CN114329697A - 横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种横向分布活载作用于悬索桥的主梁时，全桥内力和变形响应的计算方法。首先在已知悬索桥恒载状态的基础上，确定表示全桥关键几何形态和内力参数的独立基本未知量，接着用基本未知量表示主缆、主梁、桥塔和吊杆的响应，随后根据几何相容、无应力长度守恒、受力平衡等条件列出与基本未知量数量相等的控制方程，最后用非线性规划求解的方法解出未知量，即可得到全桥响应。本方法完全摒弃了传统方法中将吊杆视为连续薄膜的假定，创新性地计入了以下因素的影响：桥塔纵桥向弯曲、桥塔扭转、吊杆伸长和倾斜、主梁纵桥向刚体位移等，更加符合悬索桥真实的受力状态。该方法物理意义明确，通过几个关键参数的调整，即可得到结果，方便快捷。

Description

横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法

技术领域

本发明属于桥梁分析理论领域，特别涉及一种横向分布活载作用于悬索桥的主梁时，悬索桥全桥结构变形及内力的确定方法。

背景技术

悬索桥以主缆的受拉为主要受力形式，相比于其它桥型，它具有更大的跨越能力，同时柔度也更大，往往也容易发生较大挠度变形。目前，关于悬索桥受到竖向荷载时的挠度响应研究成果较多，但鲜有涉及横向荷载的研究。悬索桥在横向只在桥塔处有侧向的抗风支座，所以相对于竖向刚度，主梁的横向刚度更小，故悬索桥对于横向荷载更为敏感。因此，大跨悬索桥在横向活载下的挠度问题十分有必要性。

悬索桥的设计理论经历了由最初的弹性理论到挠度理论，最后到现在的有限位移理论的发展过程。最初的弹性理论方程并没有考虑结构受力的变形对新的平衡状态的有利影响，所以得到的内力响应比真实情况要大，其次它没有利用恒载刚度的有益影响。按照弹性理论设计的悬索桥往往较为笨重，因此弹性理论不适用于大跨径的悬索桥；挠度理论的求解涉及很多的非线性微分方程，计算比较复杂，并且无法考虑承受荷载后吊杆的空间位置变化等因素；随着计算机技术的成熟，大跨桥梁普遍采用有限元位移理论方法进行设计计算。有限元方法有逐渐替代的传统挠度理论的地位的趋势。但是，有限元方法需要建立复杂的结构模型，操作过程较为繁琐，而且对于模型的参数缺乏具体的物理意义，不利于工程师直观掌握设计信息。

因此，悬索桥的挠度计算需要一种更加快捷，更加精确，更加符合真实受力形态的计算方法。

发明内容

发明目的：针对上述三种悬索桥计算理论的不足，本发明提供了一种悬索桥的主梁受到横向分布荷载作用后，悬索桥全桥响应的解析计算方法。当横向分布活载作用于主梁后，悬索桥的主梁会产生横向挠度，原本的主缆和吊杆形成的索面将由原来的平面变形为空间索面，吊杆不再保持竖直；主梁和主缆都会产生横向挠度；桥塔会产生顺桥向侧移和扭转；如果横向活载非对称，主梁可能发生纵桥向刚体位移；因此全桥的位移和内力将变得非常复杂。而以往的悬索桥活载解析计算方法中，多存在如下假定：(1)吊杆密布，吊杆力为薄膜力；(2)吊杆不产生倾斜和伸长；(3)主缆只发生竖向变形；(4)桥塔无侧移和扭转变形；(5) 主梁不发生纵桥向刚体位移。尽管这些假定有利于简化计算，但是可能和桥梁的实际情况有所偏差，已经不太适应现代悬索桥跨径日益增大的趋势，更无法精确求解横向活载作用时，悬索桥复杂的全桥响应。为了更加精确地求解悬索桥的响应，该方法充分考虑了悬索桥的桥塔侧移、桥塔扭转、主梁纵向刚体位移、吊杆伸长、吊杆空间位置的变化、横向活载在主梁上分布的不均匀性等因素。更加的符合桥梁在实际使用环境中的情况，具有更强的实用性。

技术方案：为了实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案：

一种活载作用下悬索桥结构变形及内力的确定方法，包括如下步骤：

(1)明确悬索桥在恒载状态(初始状态)下所有的内力及变形特征参数；

(2)确定出表示全桥关键几何形态和内力参数的独立基本未知量；

(3)用基本未知量表达主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标；

(4)用基本未知量表达主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

(5)用基本未知量表达桥塔侧移和扭转变形；

(6)用基本未知量表达吊杆响应，包括吊杆三个方向的力的大小及吊点在纵桥向、横桥向和竖向的坐标；

(7)建立与基本未知量个数相等的控制方程，包括主缆各悬链线段的无应力长度守恒；各个吊杆的无应力长度守恒；各跨的跨径及高差闭合；主梁的受力平衡；

(8)求解控制方程组，得到全部基本未知量的取值；

(9)将基本未知量代入上述步骤(2)(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应；

进一步地，步骤(1)中所有的内力及变形特征参数主要包括以下三个方面：

(1)建立几何形态坐标；包括吊杆的上下吊点坐标，桥塔塔顶坐标，主缆锚固点坐标，边跨和主跨跨径，吊杆数量和间距、各跨主缆的矢跨比；(2)设内力参数；包括主缆、主梁和桥塔内力，吊杆力；(3)设物理特征；包括桥塔的侧弯和扭转柔度系数，各部件的每延米自重、弹性模量、惯性矩、横截面面积、泊松比、密度。

