CN115758505B - 一种基于全局形函数的系泊系统求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及浮式结构的系泊系统技术领域，具体涉及一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，适用于悬链线式系泊系统，引入变分法，构建了全局形函数，将系泊形变方程与刚度矩阵结合，在不增加求解参量的基础上建立考虑系泊系统大变形的刚度矩阵，解决了系泊系统中局部刚度矩阵向整体刚度矩阵转换的问题，在理论上简化了数值求解过程；引入最小作用量原理，在构建系泊系统形变方程时只需要考虑非保守力做功，可忽略传统方法中静力分析的保守力(重力和张力)，进一步简化系泊系统非线性动力平衡方程。

Description

一种基于全局形函数的系泊系统求解方法

技术领域

本发明涉及浮式结构的系泊系统技术领域，具体涉及一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，适用于悬链线式系泊系统。

背景技术

这里的陈述仅提供与本公开相关的背景技术，而不必然地构成现有技术。

浮式平台是海上作业的重要设备，是走向深远海的重要依托，其中浮式平台的系泊系统是保障其在作业过程中的安全，因此对系泊系统进行动力响应分析至关重要。系泊系统是长期服役在复杂海况下的水下大柔性结构，具有很强的非线性行为，目前常见的系泊系统分析软件如SESAM采用的是有限元方法，Orcaflex采用的是集中质量法，NREL的FAST则提供了准静态系泊模型、集中质量法和弹性杆理论三种求解方法。然而浮式平台的振动特征和运动特征会给系泊系统带来复杂的非线性边界效应，系泊系统自身的大柔性和大变形增加了动力分析的复杂程度，软件分析的整体耦合分析中，系泊系统的求解占用大部分计算资源，方法采用Newmark-beta法和牛顿法对平衡方程进行数值求解，在整体耦合分析中，占用大部分的计算资源，因此系泊系统动力分析领域需要一种简化数值求解过程、提高分析和计算效率的方法，来有效节省初步设计的时间成本。

发明内容

本发明针对考虑系泊系统大变形和非线性的计算效率问题，提供一种基于全局形函数的全新系泊系统求解方法，该方法可以快速求解系泊系统动力响应，适用于系泊系统的响应评估。

本发明的技术方案为：

本发明提供了一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，包括以下步骤：

S1：根据系泊系统的设计参数，将系泊系统分为系泊缆和锚；系泊缆在海水中静平衡状态存在悬浮段和躺底段，采用悬链线方程求解系泊缆悬浮段的初始位置和躺底段与土体的静平衡位置，并将锚简化为弹性支座，建立系泊系统初始状态模型；

S2：步骤S1中的静力模型求解，为动力模型提供迭代的初始条件，现进行动力模型构建：将系泊缆离散为杆单元模型，构建基于哈密顿原理的能量平衡方程，建立系泊缆的弹性大变形方程，并引入泰勒展开，略去高阶项，构建基于能量平衡方程的变形因子，从而建立考虑系泊系统大变形的刚度矩阵；

S3：在动力分析中，需要施加边界条件进行约束，以下是边界条件模型：建立系泊缆与海水相互作用体系：针对小尺度柔性结构的波浪力模型，引入莫里森方程，并针对躺底段构建弹性海床模型，通过变分法原理，得出系泊缆在受非线性边界条件、水动力荷载和流荷载作用下的动力学模型；建立系泊缆的非线性边界和变形模型：将海床模拟为线弹性地基，并建立系泊缆与海床摩擦模型；

S4：由步骤S2和步骤S3建立的考虑系泊缆非线性边界和变形的系泊系统控制方程，引入状态空间模型，对控制方程进行降阶处理，最后采用数值求解方法对控制方程进行求解。

进一步地，步骤S1具体实现如下：

采用悬链线方程进行求解系泊缆静力部分，过程如下：

根据牛顿第二定律和触底点的边界条件，可得：

y|_x＝0＝0 (2)

dF^V＝wds (4)

其中，S为系泊缆原长；

s为其悬浮段长度；

p为悬浮段水平长度；

q为躺底段水平长度；

X为锚泊点与导览孔的水平距离；

d为水深；

F^T为导缆孔处系泊缆张力；

F^V为F^T的垂向分量；

F^H为F^T的水平分量；

θ为系泊缆单元与水平方向的夹角；

由悬链线理论可知，导缆孔处系泊缆张力的水平分量F^H为常数，并由近似条件可知：根据式(1)～(4)求解方程，可得悬浮段方程为：

其中，

w为系泊缆单位长度的湿重；

由躺底段稳定条件可知：

y＝0(-q<x<0) (6)

