CN106096257B - 一种非线性索单元分析方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非线性索单元分析方法及系统，该方法包括如下步骤：首先确定悬索结构的端点坐标等几何信息，确定索的弹性模量、自重、外荷载等物理参数与荷载参数。采用本发明提出的两节点非线性索单元弹性刚度矩阵、初位移刚度矩阵和初应力刚度矩阵，建立显式表达的悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载。建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。该方法具有适用范围广、刚度矩阵显式表达、分析精度高、计算简便快捷等优点。

Description

一种非线性索单元分析方法及系统

技术领域

本发明涉及工程结构安全监测技术，尤其涉及一种非线性索单元分析方法及系统。

背景技术

悬索结构是以只能受拉的索作为基本承重构件而形成的结构体系。悬索作为一种典型的大跨度轻柔结构，被广泛应用于桥梁、空间结构以及输电线路。悬索结构作为承重结构有着悠久的历史，最早可以追溯到在桥梁结构中的应用。一千多年前，我国就有用竹索、藤索和铁链建造悬索桥的考证。16世纪欧洲首先开始出现悬索的计算方法，20世纪初钢材冶炼技术得到迅速发展，采用高强度钢材的现代化大跨悬索结构开始设计建造。悬索结构仅通过索的轴向拉伸来抵抗外荷载的作用，可充分利用钢材的强度。悬索结构能较为经济地跨越很大的空间而不需要中间支承，因此是大跨结构采用的主要形式之一。悬索结构具有鲜明的优点并有广阔的应用前景，但相比于常规结构，悬索结构的分析计算理论非常复杂，涉及到强非线性计算，因此难以被大多数普通技术人员所掌握，这是目前限制该类结构不能得到广泛应用的主要原因。另外专业性的悬索结构施工队伍也很少，这也是影响建设单位和设计单位不能大胆采用该类结构的重要因素。

国内外研究表明，早期对悬索结构力学性能的研究并没有充分考虑其强非线性效应，往往简单的基于梁单元或杆单元模型来研究悬索结构的力学性能。这本质上是一种采用杆单元来模拟拉索的简单处理方法，只能获得悬索内力和变形的近似结果。国外自上世纪70年代开始悬索结构计算方法的研究。由于悬索结构非线性分析计算复杂，现有的模型和方法还不完善，难以满足悬索结构设计分析的要求。因此，如何建立准确便捷的悬索结构分析计算模型和方法，是摆在广大工程技术人员和科研工作者面前的一个现实问题，具有重要的科学意义和实际工程意义。

目前现有的各类梁杆模型和多节点索单元模型具有较为明显的弱点：

(1)由于纯粹的梁单元或杆单元模型无法充分考虑初始应变和初始位移等引起的非线性刚度效应，因此与悬索的真实力学性能往往存在一定程度的差异。早期的两节点梁杆单元模型虽然具有形式简单、刚度矩阵显示表达等优点，但不能充分考虑强几何非线性效应，因此计算精度有限。

(2)后期发展起来的多节点索单元模型采用隐式方法建立刚度矩阵。这类高节点索单元自由度数量明显多于两节点索单元，计算索结构时具有很高的精度。但每个索单元的弹性刚度矩阵、初位移刚度矩阵和初应力刚度矩阵均为隐式表达式，没有显示表达式。因此，多个刚度矩阵中的所有分量均需进行符号积分求解运算，计算量很大，耗时较长，计算效率非常低下。

(3)目前的高阶索单元只能应用于具有符号积分功能的极少数解释型程序语言如Matlab等，不能直接应用于高效率的编译型程序语言如Fortran等。对于大型复杂索结构而言，索单元数量众多，在分析计算过程中将存在很大数量的符号积分运算，计算量巨大，耗时很长。同时在对索结构进行动力计算过程中，存在很多积分步和相应的子步，同样存在巨量的符号积分运算问题。因此，高阶索单元难以适用于实际复杂悬索结构的细致分析计算，其实用性较差。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于针对现有技术中的缺陷，提供一种非线性索单元分析方法及系统。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种非线性索单元分析方法，包括以下步骤：

1)确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

2)建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

3)建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；

4)建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

5)建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；

6)建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。

按上述方案，步骤2)中通过以下公式确定非线性应变-位移增量关系：

式中：η为索上任意点的相对坐标。线性几何矩阵B_L和非线性几何矩阵

B_N分别表示为：

其中：ε为索单元非线性应变；η为索上任意点的相对坐标；S为形函数；

X_e为节点坐标；U_e为节点位移；L为索单元长度。

按上述方案，根据如下公式确定两节点非线性索单元弹性刚度矩阵：

式中：E为悬索的弹性模量；A为悬索横截面积；L为索单元长度。将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_e的具体表达式为：

