CN109492293B - 一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法，包括以下步骤：步骤一、问题描述及索形状函数的建立；步骤二、索元运动方程的建立；步骤三、求解运动方程，获得频响函数；步骤四、静态刚度K_st的建立；步骤五、索动力系数的建立；步骤六、倾斜悬索静、动力作用刚度模型的建立。本发明充分考虑了索结构动力特性，包括阻尼和最小必要振型数目，形成了多阶振型参与的倾斜悬索刚度力学模型，在数值计算中建模方便，计算效率高，适用于结构灾后损伤快速评估。

Description

一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法

技术领域

本发明属于电网输电工程和斜拉桥技术领域，特别是涉及一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法。

背景技术

目前，部分学者开展了斜拉桥或者输电塔线体系整体结构的研究。其中在斜拉桥研究领域，拉索采用桁架单元模拟，并采用Ernst公式修正材料的弹性模量来考虑拉索的垂度效应。Ernst公式的推导过程忽略了索自重沿弦方向的分量，而且属于静态分析的结果，未考虑索的动力作用。在电网输电工程领域，日本学者将导线简化为无质量弹簧，弹簧刚度取为EA/L，过于保守，不准确；VELETSOS等通过对倾斜悬索动态分析，获得了平面内水平刚度的封闭表达式，但是该表达式为随机振动理论中的频响函数概念，包含了速度和加速度的相位差，不具备刚度的物理意义，而且推导过程中忽略了索自重沿弦方向的分量，使得倾斜角较大时误差不能忽略。

合理有效简化倾斜悬索的力学模型，可以提高结构静、动力计算效率，便于静力设计，而且对塔体灾后损伤快速评估有重要的意义。针对斜拉桥和输电塔线体系的索结构建模问题，本发明提出了一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法。

发明内容

本发明目的是为了解决现有技术中存在的问题，提出了一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法。本发明能够合理有效简化倾斜悬索结构来解决索结构的建模问题。

本发明的目的通过以下技术方案实现：一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法，包括以下步骤：

步骤一、问题描述及索形状函数的建立；

步骤二、索元运动方程的建立；

步骤三、求解运动方程，获得频响函数；

步骤四、静态刚度K_st的建立；

步骤五、索动力系数的建立；

步骤六、倾斜悬索静、动力作用刚度模型的建立。

进一步地，所述步骤一具体为：

将荷载沿弦线均匀分布展开分析，当荷载沿索曲线的弦线均匀分布时，索的形状为抛物线；

定义一根平面内单悬索跨度为l，两端铰接，受沿弦线均布荷载q，q的取值为悬链线全长之重除以弦长，左右两端高差为h，弦线倾斜角为θ，跨中垂度为f，以右侧端点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，H为索端部水平张力；

在静力作用下，取索元dx进行分析；

Y向平衡方程：

其中，V代表索张力的Y向分量；dV代表V沿X向的微小增量；

又因为索内张力沿着索的方向：

根据边界条件：

y_|x＝0＝0，y_|x＝L＝h

其中L表示悬索的跨度；

求得倾斜悬索结构的形状函数：

同时可求得垂度的表达式：

进一步地，所述步骤二具体为：

索左侧低端施加水平方向简谐荷载激励X(t)＝Xe^iωt，其中X表示位移荷载的幅值，

ω表示激励圆频率，t表示时间，此时索低端产生的水平张力改变量为ΔH(t)，u(x,t)代表X向的位移，w(x,t)代表Y向的位移；根据随机振动理论，结构响应ΔH(t)与干扰X(t)存在如下关系:

ΔH(t)＝H(ω)X(t)

