CN106934211A - 一种斜拉索索力与线形计算方法及应用 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种斜拉索索力与线形计算方法，本申请抛开了Ernst公式的假定条件，等效弹性模量推导直接利用广义胡克定律中的体积柔量公式，避免了近似计算带来的误差，在超大跨度斜拉索的计算上有着更好的适应性，从线形理论公式推导出斜拉索的索长、索力、无应力索长、等效弹模、索的倾角变化、任意点索力等理论值，以减少近似计算带来的误差。

Description

一种斜拉索索力与线形计算方法及应用

技术领域

本发明涉及斜拉索索力与线形的计算方法。

背景技术

现今斜拉桥的跨度最大已经达到1104m，随着社会的发展，在可以预见的将来，斜拉桥的最大跨度会突破1400m。

大跨径斜拉桥的计算分析需要考虑拉索自重垂度引起的几何非线性影响，通常情况下规范和计算软件是利用Ernst公式对拉索的弹性模量进行修正，使几何非线性问题简化计算，也满足了工程精度的要求。理论上讲，Ernst公式为近似公式，计算时假定索垂度为抛物线方程，只考虑了垂直于索的重力分量，假定索力为两锚点的连线方向；因此有必要推算任意索力状况下的拉索线形理论公式，并从线形理论公式推导出斜拉索的索长、索力、无应力索长、等效弹模、索的倾角变化、任意点索力等理论值，以减少近似计算带来的误差，为千米级大跨度斜拉桥索力和线形控制提供支持。

发明内容

斜拉桥拉索索长和索力的计算，一般采用Ernst公式，但是Ernst公式的假定条件使得它在计算超长斜拉索时存在较大误差，本发明的目的是提供在任意索力条件下拉索线形公式的计算新方法，避免近似计算带来的误差，在超大跨度斜拉索的计算上有着更好的适应性。

本发明解决上述问题所采用的技术方案为：如图1、图2所示，一种斜拉索索力与线形计算方法，在梁端锚点处为原点建立直角坐标系，塔端锚点坐标(X，Y)，索上任一点坐标(x，y)，索在拉力N，重力场G的作用下，发生拉伸和下挠，任意微元体之间的拉力N、N～和质点重力△G满足力的平衡条件，以任意质点力的平衡条件构造索线形的微分方程并求解

设拉索曲线方程为

y＝f(x) (1)

则拉索任一点的水平夹角

任意质点的重力

微元体长

索长

任意质点平衡力满足以下公式：

其中dx→0，为正无穷小量(9)

式(9)Taylor展开，取前两项，略去dx高次项，公式化简为

将方程(3)(4)(5)(6)(10)带入(8)式，化简整理得：

令求解微分方程

f”(x)-Df'(x)²-D＝0 (12)

将坐标系建立在梁端锚点，式中梁端锚点坐标为(0,0)，塔端锚点坐标为(X，Y)，求出待定参数D₁，D₂

D₂＝-1 (14)

索的锚固线形方程为：

(一)根据推导的索的线形方程，求解曲线索长l的应用：

考查常量D，可改写成为：

展开

考查(18)式，后两项占D值的比例为0.1～0.24％，考虑工程精度满足要求，故略去后两项，取σ单位取Pa(19)

将D，X，Y值代入求出D₁，

将D、D₁代入(16)式求出索的线形方程，

将(16)式代入(6)求定积分，得出索长l_s

(二)根据推导的索的线形方程，求解无应力索长l₀：

索在拉应力σ作用下发生体积变化，其体积变化满足体积柔量公式：

式中体积柔量求出

故

(三)根据推导的索的线形方程，求解索在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq的计算方法：

将(23)式变化代入(24)式左侧，可求得任意应力σ作用下的E_eq

展开(26)式，后两项占E_eq的比值小于0.2％，做近似计算时，等效弹模公式可简化为

(四)根据推导的索的线形方程，求解拉索梁端和塔端锚固角度的计算方法：

任意点拉索的角度为：

拉索梁端锚固角度

拉索塔端锚固角度；

(五)根据推导的索的线形方程，求解拉索垂度f_mmax的计算方法：

坐标原点建立在梁端锚点，f_m(x)＝f(x)-x·tan(α)；最大f_mmax取x＝1/2X，

将f(x)表达式代入化简为：

(六)根据推导的索的线形方程，求解索任意点拉力N的计算方法：

任意点的索拉力为：

本申请进一步讨论温度变化、索的松弛、锚固点几何变形对索的线形应力影响

①温度场变化对索的线形应力影响的计算方法：

在正常应力幅内，索长l_s和锚点斜线长度l非常接近，索的垂度增加量对索长积分影响微小，约在10^-4以内，可通过在式(6)中取不同D值验证，

考查(24)式，索体锚固后，当温度上升Δt时，索长l₀增加，增加量设为Δt*C，C为常数取1/100000(1/℃)，索的垂度m(X/2)增加，l_s增加量微小，(24)式改写为：

