CN104965991B - 基于传递函数的机翼颤振速度确定方法 - Google Patents
基于传递函数的机翼颤振速度确定方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及基于传递函数的机翼颤振速度确定方法，所述方法利用机翼弯扭振动微分方程和Theodrosen非定常气动力模型，得出长直机翼颤振微分方程，然后对所述机翼颤振微分方程进行Fourier变换，再运用传递函数法求解机翼颤振速度。本发明的有益效果如下：（1）由于本发明利用机翼弯扭振动微分方程来准确描述机翼振动，而没有采用机翼振动的低阶模态来近似描述机翼振动，所以计算的机翼颤振速度更加准确；（2）本发明求解机翼颤振速度的方法与现有技术相比更加简捷。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于传递函数的机翼颤振速度确定方法，属于飞行器气动弹性技术领域。
背景技术
机翼颤振是指发生在飞机飞行中的动不稳定性，此时的飞行速度称为颤振速度。在飞行达到颤振速度时所发生的自激振动，大多数都会造成灾难性的后果。颤振分析就是求出颤振发生的条件，亦即求出颤振速度，并寻求在飞行器飞行速度范围内避免颤振发生的措施，进而寻找提高颤振临界速度的方法。
进行机翼颤振分析和计算时，一方面需要知道机翼结构的动力学特性，另一方面需要知道机翼结构附近非定常流动的空气动力特性。目前，工程中为了避免分析计算过于复杂，在机翼结构动力学计算时尽量减小机翼振动自由度，通常忽略高阶模态，仅利用机翼振动的低阶模态来近似表示机翼弯曲振动位移h和扭转振动转角α，通常选取前一阶、二阶弯曲模态和前一阶扭转模态来描述机翼的动力学特性，即
然后，再结合Theodrosen非定常气动理论，求解机翼颤振速度。
实际上，机翼是无限多自由度的弹性体，在颤振分析中也没有对自由度的限制。因此，上述计算方法的缺点是：为了避免过于复杂的计算而减小了机翼振动的自由度，对机翼实际振动作出了近似，使计算结果的准确性降低了。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种计算方法简捷、计算结果较准确的基于传递函数的机翼颤振速度确定方法。
本发明解决其技术问题所需采用的技术方案：
一种基于传递函数的机翼颤振速度确定方法，所述方法利用机翼弯扭振动微分方程和Theodrosen非定常气动力模型，得出长直机翼颤振微分方程，然后对所述机翼颤振微分方程进行Fourier变换，再运用传递函数法求解机翼颤振速度；
一、所述方法需要依据的计算公式：
a.利用机翼弯扭振动微分方程建立机翼颤振微分方程：
利用机翼弯扭振动微分方程式(1)来描述机翼弯扭振动：
式中，h为机翼弯曲振动位移，单位为米，α为机翼扭转振动转角，单位为弧度，EI为机翼抗弯刚度，单位牛顿·米2，GJ为机翼抗扭刚度，单位为牛顿·米2，m为机翼单位长度质量，单位为千克，Iα为单位长度机翼绕弹性轴的转动惯量，单位为千克·米2，xα为机翼弹性轴到机翼截面重心的距离，单位为米，Lk为机翼单位长度的升力，单位为牛顿/米，Tα机翼单位长度的扭矩，单位为牛顿，y为机翼展向坐标，单位为米，t为时间，单位为秒，为机翼弯曲振动位移h对机翼展向坐标y的四阶偏导数，为机翼扭转振动转角α对机翼展向坐标y的二阶偏导数，为机翼弯曲振动位移h对时间t的二阶偏导数，为机翼扭转振动转角α对时间t的二阶偏导数；
b.根据Theodrosen非定常气动力模型，得到机翼单位长度的升力Lk和机翼单位长度的扭矩Tα为下式(2)：
式中，V为空速，单位为米/秒，ρ为空气密度，单位为千克/立方米，b为机翼的半弦长，单位为米，C(k)为Theodrosen函数，为减缩频率，ω为圆频率，单位为弧度/秒，为机翼弹性轴到机翼弦长中点的距离占半弦长的百分比；
由于减缩频率k是圆频率ω和空速V的函数，将C(k)写为C(ω，V)，将(2)式代入(1)式得到机翼颤振微分方程式(3)：
c.利用传递函数法求解机翼颤振速度
①对(3)式作Fourier变换，并经过整理可得到下式(4)：
式中，A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的具体表达式如下：
其中，虚数
②采用传递函数法求解上述(4)式，确定机翼的颤振速度；
为了便于应用传递函数理论，定义状态变量向量如下式(6)：
式中，T表示向量转置；
从而，将(4)式写成状态方程的形式如下式(7)：
式中，
g(y，ω)＝0
边界条件为：
式中，η(0，ω)为η(y，ω)在机翼根端y＝0处的值，为η(y，ω)在机翼梢端处的值，为机翼的半展长，单位为米，Mb为机翼根端边界条件选择矩阵，Nb为机翼梢端边界条件选择矩阵，γ(ω)为由边界条件给定的位移或力组成的向量，其表达式分别为：
根据传递函数理论，方程(7)式的解为：
式中，G(y，ξ，ω，V)为状态空间方程的域内传递函数，H(y，ω，V)为状态空间方程的边界传递函数，其表达式分别为：
式中，变量为机翼展向的坐标，单位为米：
机翼颤振时弯曲振动位移h和扭转振动转角α的振幅为非零常数，即(10)式有非零解，根据传递函数理论可知，(10)式有非零解的充分必要条件为：
令由于A为复矩阵，其行列式值等于零的必要条件为矩阵行列式值的实部与虚部均为零，即
求解上述(13)式，可以得到满足方程组的空速V和圆频率ω，分别记为Vcz和ωcz。其中，Vcz即为机翼的颤振速度，ωcz即为机翼的颤振圆频率。
二、所述方法的具体步骤如下：
步骤(一)：测量长直机翼的下列物理参数：
半弦长b，单位为米；
半展长单位为米；
单位长度机翼质量m，单位为千克/米；
机翼弹性轴(2)到机翼弦长中点的距离占半弦长的百分比
机翼弹性轴(2)到机翼截面重心的距离单位为米；
单位长度机翼绕弹性轴的转动惯量单位为千克·米2；
机翼的抗弯刚度EI，单位为牛顿·米2；
机翼的抗扭刚度GJ，单位为牛顿·米2；
空气密度ρ，单位为千克/立方米；
步骤(二)：确定飞机机翼的空速V和圆频率ω的大致范围，假设为
步骤(三)：在范围内划分合适步长ΔV和Δω，并进行离散，空速V和圆频率ω的取值为：
