CN111783201A - 一种三跨自锚式悬索桥动力特性的快速分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种三跨自锚式悬索桥动力特性的快速精细化分析方法，该方法首先给出了一种能够考虑主缆抗弯刚度、主塔及吊杆弹性支撑影响的精细化建模方法，在此基础上分别建立了中跨和边跨主缆及加劲梁的运动微分方程；应于动力刚度法求解了该方程获得了主缆和加劲梁的单元动刚度矩阵，通过叠加各单元贡献得到了闭合形式的悬索桥整体动刚度矩阵和频率方程；随后基于数值迭代算法实现了该频率方程的精确求解，得到系统各阶模态频率和振型。该方法过程简单，由于所有中间变量均是以闭合形式给出，因此相比于现有解法具有更高的计算精度和效率。建立的自锚式悬索桥模型更加接近实际结构，求解过程简单、精度高、效率快。

Description

一种三跨自锚式悬索桥动力特性的快速分析方法

技术领域

本发明属于桥梁工程领域，涉及一种三跨自锚式悬索桥动力特性的分析方法，尤其适用于悬索桥固有频率的快速分析。

背景技术

近年来，自锚式悬索桥由于其优美的美学造型和选址的灵活性，在城市桥梁中越来越受欢迎。与地锚式悬索桥所不同，自锚式悬索桥不需要很大的锚碇，其主缆直接锚固在主梁两端，因此大大降低了对桥址地质的要求，因此逐渐成为了中小跨径城市桥梁的一个有竞争力的方案。

悬索桥的动力特性分析是抗震设计、气动稳定性分析以及车桥耦合振动的基础，同时也是其他动力学分析如响应谱分析的起点。悬索桥是一个柔性结构，其结构刚度小、变形大，随着跨径的增大，结构的几何非线性更加突出，这给系统的动力分析带来了困难。了准确掌握悬索桥在全寿命周期内的性能退化和演变规律，就必须对悬索桥的动力行为加以准确了解，以期为其动力特性分析、振动控制、以及健康监测等动力学话题提供理论支撑。

现有研究工作针对自锚式悬索桥已提出了一些动力学分析方法，主要有瑞利-里兹法和有限元法两类。前者计算速度快，多用于结构初步设计和快速分析之中，但由于采用了近似的位移函数，因此计算精度有限，难以用于结构的精细化分析之中；后者适用性强，虽然能够用于复杂结构的整体和局部分析，但其计算精度和求解效率是一对矛盾，难于用于大型结构的批量化参数分析。

鉴于当下经济发展对于复杂工程结构的日益增长的需求，以及对其精确动力学分析的需求，迫切需要研究发展一套高精度、高效率、且具有普适性的自锚式悬索桥动力学分析理论，从而突破已有研究工作的技术瓶颈，为该类桥梁的快速精细化动力分析提供理论依据。

发明内容

本发明解决的技术问题是：本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种更加符合实际情况、能够更可靠地应用于工程结构的优化设计、健康监测的三跨自锚式悬索桥动力特性的快速确定方法。

本发明的技术方案是：一种三跨自锚式悬索桥动力特性的快速分析方法，包括以下步骤:

步骤一：建立三跨自锚式悬索桥的系统动力学模型及运动微分方程组，包括以下子步骤：

子步骤一：对自锚式悬索桥的动力学模型进行初始参数设定：在模型中选取若干弹簧，用于模拟悬索桥的吊杆，k_i表示第i个弹簧的刚度系数，其大小等于第i个吊杆的轴向刚度；L_i表示第i-1个吊杆和第i个吊杆之间的索段及梁段的水平长度；模型中位于上方且垂度为d的曲梁代表悬索桥的中跨主缆(简称主缆)，其两侧垂度为分别f₁和f₂的曲梁则代表悬索桥两个边跨的主缆(简称边缆)，模型下方的直梁则用以模拟悬索桥的主梁。l₀表示中跨主缆的跨径、l₁表示左边跨主缆的跨径、l₂表示右边边跨的跨径；θ₁代表左边缆割线方向与水平方向所夹锐角；θ₂代表右边缆割线方向与水平方向所夹锐角；主缆受到的水平张力及主梁受到的水平压力大小为H，T为边缆所承受的张力；(x,y)为系统的整体坐标系，(x_i,y)表示第i个索段和梁段的局部坐标系；

