CN108804853B - 基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法，该方法考虑叶片旋转效应和弹性支承影响的带安装角的变截面扭形凸肩叶片动力学建模方法。本发明节省了叶片动力学实验所需的成本费用；叶片几何构型更接近真实叶片，只需修改叶片的结构尺寸和材料参数即可得到不同叶片系统的动力学模型，操作简便；其动力学特性更能反应叶片的真实工作状态；其支承方式更加接近叶片真实的装配状态；与借助传统的商用有限元软件来分析叶片的动力学特性相比，本发明具有更高的计算效率；同时，本发明还能进行叶片系统的碰摩响应分析，从而为含叶片的系统结构提供设计优化。

Description

基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法，属于机械动力学技术领域

背景技术

目前，现有的凸肩叶片动力学建模方法主要有以下几种方法：

1.基于商用有限元分析软件

将CAD三维模型导入商用有限元分析软件或者直接在有限元软件中建立三维模型，选择合适的单元及合适的材料参数，对三维模型进行网格划分，建立有限元模型，设置合适的约束并选择合适的求解方法对叶片的动力学特性进行分析。但利用现有的商用有限元分析软件对含有安装角的扭形叶片进行动力学特性分析时，建模过程复杂且繁重，并且不同的建模方式和单元类型得到的动力学特性也会有较大差距。

2.基于悬臂梁的建模方法

将叶片简化成悬臂梁模型，忽略凸肩的影响或将凸肩简化成质量点。然而凸肩处的截面变化不仅带来了附加质量，而且带来了附加刚度，所以仅仅考虑凸肩所带来附加质量的影响不能准确的反映凸肩叶片真实的动力学特性。此外，固定支承是理想的约束条件，在真实叶片的安装中不可能做到绝对的固定支承，所以将凸肩叶片假设为固定约束所得到的动力学特性会有较大的误差。

目前基于变截面梁对弹性支承条件下的旋转凸肩叶片进行动力学建模的技术处于空白状态。

发明内容

(一)要解决的技术问题

为了解决现有技术的上述问题，本发明提供一种基于变截面梁对弹性支承条件下的旋转凸肩叶片动力学建模方法，以达到在保证叶片主要振动模态的前提下，考虑凸肩叶片旋转效应的影响，利用Hamilton能量原理和Galerkin方法得到叶片的动力学方程。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

一种基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法，其包括以下步骤：

S1：构建含安装角的扭形叶片动力学建模所需的三维坐标系，包括：整体坐标系OXYZ，叶根处坐标系oxyz；

S2：对叶片的结构参数和材料参数进行测定，其中包括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，轮盘半径R_d，叶片杨氏模量E，泊松比μ，叶片密度ρ；凸肩的厚度l₂，凸肩的宽度h_s；叶片在弯曲方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_y、k_ry，叶片在摆动方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_z、k_rz，叶根相对于叶盘的安装角为β₀，叶尖处的扭转角β_t；