求出：

索力变化量

将变化后的索应力代入(16)和(32)式可求得温度影响下的线形和下挠。

②一种索的松弛变化对索的线形应力影响的计算方法：

索的松弛和索的温度上升影响趋势一致，设应力σ下不同温度索的无量纲松弛系数为R(t,σ)，可通过试验确定，在方程中取常量，

则(24)式改写为

求出

松弛应力变量

将变化后的索应力代入(16)和(32)式可求的索松弛影响下的线形和下挠。

③一种索的锚固点位移变化对索的线形应力影响的计算方法：

考查(24)式，索的锚点几何变形量可改写为

求出σ₂＝E_eqΔ+Δσ₁+σ₁ (43)

应力变化值

dσ＝σ₂-σ₁＝E_eqΔ+Δσ₁ (44)

式中Δ为锚点间距变化增量

与现有技术相比，本发明的优点在于：本申请的索力线形公式推导抛开了Ernst公式的假定条件，等效弹性模量推导直接利用广义胡克定律中的体积柔量公式，避免了近似计算带来的误差，在超大跨度斜拉索的计算上有着更好的适应性，可在实际应用过程中予以验证。

附图说明

图1为斜拉索悬挂参数；

图2为斜拉索任意质点力的平衡。

具体实施方式

以下结合实施例对本发明作进一步详细描述。

按1670MPa热挤聚乙烯高强钢丝拉索进行计算，假定设计安全系数2.5分别计算其在1400m跨(1/2长700m)、600m跨(1/2长300m)时的索长、无应力索长、等效弹模、最大挠度、倾角，并与Ernst公式的计算结果进行对比。

计算参数如表1

计算结果见表2

说明：差率为(Ernst公式推算值-本申请公式推算值)/本申请公式推算值*100％，索的最大挠度本文计算是竖直方向，Ernst公式为垂直于索的方向，为了便于比较，将本申请计算的最大挠度方向换算为垂直于两锚点连线的方向，括号内的数字为本文竖直方向垂度。

以上参数和结果均为理论推导值，避免了近似计算带来的误差，在超大跨度斜拉索的计算上有着更好的适应性。

除上述实施例外，本发明还包括有其他实施方式，凡采用等同变换或者等效替换方式形成的技术方案，均应落入本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种斜拉索索力与线形计算方法，其特征在于：在梁端锚点处为原点建立直角坐标系，塔端锚点坐标(X，Y)，索上任一点坐标(x，y)，索在拉力N，重力场G的作用下，发生拉伸和下挠，任意微元体之间的拉力N、N～和质点重力△G满足力的平衡条件，以任意质点力的平衡条件构造索线形的微分方程并求解

设拉索曲线方程为

y＝f(x) (1)

则拉索任一点的水平夹角

任意质点的重力

微元体长

${\mathrm{dl}}_s=\sqrt{1+f^{\′}{\left(x\right)}^2}dx---\left(6\right)$

索长

$ls={\∫}_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+f^{\′}{\left(x\right)}^2}dx---\left(7\right)$

任意质点平衡力满足以下公式：

其中dx→0，为正无穷小量(9)

式(9)Taylor展开，取前两项，略去dx高次项，公式化简为(10)

将方程(3)(4)(5)(6)(10)带入(8)式，化简整理得：

$\frac{\mathrm{\γ}A{(1-\frac{\mathrm{\ν}N}{EA})}^2}{N}=\frac{f^{\′\′}\left(x\right)}{1+f^{\′}{\left(x\right)}^2}---\left(11\right)$

令求解微分方程

f”(x)-Df'(x)²-D＝0 (12)