步骤(四)：取空速V＝V0，圆频率ω依次取ω0+jΔω，j＝0，1，2，3…，将空速V和圆频率ω的取值与步骤(一)中的机翼各物理参数代入(5)式，得到系数A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的值；
步骤(五)：将系数A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的值代入(8)式，得到矩阵F(ω，V)的值；
步骤(六)：将矩阵F(ω，V)的值代入(13)式，计算Re[detA]和Im[detA]的值；
步骤(七)：再依次取空速V＝V0+jΔV，j＝1，2，3…，重复步骤(四)至步骤(六)，计算Re[detA]和Im[detA]的值；
步骤(八)：确定同时满足(13)式的空速V的值，即为机翼的颤振速度Vcz。
本发明的有益效果如下：
(1)由于本发明利用机翼弯扭振动微分方程来准确描述机翼振动，而没有采用机翼振动的低阶模态来近似描述机翼振动，所以计算的机翼颤振速度更加准确。
(2)本发明求解机翼颤振速度的方法与现有技术相比更加简捷。
附图说明
图1为长直机翼示意图；
图2为长直机翼弦向剖面示意图；
图3为实施例1的Re[detA]的等值线图(V∈(0，50)，ω∈(0，200π))；
图4为实施例1的Im[detA]的等值线图(V∈(0，50)，ω∈(0，200π))；
图5为图3和图4的等值线合成图(V∈(0，50)，ω∈(0，200π))；
图6为实施例1的Re[detA]的等值线图(V∈(30，40)，ω∈(30π，60π))；
图7为实施例1的Im[detA]的等值线图(V∈(30，40)，ω∈(30π，60π))；
图8为图6和图7的等值线合成图(V∈(30，40)，ω∈(30π，60π))。
在图1、2中，1——重心轴，2——弹性轴，3——弹性轴位置，4——重心轴位置。
具体实施方式
实施例1：
为了进一步说明本发明所述方法，本实施例1与参考文献(赵永辉的专著《气动弹性力学与控制》，北京：科学出版社，2006)的计算结果(Vcz＝36.6米/秒)相比较。
本实施例1的具体计算步骤如下：
步骤(一)：采用上述参考文献中所用的长直机翼的物理参数(见下表1)：
表1长直机翼的物理参数
步骤(二)：确定飞机机翼的空速V和圆频率ω的大致范围为划分步依据发明内容部分中步骤(三)至步骤(七)，计算Re[detA]和Im[detA]的值。图3和图4给出了在范围内Re[detA]和Im[detA]的等值线图。图5给出了图3和图4的合成图。从图5中可以发现，在给定范围内虚线矩形区域约为内存在满足(13)式的空速V和圆频率ω，即机翼颤振速度Vcz在上述范围内。
为了提高计算结果精度，在上述缩小的范围内内，划分更小的步长并依据所述步骤(三)到步骤(七)，再计算Re[detA]和Im[detA]的值，获得精度更高的机翼颤振速度值。图6和图7分别给出了在缩小范围内Re[detA]和Im[detA]的等值线图，图8给出了图6和图7的合成图。结合图6至图8，根据(13)式的要求，可从图8中找到画圆的区域内的0点为满足(13)式的空速V和圆频率ω。由图8可得：空速V＝35.3米/秒，此时的空速V＝35.3米/秒即机翼颤振速度，与上述参考文献的计算结果36.6米/秒吻合很好。
Claims (1)
1.一种基于传递函数的机翼颤振速度确定方法，其特征在于所述方法利用机翼弯扭振动微分方程和Theodrosen非定常气动力模型，得出长直机翼颤振微分方程，然后对所述机翼颤振微分方程进行Fourier变换，再运用传递函数法求解机翼颤振速度；
一、所述方法需要依据的计算公式：
a.利用机翼弯扭振动微分方程建立机翼颤振微分方程：
利用机翼弯扭振动微分方程式(1)来描述机翼弯扭振动：
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式中，h为机翼弯曲振动位移，单位为米，α为机翼扭转振动转角，单位为弧度，EI为机翼抗弯刚度，单位牛顿·米2，GJ为机翼抗扭刚度，单位为牛顿·米2，m为机翼单位长度质量，单位为千克，Iα为单位长度机翼绕弹性轴的转动惯量，单位为千克·米2，xα为机翼弹性轴到机翼截面重心的距离，单位为米，Lh为机翼单位长度的升力，单位为牛顿/米，Tα机翼单位长度的扭矩，单位为牛顿，y为机翼展向坐标，单位为米，t为时间，单位为秒，为机翼弯曲振动位移h对机翼展向坐标y的四阶偏导数，为机翼扭转振动转角α对机翼展向坐标y的二阶偏导数，为机翼弯曲振动位移h对时间t的二阶偏导数，为机翼扭转振动转角α对时间t的二阶偏导数；
b.根据Theodrosen非定常气动力模型，得到机翼单位长度的升力Lh和机翼单位长度的扭矩Tα为下式(2)：
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<mi>V</mi>
<mi>b</mi>
<mi>C</mi>
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<mi>&omega;</mi>
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<mrow>
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<mi>V</mi>
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<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
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<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>-</mo>
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<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