进行索元动力分析，Y向方程为：

其中，μ表示单位跨度悬索质量，c表示单位跨度粘滞阻尼系数；

同理，索内张力沿着索的方向：

经过简化，舍去二阶小量，获得索元运动方程：

进一步地，所述步骤三具体为：

引入应变：

其中，ds`表示动态索元长度，ds表示初始状态索元长度；

(ds`)²＝(dx+du)²+(dy+dw)²，(ds)²＝(dx)²+(dy)²

其中

与

为二阶小量，舍去；

ΔT＝AE×e，其中ΔT表示索力增量，A代表索截面面积，E代表弹性模量；

两侧积分：

其中，令

其中，L_e不考虑

和

两项可得；

通过积分：

同时：

令

其中v(x，t)表示Y向位移w(x，t)的变形分量；

令

运动方程可写成：

由简谐荷载：v(δ，t)＝v(δ)e^iwt，ΔH＝ΔHe^iwt

边界条件：u(0，t)＝0，u(l，t)＝Xe^iwt

w(0，t)＝0，w(l，t)＝Xe^iwt

对上式进行简化：

同时

水平张力改变量ΔH简化为：

运动方程：

进一步简化：

其中，令：

可得：

求解微分方程：

λ²+φ²-i2πξφ＝0，其中λ为索结构参数；

令其中一根为：

λ＝α+βi，其中α和β为常数；

代入方程：

α²-β²+2αβi+φ²-i2πξφ＝0

虚部实部分别相等：

β²-α²＝φ²，αβ＝πξφ

解得：

方程另一根为：

λ＝-α-βi

微分方程通解：

v_h＝B₁e^αδe^iβδ+B₂e^-αδe^-iβδ，其中B₁和B₂为常数；

特解：

全解：

v＝v_h+v_p

边界条件：

v_δ＝0＝v_δ＝1＝0

B₁+B₂+v_p＝0

B₁e^αe^iβ+B₂e^-αe^-iβ+v_p＝0

解得B₁和B₂：

水平张力改变量ΔH：

其中：

将其转化为三角函数及双曲三角函数：

e^α＝sinhα+coshα

e^-α＝coshα-sinhα

e^βi＝cosβ+isinβ

e^-βi＝cosβ-isinβ

整理得：

因此，

解出ΔH：

其中，令

因此，频响函数为：

进一步地，所述步骤四具体为：

当不考虑阻尼时，ξ＝0

当同时不考虑阻尼和频率时，ξ＝0，φ＝0，此时即为静态解；

通过对静态刚度表达式进行变形，可以获得倾斜悬索考虑垂度响应的等效弹性模量

其中T表示索力；

进一步地，所述步骤五具体为：

索动力系数为：

式中：λ²为索结构参数，α_i为第i阶振型参与系数，|γ(ω_i)|为γ(ω_i)的幅值，N为振型数量；

振型频率求解方程和振型参与系数如下：

主导振型的阶数n_main可用下式表示：

式中round为四舍五入算法；

从而确定了振型数量N：

N＝N(λ²)＝n_main+2。

进一步地，所述步骤六具体为：

刚度模型K为：

其中

N＝N(λ²)＝n_main+2。

本发明改善了Ernst公式，充分考虑了索自重的沿弦方向的分量，而且推导过程是静、动态结合分析，改善了现有索结构刚度模型，解决了日本学者刚度取值保守的问题，而且还解决了学者VELETSOS非刚度物理意义的模型问题。本发明充分考虑了索结构动力特性，包括阻尼和最小必要振型数目，形成了多阶振型参与的倾斜悬索刚度力学模型，在数值计算中建模方便，计算效率高，适用于结构灾后损伤快速评估。

附图说明

图1是平面内单悬索静态受力图；

图2是索元静力分析图；

图3是倾斜悬索的动力作用图；

图4是索元动力分析图；

图5是刚度模型的使用流程图；

图6是弹簧模型图；

图7是悬索模型图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明提出一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法，包括以下步骤：