进一步的，步骤(2)中确定表示全桥关键几何形态和内力参数的基本未知量。包括主缆左边跨的悬链线方程参数(无量纲参数，与坐标系选取有关)a_L,u和a_L,d、主缆主跨的第一段悬链线方程参数a_1,u和a_1,d、主缆右边跨的悬链线方程参数a_R,u和a_R,d；主缆左边跨的悬链线段水平投影长度L_1,u和L_1,d、主缆主跨的第一段悬链线段水平投影长度l_1,u～l_n+1,u和l_1,d～l_n+1,d、主缆右边跨的悬链线段水平投影长度L_3,u、L_3,d；左边跨的主缆水平分力H_L,u和H_L,d、主跨第一段悬链线的主缆水平分力H_1,u和H_1,d、右边跨主缆的水平分力H_R,u和H_R,d；主跨第一段悬链线的主缆横向偏角α_1,u、α_1,d；吊杆力P_1,u～P_n,u、P_1,d～P_n,d；主梁的竖向支座支反力变化量ΔF_L,z,u、ΔF_L,z,d、ΔF_R,z,u、ΔF_R,z,d；主梁的抗风支座水平支反力F_L,y和F_R,y；主梁顺桥向水平刚体位移ν。其中下标“u”表示上游，“d”表示下游，“n”表示吊杆数量。一共4n+27个独立的基本未知量。

进一步的，步骤(3)中用基本未知量表达主缆的内力和变形响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标，为了便于推导，以初始状态主梁左端点横截面扭转中心为原点建立整体坐标系，具体步骤如下：

(3.1)左边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为(这里不区分上下游)：

式中，c_L＝-H_L/q，H_L为恒载和活载共同作用下左边跨主缆的水平分力；q为主缆的每延米自重，kN/m；a_L为左边跨悬链线方程的参数；L₁为左边跨主缆的水平投影长度。

左边跨主缆的无应力长度为：

式中：E_c和A_c分别为主缆的弹性模量和横截面面积。

(3.2)右边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为(这里不区分上下游)：

式中，c_R＝-H_R/q，H_R为恒载和活载共同作用下右边跨主缆的水平分力；a_R右边跨为悬链线方程的参数；L₃为右边跨主缆的水平投影长度。

右边跨主缆的无应力长度为：

(3.3)主跨主缆的第i段悬链线首尾两端点的高差为：

式中，α_i是第i段悬链线所处的平面与xoz平面的夹角；c_i＝-H_i/q，H_i为恒载和活载共同作用下第i段主缆的水平分力；a_i为主跨第i段悬链线方程的参数；l_i为主跨第i段主缆的水平投影长度。

第i段悬链线的主缆无应力长度可表达为：

(3.4)在恒载和活载共同作用下，主跨相邻悬链线段之间的悬链线参数a、主缆水平力H、和悬链线所处的平面与xoz平面的夹角α的递推关系表达为：

式中，P_i,x，P_i,y，P_i,z分别是吊杆力P_i在x，y，z方向的分力。

故已知主跨第一段悬链线的a、H、α，其余各段的悬链线方程参数均可由表达出来。

(3.5)主缆上吊点的坐标：

Y_c,i＝±b_h-Δy_c,i

式中，X_c,i、Y_c,i和Z_c,i分别为整体坐标系下的第i个上吊点X、Y和Z坐标；Δx_B为桥塔偏移量；b_h为吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；H_B为左桥塔高程。

进一步的，步骤(4)中用基本未知量表达主梁的内力和变形响应具体步骤如下：

(4.1)主梁的竖向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在竖向一共收到n+2个力。包括主梁左右竖向支反力增量ΔF_L,z、ΔF_R,z和n对竖向吊杆力增量。第m根吊杆处，主梁的竖向挠度可以表达为：

式中，x_m表示第m对吊杆距主梁左端的水平距离；x_i表示第i对吊杆距主梁左端的水平距离；ΔP_i,z表示第i对吊杆的竖向吊杆力增量；E_b为主梁的弹性模量；I_z为主梁竖向抗弯惯性矩；C_m,1和C_m,2表示主梁竖向弯矩积分后的常数项。

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数C_m,1与C_m+1,1以及C_m,2与C_m+1,2的递推关系式如下：

式中，ΔP_m,z表示第m对吊杆的竖向吊杆力增量

第一段主梁的不定积分常数如下：

C_1,2＝0

(4.2)主梁的横向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在横桥向一共收到n+2个力。包括主梁左右端的横向支反力F_L,y、F_R,y和n对横向吊杆力增量。第m根吊杆处，主梁的横向挠度可以表达为：

式中，ΔP_m,y表示第m对吊杆的横向吊杆力增量；I_y为主梁横向抗弯惯性矩；D_m,1和D_m,2表示主梁横向弯矩积分后的常数项；κ(x)是弯矩两次积分产生的函数。

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数D_m,1与D_m+1,1以及D_m,2与D_m+1,2的递推关系式如下：