将式(5)、(6)整合，可得完整的悬链线方程：

上式中存在三个未知量，a、p和q，同时也存在三个约束方程，分别是：

y|_x＝p＝d (8)

p+q＝X (10)

根据上述三个约束方程求得悬链线的超越方程：

对超越方程进行迭代求解即可以上求出未知量a、p和q。

进一步地，步骤S2具体实现如下：

假设系泊缆满足线弹性变形，则其形变方程可以表示如下：

其中，ds和ds'分别表示单元变形前后的长度；

dx、dy和dz是单元长度在x、y和z方向的分量；

i和j表示单元两端的节点数；

u、v和w表示i节点在x、y和z方向的位移；

u+du、v+dv和w+dw表示j节点在x、y和z方向的位移；

其中

对形变ε求关于u'、v'和w'的偏微分，可得：

因此，形变的全微分是：

δε＝(x'+u')δu'+(y'+v')δv'+(z'+w')δw' (15)

由最小作用量原理可知：

其中，Π、V和W分别是系统的动能、势能和非保守力虚功；

δ是变分符号；

对动能、势能和非保守力虚功分别进行变分；

其中，ρ为系泊缆密度，

A为系泊缆横截面积；

..表示对时间求二阶导数；

U为系泊缆的位移；

F^T为系泊缆静态张力；

E为杨氏模量；

g为重力加速度；

f_c为阻尼力；

将式(17)～(19)代入式(16)，可得：

采用有限元方法将平衡方程进行离散：

对于单元e，令U^e＝{u^e,v^e,w^e}^T＝N^ed^e和d^e＝{u_i,v_i,w_i,u_j,v_j,w_j}^T，d^e是单元两端节点i和j的位移；其中，N^e为插值矩阵，定义

和x^e＝{x',y',z'}^T，因此，单元e形变和形变变分表达式为：

其中，

将式(21)代入式(18)可得

其中k^e为单元刚度矩阵，其表达式如下：

系统的动能变分整理如下：

其中m^e为单元质量矩阵，其表达式如下：

m^e＝ρAN^eTN^e (25)

进一步地，步骤S3具体实现如下：

小尺度的波浪力模型：

令

和

T是全局坐标到局部坐标的转换矩阵；因此系泊缆单元节点的平均速度

和平均加速度

为

系泊缆受力采用莫里森经验公式，具体如下：

其中，ρ_s是海水密度；

D是系泊缆直径；

C_M是附加质量系数；

C_D是拖曳力系数；

和

是系泊缆单元节点的速度和加速度；

和

是水质点速度和加速度；

作用在单元e上的拖曳力在全局坐标系下的表示为：

海床约束力在海床法线方向存在，模型为：

其中，D_btm为海底深度；

w为系泊缆单位长度湿重；

d_z为系泊缆单元节点的z向坐标；

海床阻尼模型为：

其中，C_c为临界阻尼系数；

为系泊缆单元节点z向的速度。

进一步地，步骤S4具体实现如下：

将式(22)、(24)、(31)～(33)代入式(16)，可得：

其中，k^e是关于d^e的函数；f^e＝f^M+f^spring+f^damping

根据有限元理论，由单元矩阵组建整体矩阵，因此整体的系泊缆平衡方程为：

其中，M是整体质量矩阵；

K是整体刚度矩阵；

F是外力向量；

U是位移向量；

是加速度向量；

将式(35)式进行化简整理可得方程：

其中

本发明所达到的有益效果为：

与现有技术相比，本发明有如下有益效果：

(1)本发明引入变分法，构建了全局形函数，将系泊形变方程与刚度矩阵结合，在不增加求解参量的基础上建立考虑系泊系统大变形的刚度矩阵，解决了系泊系统中局部刚度矩阵向整体刚度矩阵转换的问题，在理论上简化了数值求解过程；

(2)本发明引入最小作用量原理，在构建系泊系统形变方程时只需要考虑非保守力做功，在传统方法中，静力分析中的保守力(重力和张力)不可忽略，在本发明中均可以忽略，进一步简化系泊系统非线性动力平衡方程；