步骤一、问题描述及索形状函数的建立；

步骤二、索元运动方程的建立；

步骤三、求解运动方程，获得频响函数；

步骤四、静态刚度K_st的建立；

步骤五、索动力系数的建立；

步骤六、倾斜悬索静、动力作用刚度模型的建立。

所述步骤一具体为：

当荷载沿索曲线的弦线均匀分布时，索的形状为抛物线；当荷载沿索的弧长均匀分布时，索的形状为悬链线，如索的自重荷载。根据分析发现，索的垂度越小二者的误差越小，实际工程中索的垂度都比较小，误差可为工程所接受。本发明将荷载沿弦线均匀分布展开分析。

如图1所示，定义一根平面内单悬索跨度为l，两端铰接，受沿弦线均布荷载q，q的取值为悬链线全长之重除以弦长，左右两端高差为h，弦线倾斜角为θ，跨中垂度为f，以右侧端点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，H为索端部水平张力；

在静力作用下，取索元dx进行分析，如图2所示；

Y向平衡方程：

其中，V代表索张力的Y向分量；dV代表V沿X向的微小增量；

又因为索内张力沿着索的方向：

根据边界条件：

y_|x＝0＝0，y_|x＝L＝h

其中L表示悬索的跨度；

求得倾斜悬索结构的形状函数：

同时可求得垂度的表达式：

所述步骤二具体为：

索左侧低端施加水平方向简谐荷载激励X(t)＝Xe^iωt，其中X表示位移荷载的幅值，

ω表示激励圆频率，t表示时间，此时索低端产生的水平张力改变量为ΔH(t)，如图3所示，u(x，t)代表X向的位移，w(x，t)代表Y向的位移；根据随机振动理论，结构响应ΔH(t)与干扰X(t)存在如下关系：

ΔH(t)＝H(ω)X(t)