$f\left(x\right)=-\frac{ln(-D_{2}cos(Dx)+D_{1}sin(Dx\left)\right)}{D}---\left(13\right)$

将坐标系建立在梁端锚点，式中梁端锚点坐标为(0,0)，塔端锚点坐标为(X，Y)，求出待定参数D₁，D₂

D₂＝-1 (14)

$D_1=\frac{e^{-YD}-cos\left(DX\right)}{sin\left(DX\right)}---\left(15\right)$

索的锚固线形方程为：

$f\left(x\right)=-\frac{ln\left(cos\right(Dx)+D_{1}sin(Dx\left)\right)}{D}---\left(16\right).$

2.一种根据权利要求1所述的线形计算方程作为求解曲线索长l的应用，其特征在于：

考查常量D，可改写成为：

$D=\frac{\mathrm{\γ}A{(1+\frac{\mathrm{\ν}N}{EA})}^2}{N}=\frac{\mathrm{\γ}{(1+\frac{\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}}{E})}^2}{\mathrm{\σ}}---\left(17\right)$

展开

$D=\frac{\mathrm{\γ}A}{N}+\frac{2\mathrm{\γ}\mathrm{\ν}}{E}+\frac{{\mathrm{\γN\ν}}^2}{{\mathrm{AE}}^2}=\frac{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\σ}}+\frac{2\mathrm{\γ}\mathrm{\ν}}{E}+\frac{{\mathrm{\γ\σ\ν}}^2}{E^2}---\left(18\right)$

考查(18)式，后两项占D值的比例为0.1～0.24％，考虑工程精度满足要求，故略去后两项，取σ单位取Pa(19)

将D，X，Y值代入求出D₁，

将D、D₁代入(16)式求出索的线形方程，

将(16)式代入(6)求定积分，得出索长l_s

$\begin{array}{c}{l}_s=-\frac{2\arctan h\left(\frac{D_2\tan \left(\frac{DX}{2}\right)+D_1}{\sqrt{D_1^2+D_2^2}}\right)}{D}\\ +\frac{2\arctan h\left(\frac{D_1}{\sqrt{D_1^2+D_2^2}}\right)}{D}\end{array}---\left(20\right).$

3.一种根据权利要求1所述的线形计算方程作为求解无应力索长l₀的应用，其特征在于：

索在拉应力σ作用下发生体积变化，其体积变化满足体积柔量公式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_m=\frac{(1+2\mathrm{\ν})}{3}\mathrm{\σ}=-\frac{K\·\mathrm{\Δ}V}{V_0}\\ =-\frac{K\·(V_0-V~)}{V_0}\\ =-\frac{\frac{E}{3(1-2\mathrm{\ν})}(l_{0}A-l_{s}A{\left(1-\frac{\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}}{E}\right)}^2)}{l_{0}A}\\ =-\frac{\frac{E}{3(1-2\mathrm{\ν})}(l_{0}A-{\mathrm{cl}}_{0}A{\left(1-\frac{\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}}{E}\right)}^2)}{l_{0}A}\end{array}---\left(21\right)$

式中体积柔量求出

$c=\frac{l_s}{l_0}=\frac{(-4{\mathrm{\ν}}^2\mathrm{\σ}+E+\mathrm{\σ})E}{{(-\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}+E)}^2}---\left(22\right)$

故

4.一种索在任意应力σ下的等效弹性模量E_eq的计算方法，其特征在于：

$\frac{l_s}{l_0}=1+\frac{\mathrm{\σ}}{E_{eq}}---\left(24\right)$

将(23)式变化代入(24)式左侧，可求得任意应力σ作用下的E_eq

$\frac{l_s}{l_0}=\frac{(-4{\mathrm{\ν}}^2\mathrm{\σ}+E+\mathrm{\σ})E}{{(-\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}+E)}^2}=1+\frac{\mathrm{\σ}}{E_{eq}}---\left(25\right)$

$E_{eq}=-\frac{E^2-2E\mathrm{\ν}\mathrm{\σ}+{\mathrm{\ν}}^2{\mathrm{\σ}}^2}{4{\mathrm{E\ν}}^2+{\mathrm{\ν}}^2\mathrm{\σ}-2E\mathrm{\ν}-E}---\left(26\right)$