和

分别为左边缆的初始静构型和位移函数；

和

为右边缆的初始静构型和位移函数；

为左边缆的局部坐标系，

为右边缆的局部坐标；

和

分别表示两个边缆的弦向长度，以上变量的上标“-”代表该物理量用以描述边缆；F_i表示悬索桥主缆和主梁的相对运动时引起的吊杆内力；

子步骤二：依据哈密顿原理，建立局部坐标系下悬索桥各索段和梁段的运动微分方程如下：

其中E₁I₁和m₁分别为主缆的抗弯刚度和每延米质量，E₂I₂和m₂分别为主梁的抗弯刚度和每延米质量；主缆承受的水平张力力以及主梁所受水平轴向力大小为H；u_1i及u_2i分别为第i个索段和第i个索段梁段的位移函数；()′代表对空间坐标x_i求导，(·)表示对时间t求导；δ(·)为狄拉克函数；y为主缆的初始静构型；

为前i个梁段的长度之和。

式中h_i为主缆第i个索段振动时由于弹性伸长引起的附加索力，其计算式如下：

其中A₁和ε_i(t)表示主缆的横截面面积和索段的动应变，

表示i个索段的曲线长度。步骤二：对(2)和(3)式应用分离变量法并求其通解，可以得到主缆以及主梁的无量纲化后的振型函数

和

如下：

其中

其中n＝1,2，1代表主缆而2代表主梁；

其中

μ_si＝l_si/l₀。(9)和(10)式中的系数

为未知常数，在后续分析过程中可以通过代换消去，在最后求得系统的固有频率后，可结合边界条件予以确定。

步骤三：分别计算边缆、主缆、主缆单元动刚度矩阵，包括以下子步骤：

子步骤一：为了表述方便，将(9)式和(10)式进一步写为如下矩阵形式：

其中

其中

由(16)式求得B⁽ⁱ⁾后，根据结点位移U⁽ⁱ⁾与位移函数的关系可以将第i个索段和梁段的结点位移向量U⁽ⁱ⁾统一表示为：

其中

其中

和

分别表示第i个索段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第i个索段右端结点的位移和转角；

和

分别表示第i个梁段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第i个梁段右端结点的位移和转角。

子步骤二：

再结合结点力平衡条件可得

其中

其中

式(11)可进一步写为

F⁽ⁱ⁾＝K⁽ⁱ⁾·U⁽ⁱ⁾ (12)

其中单元动刚度矩阵K⁽ⁱ⁾可由下式确定

其中

步骤四：求得各单元的动刚度矩阵后，可按照与有限元法相同的方式，叠加各单元和弹簧对结构整体刚度的贡献，得到整体坐标系下的总体动刚度矩阵K。

步骤五：矩阵K是一关于系统模态频率ω的方阵，ω可通过求解频率方程|K(ω)|＝0来确定。其中|·|为行列式符号。该方程求解可借助数值迭代算法如Newton法，Muller法以及二分法等，进而可得系统的各阶模态频率ω。此后，将求得的模态频率ω代入(9) 和(10)式，再结合边界条件确定待定系数

进而可求得系统的各阶模态振型

和

发明效果

本发明的技术效果在于：

1.目前，对自锚式悬索桥动力特性的求解缺乏快速有效的分析方法，致使其动力分析多采用以瑞利-里兹法和有限元法为代表的数值解法，因此难以同时兼顾计算精度和效率。本发明提出的方法是一种频域解法，其求解过程全部是闭合形式的，因此相比于传统时域解法具有更高的计算效率和精度。

2.本发明方法过程简单，根据动力刚度法给出了三跨自锚式悬索桥频率方程的闭合解，解此频率方程即可求得系统的模态频率和振型。本发明建立了一套完整的、充分考虑悬索桥主缆、主梁、以及吊杆刚度影响的精细化动力学模型，给出了其模态频率和振型分析的全部计算流程，便于工程人员应用于该类悬索桥的结构优化设计、健康监测、以及振动控制等。

附图说明

图1为力学模型图

图2矩阵集组示例

具体实施方式

参见图1—图2，一种三跨自锚式悬索桥动力特性的精细化快速分析方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