式中：(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)为索单元两个节点坐标。

按上述方案，确定两节点非线性索单元初位移刚度矩阵：

将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_g的具体表达式为：

式中：

按上述方案，根据如下公式确定两节点非线性索单元初应力刚度矩阵：

式中：为σ为索单元轴向应力。将S、σ等的具体表达式带入上式则可得到K_σ的具体表达式为：

其中：q₀为作用于索单元的初始均布荷载；L₀为初始索长；H为索中的初始水平张力；(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)为索单元两个节点位移。

本发明还提供了一种非线性索单元分析系统，包括：

悬索结构几何物理参数监测模块，用于确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

悬索结构弹性刚度矩阵分析模块，用于首先建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块，用于首先建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；然后建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构刚度矩阵分析模块，建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；

悬索结构非线性迭代及收敛性分析评定模块，用于建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。

本发明产生的有益效果是：

一、本发明提出的一种非线性索单元分析方法具有物理概念清晰、分析计算快速准确的优点。该索单元模型具有适用性，适用于各种不同跨度和垂度的索结构在外荷载作用下的变形和内力计算。

二、目前现有的模拟拉索的部分两节点单元实际为两节点杆单元。这种分析计算方法中拉索单元刚度矩阵为显示表达式，因此刚度矩阵计算简便。但是单元刚度矩阵由弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵两部分所组成。其中几何刚度矩阵主要考虑了杆中应力对结构刚度矩阵的影响，并没有考虑单元位移变化对其刚度矩阵的影响。因此该单元精度较低，同时计算过程中收敛性较差，通常需要迭代很多次才能获得较为满意的效果。因此，这类两节单元总体计算量较大，精度较低、收敛困难。而本发明提出的两节点非线性索单元刚度矩阵同时考虑了弹性刚度矩阵、初应力和初位移对刚度的贡献，因此具有很高的计算精度。同时本发明提出得索单元刚度矩阵全部采用显示表达式，因此计算速度快，计算量小。同时兼顾了小计算量和高精度，可以有效地克服传统两节点单元分析索结构精度较差的明显不足。

三、现有的高节点索单元刚度矩阵均为隐式表达式，需进行大量的符号积分运算，计算量极大、效率低下。本发明提出的两节点非线性索单元同样具有高节点索单元的弹性刚度矩阵、初位移刚度矩阵和初应力刚度矩阵，因此具有与高阶索单元类似的高计算精度。但各刚度矩阵均建立了显式表达式，因此，克服了现有高阶索单元没有显式解析解的明显缺陷，具有很好的实用价值。

四、目前的高阶索单元只能应用于具有符号积分功能的极少数解释型程序语言如Matlab等，不能直接应用于高效率的编译型程序语言如Fortran等。因此，这类高阶索单元难以适用于计算量大的复杂索结构和动力类分析问题，实用性较差。本发明提出的两节点非线性索单元各刚度矩阵全部采用显式表达式，因此可以很容易的应用于不具有符号积分工程的编译型程序语言。同时由于不进行符号积分运算，因此计算工作量较小，特别适合采用高计算效率的编译型语言进行大型复杂索结构以及复杂的动力计算问题。克服了传统索单元无法兼顾高精度与高计算效率的问题，具有很好的实用价值。

五、由现有的两节点索单元计算过程中需已知索两端节点坐标，同时需要已知索跨中的最大垂度。因此这种两节点索单元在本质上需要知道索中三个节点的信息，实际上是三节点索单元的一种变换形式。因此如前所述，虽然具有高精度，但均为隐式符号积分运算，所需信息多、计算量巨大、实用性较差。本发明提出的两节点非线性索单元只需单元两端的节点坐标，是真正意义上的两节点索单元。同时具有显示表达式、高精度、小计算量的特点。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1是本发明实施例的方法流程图；

