CN113190930B - 柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学建模与分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出柔性轴‑盘‑壳连接转子系统的耦合动力学建模与分析方法，属于机械动力学技术领域。首先建立三维坐标系，采用人工弹簧模拟系统的任意边界条件和任意连接；然后考虑旋转带来的离心和陀螺效应，采用弹性体理论分别推导轴、盘和壳的能量方程，进而计算出柔性轴‑盘‑壳连接系统的总动能方程和总势能方程，最终建立任意边界条件和连接条件下整个系统的耦合动力学模型，利用该模型可求解柔性轴‑盘‑壳连接系统的固有频率和振型。本发明是一种通用的考虑任意连接和任意边界的轴‑盘‑壳连接系统动力学建模与分析方法，可对系统的动力学特性进行准确的预测和分析，指导实际工程中轴‑盘‑壳连接系统的设计，并可为系统振动控制提供指导。

Description

柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学建模与分析方法

技术领域

本发明属于机械动力学技术领域，具体涉及一种柔性轴-盘-壳连接转子系统耦合动力学建模与分析方法。

背景技术

轴-盘-壳连接转子系统是航空发动机等旋转机械的主要部件，而旋转机械是工业上应用最广泛的机械，在生产生活的各个领域(如航天航空、石油化工、航海制造等)均起着举足轻重的作用。轴-盘-壳连接系统通常以高速旋转的方式运行，其振动和噪声问题不可忽视，目前尚没有学者对轴-盘-壳连接系统的动力学建模方法及动力学特性开展研究，本发明对减小轴-盘-壳连接转子系统甚至整个旋转机械的振动和噪声具有重要意义。

转子系统现有的主要动力学建模方法为有限单元法和理论解析法。有限单元法是一种数值方法，其基础是变分原理和加权余量法，基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。有限单元法对于复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是非常大，而且对无限求解域问题、非线性问题没有很好的处理方法。在对系统进行参数分析时，此方法需要从头开始重新建模，非常不方便。相应地，理论解析法很好地解决了这一问题。

理论解析法是通过力学理论，从理论上推导系统的动力学方程，建立系统的动力学模型。然而现有的动力学模型通常将轴、盘、壳视为三个独立的子结构开展研究，也有少数学者开始对组合结构开展研究，例如厚盘-壳组合结构，轴-盘组合结构等。在现有的研究中通常将轴考虑成弹簧，将盘看成刚体，将壳看成铁木辛柯梁，但是，采用这种简化的模型预测系统动力学特性时会带来巨大的误差。所以，在预测轴-盘-壳连接转子系统的动力学特性时，轴、盘和壳的柔性均不可忽略，采用弹性体理论建模才能得到精确的动力学模型。

目前已有学者对转子系统的动力学建模方法开展了大量的研究，但大部分工作都局限于经典的边界条件，即简支或悬臂。然而，在工程应用中，转子系统通常由其他部件(例如轴承等)支承，其边界条件可能并不总是经典的。在某些情况下，经典边界条件无法模拟，用这些建模方法就可能导致严重误差。另外，在现有的组合结研究中，轴和盘、盘和壳之间通常被认为是固定连接，但在工程实际中，它们是通过装配(例如胀紧套、螺栓等) 连接在一起的，这与固定连接不同，现有的建模方法不能模拟部件之间的连接耦合条件，故采用固定连接耦合条件建立的动力学模型不能准确预测转子系统的动力学特性。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种柔性轴-盘-壳连接转子系统耦合动力学建模及分析方法。本发明不仅考虑轴、盘、壳部件的柔性，全部采用弹性体理论和连续体理论建模，而且考虑柔性轴-盘-壳连接转子系统(以下简称系统)的任意边界条件，系统各部件之间的连接耦合条件，包括轴-盘之间的连接耦合条件、盘-壳之间的连接耦合条件，同时在模型建立过程中将旋转带来的离心效应、科氏力和陀螺效应考虑进去，建立起通用且精确的柔性轴-盘-壳连接转子系统的动力学模型，并用此模型开展动力学特性的分析。

本发明提出一种柔性轴-盘-壳连接转子系统耦合动力学建模及分析方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立三维坐标系，具体步骤如下：

1-1)建立惯性坐标系C-XYZ，C-XYZ为右手系，其中X轴指向轴向；将C-XYZ平移到柔性轴-盘-壳连接转子系统的圆盘上，得到坐标系C₁-X₀Y₀Z₀，其中，C₁-X₀Y₀Z₀的原点C₁位于盘心处，X₀轴Y₀轴Z₀轴的方向分别与坐标系C-XYZ的X轴Y轴Z轴平行；