(3)本发明相比于集中质量法采用的质量弹簧模型线性近似具有更高的截面模拟精度，相比于弹性杆法的增加形变参量，可以占用更少的计算资源，从而显著提高的求解效率。在保证求解精度的同时，本发明在求解效率上有很大提升，为实际工程中浮式结构的响应分析节省了时间成本。

附图说明

图1是系泊缆静力模型。

图2是系泊系统动力分析模型图。

图3本发明的方法与传统方法的效率对比结果。

具体实施方式

为便于本领域的技术人员理解本发明，下面结合附图说明本发明的具体实施方式。

本发明提供了一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，步骤如下：

S1：根据系泊系统的设计参数，将系泊系统分为系泊缆和锚；系泊缆在海水中静平衡状态存在悬浮段和躺底段，采用悬链线方程求解系泊缆悬浮段的初始位置和躺底段与土体的静平衡位置，并将锚简化为弹性支座，建立系泊系统初始状态模型：

采用悬链线方程进行求解系泊缆静力部分，过程如下：

如图1所示，根据牛顿第二定律和触底点的边界条件，可得：

y|_x＝0＝0 (2)

dF^V＝wds (4)

其中，S为系泊缆原长；

s为其悬浮段长度；

p为悬浮段水平长度；

q为躺底段水平长度；

X为锚泊点与导览孔的水平距离；

d为水深；

F^T为导缆孔处系泊缆张力；

F^V为F^T的垂向分量；

F^H为F^T的水平分量；

θ为系泊缆单元与水平方向的夹角；

由悬链线理论可知，导缆孔处系泊缆张力的水平分量F^H为常数，并由近似条件可知：根据式(1)～(4)求解方程，可得悬浮段方程为：

其中，

w为系泊缆单位长度的湿重；

由躺底段稳定条件可知：

y＝0(-q<x<0) (6)

将式(5)、(6)整合，可得完整的悬链线方程：

上式中存在三个未知量，a、p和q，同时也存在三个约束方程，分别是：

y|_x＝p＝d (8)

p+q＝X (10)

根据上述三个约束方程求得悬链线的超越方程：

对超越方程进行迭代求解即可以上求出未知量a、p和q。

S2：步骤S1中的静力模型求解，为动力模型提供迭代的初始条件，现进行动力模型构建：将系泊缆离散为杆单元模型，构建基于哈密顿原理的能量平衡方程，建立系泊缆的弹性大变形方程，并引入泰勒展开，略去高阶项，构建基于能量平衡方程的变形因子，从而建立考虑系泊系统大变形的刚度矩阵：

假设系泊缆满足线弹性变形，则其形变方程可以表示如下：

其中，ds和ds'分别表示单元变形前后的长度；

dx、dy和dz是单元长度在x、y和z方向的分量；

i和j表示单元两端的节点数；

u、v和w表示i节点在x、y和z方向的位移；

u+du、v+dv和w+dw表示j节点在x、y和z方向的位移；

其中

对形变ε求关于u'、v'和w'的偏微分，可得：

因此，形变的全微分是：

δε＝(x'+u')δu'+(y'+v')δv'+(z'+w')δw' (15)由最小作用量原理可知：

其中，Π、V和W分别是系统的动能、势能和非保守力虚功；

δ是变分符号；

对动能、势能和非保守力虚功分别进行变分；

其中，ρ为系泊缆密度，

A为系泊缆横截面积；

..表示对时间求二阶导数；

U为系泊缆的位移；

F^T为系泊缆静态张力；

E为杨氏模量；

g为重力加速度；

f_c为阻尼力；

将式(17)～(19)代入式(16)，可得：

采用有限元方法将平衡方程进行离散：

对于单元e，令U^e＝{u^e,v^e,w^e}^T＝N^ed^e和d^e＝{u_i,v_i,w_i,u_j,v_j,w_j}^T，d^e是单元两端节点i和j的位移；其中，N^e为插值矩阵，定义

和x^e＝{x',y',z'}^T，因此，单元e形变和形变变分表达式为：

其中，

将式(21)代入式(18)可得

其中k^e为单元刚度矩阵，其表达式如下：

系统的动能变分整理如下：

其中m^e为单元质量矩阵，其表达式如下：

m^e＝ρAN^eTN^e (25)