结合图4，进行索元动力分析，Y向方程为：

其中，μ表示单位跨度悬索质量，c表示单位跨度粘滞阻尼系数；

同理，索内张力沿着索的方向：

经过简化，舍去二阶小量，获得索元运动方程：

所述步骤三具体为：

引入应变：

其中，ds`表示动态索元长度，ds表示初始状态索元长度；

(ds`)²＝(dx+du)²+(dy+dw)²，(ds)²＝(dx)²+(dy)²

其中

与

为二阶小量，舍去；

ΔT＝AE×e，其中ΔT表示索力增量，A代表索截面面积，E代表弹性模量；

两侧积分：

其中，令

其中，L_e忽略

和

两项可得；

通过积分：

同时：

令

其中v(x，t)表示Y向位移w(x，t)的变形分量；

令

运动方程可写成：

由简谐荷载：v(δ，t)＝v(δ)e^iwt，ΔH＝ΔHe^iwt

边界条件：u(0，t)＝0，u(l，t)＝Xe^iwt

w(0，t)＝0，w(l，t)＝Xe^iwt

对上式进行简化：

同时

水平张力改变量ΔH简化为：

运动方程：

进一步简化：

其中，令：

可得：

求解微分方程：

λ²+φ²-i2πξφ＝0，其中λ为索结构参数；

令其中一根为：

λ＝α+βi，其中α和β为常数；

代入方程：

α²-β²+2αβi+φ²-i2πξφ＝0

虚部实部分别相等：

β²-α²＝φ²，αβ＝πξφ

解得：

方程另一根为：

λ＝-α-βi

微分方程通解：

v_h＝B₁e^αδe^iβδ+B₂e^-αδe^-iβδ其中B₁和B₂为常数；

特解：

全解：

v＝v_h+v_p

边界条件：

v_δ＝0＝v_δ＝1＝0

B₁+B₂+v_p＝0

B₁e^αe^iβ+B₂e^-αe^-iβ+v_p＝0

解得B₁和B₂：

水平张力改变量ΔH：

其中：

将其转化为三角函数及双曲三角函数：

e^α＝sinhα+coshα

e^-α＝coshα-sinhα

e^βi＝cosβ+isinβ

e^-βi＝cosβ-isinβ

整理得：

因此，

解出ΔH：

其中，令

因此，频响函数为：

所述步骤四具体为：

当不考虑阻尼时，ξ＝0

当同时不考虑阻尼和频率时，ξ＝0，φ＝0，此时即为静态解；

通过对静态刚度表达式进行变形，可以获得倾斜悬索考虑垂度响应的等效弹性模量

其中T表示索力；

该式与Ernst公式的差别在于cos²θ项，这是因为本发明考虑了自重沿弦线方向的分量。

所述步骤五具体为：

索动力系数为：

式中：λ²为索结构参数，α_i为第i阶振型参与系数，|γ(ω_i)|为γ(ω_i)的幅值，N为振型数量；

振型频率求解方程和振型参与系数如下：

主导振型的阶数n_main可用下式表示：

式中round为四舍五入算法；

从而确定了振型数量N：

N＝N(λ²)＝n_main+2。

所述步骤六具体为：

刚度模型K为：

其中

N＝N(λ²)＝n_main+2。

本发明提出了一种倾斜悬索静、动力作用刚度模型的构建方法，该方法的使用流程如图5所示。具体实施方式如下：

问题描述：某鼓型输电塔顶端横担两侧分别悬挂8分裂高压输电导线，输电导线型号为LGJ500/35，塔高56.15m，输电导线跨度为100m，仅考虑输电塔单侧挂线，对考虑输电导线作用的输电塔开展8度罕遇地震分析。

应用本发明建立输电导线(倾斜悬索)的刚度模型步骤如下：

步骤一：建立倾斜悬索的静态刚度K_st

根据式

计算索长度参数L_e，根据式

计算索结构参数λ²，将L_e和λ²代入式

得到静态刚度K_st。

步骤二：获得倾斜悬索结构的索动力系数η

将λ²代入式

得到主导振型的阶数，再将其代入式N＝N(λ²)＝n_main+2求得振型数目N；根据振型数目N，将λ₂代入式

得到倾斜悬索结构的振型频率ω_i(i＝1,2,…,N)，将其代入式

计算出每阶振型的参与系数α_i(i＝1,2,…,N)；然后根据式

计算得到|γ(ω_i)|(i＝1,2,…,N)；将N，α_i，λ²和|γ(ω_i)|代入式

即可建立倾斜悬索结构的索动力系数。

步骤三：将K_st和η代入式

求得倾斜悬索的动力刚度模型K。

利用上述步骤建立的倾斜悬索结构刚度模型建立塔线体系有限元模型如图6所示，将输电导线作用简化为弹簧作用，该模型的计算结果将与悬索模型(如图7所示)进行对比分析。

计算精度方面，本发明的刚度力学模型与悬索模型的静力响应误差为0.1％，动力响应误差在1.06％，说明本发明的刚度力学模型精度高。

计算效率方面，本发明的刚度力学模型静力计算时长0.2s，动力计算时长为117.3s；悬索模型静力计算时长为263s，动力计算时长为2174s。即本发明的刚度力学模型效率很高，静、动力计算时长分别为悬索模型的0.08％和5.4％。

以上对本发明所提供的一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法，进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (1)

1.一种倾斜悬索的静、动力作用刚度模型的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、问题描述及索形状函数的建立；

步骤二、索元运动方程的建立；

步骤三、求解运动方程，获得频响函数；

步骤四、静态刚度K_st的建立；

步骤五、索动力系数的建立；

步骤六、倾斜悬索静、动力作用刚度模型的建立；

所述步骤一具体为：

将荷载沿弦线均匀分布展开分析，当荷载沿索曲线的弦线均匀分布时，索的形状为抛物线；

定义一根平面内单悬索跨度为l，两端铰接，受沿弦线均布荷载q，q的取值为悬链线全长之重除以弦长，左右两端高差为h，弦线倾斜角为θ，跨中垂度为f，以右侧端点为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，H为索端部水平张力；