1-2)建立局部参考系C₁-X₁Y₁Z₁，C₁-X₁Y₁Z₁由C₁-X₀Y₀Z₀坐标系绕X₀轴逆时针旋转Ωt角度得到，C₁-X₁Y₁Z₁的原点为C₁，X₁和X₀轴共线，其中，Ω表示系统绕X₀轴旋转的恒定速度，t表示时间；

1-3)建立圆盘坐标系C₁-X₂Y₂Z₂；C₁-X₂Y₂Z₂是固定在柔性盘上的局部坐标系，是由坐标系C₁-X₁Y₁Z₁绕Y₁轴逆时针旋转θ_y再绕Z₂轴逆时针旋转θ_z得到，其中θ_y和θ_z均大于0°， C₁-X₂Y₂Z₂的原点为C₁；

1-4)建立壳的随体坐标系C₂-xθβ；C₂-xθβ是固定在弹性薄壁圆柱壳上的随体坐标系，是由坐标系C₁-X₂Y₂Z₂绕Y₂轴逆时针旋转θ后再沿着径向移动R得到，其中θ大于0°小于360°，R为壳体半径，满足关系R＝R_O，C₂-xθβ的原点为C₂；

2)建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的边界弹簧和连接耦合弹簧；具体步骤如下：

2-1)建立系统左端边界弹簧和右端边界弹簧；

采用人工弹簧模拟柔性轴-盘-壳连接转子系统的任意边界条件；其中，采用左端边界弹簧模拟轴的左端边界条件，采用右端边界弹簧模拟轴的右端边界条件；左端边界弹簧和右端边界弹簧均采用两组弹簧来模拟，一组弹簧沿着Y轴方向布置，另一组弹簧沿着Z轴方向布置，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧；

2-2)建立轴-盘连接耦合弹簧；

采用人工弹簧模拟轴-盘之间的连接耦合关系，该弹簧记为轴-盘连接耦合弹簧，布置方式为在轴和盘的结合面上连续布置形成整圈的多组弹簧，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧；

3)建立柔性轴-盘系统的能量方程，具体包括：

3-1)建立柔性轴的应变能表达式如下：

其中，E_S为柔性轴的弹性模量，L_S为柔性轴的长度，y_S表示平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_S表示平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移，I_Sy表示柔性轴截面对Y轴的惯性矩；

3-2)建立柔性轴的动能表达式如下：

其中，ρ_S为柔性轴的密度，A_S为柔性轴的截面积，θ_Sy表示柔性轴平行于Y轴方向的角位移，θ_Sz表示柔性轴平行于Z轴方向的角位移；

3-3)建立柔性盘的总应变能表达式如下：

其中，D_D是柔性盘的抗弯刚度，表达式为

E_D为柔性盘的弹性模量，h_D为柔性盘的厚度，μ为泊松比，定义R＝R_O-R_i，

是拉普拉斯算子，表达式为

u_D为柔性盘的弹性变形，σ_r和σ_θ分别为径向应力和切向应力；

3-4)建立柔性盘的动能表达式如下:

其中，ρ_D为柔性盘的密度，M_D为柔性盘的质量，J_Dx为柔性盘截面对X轴的惯性矩，y_D是柔性盘位置处平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_D是柔性盘位置处平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移；

3-5)建立柔性薄壁圆柱壳的应变能表达式如下：

其中L是薄壁圆柱壳的长度，N_θ＝ρ_Ch_CR²Ω²是离心力引起的初始环向张力，R是薄壁圆柱壳的半径，E_C是薄壁圆柱壳的杨氏模量，ρ_C是薄壁圆柱壳的密度，μ_C是薄壁圆柱壳的泊松比，u是薄壁圆柱壳上任意一点沿轴向的弹性变形，v是薄壁圆柱壳上任意一点沿切向的弹性变形，w是薄壁圆柱壳上任意一点沿径向的弹性变形。