S3：确定叶片上任意截面相对于叶盘的扭转角，其表达式为β(x)＝β₀+γ(x)，其中，γ(x)为叶片上任意截面相对于叶根处的扭转角，其表达是

S4：通过叶片上任意一点在整体坐标系OXYZ中的位移向量r对时间的一阶偏导，得到该点的速度，再依据动能计算公式得到叶片的动能；

S5：考虑凸肩叶片在旋转过程中的离心刚化效应，并考虑叶片由于剪切变形产生的剪切应变能和约束弹簧和约束扭簧的弹性势能，得出凸肩叶片的整体势能；

S6：计算作用在凸肩叶片上外力所做的功；

S7：根据Hamilton能量方程，推导得出旋转叶片系统的动力学方程；

S8：将变截面梁分为三段等截面梁，并计算变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系；

S9：根据边界条件确定变截面梁在弯曲方向的振型函数；

S10：利用Galerkin方法对凸肩叶片的运动方程进行离散化处理；

S11：引入瑞利阻尼，得到凸肩叶片的运动微分方程；

S12：设置外激励向量为零，确定凸肩叶片在不同支承刚度、不同凸肩位置、不同转速下的固有频率；

S13：给定气动载荷，计算凸肩叶片在不同支承刚度和不同凸肩位置下的谐响应。

如上所述的动力学建模方法，优选地，在步骤S4中，所述叶片的动能计算公式如式(2)所示：

其中，叶片上任意一点的位移向量r如下式(1)所示：

(1)，所述u、v、w分别为凸肩叶片上任意一点在径向、弯曲、摆动方向的变形，

φ分别为叶片弯曲方向和摆动方向的转角，θ是叶片绕旋转轴旋转的角位移，R_d为叶盘半径，式(1)中括号()表示对时间的1阶偏导，A(x)是凸肩叶片的截面面积，其表达式如式(3)所示：

如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S5中，所述凸肩叶片的整体势能如式(4)所示：

其中，E、A、k、G分别为杨氏模量、叶片截面积、剪切系数和剪切模量，f_c(x)是叶片所受离心力，f_c(x)的表达式如式(5)所示：

叶片截面绕y轴的截面惯性矩I_y(x)，叶片截面绕z轴的截面惯性矩I_z(x)的表达式如式(6)所示：

如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S6中，所述作用在叶片上的外力所做的功如式(7)计算：

其中，F_e是凸肩叶片所受气动载荷，是沿y方向的均布载荷，其表达式如如式(8)所示：

F_e＝F₀ sin(k_eωt) (8)

式中，F₀是气动载荷的幅值，k_e是静子叶片数，ω是气动载荷的圆频率，其与转速的关系为ω＝2πΩ/60。

如上所述的动力学建模方法，优选地，在步骤S7中，所述Hamilton能量方程的表达式为：

如上所述的动力学建模方法，优选地，在步骤S8中，所述变截面梁每一段梁之间振型函数的假设为：

变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系如式(12)所示：

N_i+1＝P_i+1 ^-1P_iN_i＝Z_iN_i (12)

其中，N_i和N_i+1是振型函数中的待定系数，N_i＝[A_i B_i C_i D_i]^T，N_i+1＝[A_i+1 B_i+1 C_i+1D_i+1]^T，P_i和P_i+1的表达式如式(11)所示：

如上所述的动力学建模方法，优选地，在步骤S9中，所述边界条件为：

由上式中前两个条件可得：

A₁＝C₁，B₁＝D₁ (15)

由后两个条件可得：

ΛN₃＝ΛZ₂Z₁＝Q＝0 (16)

其中Λ的表达式如式(17)所示：

由式(15)(16)可得：

其中，Q₁₁,…,Q₂₄是矩阵Q中各元素的值。由于A₁、B₁存在非零解，所以其系数行列式等于0，即：

令A₁＝1，根据三段振型函数系数之间的递推关系，便可得到变截面梁每一段的振型函数。

如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S10中，所述Galerkin方法的离散化过程为引入正则坐标U_i(t)、V_i(t)、W_i(t)、ψ_i(t)和Φ_i(t)，将凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向位移写为：

式中，φ_1i(x)、φ_2i(x)、φ_3i(x)、φ_4i(x)和φ_5i(x)分别是凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向的振型函数，它们的表达式如下：

如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S11中，所述凸肩叶片的运动微分方程如式(22)所示：

式中，M、G、D、K_e、K_c、K_s、K_acc、K_t、q和F分别是质量矩阵、科氏力矩阵、瑞利阻尼矩阵、结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、加速度导致的刚度矩阵、弹簧刚度矩阵以及正则坐标系下的位移向量和外激振力向量；其中，所述瑞利阻尼的表达式如式(23)所示，