在静力作用下，取索元dx进行分析；

Y向平衡方程：

其中，V代表索张力的Y向分量；dV代表V沿X向的微小增量；

又因为索内张力沿着索的方向：

根据边界条件：

y_|x＝0＝0，y_|x＝L＝h

其中L表示悬索的跨度；

求得倾斜悬索结构的形状函数：

同时可求得垂度的表达式：

所述步骤二具体为：

索左侧低端施加水平方向简谐荷载激励X(t)＝Xe^iωt，其中X表示位移荷载的幅值，

ω表示激励圆频率，t表示时间，此时索低端产生的水平张力改变量为ΔH(t)，u(x,t)代表X向的位移，w(x,t)代表Y向的位移；根据随机振动理论，结构响应ΔH(t)与干扰X(t)存在如下关系:

ΔH(t)＝H(ω)X(t)

进行索元动力分析，Y向方程为：

其中，μ表示单位跨度悬索质量，c表示单位跨度粘滞阻尼系数；

同理，索内张力沿着索的方向：

经过简化，舍去二阶小量，获得索元运动方程：

所述步骤三具体为：

引入应变：

其中，ds`表示动态索元长度，ds表示初始状态索元长度；

(ds`)²＝(dx+du)²+(dy+dw)²，(ds)²＝(dx)²+(dy)²

其中

与

为二阶小量，舍去；

ΔT＝AE×e，其中ΔT表示索力增量，A代表索截面面积，E代表弹性模量；

两侧积分：

其中，令

其中L_e忽略

和

两项可得；

通过积分：

同时：

令

其中v(x,t)表示Y向位移w(x,t)的变形分量；

令

运动方程可写成：

由简谐荷载：v(δ，t)＝v(δ)e^iwt，ΔH＝ΔHe^iwt

边界条件：u(0，t)＝0，u(l，t)＝Xe^iwt

w(0，t)＝0，w(l，t)＝Xe^iwt

对上式进行简化：

同时

水平张力改变量ΔH简化为：

运动方程：

进一步简化：

其中，令：

可得：

求解微分方程：

λ²+φ²-i2πξφ＝0，其中λ为索结构参数；

令其中一根为：

λ＝α+βi，其中α和β为常数；

代入方程：

α²-β²+2αβi+φ²-β2πξφ＝0

虚部实部分别相等：

β²-α²＝φ²，αβ＝πξφ

解得：

方程另一根为：

λ＝-α-βi

微分方程通解：

v_h＝B₁e^αδe^iβδ+B₂e^-αδe^-iβδ，其中B₁和B₂为常数；

特解：

全解：

v＝v_h+v_p

边界条件：

v_δ＝0＝v_δ＝1＝0

B₁+B₂+v_p＝0

B₁e^αe^iβ+B₂e^-αe^-iβ+v_p＝0

解得B₁和B₂：

水平张力改变量ΔH：

其中：

将其转化为三角函数及双曲三角函数：

e^α＝sinhα+coshα

e^-α＝coshα-sinhα

e^βi＝cosβ+i sinβ

e^-βi＝cosβ-i sinβ

整理得：

因此，

解出ΔH：

其中，令

因此，频响函数为：

所述步骤四具体为：

当不考虑阻尼时，ξ＝0

当同时不考虑阻尼和频率时，ξ＝0，φ＝0，此时即为静态解；

通过对静态刚度表达式进行变形，可以获得倾斜悬索考虑垂度响应的等效弹性模量

其中T表示索力；

所述步骤五具体为：

索动力系数为：

式中：λ²为索结构参数，α_i为第i阶振型参与系数，|γ(ω_i)|为γ(ω_i)的幅值，N为振型数量；

振型频率求解方程和振型参与系数如下：

主导振型的阶数n_main可用下式表示：

式中round为四舍五入算法；

从而确定了振型数量N：

N＝N(λ²)＝n_main+2；

所述步骤六具体为：

刚度模型K为：

其中

N＝N(λ²)＝n_main+2。

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