第一段主梁的不定积分常数如下：

D_1,2＝0

(4.3)主梁的扭转变形：

由于主梁发生了横向挠度，上下游的吊杆力竖向分力不再对称，主梁在不对称竖向吊杆力作用下将发生扭转，第m段主梁内的扭矩为：

式中，b_s和b_h分别为梁端竖向支座和各吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；ΔP_i,z,u和ΔP_i,z,d分别是主梁顺桥向第i根吊杆处上下游的吊杆力。

第m段主梁右端相对于该梁段左端的转角为：

式中，d_m为第m段主梁的长度；G为主梁的剪切模量；I_P为主梁的极惯性矩。

主梁上游和下游侧第i个吊点处由于扭转产生的竖向挠度分别为

和

进一步的，步骤(5)中用基本未知量表达桥塔的内力和变形响应具体步骤如下：

变形后左边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_B表示为：

Δ_B＝(H_1,u+H_1,d-H_L,u-H_L,d)·δ_B

式中，δ_B为左塔的侧弯柔度系数，m/kN；H_1,u和H_1,d分别为主跨上游和下游第一段主缆水平分力；H_L,u和H_L,d分别为左边跨上游和下游主缆水平分力。

变形后左边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_B表示为：

θ_B＝(H_1,d-H_L,d-H_1,u+H_L,u)b_t·ζ_B

式中，ζ_B为左塔的扭转柔度系数；b_t为每肢塔柱与中心轴线的水平距离。

左塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_B,u＝Δ_B-θ_B·b_t

Δ_B,d＝Δ_B+θ_B·b_t

变形后右边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_C表示为：

Δ_C＝(H_n,u+H_n,d-H_R,u-H_R,d)·δ_C

式中，δ_C为右塔的侧弯柔度系数，m/kN；H_n,u和H_n,d分别为主跨上游和下游第n 段主缆水平分力；H_R,u和H_R,d分别为右边跨上游和下游主缆水平分力。

变形后右边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_C表示为：

θ_C＝(H_R,d-H_n,d-H_R,u+H_n,u)b_t·ζ_C

式中，ζ_C为右塔的扭转柔度系数。

右塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_C,u＝-Δ_C-θ_C·b_t

Δ_C,d＝-Δ_C+θ_C·b_t

进一步的，步骤(6)中用基本未知量表达吊杆力三个方向分力的大小及下吊点的空间坐标，包括纵桥向、横桥向和竖向的坐标：

在恒载和活载共同作用下，整体坐标系下中任一吊杆的下吊点坐标可以表达为：

X_b,i＝x_i+v

Y_b,i＝±b_h-Δy_b,i

式中，X_b,i、Y_b,i和Z_b,i分别为整体坐标系下的第i个下吊点X、Y和Z坐标；v为主梁的纵向刚体位移；Δy_b,i为第i对吊杆处主梁的横向挠度；Δz_b,i为第i对吊杆处主梁的竖向挠度；此处的±分别适用于上下游；H_B为左桥塔高程。

吊杆的横向倾角θ_i和竖向倾角

可分别表示如下：

吊杆力在三个方向的分力可以分别表示为：

故吊杆三个方向分力的大小及空间坐标可由基本未知量表达。

进一步的，步骤(7)中建立与基本未知量个数相等的控制方程具体步骤如下：

(7.1)主缆各悬链线段的无应力长度守恒：

S_c,L＝S′_c,L

S_c,i＝S′_c,i,1≤i≤n+1

S_c,R＝S′_c,R

式中，S′_c,L和S′_c,R分别是初始状态左、右边跨主缆的无应力长度；S′_c,i是初始状态主跨主缆第i段悬链线的无应力长度。

(7.2)各个吊杆的无应力长度守恒：

S_h,i＝S′_h,i

式中，E_h和A_h分为吊杆的弹性模量和横截面面积；S′_h,i是初始状态第i根吊杆的无应力长度；S_h,i是恒载和活载共同作用后第i根吊杆的无应力长度。

(7.3)以上游侧为例，各跨的跨径及高差闭合，只需将下列公式中u改为d 便可得到下游的控制方程：

各跨的跨径闭合：

L′_1,u＝L_1,u-Δ_B,u

L′_3,u＝L_3,u-Δ_C,u

式中，L′_1,u、L′_2,u和L′_3,u分别为受横向荷载后的左边跨、主跨和右边跨的悬链线水平投影长度。

各跨的高差闭合(以上游侧为例)：

Δz_L,u＝H_B-H_A

Δz_R,u＝H_C-H_D

主跨主缆两端点的横桥向水平距离闭合(以上游侧为例)：

(7.4)主梁的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在x、y、z三个方向的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在绕x、y、z三轴的力矩平衡：

主梁的右端绕x轴的扭转角为0：

进一步的，步骤(8)中一次性求解控制方程组，得到基本未知量的取值具体步骤如下：

在步骤(7)中一共得到了4n+27个控制方程。将各方程的右端移到方程的左端，得到形如f_i＝0(i＝1,2……n)的形式，接着改写成平方和，得到形如

(i＝1,2……n)的形式，最后再加起来得到目标函数：

利用规划求解的方法对目标函数进行规划求解，解出步骤(7)中的4n+27 个基本未知量的值的取值。

进一步的，步骤(9)中将基本未知量代入步骤(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应具体步骤如下：

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(3)中确定活载作用下主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的位移；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(4)中确定活载作用下主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(5)中确定活载作用下吊杆的变形及内力；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(6)中确定活载作用下吊杆的及空间位置，包括吊杆在纵桥向、横桥向和竖向的偏移。