D＝αM+βK (23)

f_n1和f_n2表示凸肩叶片的前两阶固有频率，ξ₁和ξ₂是对应的模态阻尼比。

如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S13中，所述凸肩叶片的谐响应计算过程为：首先给定正弦激励幅值，然后假设凸肩叶片动力学方程的解为q＝q₀e^iωt，并将其带入式(22)中，由此可得凸肩叶片动力学方程的解为：

q₀＝(-ω²M+iωC+K)^-1F (24)。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：

本发明为一种变截面的扭形叶片在弹性支承条件下的动力学建模方法，节省了叶片动力学实验所需要的成本费用；本发明只需修改叶片的结构尺寸和材料参数后即可得到不同叶片系统的动力学模型，操作简便；本发明考虑了真实叶片中的安装角和扭角的影响，同时考虑了叶片凸肩处截面变化的影响，叶片几何构型更接近真实叶片；本发明考虑了叶片在旋转过程中离心刚化、旋转软化以及科氏力的影响，其动力学特性更能反应叶片的真实工作状态；本发明考虑了叶盘对叶片的弹性支承，其支承方式更加接近真实叶片的装配状态；与借助传统的商用有限元软件来分析叶片的动力学特性相比，本发明具有更高的计算效率，耗时更短；此外，还能获得叶片较高阶次频率，同时，还能进行叶片系统的碰摩响应分析，从而实现为含叶片的系统结构的提供设计优化，以提升系统性能和安全性。

附图说明

图1为本发明中凸肩叶片动力学建模的流程图；

图2为变截面的旋转凸肩叶片示意图；

图3为变截面的旋转凸肩叶片有限元模型示意图；

图4为不同支承刚度下的动频对比，其中，(a)为不同支承刚度下一阶动频对比；(b)为不同支承刚度下二阶动频对比；(c)为不同支承刚度下三阶动频对比；

图5为不同支承刚度下的谐响应对比；

图6为不同凸肩位置下的动频对比；其中(a)为不同凸肩位置下一阶动频对比；(b)为不同凸肩位置下二阶动频对比；(c)为不同凸肩位置下三阶动频对比；

图7为不同凸肩位置下的谐响应对比。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

实施例1

一种基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法，如图1所示，包括如下步骤：

步骤1：构建含安装角的变截面扭形叶片动力学建模所需的三维坐标系，包括：整体坐标系OXYZ，叶根处坐标系oxyz。

步骤2：对叶片的结构参数和材料参数进行测定，其中包括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，轮盘半径R_d，叶片杨氏模量E，泊松比μ，叶片密度ρ。凸肩的厚度l₂，凸肩的宽度h_s；

叶片在弯曲方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_y、k_ry，叶片在摆动方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_z、k_rz，叶根相对于叶盘的安装角为β₀，叶尖处的扭转角β_t；

步骤3：确定叶片上任意截面相对于叶盘的扭转角，其表达式为β(x)＝β₀+γ(x)，其中，γ(x)为叶片上任意截面相对于叶根处的扭转角，其表达是

步骤4：确定凸肩叶片上任意一点在整体坐标系OXYZ中的位移向量r，并由此计算得到叶片的动能表达式如(1)所示：

其中，u、v、w分别为凸肩叶片上任意一点在径向、弯曲、摆动方向的变形，

φ分别为叶片弯曲方向和摆动方向的转角，θ是叶片绕旋转轴旋转的角位移，R_d为叶盘半径，式(1)中括号()表示对时间的1阶偏导，A(x)是凸肩叶片的截面面积，其表达式如式(3)所示：

步骤5：考虑凸肩叶片在旋转过程中的离心刚化效应，并考虑叶片由于剪切变形产生的剪切应变能和约束弹簧和约束扭簧的弹性势能，得出凸肩叶片的整体势能表达式如式(4)所示：

其中，E、A、κ、G分别为杨氏模量、叶片截面积、剪切系数和剪切模量，f_c(x)是叶片所受离心力，f_c(x)的表达式如式(5)所示：

叶片截面绕y轴的截面惯性矩I_y(x)，叶片截面绕z轴的截面惯性矩I_z(x)的表达式如式(6)所示：

步骤6：计算作用在凸肩叶片上外力所做的功如式(7)所示：

其中，F_e是凸肩叶片所受气动载荷，是沿y方向的均布载荷，其表达式如式(8)所示：

F_e＝F₀sin(k_eωt) (8)

式中，F₀是气动载荷的幅值，k_e是静子叶片数，ω是气动载荷的圆频率，其与转速的关系为ω＝2πΩ/60。

步骤7：根据Hamilton能量方程

可得到凸肩叶片的运动方程。

步骤8：计算变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系，将变截面梁分为三段等截面梁，假设三段梁的弯曲方向的振型函数如式(9)所示下：