第一步：根据图1所示动力学模型，计算被吊杆分割的主缆各索段的附加索力h_j和无量纲振型函数

以及主梁各梁段的无量纲振型函数

第二步：计算各索段的垂度矩阵B⁽ⁱ⁾，再结合结点位移连续条件及力平衡条件计算中间矩阵C⁽ⁱ⁾和D⁽ⁱ⁾，进而依据

计算单元动刚度矩阵K⁽ⁱ⁾；

第三步：叠加各索段和弹簧对系统的刚度贡献，对各单元动刚度矩阵进行集组，得到悬索桥整体动刚度矩阵K；

第四步：利用Newton或Muller等数值迭代算法求解系统频率方程det(K(ω))＝0，该超越方程的根即对应于模态频率ω；

第六步：将求得的模态频率ω代入

和

的表达式，结合边界条件求解待定系数

进而得到系统对应阶次的模态振型。

进一步可以描述为：

1.计算被吊杆划分的主缆各索段的附加索力h_j，建立局部坐标系下各索段和梁段的运动微分方程，采用分离变量法将其变换至频域并求解振型函数

和

2.计算各索段的垂度矩阵B⁽ⁱ⁾，再结合结点位移连续条件及力平衡条件计算过度矩阵 C⁽ⁱ⁾和D⁽ⁱ⁾，最后计算单元动刚度矩阵K⁽ⁱ⁾：

其中

3.叠加各索段、梁段和弹簧的贡献，对各单元动刚度矩阵进行集组，得到悬索桥整体动刚度矩阵K；

4.利用Newton法、Muller法或二分法等数值迭代算法求解系统频率方程 det(K(ω))＝0，该超越方程的根即系统的各阶模态频率；

5.将求得的模态频率ω代入

和

的表达式，结合边界条件求解待定系数

进而得到对应模态振型。

下面通过一个，对本发明技术方案进行详细说明，但本发明的保护范围不局限于所述实施例。

如图1所示，本发明所述一种三跨自锚式悬索桥的快速精细分析方法，包括以下步骤：

1.建立局部坐标系下悬索桥各索段和梁段的运动微分方程如下：

其中E₁I₁和m₁分别为主缆的抗弯刚度和每延米质量，E₂I₂和m₂分别为主梁的抗弯刚度和每延米质量；主缆承受的水平张力力以及主梁所受水平轴向力大小为H；u_1i及u_2i分别为第i个索段和第i个索段梁段的位移函数；()′代表对空间坐标x_i求导，(·)表示对时间t求导；δ(·)为狄拉克函数；

为主缆的初始静构型， g为重力加速度；

为前i个梁段的长度之和。

式中h_i为主缆第i个索段振动时由于弹性伸长引起的附加索力，其计算式如下：

其中A₁和ε_i(t)表示主缆的横截面面积和索段的动应变，

表示i个索段的曲线长度。

2.无量纲振型函数

的求解

本发明应用动刚度理论求解(15)式和(16)式表示的拉索自由振动问题。将

(

和(17)式代入(15)式和(16)得：

其中e＝m₁gl₀/8H。引入无量纲参数：ξ_1i＝x_i/l₀，

ξ_2i＝x_i/l_sn，

及

则可得到无量纲化后的运动微分方程如下：

其中

由(20)和(21) 式可确定振型函数

和

为

其中

1代表主缆而2代表主梁。

其中

为表述方便，(22)和(23)式可进一步写为如下矩阵形式：

其中

其中

是与边界条件有关的待定系数，可在后续分析过程中通过代换先行消去，在求得了系统模态频率ω后予以确定。

3.单元动刚度矩阵K⁽ⁱ⁾的求解

根据结点位移与位移函数的关系：

将(30)-(33)式代入(25)和(26)式可以将第i个索段和梁段的结点位移向量U⁽ⁱ⁾统一表示为：

其中

其中

C_1i＝cos(q₁μ_1i)，C_2i＝cos(q₂μ_2i)，S_1i＝sin(q₁μ_1i)，S_2i＝sin(q₂μ_2i)。

再根据力平衡条件

可得结点力

由(37)、(38)式可得：

其中

上式中，

对于两个边缆，其单元动刚度矩阵分别为

和

具体如下：

4.系统总体动刚度矩阵K的集组

系统总体动刚度矩阵可通过各单元动刚度矩阵的集组得到，以附图2中所示单吊杆三跨悬索桥为例，系统共有4个索单元和4个梁单元，其中①号和④号索单元为边缆，②号和③号索单元为主缆，跨中C点位置处有一刚度系数为k_c的吊杆。通过叠加各单元动刚度的贡献并删去被约束的自由度，可得系统的总体动刚度矩阵为

其中

其余各元素的上下标含义与(41)、(42)式中元素的一致。

5.频率方程的求解

得到整体刚度矩阵K后，求解特征方程det(K(ω))＝0即可求得系统的各阶模态频率。该方程是一个超越方程，可采用数值算法迭代求解，如Newton法、Muller法、二分法等。

6.模态振型的求解

求得系统第i阶模态频率ω_i后，可将其回代至(22)和(23)式求得

和

再根据边界条件，即将

和

代入下式求得

和

其中C^(j)已由(34)式给出。求得

和

后可按照同样的方式求出其他索段及梁段的振型函数，最终确定出系统的第i阶模态振型。

Claims (1)