图2为悬索单元坐标系示意图；

图3为某悬索结构示意图；

图4为某大跨度输电导线示意图；

图5为某大跨度输电导线前六阶振型图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本实施首先确定索结构的端点坐标等几何信息。进一步的确定索的弹性模量、自重、外荷载等物理参数与荷载参数。基于所提出的两节点非线性索单元确定索单元节点的位移和坐标表达式。建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵、初位移刚度矩阵和初应力刚度矩阵。进一步的基于形函数，建立等效节点荷载和收敛准则，采用非线性迭代方法求解索结构的响应和内力。本实施例中的两节点非线性索单元方法解决了传统索单元方法缺乏显示解析解、符号积分运算量巨大、精度高但计算效率低的问题，能直接应用于不具有符号积分功能的编译型程序语言，同时具有高精度和较小计算量的问题，能有效地应用于大型复杂悬索结构的分析计算。

整个悬索可以分解为由一系列在节点处相互连接的索段而组成，每个索段采用一个索单元进行分析模拟。索作为一种单向受力构件通常只能承受拉力，索单元在变形过程中通常发生小应变，由于变形的累计，整个悬索将发生大变形。具体而言通过以下步骤建立一种非线性索单元分析方法及系统：

步骤一：建立两节点索单元节点的位移和坐标表达

如图2所示整体坐标系为O-XYZ，采用Lagrangian描述法,建立局部曲线坐标系o-η，o为曲线中点，q为曲线上任意点到曲线中点的弧长，设该曲线段的弧长为L，则索上任意点的相对坐标为：

设索单元上两个节点坐标表示为：(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)。对应的节点位移表示为：(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)。则索单元的节点位移可表示为向量形式：

U＝[u v w]^T (2)

节点位移向量可表示为形函数S和两端节点位移U_e的乘积：

U＝SU_e (3)

其中：

U_e＝[u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂]^T (4)

同理索单元上任意一点的坐标插值函数与位移插值函数相同则：

X＝SX_e (7)

式中：X为索单元上任意一点在整体坐标系下的坐标值；X_e为为索单元上两端节点在整体坐标系下的坐标向量：

X_e＝[x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂]^T (8)

步骤二：建立索单元应变-位移增量关系

两节点索单元的应变ε可表示为：

其中：dq是单元在下个增量步变形之前的长度，dq^*是索单元在增量步变形后的长度。将dq和dq^*具体表达式代入式(9)，并建立形函数-弧长导数(dS/dq)与形函数-相对坐标导数(dS/dη)的相互关系，可得两节点索单元的非线性应变ε表达式：

ε＝ε₁+ε₂ (10)

式中：

由此可建立索单元非线性应变ε与形函数S、节点坐标X_e和节点位移U_e的关系：

其中线性几何矩阵B_L和非线性几何矩阵B_N分别表示为：

索单元的应力与应变的关系式可表示为：

σ＝Eε+σ₀ (16)

其中：E为索单元的弹性模量；σ为索单元轴向应力；σ₀为索单元中的初始应力。将式(13)代入上式建立索单元的应力表达：

在推导索单元刚度矩阵前，先必须建立索单元平衡方程。基于虚功原理可建立两节点非线性索单元的平衡方程。对平衡方程进行变分，考虑到通常索的截面积A为定值并且有δ(U_e)^T≠0，则可得到位移增量表达：

式中：R_e为等效节点荷载向量。对上式进行微分即可得到单元增量形式表示的平衡方程。

步骤三：建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵：

由式(17)可得应力的微分表达式dσ为并带入到式(19)中第一项可得：

其中：

令K_e为两节点非线性索单元的弹性刚度矩阵，则有：

将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_e的具体表达式为：

式中：

步骤四：建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵：

将式(22)展开，并取第二项，则可得：

令K_g为两节点非线性索单元的初位移刚度矩阵，则有：

将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_g的具体表达式为：

式中：

步骤五：建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵：

由式(19)中第二项可得：

令K_σ为两节点非线性索单元的初应力刚度矩阵，则有：

将S、σ的表达式带入上式则可得到K_σ的具体表达式为：

其中：q₀为作用于索单元的初始均布荷载；L₀为初始索长；H为索中的初始水平张力。

步骤六：建立索刚度矩阵和等效节点荷载：

悬索结构的位移增量表达式为：

dΔ_e＝K_TdU_e (42)

则两节点索单元的刚度矩阵K_T由弹性刚度矩阵K_e、初位移刚度矩阵K_g和初应力刚度矩阵K_σ三部分组成：

K_T＝K_e+K_g+K_σ (43)