有益效果：

本发明采用上述技术方案，具有以下有益效果：本发明舍弃了以往计算理论中的诸多假定，充分考虑了桥塔侧移、桥塔扭转、主梁纵向刚体位移、吊杆伸长、吊杆空间位置的变化和横向活载在主梁上分布的不均匀性等等因素，更符合悬索桥的实际情况，具有更强的实用性；本发明的所述方法物理意义明确，通过几个关键参数的调整，即可快速得到结果，方便快捷。

附图说明

图1为具体实施例中悬索桥受到横向荷载示意图；

图2为具体实施例中的恒载状态下的主缆示意图；

图3为具体实施例中的恒载和活载共同作用下的边跨主缆示意图；

图4为具体实施例中的恒载和活载共同作用下的主跨主缆示意图；

图5为具体实施例中第i段悬链线示意图；

图6为具体实施例中相邻两段悬链线公共节点受力分析示意图；

图7为具体实施例中的恒载和活载共同作用下主梁竖向挠度计算示意图；

图8为具体实施例中的恒载和活载共同作用下主梁横向挠度计算示意图；

图9为具体实施例中的恒载和活载共同作用下主梁扭转变形计算示意图；

图10为具体实施例中的恒载和活载共同作用下桥塔变形计算示意图；

图11具体实施例中的横向倾角θ_i和竖向倾角

示意图；

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明的应用过程。这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

本发明所述的一种活载作用下悬索桥结构变形及内力的确定方法，该方法包括以下步骤：

(1)明确悬索桥在恒载状态(初始状态)下所有的内力及变形特征参数；

(2)确定出表示全桥关键几何形态和内力参数的独立基本未知量；

(3)用基本未知量表达主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的位移；

(4)用基本未知量表达主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

(5)用基本未知量表达桥塔侧移和扭转变形；

(6)用基本未知量表达吊杆响应，包括吊杆三个方向的力的大小及吊点在纵桥向、横桥向和竖向的坐标；

(7)建立与基本未知量个数相等的控制方程，包括主缆各悬链线段的无应力长度守恒；各个吊杆的无应力长度守恒；各跨的跨径及高差闭合；主梁的受力平衡；

(8)求解控制方程组，得到全部基本未知量的取值；

(9)将基本未知量代入上述步骤(2)(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应；

具体实施方式如下：

第一步：明确悬索桥在恒载状态(初始状态)下所有的内力及变形特征参数。初始状态下，悬索桥主缆如图2所示，主要的内力及变形特征参数主要包括以下三个方面：

(1)几何形态。包括吊杆的上下吊点坐标；桥塔塔顶坐标；主缆锚固点坐标；边跨和主跨跨径；吊杆数量和间距、各跨主缆的矢跨比等。(2)内力参数。包括主缆、主梁和桥塔内力；吊杆力等。(3)物理特征。包括桥塔的侧弯和扭转柔度系数；各部件的每延米自重、弹性模量、惯性矩、横截面面积、泊松比、密度等。

第二步：确定出表示全桥关键几何形态和内力参数的独立基本未知量。

包括主缆左边跨的悬链线方程参数(无量纲参数，与坐标系选取有关)a_L,u和a_L,d、主缆主跨的第一段悬链线方程参数a_1,u和a_1,d、主缆右边跨的悬链线方程参数a_R,u和a_R,d；主缆左边跨的悬链线段水平投影长度L_1,u和L_1,d、主缆主跨的第一段悬链线段水平投影长度l_1,u～l_n+1,u和l_1,d～l_n+1,d、主缆右边跨的悬链线段水平投影长度L_3,u、L_3,d；左边跨的主缆水平分力H_L,u和H_L,d、主跨第一段悬链线的主缆水平分力H_1,u和H_1,d、右边跨主缆的水平分力H_R,u和H_R,d；主跨第一段悬链线的主缆横向偏角α_1,u、α_1,d；吊杆力P_1,u～P_n,u、P_1,d～P_n,d；主梁的竖向支座支反力变化量ΔF_L,z,u、ΔF_L,z,d、ΔF_R,z,u、ΔF_R,z,d；主梁的抗风支座水平支反力F_L,y和F_R,y；主梁顺桥向水平刚体位移ν。其中下标“u”表示上游，“d”表示下游，“n”表示吊杆数量。一共4n+27个独立的基本未知量。

第三步：用基本未知量表达主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标。

(1)恒载和活载共同作用下的边跨主缆如图3所示，为了便于推导，以初始状态主梁左端点横截面扭转中心为原点建立整体坐标系，左边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为(这里不区分上下游)：

式中，c_L＝-H_L/q，H_L为恒载和活载共同作用下左边跨主缆的水平分力；q为主缆的每延米自重，kN/m；a_L为左边跨悬链线方程的参数；L₁为左边跨主缆的水平投影长度。

左边跨主缆的无应力长度为：

式中：E_c和A_c分别为主缆的弹性模量和横截面面积。

(2)右边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为(这里不区分上下游)：

式中，c_R＝-H_R/q，H_R为恒载和活载共同作用下右边跨主缆的水平分力；a_R右边跨为悬链线方程的参数；L₃为右边跨主缆的水平投影长度。

右边跨主缆的无应力长度为：

(3)恒载和活载共同作用下的主跨主缆如图4所示，主跨主缆的第i段悬链线 (如图5所示)首尾两端点的高差为：

式中，α_i是第i段悬链线所处的平面与xoz平面的夹角；c_i＝-H_i/q，H_i为恒载和活载共同作用下第i段主缆的水平分力；a_i为主跨第i段悬链线方程的参数；l_i为主跨第i段主缆的水平投影长度。