根据梁的连续性，梁的第i段和第i+1段在连接点处的位移、转角、弯矩、剪力均相等，可得到如下接界条件的表达式如式(10)所示：

将式(9)代入到式(10)中可得：P_iN_i＝P_i+1N_i+1，其中，N_i和N_i+1是振型函数中的待定系数，N_i＝[A_i B_i C_i D_i]^T，N_i+1＝[A_i+1 B_i+1 C_i+1 D_i+1]^T，P_i和P_i+1的表达式如式(11)所示：

由此可得相邻两段梁振型函数系数之间的关系：

N_i+1＝P_i+1 ^-1P_iN_i＝Z_iN_i (12)

因为变截面梁作为一个连续体，所以其三段梁的固有频率是相等的，可得关系式如式(13)所示：

由上式可得振型函数中特征值β_i之间的关系。

步骤9：根据边界条件确定变截面梁在弯曲方向的振型函数，为了使计算简便，在每一段梁上将x做变量代换为(l_i-x)，根据弹性支承梁的边界条件可得表达式：

由上式中前两个条件可得：

A₁＝C₁，B₁＝D₁ (15)

由后两个条件可得：

ΛN₃＝ΛZ₂Z₁＝Q＝0 (16)

其中Λ的表达式如下：

由式(15)(16)可得：

其中，Q₁₁,…,Q₂₄是矩阵Q中各元素的值。由于A₁、B₁存在非零解，所以其系数行列式等于0，即：

为了得到变截面梁的振型函数，可令A₁＝1，根据三段振型函数系数之间的递推关系，便可得到变截面梁每一段的振型函数。利用同样的方法可求得凸肩叶片在摆动方向的振型函数。

步骤10：利用Galerkin方法对凸肩叶片的运动方程进行离散化处理，引入正则坐标U_i(t)、V_i(t)、W_i(t)、ψ_i(t)和Φ_i(t)，可将凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向位移写为：

式中，φ_1i(x)、φ_2i(x)、φ_3i(x)、φ_4i(x)和φ_5i(x)分别是凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向的振型函数，它们的表达式如下：

步骤11：引入瑞利阻尼，得到凸肩叶片的运动微分方程：

式中，M、G、D、K_e、K_c、K_s、K_acc、K_t、q和F分别是质量矩阵、科氏力矩阵、瑞利阻尼矩阵、结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、加速度导致的刚度矩阵、弹簧刚度矩阵以及正则坐标系下的位移向量和外激振力向量。其中瑞利阻尼矩阵的表达式如下：

D＝αM+βK (23)

其中，

f_n1和f_n2表示凸肩叶片的前两阶固有频率，ξ₁和ξ₂是对应的模态阻尼比。

步骤12：设置外激励向量为零，确定凸肩叶片在不同支承刚度、不同凸肩位置、不同转速下的固有频率。

步骤13：给定气动载荷，计算凸肩叶片在不同支承刚度和不同凸肩位置下的谐响应，其中，凸肩叶片的谐响应计算过程为：首先给定正弦激励幅值，然后假设凸肩叶片动力学方程的解为q＝q₀e^iωt，并将其带入式(22)中，由此可得凸肩叶片动力学方程的解为：

q₀＝(-ω²M+iωC+K)^-1F (24)。

上述通过本发明所提方法的步骤1-9计算得到叶片的质量、阻尼、刚度矩阵，通过步骤10所提方法，计算叶片运动方程的特征方程的系数行列式的特征值，并取其虚部的绝对值除以2π得到叶片的固有频率，计算叶片在不同转速下的固有频率以得到叶片随转速变化下的动频曲线。

实施例2

本发明实施例中变截面旋转凸肩叶片示意图如图2所示，弹性支承条件下的扭形凸肩叶片的动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤1：获取叶片系统的结构参数和材料参数，本发明假定叶片是各向同性的线弹性材料，本构关系满足Hooke定律，旋转叶片的相关参数如表1所示：