S3：在动力分析中，需要施加边界条件进行约束，以下是边界条件模型：建立系泊缆与海水相互作用体系：针对小尺度柔性结构的波浪力模型，引入莫里森方程，并针对躺底段构建弹性海床模型，通过变分法原理，得出系泊缆在受非线性边界条件、水动力荷载和流荷载作用下的动力学模型；建立系泊缆的非线性边界和变形模型：将海床模拟为线弹性地基，并建立系泊缆与海床摩擦模型：

小尺度的波浪力模型：

令

和

T是全局坐标到局部坐标的转换矩阵；因此系泊缆单元节点的平均速度

和平均加速度

为

系泊缆受力采用莫里森经验公式，具体如下：

其中，ρ_s是海水密度；

D是系泊缆直径；

C_M是附加质量系数；

C_D是拖曳力系数；

和

是系泊缆单元节点的速度和加速度；

和

是水质点速度和加速度；

作用在单元e上的拖曳力在全局坐标系下的表示为：

海床约束力在海床法线方向存在，模型为：

其中，D_btm为海底深度；

w为系泊缆单位长度湿重；

d_z为系泊缆单元节点的z向坐标；

海床阻尼模型为：

其中，C_c为临界阻尼系数；

为系泊缆单元节点z向的速度。

S4：由步骤S2和步骤S3建立的考虑系泊缆非线性边界和变形的系泊系统控制方程，引入状态空间模型，对控制方程进行降阶处理，最后采用数值求解方法对控制方程进行求解：

将式(22)、(24)、(31)～(33)代入式(16)，可得：

其中，k^e是关于d^e的函数；f^e＝f^M+f^spring+f^damping

根据有限元理论，由单元矩阵组建整体矩阵，因此整体的系泊缆平衡方程为：

其中，M是整体质量矩阵；

K是整体刚度矩阵；

F是外力向量；

U是位移向量；

是加速度向量；

将式(35)式进行化简整理可得方程：

其中

表1系泊缆主要参数

本次算例中，系泊模型参数如表1所示，通过在系泊顶端施加位移激励，从而获得系泊顶端张力，以商业软件Orcaflex作为对照进行对比分析。

对于本次算例中施加的顶端位移，本发明方法与Orcaflex计算的顶端张力对比结果吻合较好。本次算例对计算效率进行分析：在相同的时间步长条件下，选取不同的单元个数，统计实际计算时间，具体结果如图3所示，从图中可以看出，本方法计算效率相比于传统方法，相同单元和时间步长下，本发明方法的效率提升至少80％，并且单元数量越高，本发明方法节省时间成本越明显，为实际工程中浮式结构物的动力分析提供了一定的帮助。

以上所述的本发明实施方式，并不构成对本发明保护范围的限定。任何在本发明的精神和原则之内所作的修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的权利要求保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：根据系泊系统的设计参数，将系泊系统分为系泊缆和锚；系泊缆在海水中静平衡状态存在悬浮段和躺底段，采用悬链线方程求解系泊缆悬浮段的初始位置和躺底段与土体的静平衡位置，并将锚简化为弹性支座，建立系泊系统初始状态模型；

S2：步骤S1中的静力模型求解，为动力模型提供迭代的初始条件，现进行动力模型构建：将系泊缆离散为杆单元模型，构建基于哈密顿原理的能量平衡方程，建立系泊缆的弹性大变形方程，并引入泰勒展开，略去高阶项，构建基于能量平衡方程的变形因子，从而建立考虑系泊系统大变形的刚度矩阵；

S3：在动力分析中，需要施加边界条件进行约束，以下是边界条件模型：建立系泊缆与海水相互作用体系：针对小尺度柔性结构的波浪力模型，引入莫里森方程，并针对躺底段构建弹性海床模型，通过变分法原理，得出系泊缆在受非线性边界条件、水动力荷载和流荷载作用下的动力学模型；建立系泊缆的非线性边界和变形模型：将海床模拟为线弹性地基，并建立系泊缆与海床摩擦模型；

S4：由步骤S2和步骤S3建立的考虑系泊缆非线性边界和变形的系泊系统控制方程，引入状态空间模型，对控制方程进行降阶处理，最后采用数值求解方法对控制方程进行求解。

2.根据权利要求1所述的一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，其特征在于，步骤S1具体实现如下：

采用悬链线方程进行求解系泊缆静力部分，过程如下：

根据牛顿第二定律和触底点的边界条件，可得：

y|_x＝0＝0 (2)

dF^V＝wds (4)