第i段悬链线如图5所示，它的主缆无应力长度可表达为：

(4)在恒载和活载共同作用下，通过对相邻两悬链线段公共节点受力分析(如图6所示)，可知主跨相邻悬链线段之间的悬链线参数a、主缆水平力H、和悬链线所处的平面与xoz平面的夹角α的递推关系表达为：

式中，P_i,x，P_i,y，P_i,z分别是吊杆力P_i在x，y，z方向的分力。

故已知主跨第一段悬链线的a、H、α，其余各段的悬链线方程参数均可由表达出来。

(5)主缆上吊点的坐标：

Y_c,i＝±b_h-Δy_c,i

式中，X_c,i、Y_c,i和Z_c,i分别为整体坐标系下的第i个上吊点X、Y和Z坐标；Δx_B为桥塔偏移量；b_h为吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；H_B为左桥塔高程。

第四步：用基本未知量表达主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形。

(1)主梁的竖向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在竖向一共收到n+2个力，如图7所示。包括主梁左右竖向支反力增量ΔF_L,z、ΔF_R,z和n对竖向吊杆力增量。第m根吊杆处，主梁的竖向挠度可以表达为：

式中，x_m表示第m对吊杆距主梁左端的水平距离；x_i表示第i对吊杆距主梁左端的水平距离；ΔP_i,z表示第i对吊杆的竖向吊杆力增量；E_b为主梁的弹性模量；I_z为主梁竖向抗弯惯性矩；C_m,1和C_m,2表示主梁竖向弯矩积分后的常数项。

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数C_m,1与C_m+1,1以及C_m,2与C_m+1,2的递推关系式如下：

第一段主梁的不定积分常数如下：

C_1,2＝0

(2)主梁的横向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在横桥向一共收到n+2个力，如图8所示。包括左右端的横向支反力F_L,y、F_R,y和n对横向吊杆力增量。第m根吊杆处，主梁的横向挠度可以表达为：

式中，ΔP_m,y表示第m对吊杆的横向吊杆力增量；I_y为主梁横向抗弯惯性矩；D_m,1和D_m,2表示主梁横向弯矩积分后的常数项；κ(x)是弯矩两次积分产生的函数。

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数D_m,1与D_m+1,1以及D_m,2与D_m+1,2的递推关系式如下：

第一段主梁的不定积分常数如下：

D_1,2＝0

(3)主梁的扭转变形：

由于主梁发生了横向挠度，上下游的吊杆力竖向分力不再对称，主梁在不对称竖向吊杆力作用下将发生扭转，如图9所示。第m段主梁内的扭矩为：

式中，b_s和b_h分别为梁端竖向支座和各吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；ΔP_i,z,u和ΔP_i,z,d分别是主梁顺桥向第i根吊杆处上下游的吊杆力。

第m段主梁右端相对于该梁段左端的转角为：

式中，d_m为第m段主梁的长度；G为主梁的剪切模量；I_P为主梁的极惯性矩。

主梁上游和下游侧第i个吊点处由于扭转产生的竖向挠度分别为

和

第五步：用基本未知量表达桥塔侧移和扭转变形。

恒载和活载共同作用下的桥塔变形如图10所示。变形后左边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_B表示为：

Δ_B＝(H_1,u+H_1,d-H_L,u-H_L,d)·δ_B

式中，δ_B为左塔的侧弯柔度系数，m/kN；b_t为每肢塔柱与中心轴线的水平距离 H_1,u和H_1,d分别为主跨上游和下游第一段主缆水平分力；H_L,u和H_L,d分别为左边跨上游和下游主缆水平分力。

变形后左边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_B表示为：

θ_B＝(H_1,d-H_L,d-H_1,u+H_L,u)b_t·ζ_B

式中，ζ_B为左塔的扭转柔度系数；b_t为每肢塔柱与中心轴线的水平距离。

左塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_B,u＝Δ_B-θ_B·b_t

Δ_B,d＝Δ_B+θ_B·b_t

变形后右边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_C表示为：

Δ_C＝(H_n,u+H_n,d-H_R,u-H_R,d)·δ_C

式中，δ_C为右塔的侧弯柔度系数，m/kN；H_n,u和H_n,d分别为主跨上游和下游第n 段主缆水平分力；H_R,u和H_R,d分别为右边跨上游和下游主缆水平分力。

变形后右边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_C表示为：

θ_C＝(H_R,d-H_n,d-H_R,u+H_n,u)b_t·ζ_C

式中，ζ_C为右塔的扭转柔度系数。

右塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_C,u＝-Δ_C-θ_C·b_t

Δ_C,d＝-Δ_C+θ_C·b_t

第六步：用基本未知量表达吊杆三个方向的大小及下吊点的空间位置坐标，包括纵桥向、横桥向和竖向的坐标。

在恒载和活载共同作用下，整体坐标系下中任一吊杆的下吊点坐标可以表达为：

X_b,i＝x_i+v

Y_b,i＝±b_h-Δy_b,i

式中，X_b,i、Y_b,i和Z_b,i分别为整体坐标系下的第i个下吊点X、Y和Z坐标；v为主梁的纵向刚体位移；Δy_b,i为第i对吊杆处主梁的横向挠度；Δz_b,i为第i对吊杆处主梁的竖向挠度；此处的±分别适用于上下游；H_B为左桥塔高程。