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<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>G</mi>
<mi>J</mi>
<mfrac>
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<msup>
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<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>I</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>mx</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mi>V</mi>
<mi>b</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>8</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msup>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>&pi;&rho;Vb</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>V</mi>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
c.利用传递函数法求解机翼颤振速度
①对(3)式作Fourier变换，并经过整理可得到下式(4)：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>4</mn>
</msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的具体表达式如下：
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>A</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>m</mi>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
<mi>&rho;</mi>
<mi>b</mi>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>i</mi>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>E</mi>
<mi>I</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>b</mi>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>mx</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<mi>C</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>0.5</mn>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
<mi>&rho;</mi>
<mi>b</mi>
<mfrac>
<msup>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mfrac>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>E</mi>
<mi>I</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>mx</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
<mi>&rho;</mi>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0.5</mn>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>i</mi>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>G</mi>
<mi>J</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>&lsqb;</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>I</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>0.125</mn>
<mo>+</mo>
<msup>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mo>&lsqb;</mo>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
<mi>&rho;</mi>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0.5</mn>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0.5</mn>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mfrac>
<mi>V</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0.5</mn>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
<mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>&pi;&rho;b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mfrac>
<msup>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<msup>
<mi>&omega;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0.5</mn>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>a</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>C</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>G</mi>
<mi>J</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，虚数
②采用传递函数法求解上述(4)式，确定机翼的颤振速度；
为了便于应用传递函数理论，定义状态变量向量如下式(6)：
<mrow>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>h</mi>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mo>&part;</mo>
<mn>3</mn>
</msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msup>
<mi>y</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mi>&alpha;</mi>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>&alpha;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mi>T</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，T表示向量转置；
从而，将(4)式写成状态方程的形式如下式(7)：
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>g</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>y</mi>
<mo>,</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，
<mrow>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>1</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
g(y，ω)＝0
边界条件为：
<mrow>
<msub>
<mi>M</mi>
<mi>b</mi>
</msub>
<mi>&eta;</mi>
<mrow>
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</mrow>
式中，η(0，ω)为η(y，ω)在机翼根端y＝0处的值，为η(y，ω)在机翼梢端处的值，为机翼的半展长，单位为米，Mb为机翼根端边界条件选择矩阵，Nb为机翼梢端边界条件选择矩阵，γ(ω)为由边界条件给定的位移或力组成的向量，其表达式分别为：
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</mrow>
式中，G(y，ξ，ω，V)为状态空间方程的域内传递函数，H(y，ω，V)为状态空间方程的边界传递函数，其表达式分别为：
式中，变量为机翼展向的坐标，单位为米；
机翼颤振时弯曲振动位移h和扭转振动转角α的振幅为非零常数，即(10)式有非零解，根据传递函数理论可知，(10)式有非零解的充分必要条件为：
令由于A为复矩阵，其行列式值等于零的必要条件为矩阵行列式值的实部与虚部均为零，即
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求解上述(13)式，可以得到满足方程组的空速V和圆频率ω，分别记为Vcz和ωcz；
其中，Vcz即为机翼的颤振速度，ωcz即为机翼的颤振圆频率；
二、所述方法的具体步骤如下；
步骤(一)：测量长直机翼的下列物理参数：
半弦长b，单位为米；
半展长单位为米；
单位长度机翼质量m，单位为千克/米；
机翼弹性轴(2)到机翼弦长中点的距离占半弦长的百分比
机翼弹性轴(2)到机翼截面重心的距离xα，单位为米；
单位长度机翼绕弹性轴的转动惯量Iα，单位为千克·米2；
机翼的抗弯刚度EI，单位为牛顿·米2；
机翼的抗扭刚度GJ，单位为牛顿·米2；
空气密度ρ，单位为千克/立方米；
步骤(二)：确定飞机机翼的空速V和圆频率ω的大致范围，假设为
步骤(三)：在范围内划分合适步长ΔV和Δω，并进行离散，空速V和圆频率ω的取值为：
步骤(四)；取空速V＝V0，圆频率ω依次取ω0+jΔω，j＝0，1，2，3…，将空速V和圆频率ω的取值与步骤(一)中的机翼各物理参数代入(5)式，得到系数A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的值；
步骤(五)：将系数A1(ω，V)、A2(ω，V)、B1(ω，V)、B2(ω，V)的值代入(8)式，得到矩阵F(ω，V)的值；
步骤(六)：将矩阵F(ω，V)的值代入(13)式，计算Re[det A]和Im[det A]的值；
步骤(七)：再依次取空速V＝V0+jΔV，j＝1，2，3…，重复步骤(四)至步骤(六)，计算Re[det A]和Im[det A]的值；
步骤(八)；确定同时满足(13)式的空速V的值，即为机翼的颤振速度Vcz。
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