表1旋转叶片参数

步骤2：考虑板的预扭角影响，确定凸肩叶片上任意一点在整体坐标系OXYZ中的位移向量，并由此计算得到叶片的动能表达式：

其中，u、v、w分别为凸肩叶片上任意一点在径向、弯曲、摆动方向的变形，

φ分别为叶片弯曲方向和摆动方向的转角，θ是叶片绕旋转轴旋转的角位移，R_d为叶盘半径，式(1)中括号()表示对时间的1阶偏导，A(x)是凸肩叶片的截面面积，其表达式为：

步骤3：考虑凸肩叶片在旋转过程中的离心刚化效应，并考虑叶片由于剪切变形产生的剪切应变能和约束弹簧和约束扭簧的弹性势能，得出凸肩叶片的整体势能表达式：

其中，E、A、κ、G分别为杨氏模量、叶片截面积、剪切系数和剪切模量，f_c(x)是叶片所受离心力，f_c(x)的表达式如下：

叶片截面绕y轴的截面惯性矩I_y(x)，叶片截面绕z轴的截面惯性矩I_z(x)的表达式如下：

步骤4：计算作用在凸肩叶片上外力所做的功：

其中，F_e是凸肩叶片所受气动载荷，是沿y方向的均布载荷，其表达式如下：

F_e＝F₀ sin(k_eωt) (8)

式中，F₀是气动载荷的幅值，k_e是静子叶片数，ω是气动载荷的圆频率，其与转速的关系为ω＝2πΩ/60。

步骤5：根据Hamilton能量方程

可得到凸肩叶片的运动方程。

步骤6：计算变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系，将变截面梁分为三段等截面梁，假设三段梁的弯曲方向的振型函数如下：

根据梁的连续性，梁的第i段和第i+1段在连接点处的位移、转角、弯矩、剪力均相等，可得到如下接界条件的表达式：

将式(9)代入到式(10)中可得：P_iN_i＝P_i+1N_i+1，其中，N_i和N_i+1是振型函数中的待定系数，N_i＝[A_i B_i C_i D_i]^T，N_i+1＝[A_i+1 B_i+1 C_i+1 D_i+1]^T，P_i和P_i+1的表达式如下：

由此可得相邻两段梁振型函数系数之间的关系：

N_i+1＝P_i+1 ^-1P_iN_i＝Z_iN_i (12)

因为变截面梁作为一个连续体，所以其三段梁的固有频率是相等的，可得关系式：

由上式可得振型函数中特征值β_i之间的关系。

步骤7：根据边界条件确定变截面梁在弯曲方向的振型函数，为了使计算简便，在每一段梁上将x做变量代换为(l_i-x)，根据弹性支承梁的边界条件可得表达式：

由上式中前两个条件可得：

A₁＝C₁，B₁＝D₁ (15)

由后两个条件可得：

ΛN₃＝ΛZ₂Z₁＝Q＝0 (16)

其中Λ的表达式如下：

由式(15)(16)可得：

其中，Q₁₁,…,Q₂₄是矩阵Q中各元素的值。由于A₁、B₁存在非零解，所以其系数行列式等于0，即：

为了得到变截面梁的振型函数，可令A₁＝1，根据三段振型函数系数之间的递推关系，便可得到变截面梁每一段的振型函数。利用同样的方法可求得凸肩叶片在摆动方向的振型函数。

步骤8：利用Galerkin方法对凸肩叶片的运动方程进行离散化处理，引入正则坐标U_i(t)、V_i(t)、W_i(t)、ψ_i(t)和Φ_i(t)，可将凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向位移写为：

式中，φ_1i(x)、φ_2i(x)、φ_3i(x)、φ_4i(x)和φ_5i(x)分别是凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向的振型函数，它们的表达式如下：

步骤9：引入瑞利阻尼，得到凸肩叶片的运动微分方程：

式中，M、G、D、K_e、K_c、K_s、K_acc、K_t、q和F分别是质量矩阵、科氏力矩阵、瑞利阻尼矩阵、结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、加速度导致的刚度矩阵、弹簧刚度矩阵以及正则坐标系下的位移向量和外激振力向量。其中瑞利阻尼的表达式如下：

D＝αM+βK (23)