展开(26)式，后两项占E_eq的比值小于0.2％，做近似计算时，等效弹模公式可简化为

$E_{eq}=-\frac{E^2}{4{\mathrm{E\ν}}^2+{\mathrm{\ν}}^2\mathrm{\σ}-2E\mathrm{\ν}-E}---\left(27\right).$

5.一种拉索梁端和塔端锚固角度的计算方法，其特征在于：

任意点拉索的角度为：

拉索梁端锚固角度

拉索塔端锚固角度；

6.一种拉索垂度f_mmax的计算方法，其特征在于：

坐标原点建立在梁端锚点，f_m(x)＝f(x)-x·tan(α)；最大f_mmax取x＝1/2X，

$f_{mmax}=f\left(\frac{X}{2}\right)-\frac{Y}{2}---\left(31\right)$

将f(x)表达式代入化简为：

$\begin{array}{c}{f}_{m\max }=\frac{\ln \left(2\right)}{D}+\frac{\ln \left(\cos \right(\frac{DX}{2}\left)\right)}{D}\\ -\frac{\ln (1+e^{-YD})}{D}-\frac{Y}{2}\end{array}---\left(32\right).$

7.一种索任意点拉力N的计算方法，其特征在于：

任意点的索拉力为：

8.一种温度场变化对索的线形应力影响的计算方法，其特征在于：

在正常应力幅内，索长l_s和锚点斜线长度l非常接近，索的垂度增加量对索长积分影响微小，约在10^-4以内，可通过在式(6)中取不同D值验证，

考查(24)式，索体锚固后，当温度上升Δt时，索长l₀增加，增加量设为Δt*C，C为常数取1/100000(1/℃)，索的垂度m(X/2)增加，l_s增加量微小，(24)式改写为：

$\frac{l_{s2}}{l_0(C\·\mathrm{\Δ}t+1)}=1+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{E_{eq}}---\left(34\right)$

$\begin{array}{c}\frac{l_{s2}}{l_0}=1+\mathrm{\Δ}t\·C+\frac{(1+\mathrm{\Δ}t\·C){\mathrm{\σ}}_2}{E_{eq}}\\ \≈\frac{l_{s1}}{l_0}=1+\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{E_{eq}}\end{array}---\left(35\right)$

求出：

索力变化量

$\begin{array}{c}d\mathrm{\σ}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_1=\frac{{\mathrm{CE}}_{eq}\mathrm{\Δ}t-{\mathrm{\σ}}_1}{C\mathrm{\Δ}t+1}-{\mathrm{\σ}}_1\\ =-\frac{C\mathrm{\Δ}t(E_{eq}+{\mathrm{\σ}}_1)}{C\mathrm{\Δ}t+1}\end{array}---\left(37\right)$

将变化后的索应力代入(16)和(32)式可求得温度影响下的线形和下挠。

9.一种索的松弛变化对索的线形应力影响的计算方法，其特征在于：

索的松弛和索的温度上升影响趋势一致，设应力σ下不同温度索的无量纲松弛系数为R(t,σ)，可通过试验确定，在方程中取常量，

则(24)式改写为

$\frac{l_{s2}}{l_0(1+R)}=1+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{E_{eq}}---\left(38\right)$

$\frac{l_{s2}}{l_0}=1+R+\frac{(1+R)\·{\mathrm{\σ}}_2}{E_{eq}}\≈1+\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{E_{eq}}---\left(39\right)$

求出

松弛应力变量

$d\mathrm{\σ}\left(R\right)={\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_1=-\frac{R(E_{eq}+{\mathrm{\σ}}_1)}{1+R}---\left(41\right)$

将变化后的索应力代入(16)和(32)式可求的索松弛影响下的线形和下挠。

10.一种索的锚固点位移变化对索的线形应力影响的计算方法，其特征在于：

考查(24)式，索的锚点几何变形量可改写为

$\frac{l_s(1+\mathrm{\Δ})}{l_0}=(1+\mathrm{\Δ})(1+\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{E_{eq}})=1+\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{E_{eq}}---\left(42\right)$

求出σ₂＝E_eqΔ+Δσ₁+σ₁ (43)

应力变化值

dσ＝σ₂-σ₁＝E_eqΔ+Δσ₁ (44)

式中Δ为锚点间距变化增量

$\mathrm{\Δ}=\frac{\sqrt{X_1^2+Y_1^2}-\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}{\sqrt{X_0^2+Y_0^2}}---\left(45\right).$