的精确解；

其中，R表示索的无量纲松弛系数。

7.根据权利要求1所述的一种大跨度悬索桥主缆线形和应力计算方法的应用，其特征在于：

主索鞍位移对主缆的应力影响：

σ_i′＝E_eq·Δ+Δ·σ_i+σ_i (39)；

δσ(Δ)＝σ_i′-σ_i＝Δ·(E_eq+σ_i) (40)；

(41)式中L和θ可以通过(10)、(13)、(16)、(23)式联立求解；

其中，Δ表示锚点间有应力索长变化率(无量纲数)。

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