3-6)建立柔性薄壁圆柱壳的动能表达式如下：

其中M_C为薄壁圆柱壳的质量。

3-7)建立轴-盘连接耦合弹簧的势能表达式如下：

其中，

为连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度，

为柔性盘内径处的弹性变形。

3-8)建立盘-壳连接耦合弹簧的势能表达式如下：

其中，

为轴向连接耦合直线弹簧的刚度，

为切向连接耦合直线弹簧的刚度，

为径向连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度。

3-9)建立左端边界弹簧的势能表达式如下：

其中，

为左端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示左端边界处柔性轴的弹性变形，故和

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移；

3-10)建立右端边界弹簧的势能表达式如下：

其中，

为右端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示右端边界处柔性轴的弹性变形，故

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移；

4)利用步骤3)的结果，建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的总动能方程和总势能方程；

其中，柔性轴-盘-壳连接转子系统的总动能方程为：

T＝T_S+T_D+T_C

柔性轴-盘-壳连接转子系统的总势能方程为：

5)对步骤4)得到的总动能方程和总势能方程分别进行离散，得到离散化的总动能和总势能；具体步骤如下：

5-1)采用如下方式对位移进行离散：

y_S＝Φ_SQ_y

z_S＝Φ_SQ_z

u_D＝Φ_DQ_D1cosθ+Φ_DQ_D2sinθ

u(η，θ，t)＝U(η，θ)^Tq_U(t)

v(η，θ，t)＝V(η，θ)^Tq_V(t)

w(η，θ，t)＝W(η，θ)^Tq_W(t)

其中，Φ_S和Φ_D分别为柔性轴和柔性盘的允许函数向量，Q_y为y_S对应的广义变量，Q_z为z_S对应的广义变量，Q_D1为u_D对应的第一广义变量，Q_D2为u_D对应的第二广义变量；U(η，θ)、V(η，θ)′、W(η，θ)′分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的允许函数向量，q_U(t)、q_V(t)、 q_W(t)分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的广义变量。

5-2)采用Gram-Schmidt正交多项式作为柔性轴和柔性盘的容许函数；

5-3)采用如下方式对中间变量进行离散：

θ_y＝Φ_SD′Q_y，θ_z＝Φ_SD′Q_z

θ_Sy＝Φ_S′Q_y，Q_Sz＝Φ_S′Q_z

其中下标L_D表示在柔性盘位置计算的值，′表示对时间求导；

5-4)将离散化的变量y_S、z_S、y_D、z_D、u_D、θ_y、θ_z、θ_Sy、θ_Sz带入步骤4)的总动能方程和总势能方程，分别得到离散化的总动能和总势能；

6)利用步骤5)得到的离散化的总动能和总势能，应用拉格朗日方程，建立起任意边界条件下柔性轴-盘系统的耦合动力学模型；

其中，拉格朗日方程表达式为：

其中，L＝T-U为拉格朗日函数，q＝[Q_y Q_z Q_D1 Q_D2 q_U q_V q_W]为广义坐标，

为广义速度，F为广义力；

柔性轴-盘系统的耦合动力学模型为：

其中，M,G,K分别为质量、陀螺和刚度矩阵，具体表达式分别如下：

η＝x/L，

K_C11＝KK₁+H₁+K_pc1

K_C22＝K_pc2+KK₄-2Ω²H_VV+H₂

K_C33＝K_pc10+K_pc3+KK₆-2Ω²H_WW+H₃

K_C23＝KK₅+H₄

M_C＝πRh_CLρ_CΦ_SD ²

M_I＝M_I1+M_I2

G_I＝G_I1+G_I2

K_IBy＝K_By0+K_By1+K_Byt0+K_Byt1

K_IBz＝K_Bz0+K_Bz1+K_Bzt0+K_Bzt1

K₂＝K₂₁+K₂₂+K₂₃+K₂₄+K₂₅+K₂₆

KK₆＝KK₂+KK₃

7)选定待分析柔性轴-盘-壳连接转子系统的几何参数L_S、R_i、R₀、h_D、h_C、L_D、L，材料参数ρ_S、E_S、ρ_D、E_D、μ、ρ_C、E_C、μ_C，边界条件参数

和连接耦合条件参数

将上述参数代入步骤6)得到动力学模型，求解该模型得到该系统的固有频率和模态振型。

本发明的特点及有益效果在于：

本发明适用于所有结构参数的柔性轴-盘-壳连接转子系统，在系统的结构参数改变时，不需要改变模型，即可得到不同系统的动力学固有特性；本发明考虑了耦合系统的陀螺效应、离心效应和科氏力的影响，能够得到旋转柔性轴-盘-壳转子系统精确的动力学固有特性；本发明考虑了柔性轴和柔性盘的连接耦合效应、考虑了柔性盘和柔性壳的连接耦合效应，并可以考虑连接松紧/耦合强弱的影响；本发明可以用于任意边界条件下柔性轴-盘-壳连接转子系统的动力学特性分析。本发明可对系统的动力学特性进行精确的预测和分析，指导实际工程中轴-盘-壳结构形式的复杂转子系统的设计和优化，并可为系统振动控制提供进一步的指导。