吊杆的横向倾角θ_i和竖向倾角

如图11所示，可分别表示如下：

吊杆力在三个方向的分力可以分别表示为：

故吊杆吊杆的空间位置可由基本未知量表达。

第七步：建立与基本未知量个数相等的控制方程，包括主缆各悬链线段的无应力长度守恒；各个吊杆的无应力长度守恒；各跨的跨径及高差闭合；主梁的受力平衡。

(1)主缆各悬链线段的无应力长度守恒：

S_c,L＝S′_c,L

S_c,i＝S′_c,i,1≤i≤n+1

S_c,R＝S′_c,R

式中，S′_c,L和S′_c,R分别是初始状态左、右边跨主缆的无应力长度；S′_c,i是初始状态主跨主缆第i段悬链线的无应力长度；S_h,i是恒载和活载共同作用后第i根吊杆的无应力长度。

(2)各个吊杆的无应力长度守恒：

S_h,i＝S′_h,i

式中，E_h和A_h分为吊杆的弹性模量和横截面面积；S′_h,i是初始状态第i根吊杆的无应力长度。

(3)以上游侧为例，各跨的跨径及高差闭合，只需将下列公式中u改为d 便可得到下游的控制方程：

各跨的跨径闭合：

L′_1,u＝L_1,u-Δ_B,u

L′_3,u＝L_3,u-Δ_C,u

式中，L′_1,u、L′_2,u和L′_3,u分别为受横向荷载后的左边跨、主跨和右边跨的悬链线水平投影长度。

各跨的高差闭合(以上游侧为例)：

Δz_L,u＝H_B-H_A

Δz_R,u＝H_C-H_D

主跨主缆两端点的横桥向水平距离闭合(以上游侧为例)：

(4)主梁的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在x、y、z三个方向的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在绕x、y、z三轴的力矩平衡：

主梁的右端绕x轴的扭转角为0：

第八步：求解控制方程组，得到全部基本未知量的取值。

在步骤(7)中一共得到了4n+27个控制方程。将各方程的右端移到方程的左端，得到形如f_i＝0(i＝1,2……n)的形式，接着改写成平方和，得到形如f_i ²＝0 (i＝1,2……n)的形式，最后再加起来得到目标函数：

利用规划求解的方法对目标函数进行规划求解，解出步骤(7)中的4n+27 个基本未知量的取值，使得步骤(2)中的4n+27个控制方程同时成立。

第九步：将基本未知量代入上述步骤(2)(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应。

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(3)中确定活载作用下主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(4)中确定活载作用下主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(5)中确定活载作用下吊杆的变形及内力；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(6)中确定活载作用下吊杆的及空间位置，包括吊杆在纵桥向、横桥向和竖向的偏移。

Claims (10)

1.一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)明确悬索桥在恒载状态下所有的内力及变形特征参数；

(2)确定出表示全桥关键几何形态和内力参数的独立基本未知量；

(3)用基本未知量表达主缆响应，包括主缆上的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标；

(4)用基本未知量表达主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

(5)用基本未知量表达桥塔侧移和扭转变形；

(6)用基本未知量表达吊杆响应，包括吊杆三个方向的力的大小及纵桥向、横桥向和竖向的坐标；

(7)建立与基本未知量个数相等的控制方程，包括主缆各悬链线段的无应力长度守恒；各个吊杆的无应力长度守恒；各跨的跨径及高差闭合；主梁的受力平衡；

(8)求解控制方程组，得到全部基本未知量的取值；

(9)将基本未知量代入上述步骤(2)(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应。

2.根据权利要求1所述活载作用下悬索桥结构变形及内力的确定方法，其特征在于，步骤(1)中所有的内力及变形特征参数主要包括以下三个方面：

(1)建立几何形态坐标；包括吊杆的上下吊点坐标，桥塔塔顶坐标，主缆锚固点坐标，边跨和主跨跨径，吊杆数量和间距、各跨主缆的矢跨比；(2)设内力参数；包括主缆、主梁和桥塔内力，吊杆力；(3)设物理特征；包括桥塔的侧弯和扭转柔度系数，各部件的每延米自重、弹性模量、惯性矩、横截面面积、泊松比、密度。

3.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，其特征在于，步骤(2)中的基本未知量包括：主缆左边跨的悬链线方程参数a_L,u和a_L,d、主缆主跨的第一段悬链线方程参数a_1,u和a_1,d、主缆右边跨的悬链线方程参数a_R,u和a_R,d；主缆左边跨的悬链线段水平投影长度L_1,u和L_1,d、主缆主跨的第一段悬链线段水平投影长度l_1,u～l_n+1,u和l_1,d～l_n+1,d、主缆右边跨的悬链线段水平投影长度L_3,u、L_3,d；左边跨的主缆水平分力H_L,u和H_L,d、主跨第一段悬链线的主缆水平分力H_1,u和H_1,d、右边跨主缆的水平分力H_R,u和H_R,d；主跨第一段悬链线的主缆横向偏角α_1,u、α_1,d；吊杆力P_1,u～P_n,u、P_1,d～P_n,d；主梁的竖向支座支反力变化量ΔF_L,z,u、ΔF_L,z,d、ΔF_R,z,u、ΔF_R,z,d；主梁的抗风支座水平支反力F_L,y和F_R,y；主梁顺桥向水平刚体位移ν；其中下标“u”表示上游，“d”表示下游，“n”表示吊杆数量，一共4n+27个独立的基本未知量。