其中，S为系泊缆总长；

s为其悬浮段长度；

p为悬浮段水平长度；

q为躺底段水平长度；

X为锚泊点与导览孔的水平距离；

d为水深；

F^T为导缆孔处系泊缆张力；

F^V为F^T的垂向分量；

F^H为F^T的水平分量；

θ为系泊缆单元与水平方向的夹角；

由悬链线理论可知，导缆孔处系泊缆张力的水平分量F^H为常数，并由近似条件可知：根据式(1)～(4)求解方程，可得悬浮段方程为：

其中，

w为系泊缆单位长度的湿重；

由躺底段稳定条件可知：

y＝0(-q<x<0) (6)

将式(5)、(6)整合，可得完整的悬链线方程：

式(7)中存在三个未知量，a、p和q，同时也存在三个约束方程，分别是：

y|_x＝p＝d (8)

p+q＝X (10)

根据上述三个约束方程求得悬链线的超越方程：

对超越方程进行迭代求解即可以上求出未知量a、p和q。

3.根据权利要求1所述的一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，其特征在于步骤S2具体实现如下：

假设系泊缆满足线弹性变形，则其形变方程可以表示如下：

其中，ds和ds'分别表示单元变形前后的长度；

dx、dy和dz是单元长度在x、y和z方向的分量；

i和j表示单元两端的节点数；

u、v和w表示i节点在x、y和z方向的位移；

u+du、v+dv和w+dw表示j节点在x、y和z方向的位移；

其中

对形变ε求关于u'、v'和w'的偏微分，可得：

因此，形变的全微分是：

δε＝(x'+u')δu'+(y'+v')δv'+(z'+w')δw' (15)

由最小作用量原理可知：

其中，∏、V和W分别是系统的动能、势能和非保守力虚功；

δ是变分符号；

对动能、势能和非保守力虚功分别进行变分：

其中，ρ为系泊缆密度，

A为系泊缆横截面积；

..表示对时间求二阶导数；

U为系泊缆的位移；

F^T为系泊缆静态张力；

E为杨氏模量；

g为重力加速度；

f_c为阻尼力；

将式(17)～(19)代入式(16)，可得：

采用有限元方法将平衡方程进行离散：

对于单元e，令U^e＝{u^e,v^e,w^e}^T＝N^ed^e和d^e＝{u_i,v_i,w_i,u_j,v_j,w_j}^T，d^e是单元两端节点i和j的位移；其中，N^e为插值矩阵，定义

和x^e＝{x',y',z'}^T，因此，单元e形变和形变变分表达式为：

其中，

将式(21)代入式(18)可得

其中k^e为单元刚度矩阵，其表达式如下：

系统的动能变分整理如下：

其中m^e为单元质量矩阵，其表达式如下：

m^e＝ρAN^eTN^e (25)。

4.根据权利要求1所述的一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，其特征在于步骤S3具体实现如下：

小尺度的波浪力模型：

令

和

T是全局坐标到局部坐标的转换矩阵；因此系泊缆单元节点的平均速度

和平均加速度

为

系泊缆受力采用莫里森经验公式，具体如下：

其中，ρ_s是海水密度；

D是系泊缆直径；

C_M是附加质量系数；

C_D是拖曳力系数；

和

是系泊缆单元节点的速度和加速度；

和

是水质点速度和加速度；

作用在单元e上的拖曳力在全局坐标系下的表示为：

海床约束力在海床法线方向存在，模型为：

其中，D_btm为海底深度；

w为系泊缆单位长度湿重；

d_z为系泊缆单元节点的z向坐标；

海床阻尼模型为：

其中，C_c为临界阻尼系数；

为系泊缆单元节点z向的速度。

5.根据权利要求1所述的一种基于全局形函数的系泊系统求解方法，其特征在于步骤S4具体实现如下：

将式(22)、(24)、(31)～(33)代入式(16)，可得：

其中，k^e是关于d^e的函数；f^e＝f^M+f^spring+f^damping

根据有限元理论，由单元矩阵组建整体矩阵，因此整体的系泊缆平衡方程为：

其中，M是整体质量矩阵；

K是整体刚度矩阵；

F是外力向量；

U是位移向量；

是加速度向量；

将式(35)式进行化简整理可得方程：

其中

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