索单元等效节点荷载所作的虚功应等于单元上集中力和分布力所作的虚功之和。因此依据有限元理论，等效节点荷载可表示为：

其中：S_p为集中荷载作用点处的形函数值；P_e为作用于索单元上的集中荷载；q_e为沿索长分布的分布荷载。

对整个索结构而言，其可划分多个索单元。因此其刚度矩阵和等效节点荷载是各单元刚度矩阵和等效节点荷载的集成，即：

步骤七：建立非线性迭代计算方法及收敛准则

采用切线刚度法(即Newton-Raphson法)进行受力平衡方程的非线性迭代求解。求解过程中可采用位移收敛准则来判别非线性计算的收敛状况。索静力计算的位移收敛准则采用位移近似解偏差的某个范数作为迭代收敛准则。在实际索结构的分析计算中通常可采用“2”范数作为迭代的收敛准则：

||ΔU⁽ⁿ⁾||₂＝[(ΔU⁽ⁿ⁾)^TU⁽ⁿ⁾]^1/2≤γ₁||U⁽ⁿ⁺¹⁾||₂ (47)

式中：γ₁为预先设定的大于零的规定容许误差。基于两节点非线性索单元的索结构变形分析步骤如下：

(1)建立索结构整体坐标系。划分单元并建立单元坐标系。

(2)将整体坐标系下的位移近似值通过坐标转换矩阵转换到单元局部坐标系中的单元位移向量，计算各个单元的刚度矩阵和等等效节点荷载。

(3)组集得到整体坐标系中的刚度矩阵和等效节点荷载，计算结构体系的不平衡力向量：

通过下式计算结构体系的位移修正量：

修正后的位移为

(4)将步骤(3)的结果代入到步骤(2)中，重新形成结构的刚度矩阵和不平衡力向量并得到更新的位移修正量：

(5)基于位移收敛准则判断计算精度：

其中：Tol为预先设定的大于零的收敛容差，如果满足收敛容差则退出迭代过程，否则重复上述步骤直到满足收敛准则为止。

一种非线性索单元分析系统，其特征在于，包括：

悬索结构几何物理参数监测模块，用于确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

悬索结构弹性刚度矩阵分析模块，用于首先建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块，用于首先建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；然后建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构刚度矩阵分析模块，建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；

悬索结构非线性迭代及收敛性分析评定模块，用于建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。

下面以几个具体案例来说明本发明的悬索结构两节点非线性索单元分析方法及系统的有效性。在分析计算过程中，采用了几种不同的计算方法进行对比分析：(1)本文提出的两节点显式索单元方法；(2)采用杆单元模拟拉索的常规处理方法。该方法通过在杆单元中采用应力刚度矩阵模拟拉索，这是商业有限元软件的常规处理方法；(3)采用符号积分方法的隐式三节点索单元；(4)采用符号积分方法的隐式四节点索单元。

实施案例一

本案例一考察某小跨度悬索结构的静动力效应分析过程和分析计算效果。

图3为某小跨度悬索结构的示意图，该悬索跨度L为8米，垂度h为0.16米。跨中垂度与跨度之比为2％。索弹性模量E为1.7×10¹¹Pa，悬索横截面积A为0.674m²,结构自重荷载为均布荷载q₀＝0.2kN/m，施加在结构上的活载为q₁＝0.3kN/m，在自重作用下的索结构初始水平张力为H₀＝10kN，现在计算该悬索结构在终态荷载q＝0.5kN/m作用下的稳定几何形态和内力大小及其动力特性。分析计算中保证了不同方法的自由度数量相同，且索中点均在单元节点上。该悬索总节点为13个，杆单元与两节点方法时索单元划分为12个单元，三节点索单元划分为6个单元，四节点索单元划分为4个单元。

表1

表1给出了采用不同计算方法得到的悬索所有节点的竖向位移结果及计算耗时。计算中采用MATLAB7.0软件，其中杆单元方法迭代了6次，两节点索单元、三节点索单元和四节点索单元均迭代了3次。由表中计算结果可知，四种方法的计算结果非常接近，都具有较好的精度。但不同方法获得相同计算精度的迭代次数和计算时间并不相同。两节点索单元、三节点索单元和四节点索单元在计算该悬索结构时均具有很好的计算精度，他们均只需迭代三次即可获得很好的精度。但是对比分析计算的时间则发现，两节点索单元计算时间只有2.025s，远远低于三节点索单元的20.206s和四节点索单元的36.312s。其主要原因是本发明提出的两节点索单元方法完全基于刚度矩阵的显式表达式，因此计算速度非常快。而三节点索单元与四节点索单元由于单元形式复杂，自由度多，因此刚度矩阵远比两节点索单元复杂，难以建立显式表达式，因此只能在计算过程中采用符号积分。符号积分运算量大，耗时长，并且在每个迭代步中针对各个刚度矩阵均需进行大量符号积分。由此可知本发明提出的两节点显式索单元与高阶索单元具有相同的计算精度，但是其分析量和计划耗时却明显优于高阶索单元。