其中，

f_n1和f_n2表示凸肩叶片的前两阶固有频率，ξ₁和ξ₂是对应的模态阻尼比。

步骤10：取Galerkin方法的截断阶数为4以得到凸肩叶片具体的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。在不同支承刚度和不同凸肩位置下凸肩叶片具体的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的值如下：

质量矩阵M：

M＝M₁+M₂+M₃+M₄+M₅

科氏力矩阵G：

G＝G₁+G₂+G₃

结构刚度矩阵K_e：

K_e＝K_e1+K_e2+K_e3+K_e4+K_e5

弹簧刚度矩阵K_t：

K_t＝K_t1+K_t2+K_t3+K_t4

K_t1(n+i,j)＝k_yφ_2i(x)φ_2j(x)|_x＝0

K_t2(2n+i,j)＝k_zφ_3i(x)φ_3j(x)|_x＝0

K_t3(3n+i,j)＝k_ryφ_4i(x)φ_4j(x)|_x＝0

K_t4(4n+i,j)＝k_rzφ_5i(x)φ_5j(x)|_x＝0

离心刚化矩阵K_c：

K_c＝K_c1+K_c2

旋转软化矩阵K_s：

K_s＝K_s1+K_s2+K_s3+K_s4+K_s5

加速度导致的刚度矩阵K_acc：

K_acc＝K_acc1+K_acc2+K_acc3

外激振力向量F：

F＝F₁+F₂

上述表达式中n为截断阶数，本实施例中取为4，i＝1,2,3,4，j＝1,2,...,30，并且矩阵中其余值均为0。

步骤11：计算特征方程系数行列式的特征值λ，取其虚部的绝对值除以2π，并进行从小到大排序，获得一组固有频率ω_k，其中，k表示叶片模态的第k阶，k＝1,2,…。

步骤12：给定正弦激励幅值计算凸肩叶片的谐响应。假设凸肩叶片动力学方程的解为q＝q₀e^iωt，并将其带入式(22)中，由此可得凸肩叶片动力学方程的解为：

q₀＝(-ω²M+iωC+K)^-1F (24)。

下面通过现有技术中的有限元模型来验证本发明方法的有效性。通过现有的有限元软件ANSYS建立相同的有限元模型，利用有限元软件中的模态求解和谐响应求解功能计算叶片的固有频率和谐响应，并将所获得的数据与通过本发明获得的数据进行对比，如图4为不同支承刚度下动频结果对比，对应获得表2为不同支承刚度各阶动频最大相对误差；如图5为不同支承刚度下的谐响应对比，如图6为不同凸肩位置下的动频对比，对应获得表3为各阶动频最大相对误差；如图7为不同凸肩位置下的谐响应对比；其中，图中的有限元是采用现有技术中有限元软件计算获得，解析是采用本发明建立方法计算获得，从图中的对比结果可看出，两组数据能够很好的吻合，从而证明了本发明方法的正确性。

表2不同支承刚度下动频最大误差

表3不同凸肩位置下动频最大误差

通过本实施例的结果可以获得以下结论：

(1)随着叶根处支承刚度的增加，凸肩叶片的各阶固有频率均增加，但随着支承刚度增加到一定程度之后，叶根处支承刚度的增加对叶片固有频率的影响不再明显；

(2)随着凸肩位置距叶尖距离的增加，第一阶固有频率和第三阶固有频率均随之增加，其中，第一阶固有频率和第三阶固有频率分别是叶片的第一阶弯曲频率和第一阶摆动频率；

(3)叶片的第二阶固有频率是叶片的第二阶弯曲频率，并且叶片的第二阶固有频率会随凸肩位置距叶尖距离的增加而减小；

(4)本发明所提方法与有限元软件ANSYS所得前3阶动频曲线和谐响应曲线均吻合较好，从而验证本发明所建立的动力学模型的正确性。此外，采用本发明所提方法相对于利用有限元软件能明显的提高计算效率。其中，在计算固有频率过程中，本发明所提方法耗时10.56s，有限元软件耗时82.00s；在计算谐响应的过程中，本发明所提方法耗时12.94s，有限元软件耗时182.12s。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明做其它形式的限制，任何本领域技术人员可以利用上述公开的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例。但是凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。