附图说明

图1是本发明方法的整体流程图。

图2为本发明中三维坐标系的示意图。

图3是本发明中采用人工弹簧模拟任意边界条件后的柔性轴-盘-壳连接转子系统结构示意图。

图4是轴-盘连接耦合弹簧的局部放大图。

图5是盘-壳连接耦合弹簧的局部放大图。

具体实施方式

本发明提出一种柔性轴-盘-壳连接转子系统耦合动力学建模及分析方法，下面通过实施例，结合附图，对本发明的技术方案作具体说明。下述参照附图对本发明实施方式的说明旨在对本发明的总体构思进行详细的解释，不应当理解为对本发明的限制。

本发明提出一种柔性轴-盘-壳连接转子系统耦合动力学建模及分析方法，整体流程如图1所示，包括以下步骤：

S1建立三维坐标系，具体步骤如下：

S11建立整体坐标系C-XYZ；图2为本发明的三维坐标系示意图，其中，本发明的整体坐标系即惯性坐标系C-XYZ，为右手系，其中X轴指向轴向。将此坐标系平移到柔性轴 -盘系统的圆盘上，得到坐标系C₁-X₀Y₀Z₀，其中，原点C₁位于盘心处，X₀轴Y₀轴Z₀轴的方向分别与坐标系C-XYZ的X轴Y轴Z轴平行。

S12建立局部参考系C₁-X₁Y₁Z₁，C₁-X₁Y₁Z₁由C₁-X₀Y₀Z₀坐标系绕X₀轴逆时针旋转Ωt角度得到，原点C₁位于盘心处，X₀和X₁轴共线，其中，Ω表示系统绕X₀轴旋转的恒定速度(取值范围为Ω≥0，其中，在Ω＝0是不旋转状态，没有转的时候就是横向振动。在Ω大于0时候是旋转状态。)t表示时间。

S13建立圆盘坐标系C₁-X₂Y₂Z₂；C₁-X₂Y₂Z₂是固定在柔性盘上的局部坐标系，是由坐标系C₁-X₁Y₁Z₁绕Y₁轴逆时针旋转θ_y再绕Z₂轴逆时针旋转θ_z得到，其中θ_y和θ_z均为大于0°的小角度，其高阶次方视为高阶无穷小，原点C₁位于盘心处。

S13建立薄壁圆柱壳的随体坐标系C₂-xθβ；C₂-xθβ是固定在弹性薄壁圆柱壳上的随体坐标系，是由坐标系C₁-X₂Y₂Z₂绕Y₂轴逆时针旋转θ后再沿着径向移动R得到，其中θ大于 0°小于360°，R为壳体半径，满足关系R＝R_O，C₂-xθβ的原点为C₂；

S2建立柔性轴-盘系统的边界弹簧和连接耦合弹簧；具体步骤如下：

S21建立系统左端边界弹簧和右端边界弹簧。在工程应用中，柔性轴-盘系统通常由其他部件(例如轴承等)支承，这种边界条件不是经典边界而是任意边界，本发明采用人工弹簧来模拟任意边界条件。本发明采用人工弹簧模拟任意边界条件后的柔性轴-盘-壳连接转子系统的结构示意图如图3所示，包括：左端边界弹簧1、柔性轴2、柔性盘3、柔性壳 4、右端边界弹簧5、轴-盘连接耦合弹簧6和盘-壳连接耦合弹簧7。图3中，左端边界弹簧1用于模拟轴的左端边界条件，右端边界弹簧5用于模拟轴的右端边界条件。由于考虑系统的旋转特性，在建模过程中需要考虑Y方向和Z方向的自由度，故左端边界弹簧1和右端边界弹簧5均采用两组弹簧来模拟，一组弹簧沿着Y轴方向布置，另一组弹簧沿着Z 轴方向布置，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧。

S22建立轴-盘连接耦合弹簧6，为了更加清楚的体现轴和盘之间的连接关系，图3中的轴-盘连接耦合弹簧的结构放大图如图4所示。在工程实际中，轴和盘之间是通过装配(例如胀紧联结套等)连接耦合在一起的，这与固定连接不同，本发明采用人工弹簧来模拟二者之间的连接耦合关系，轴-盘连接耦合弹簧6即为连接轴和盘的弹簧，布置方式为在轴和盘的结合面上连续布置形成整圈的多组弹簧，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧，为了方便展示与描述，图4中的轴-盘连接耦合弹簧仅展示了其中的3组弹簧。