进一步的表1中还给出了杆单元的计算结果与两节点索单元计算结果的比较。结果表明，在同样迭代三次的情况下，杆单元的计算精度明显较差。因此只有进一步的增加迭代次数，在迭代次数达到6次后，才能取得较好的精度。但此时，杆单元的计算耗时则较两节点索单元增加了约50％。显然相比于传统杆单元，两节点显示索单元方法在相同的迭代次数下具有明显更好的计算精度。

表2

表2给出了不同计算方法得到的悬索的频率结果。不同分析方法的结果均是进行了多次迭代的结果。分析结果表明，两节点、三节点和四节点索单元方法分析结果基本相同，这表明本文提出的两节点显式索单元分析方法在计算悬索的动力特性时与高阶索单元具有相同的高精度。而杆单元分析方法尽管经过了多次迭代，仍然在分析悬索的动力特性时具有较差的精度，与四节点索单元方法得到的精确结果的误差达40％。由此可知，杆单元方法进行悬索的动力性能分析时具有较差的精度。

通过悬索结果静动力分析结果对比可知，本发明提出的两节点显式索单元方法具有高精度、分析速度快、不需要符号积分等优点。与传统杆单元方法相比在静动力响应计算方面具有更高的精度。与现有的高阶隐式索单元方法相比，具有相等的计算精度，但是两节点索单元方法具有显示表达式、不需符号积分，因此计算速度远远快于高阶索单元方法。

实施案例二

本案例考察某大跨度悬索结构的静动力效应分析和结果。

图4为某大跨度输电导线的示意图，该悬索跨度2300米，垂度220米。跨中垂度与跨度之比为9.5％。索弹性模量E为1.08×10¹¹Pa，悬索横截面积A为0.002916m²,结构自重荷载为均布荷载q₀＝131.88N/m，施加在结构上的活载为q₁＝100N/m，现计算该输电导线结构的变形和动力特性。分析计算中保证了不同方法的自由度数量相同，且索中点均在单元节点上。该悬索总节点为97个，杆单元与两节点方法时索单元划分为96个单元，三节点索单元划分为48个单元，四节点索单元划分为32个单元，由此可以保证所有计算方法下悬索均具有相同的节点数目。最终迭代次数为：两节点杆单元10次，两节点索单元6次，三节点索单元5次，四节点索单元5次。

表3

表3给出了采用不同计算方法得到的悬索所有节点的竖向位移结果及计算耗时。结果表明，四种方法的计算结果非常接近，都具有较好的精度。但不同方法获得相同计算精度的迭代次数和计算时间并不相同。两节点索单元、三节点索单元和四节点索单元在计算该悬索结构时均具有很好的计算精度，他们均只需迭代5～6次即可获得很好的精度。两节点索单元计算时间为7.591s，远远低于三节点索单元的16.914s和四节点索单元的137.6s。本发明提出的两节点显式索单元与高阶索单元具有相同的计算精度，但是其分析量和计划耗时却明显优于高阶索单元。进一步的表3中还给出了杆单元的计算结果与两节点索单元计算结果的比较。结果表明，在同样迭代6次的情况下，杆单元的计算精度明显较差。因此只有进一步的增加迭代次数，在迭代次数达到10次后，才能取得较好的精度。但此时，杆单元的计算耗时则较两节点索单元增加了约40％。显然相比于传统杆单元，两节点显示索单元方法在相同的迭代次数下具有明显更好的计算精度。

表4

表4给出了不同计算方法得到的输电导线的频率计算结果。结果表明，两节点、三节点和四节点索单元方法分析结果基本相同，而杆单元分析方法尽管经过了多次迭代，仍然在分析悬索的动力特性时具有较差的精度，与四节点索单元方法的误差约40％。由此可知，杆单元方法进行悬索的动力性能分析时具有较差的精度。图5则给出了悬索的前六阶振型图。显然本发明提出的两节点显式索单元方法与现有的杆单元分析方法和高阶索单元分析方法相比具有高精度、分析速度快、不需要符号积分等优点。