Claims (9)

1.一种基于变截面梁的弹性支承下扭形凸肩叶片动力学建模方法，其特征在于，其包括以下步骤：

S1：构建含安装角的扭形叶片动力学建模所需的三维坐标系，包括：整体坐标系OXYZ，叶根处坐标系oxyz；

S2：对叶片的结构参数和材料参数进行测定，其中包括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，轮盘半径R_d，叶片杨氏模量E，泊松比μ，叶片密度ρ；凸肩的厚度l₂，凸肩的宽度h_s；叶片在弯曲方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_y、k_ry，叶片在摆动方向约束弹簧和约束扭簧的刚度k_z、k_rz，叶根相对于叶盘的安装角为β₀，叶尖处的扭转角β_t；

S3：确定叶片上任意截面相对于叶盘的扭转角，其表达式为β(x)＝β₀+γ(x)，其中，γ(x)为叶片上任意截面相对于叶根处的扭转角，其表达是

S4：通过叶片上任意一点在整体坐标系OXYZ中的位移向量r对时间的一阶偏导，得到该点的速度，再依据动能计算公式得到叶片的动能；

S5：考虑凸肩叶片在旋转过程中的离心刚化效应，并考虑叶片由于剪切变形产生的剪切应变能和约束弹簧和约束扭簧的弹性势能，得出凸肩叶片的整体势能；

S6：计算作用在凸肩叶片上外力所做的功；

S7：根据Hamilton能量方程，推导得出旋转叶片系统的动力学方程；

S8：将变截面梁分为三段等截面梁，并计算变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系；

S9：根据边界条件确定变截面梁在弯曲方向的振型函数；

S10：利用Galerkin方法对凸肩叶片的运动方程进行离散化处理；

S11：引入瑞利阻尼，得到凸肩叶片的运动微分方程；

S12：设置外激励向量为零，确定凸肩叶片在不同支承刚度、不同凸肩位置、不同转速下的固有频率；

S13：给定气动载荷，计算凸肩叶片在不同支承刚度和不同凸肩位置下的谐响应；

在步骤S4中，所述叶片的动能计算公式如式(2)所示：

其中，叶片上任意一点的位移向量r如下式(1)所示：

所述u、v、w分别为凸肩叶片上任意一点在径向、弯曲、摆动方向的变形，

φ分别为叶片弯曲方向和摆动方向的转角，θ是叶片绕旋转轴旋转的角位移，式(2)中的·表示对时间的1阶偏导，A(x)是凸肩叶片的截面面积，其表达式如式(3)所示：

l₁，l₂和l₃为凸肩叶片的三段，其中l₂为凸肩的厚度，l₁和l₃为叶片其他两段的长度，A₁，A₂和A₃为分别对应l₁，l₂和l₃位置的叶片截面面积。

2.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S5中，所述凸肩叶片的整体势能如式(4)所示：

其中，E、κ、G分别为杨氏模量、剪切系数和剪切模量，I_y和I_z是绕y轴和z轴的惯性截面力矩；v(t,x)、w(t,x)、φ(t,x)、

分别为叶片的弯曲位移、摆动位移、弯曲方向的转角、摆动方向的转角；公式(4)中′表示对位置的一阶偏导，f_c(x)是叶片所受离心力，f_c(x)的表达式如式(5)所示：

叶片截面绕y轴的截面惯性矩I_y(x)，叶片截面绕z轴的截面惯性矩I_z(x)的表达式如式(6)所示：

。

3.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S6中，所述作用在叶片上的外力所做的功如式(7)计算：

其中，v为叶片弯曲方向的位移，F_e是凸肩叶片所受气动载荷，是沿y方向的均布载荷，其表达式如如式(8)所示：

F_e＝F₀sin(k_eωt) (8)

式中，F₀是气动载荷的幅值，k_e是静子叶片数，ω是气动载荷的圆频率，其与转速的关系为ω＝2πΩ/60。

4.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，在步骤S7中，所述Hamilton能量方程的表达式为：