4.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(3)中用基本未知量表达主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的坐标，以初始状态主梁左端点横截面扭转中心为原点建立整体坐标系，具体步骤如下：

(3.1)左边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为：

式中，c_L＝-H_L/q，H_L为恒载和活载共同作用下左边跨主缆的水平分力；q为主缆的每延米自重，kN/m；a_L为左边跨悬链线方程的参数；L₁为左边跨主缆的水平投影长度；

左边跨主缆的无应力长度为：

式中：E_c和A_c分别为主缆的弹性模量和横截面面积；

(3.2)右边跨主缆的悬链线首尾两端点的高差为：

式中，c_R＝-H_R/q，H_R为恒载和活载共同作用下右边跨主缆的水平分力；a_R右边跨为悬链线方程的参数；L₃为右边跨主缆的水平投影长度；

右边跨主缆的无应力长度为：

(3.3)主跨主缆的第i段悬链线首尾两端点的高差为：

式中，α_i是第i段悬链线所处的平面与xoz平面的夹角；c_i＝-H_i/q，H_i为恒载和活载共同作用下第i段主缆的水平分力；a_i为主跨第i段悬链线方程的参数；l_i为主跨第i段主缆的水平投影长度；

第i段悬链线的主缆无应力长度可表达为：

(3.4)在恒载和活载共同作用下，主跨相邻悬链线段之间的悬链线参数a、主缆水平力H、和悬链线所处的平面与xoz平面的夹角α的递推关系表达为：

式中，P_i,x，P_i,y，P_i,z分别是吊杆力P_i在x，y，z方向的分力；

故已知主跨第一段悬链线的a、H、α，其余各段的悬链线方程参数均可由表达出来；主缆的各段悬链线参数均可由基本未知量表示；

(3.5)主缆上吊点的坐标：

Y_c,i＝±b_h-Δy_c,i

式中，X_c,i、Y_c,i和Z_c,i分别为整体坐标系下的第i个上吊点X、Y和Z坐标；Δx_B为桥塔偏移量；b_h为吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；H_B为左桥塔高程。

5.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(3)中用基本未知量表达主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形，具体步骤如下：

(4.1)主梁的竖向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在竖向一共收到n+2个力，包括主梁左右竖向支反力增量ΔF_L,z、ΔF_R,z和n对竖向吊杆力增量，第m根吊杆处，主梁的竖向挠度可以表达为：

式中，x_m表示第m对吊杆距主梁左端的水平距离；x_i表示第i对吊杆距主梁左端的水平距离；ΔP_i,z表示第i对吊杆的竖向吊杆力增量；E_b为主梁的弹性模量；I_z为主梁竖向抗弯惯性矩；C_m,1和C_m,2表示主梁竖向弯矩积分后的常数项；

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数C_m,1与C_m+1,1以及C_m,2与C_m+1,2的递推关系式如下：

式中，ΔP_m,z表示第m对吊杆的竖向吊杆力增量；

第一段主梁的不定积分常数如下：

C_1,2＝0

(4.2)主梁的横向挠度：

沿顺桥向以吊杆将主梁分隔划分为n+1段，主梁在横桥向一共收到n+2个力；包括主梁左右端的横向支反力F_L,y、F_R,y和n对横向吊杆力增量；第m根吊杆处，主梁的横向挠度可以表达为：

式中，ΔP_m,y表示第m对吊杆的横向吊杆力增量；I_y为主梁横向抗弯惯性矩；D_m,1和D_m,2表示主梁横向弯矩积分后的常数项；κ(x)是弯矩两次积分产生的函数；

第m段主梁和第m+1段主梁的不定积分常数D_m,1与D_m+1,1以及D_m,2与D_m+1,2的递推关系式如下：

式中，ΔP_m,y表示第m对吊杆的横向吊杆力增量；

第一段主梁的不定积分常数如下：

D_1,2＝0

(4.3)主梁的扭转变形：

由于主梁发生了横向挠度，上下游的吊杆力竖向分力不再对称，主梁在不对称竖向吊杆力作用下将发生扭转，第m段主梁内的扭矩为：

式中，b_s和b_h分别为梁端竖向支座和各吊杆到主梁纵向中心线的横桥向距离；ΔP_i,z,u和ΔP_i,z,d分别是主梁顺桥向第i根吊杆处上下游的吊杆力；

第m段主梁右端相对于该梁段左端的转角为：

式中，d_m为第m段主梁的长度；G为主梁的剪切模量；I_P为主梁的极惯性矩；

主梁上游和下游侧第i个吊点处由于扭转产生的竖向挠度分别为

和

主梁的横向和竖向挠度均可由基本未知量表示。

6.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(5)用基本未知量表达表达桥塔侧移和扭转变形，具体步骤如下：