本发明还提供了一种非线性索单元分析系统，包括：

悬索结构几何物理参数监测模块，用于确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

悬索结构弹性刚度矩阵分析模块，用于首先建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块，用于首先建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；然后建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构刚度矩阵分析模块，建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；

悬索结构非线性迭代及收敛性分析评定模块，用于建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。

本发明的一种非线性索单元分析系统中各个模块其具体功能的实现可采用上述的方法。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (2)

1.一种非线性索单元分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

2)建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

步骤2)中通过以下公式确定非线性应变-位移增量关系：

式中：η为索上任意点的相对坐标；线性几何矩阵B_L和非线性几何矩阵B_N分别表示为：

其中：ε为索单元非线性应变；η为索上任意点的相对坐标；S为形函数；

X_e为节点坐标；U_e为节点位移；L为索单元长度；

步骤2)中根据如下公式确定两节点非线性索单元弹性刚度矩阵：

式中：E为悬索的弹性模量；A为悬索横截面积；L为索单元长度；将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_e的具体表达式为：

式中：(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)为索单元两个节点坐标；

3)建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；

步骤3)中根据如下公式确定两节点非线性索单元初应力刚度矩阵：

式中：为σ为索单元轴向应力，将S、σ的具体表达式带入上式则可得到K_σ的具体表达式为：

其中：q₀为作用于索单元的初始均布荷载；L₀为初始索长；H为索中的初始水平张力；(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)为索单元两个节点位移；

4)建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

步骤4)中确定两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的表达式具体如下：

将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_g的具体表达式为：

式中：

5)建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；

其中，两节点索单元的刚度矩阵K_T由弹性刚度矩阵K_e、初位移刚度矩阵K_g和初应力刚度矩阵K_σ三部分组成：

K_T＝K_e+K_g+K_σ；

6)建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。

2.一种非线性索单元分析系统，其特征在于，包括：

悬索结构几何物理参数监测模块，用于确定悬索结构的两端节点信息、索线型信息以及悬索物理参数；所述两端节点信息包括两端节点坐标，索线型信息为索单元长度，悬索物理参数包括索的弹性模量、自重、外荷载，非线性应变；索单元轴向应力；

悬索结构弹性刚度矩阵分析模块，用于首先建立索单元应变-位移增量关系，并建立两节点非线性索单元弹性刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构弹性刚度矩阵分析模块中通过以下公式确定非线性应变-位移增量关系：

式中：η为索上任意点的相对坐标；线性几何矩阵B_L和非线性几何矩阵B_N分别表示为：

其中：ε为索单元非线性应变；η为索上任意点的相对坐标；S为形函数；X_e为节点坐标；U_e为节点位移；L为索单元长度；

所述悬索结构弹性刚度矩阵分析模块中根据如下公式确定两节点非线性索单元弹性刚度矩阵：

式中：E为悬索的弹性模量；A为悬索横截面积；L为索单元长度；将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_e的具体表达式为：

式中：(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)为索单元两个节点坐标；

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块，用于首先建立悬索结构线性几何矩阵和非线性几何矩阵，并进一步建立两节点非线性索单元初应力刚度矩阵的显式表达式；然后建立悬索应力与索单元非线性应变、形函数、节点坐标和节点位移的显式关系，并进一步建立两节点非线性索单元初位移刚度矩阵的显式表达式；

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块中确定两节点非线性索单元初位移刚度矩阵：

将B_L、B_N、S、X_e和U_e的具体表达式带入上式则可得到K_g的具体表达式为：

式中：

悬索结构初位移刚度矩阵分析模块中根据如下公式确定两节点非线性索单元初应力刚度矩阵：

式中：为σ为索单元轴向应力，将S、σ的具体表达式带入上式则可得到K_σ的具体表达式为：

其中：q₀为作用于索单元的初始均布荷载；L₀为初始索长；H为索中的初始水平张力；(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)为索单元两个节点位移；

悬索结构刚度矩阵分析模块，建立悬索结构刚度矩阵和等效节点荷载；其中，两节点索单元的刚度矩阵K_T由弹性刚度矩阵K_e、初位移刚度矩阵K_g和初应力刚度矩阵K_σ三部分组成：

K_T＝K_e+K_g+K_σ；

悬索结构非线性迭代及收敛性分析评定模块，用于建立悬索结构的非线性迭代算法和收敛准则，分析计算悬索的荷载反应。