式中，δ为变分符号；T和V分别为叶片的动能和势能，W_non为外力对叶片所做的功。

5.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，在步骤S8 中，所述变截面梁每一段梁之间振型函数的假设为：

式中，A₁、B₁、C₁、D₁为第一段梁的振型函数中的待定系数；A₂、B₂、C₂、D₂为第二段等截面梁的振型函数中的待定系数；A₃、B₃、C₃、D₃为第三段等截面梁的振型函数中的待定系数；β₁、β₂、β₃分别为三段等截面梁的扭转角；变截面梁每一段梁之间振型函数的递推关系如式(12)所示：

N_i+1＝P_i+1 ^-1P_iN_i＝Z_iN_i (12)

其中，N_i和N_i+1是振型函数中的待定系数，N_i＝[A_i B_i C_i D_i]^T，N_i+1＝[A_i+1 B_i+1 C_i+1 D_i+1]^T，P_i和P_i+1的表达式如式(11)所示：

式中，β_i为第i段梁的扭转角；l_i为第i段梁的长度；

为第i+1段梁的截面绕z轴的截面惯性矩。

6.如权利要求5所述的动力学建模方法，其特征在于，在步骤S9中，所述边界条件为：

式中，Y₃(0)为第三段梁的振型函数在x＝0处的取值；Y₁(l₁)为第一段梁的振型函数在x＝l₁处的取值；I_z1为第一段梁的截面惯性矩；

由上式中前两个条件可得：

A₁＝C₁，B₁＝D₁ (15)

由后两个条件可得：

ΛN₃＝ΛZ₂Z₁＝Q＝0 (16)

式中，N₁和N₃是第一段和三段梁的振型函数中的待定系数；

其中Λ的表达式如式(17)所示：

由式(15)(16)可得：

其中，Q₁₁,Q₁₂,Q₁₃,Q₁₄,Q₂₁,Q₂₂,Q₂₃,Q₂₄是矩阵Q中各元素的值；由于A₁、B₁存在非零解，所以其系数行列式等于0，即：

令A₁＝1，根据三段振型函数系数之间的递推关系，便可得到变截面梁每一段的振型函数。

7.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S10中，所述Galerkin方法的离散化过程为引入正则坐标U_i(t)、V_i(t)、W_i(t)、ψ_i(t)和Φ_i(t)，将凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向位移写为：

式中，N为模态截断阶数，φ_1i(x)、φ_2i(x)、φ_3i(x)、φ_4i(x)和φ_5i(x)分别是凸肩叶片的径向、弯曲方向、摆动方向、弯曲转角以及摆动转角方向的振型函数，它们的表达式如下：

式中，Y_y1(x)、Y_y2(x)、Y_y3(x)分别为凸肩叶片从叶根到凸肩部分、凸肩部分、凸肩到叶尖部分的弯曲方向振型函数；Y_z1(x)、Y_z2(x)、Y_z3(x)分别为凸肩叶片从叶根到凸肩部分、凸肩部分，凸肩到叶尖部分的摆动方向振型函数。

8.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S11中，所述凸肩叶片的运动微分方程如式(22)所示：

式中，M、G、D、K_e、K_c、K_s、K_acc、K_t、q和F分别是质量矩阵、科氏力矩阵、瑞利阻尼矩阵、结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、加速度导致的刚度矩阵、弹簧刚度矩阵以及正则坐标系下的位移向量和外激振力向量；其中，所述瑞利阻尼的表达式如式(23)所示，

D＝αM+βK (23)

f_n1和f_n2表示凸肩叶片的前两阶固有频率，ξ₁和ξ₂是对应的模态阻尼比。

9.如权利要求8所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S13中，所述凸肩叶片的谐响应计算过程为：首先给定正弦激励幅值，然后假设凸肩叶片动力学方程的解为q＝q₀e^iωt，其中q₀为叶片的初始振动量，ω为叶片的固有频率，并将其带入式(22)中，由此可得凸肩叶片动力学方程的解为：

q₀＝(-ω²M+iωC+K)^-1F (24)

式中，K是结构刚度矩阵、离心刚化矩阵、旋转软化矩阵、加速度导致的刚度矩阵、弹簧刚度矩阵之和。

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