1.一种三跨自锚式悬索桥动力特性的快速分析方法，其特征在于，包括以下步骤:

步骤一：建立三跨自锚式悬索桥的系统动力学模型及运动微分方程组，包括以下子步骤：

子步骤一：对自锚式悬索桥的动力学模型进行初始参数设定：在模型中选取若干弹簧，用于模拟悬索桥的吊杆，k_i表示第i个弹簧的刚度系数，其大小等于第i个吊杆的轴向刚度；L_i表示第i-1个吊杆和第i个吊杆之间的索段及梁段的水平长度；模型中位于上方且垂度为d的曲梁代表悬索桥的中跨主缆(简称主缆)，其两侧垂度为分别f₁和f₂的曲梁则代表悬索桥两个边跨的主缆(简称边缆)，模型下方的直梁则用以模拟悬索桥的主梁。l₀表示中跨主缆的跨径、l₁表示左边跨主缆的跨径、l₂表示右边边跨的跨径；θ₁代表左边缆割线方向与水平方向所夹锐角；θ₂代表右边缆割线方向与水平方向所夹锐角；主缆受到的水平张力及主梁受到的水平压力大小为H，T为边缆所承受的张力；(x,y)为系统的整体坐标系，(x_i,y)表示第i个索段和梁段的局部坐标系；

和

分别为左边缆的初始静构型和位移函数；

和

为右边缆的初始静构型和位移函数；

为左边缆的局部坐标系，

为右边缆的局部坐标；

和

分别表示两个边缆的弦向长度，以上变量的上标“-”代表该物理量用以描述边缆；F_i表示悬索桥主缆和主梁的相对运动时引起的吊杆内力；

子步骤二：依据哈密顿原理，建立局部坐标系下悬索桥各索段和梁段的运动微分方程如下：

其中E₁I₁和m₁分别为主缆的抗弯刚度和每延米质量，E₂I₂和m₂分别为主梁的抗弯刚度和每延米质量；主缆承受的水平张力力以及主梁所受水平轴向力大小为H；u_1i及u_2i分别为第i个索段和第i个索段梁段的位移函数；()′代表对空间坐标x_i求导，(·)表示对时间t求导；δ(·)为狄拉克函数；y为主缆的初始静构型；

为前i个梁段的长度之和。

式中h_i为主缆第i个索段振动时由于弹性伸长引起的附加索力，其计算式如下：

其中A₁和ε_i(t)表示主缆的横截面面积和索段的动应变，

表示i个索段的曲线长度。

步骤二：对(1)和(2)式应用分离变量法并求其通解，可以得到主缆以及主梁的无量纲化后的振型函数

和

如下：

其中

其中n＝1,2，1代表主缆而2代表主梁；

其中

μ_si＝l_si/l₀。(4)和(5)式中的系数

(n＝1,2)为未知常数，在后续分析过程中可以通过代换消去，在最后求得系统的固有频率后，可结合边界条件予以确定。

步骤三：分别计算边缆、主缆、主缆单元动刚度矩阵，包括以下子步骤：子步骤一：为了表述方便，将(4)式和(5)式进一步写为如下矩阵形式：

其中

其中

由(9)式求得B⁽ⁱ⁾后，根据结点位移U⁽ⁱ⁾与位移函数的关系可以将第i个索段和梁段的结点位移向量U⁽ⁱ⁾统一表示为：

其中

其中

C_ni＝cos(q_nμ_ni),S_ni＝sin(q_nμ_ni),n＝1,2。

和

分别表示第i个索段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第i个索段右端结点的位移和转角；

和

分别表示第i个梁段左端结点的位移和转角，

和

分别表示第i个梁段右端结点的位移和转角。

子步骤二：

再结合结点力平衡条件可得

其中

其中

式(11)可进一步写为

F⁽ⁱ⁾＝K⁽ⁱ⁾·U⁽ⁱ⁾ (12)

其中单元动刚度矩阵K⁽ⁱ⁾可由下式确定

其中

n＝1,2。

步骤四：求得各单元的动刚度矩阵后，可按照与有限元法相同的方式，叠加各单元和弹簧对结构整体刚度的贡献，得到整体坐标系下的总体动刚度矩阵K。

步骤五：矩阵K是一关于系统模态频率ω的方阵，ω可通过求解频率方程|K(ω)|＝0来确定。其中|·|为行列式符号。该方程求解可借助数值迭代算法如Newton法，Muller法以及二分法等，进而可得系统的各阶模态频率ω。此后，将求得的模态频率ω代入(4)和(5)式，再结合边界条件确定待定系数

(n＝1,2)，进而可求得系统的各阶模态振型

和

Images