变形后左边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_B表示为：

Δ_B＝(H_1,u+H_1,d-H_L,u-H_L,d)·δ_B

式中，δ_B为左塔的侧弯柔度系数，m/kN；H_1,u和H_1,d分别为主跨上游和下游第一段主缆水平分力；H_L,u和H_L,d分别为左边跨上游和下游主缆水平分力；

变形后左边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_B表示为：

θ_B＝(H_1,d-H_L,d-H_1,u+H_L,u)b_t·ζ_B

式中，ζ_B为左塔的扭转柔度系数；b_t为每肢塔柱与中心轴线的水平距离；

左塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_B,u＝Δ_B-θ_B·b_t

Δ_B,d＝Δ_B+θ_B·b_t

变形后右边桥塔塔顶中心向跨中的偏移量Δ_C表示为：

Δ_C＝(H_n,u+H_n,d-H_R,u-H_R,d)·δ_C

式中，δ_C为右塔的侧弯柔度系数，m/kN；H_n,u和H_n,d分别为主跨上游和下游第n段主缆水平分力；H_R,u和H_R,d分别为右边跨上游和下游主缆水平分力；

变形后右边桥塔的扭转角(以逆时针为正)θ_C表示为：

θ_C＝(H_R,d-H_n,d-H_R,u+H_n,u)b_t·ζ_C

式中，ζ_C为右塔的扭转柔度系数；

右塔上下游塔柱顶端的顺桥向偏移量分别为：

Δ_C,u＝-Δ_C-θ_C·b_t

Δ_C,d＝-Δ_C+θ_C·b_t

桥塔的响应均可由基本未知量表示。

7.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(6)用基本未知量表达吊杆力三个方向分力的大小及下吊点的纵桥向、横桥向和竖向坐标，具体步骤如下：

在恒载和活载共同作用下，整体坐标系下中任一吊杆的下吊点坐标可以表达为：

X_b,i＝x_i+v

Y_b,i＝±b_h-Δy_b,i

式中，X_b,i、Y_b,i和Z_b,i分别为整体坐标系下的第i个下吊点X、Y和Z坐标；v为主梁的纵向刚体位移；Δy_b,i为第i对吊杆处主梁的横向挠度；Δz_b,i为第i对吊杆处主梁的竖向挠度；此处的±分别适用于上下游；H_B为左桥塔高程；

吊杆的横向倾角θ_i和竖向倾角

可分别表示如下：

吊杆力在三个方向的分力可以分别表示为：

故吊杆三个方向分力的大小及空间坐标可由基本未知量表达。

8.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(7)中建立与基本未知量个数相等的控制方程，包括主缆各悬链线段的无应力长度守恒；各个吊杆的无应力长度守恒；各跨的跨径及高差闭合；主梁的受力平衡，具体步骤如下：

(7.1)主缆各悬链线段的无应力长度守恒：

S_c,L＝S′_c,L

S_c,i＝S′_c,i,1≤i≤n+1

S_c,R＝S′_c,R

式中，S′_c,L和S′_c,R分别是初始状态左、右边跨主缆的无应力长度；S′_c,i是初始状态主跨主缆第i段悬链线的无应力长度；

(7.2)各个吊杆的无应力长度守恒：

S_h,i＝S′_h,i

式中，E_h和A_h分为吊杆的弹性模量和横截面面积；S′_h,i是初始状态第i根吊杆的无应力长度；S_h,i是恒载和活载共同作用后的无应力长度；

(7.3)以上游侧为例，各跨的跨径及高差闭合：

各跨的跨径闭合：

L′_1,u＝L_1,u-Δ_B,u

L′_3,u＝L_3,u-Δ_C,u

式中，L′_1,u、L′_2,u和L′_3,u分别为受横向荷载后的左边跨、主跨和右边跨的悬链线水平投影长度；

以上游侧为例，各跨的高差闭合：

Δz_L,u＝H_B-H_A

Δz_R,u＝H_C-H_D

主跨主缆两端点的横桥向水平距离闭合(以上游侧为例)：

(7.4)主梁的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在x、y、z三个方向的受力平衡：

主梁在受恒载和活载共同作用后，在绕x、y、z三轴的力矩平衡：

主梁的右端绕x轴的扭转角为0：

至此，一共列出了4n+27个独立的控制方程。

9.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(8)中求解控制方程组，得到全部基本未知量的取值，具体步骤如下：

在步骤(7)中一共得到了4n+27个控制方程；将各方程的右端移到方程的左端，得到形如f_i＝0(i＝1,2……n)的形式，接着改写成平方和，得到形如f_i ²＝0(i＝1,2……n)的形式，最后再加起来得到目标函数：

利用规划求解的方法对目标函数进行规划求解，解出步骤(7)中的4n+27个基本未知量的值的取值。

10.根据权利要求1所述的一种横向分布活载作用下悬索桥结构变形和内力的确定方法，步骤(9)将基本未知量代入上述步骤(2)(3)(4)(5)(6)，继而得到全桥响应，具体步骤如下：

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(3)中确定活载作用下主缆响应，包括主缆的吊点在纵桥向、竖向和横桥向三个方向的位移；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(4)中确定活载作用下主梁的响应，包括主梁的纵桥向漂移、横桥向挠度、竖向挠度和扭转变形；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(5)中确定活载作用下吊杆的变形及内力；

将步骤(8)中获得的基本未知量的值带回到步骤(6)中确定活载作用下吊杆的及空间位置，包括吊杆在纵桥向、横桥向和竖向的偏移。

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