S23建立盘-壳连接耦合弹簧7，为了更加清楚的体现盘和壳之间的连接关系，图3中的盘-壳连接耦合弹簧的结构放大图如图5所示。在工程实际中，盘和壳之间是通过专配(例如螺栓等)连接耦合在一起的，这与固定连接不同，本发明采用人工弹簧来模拟二者之间的连接耦合关系，盘-盘连接耦合弹簧7即为连接盘和壳的弹簧，布置方式为在盘和壳的结合面上连续布置形成整圈的多组弹簧，每组弹簧包括三个直线弹簧和一个扭转弹簧，为了方便展示与描述，图5中的轴-盘连接耦合弹簧仅展示了其中的3组弹簧。

S3考虑科氏力、离心效应和陀螺效应，建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的能量方程。具体包括：

S31假设柔性轴为由各向同性、均匀和线弹性材料制成的细长轴，由Euler-Bernoulli 理论，得到柔性轴的应变能表达式如下：

其中，E_S为柔性轴的弹性模量，L_S为柔性轴的长度，y_S表示平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_S表示平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移，I_Sy表示柔性轴截面对Y轴的惯性矩；

S32考虑到旋转动能和平动动能，可以推导出柔性轴的动能表达式如下：

其中，，ρ_S为柔性轴的密度，A_S为柔性轴的截面积，θ_Sy表示柔性轴平行于Y轴方向的角位移，θ_Sz表示柔性轴平行于Z轴方向的角位移；

S33假设环形圆盘由各向同性的均匀线弹性材料制成，柔性盘的总应变能为：

其中，D_D是柔性盘的抗弯刚度，其表达式为

E_D为柔性盘的弹性模量，h_D为柔性盘的厚度，μ为泊松比，为了表达方便，定义符号R＝R_O-R_i，

是拉普拉斯算子，其表达式为

u_D为柔性盘的弹性变形，σ_r和σ_θ分别为径向应力和切向应力。

S34在进一步考虑陀螺效应后，推导柔性盘的动能表达式如下:

其中，ρ_D为柔性盘的密度，M_D为柔性盘的质量，J_Dx为柔性盘截面对X轴的惯性矩，y_D是柔性盘位置处平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_D是柔性盘位置处平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移。

S35壳的结构为薄壁、形状为圆柱形，考虑到旋转带来的初始环向张力，利用本构方程和几何方程，推导出柔性薄壁圆柱壳的总应变能表达式如下：

其中L是薄壁圆柱壳的长度，N_θ＝ρ_Ch_CR²Ω²是离心力引起的初始环向张力，R是薄壁圆柱壳的半径，E_C是薄壁圆柱壳的杨氏模量，ρ_C是薄壁圆柱壳的密度，μ_C是薄壁圆柱壳的泊松比，u是薄壁圆柱壳上任意一点沿轴向的弹性变形，v是薄壁圆柱壳上任意一点沿切向的弹性变形，w是薄壁圆柱壳上任意一点沿径向的弹性变形。

S36考虑旋转带来的离心效应和陀螺效应，推导出柔性薄壁圆柱壳的动能表达式如下：

其中M_C为薄壁圆柱壳的质量。

S37本发明考虑到柔性轴和柔性盘之间的连接和耦合，引入人工弹簧技术模拟轴-盘之间的连接耦合条件。根据连续性和平衡条件，轴-盘连接耦合弹簧的势能为：

其中，

为连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度，

为柔性盘内径处的弹性变形。

S38本发明考虑到柔性盘和柔性壳之间的连接和耦合，引入人工弹簧技术模拟盘-壳之间的连接耦合条件。根据连续性和平衡条件，盘-壳连接耦合弹簧的势能为：

其中，

为轴向连接耦合直线弹簧的刚度，

为切向连接耦合直线弹簧的刚度，

为径向连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度。

S39本发明考虑任意边界条件的柔性轴-盘系统，引入人工弹簧技术模拟任意边界条件。根据连续性和平衡条件，左端边界弹簧的势能为：

其中，

为左端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示左端边界处柔性轴的弹性变形，故和

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移。

S37右端边界弹簧的势能为：

其中，

为右端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示右端边界处柔性轴的弹性变形，故

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移；

S4将系统各部分的能量求和，得到柔性轴-盘-壳连接转子系统的总动能方程和总势能方程。其中，系统的总动能方程为T＝T_S+T_D+T_C；系统的总势能方程为

S5对S4得到的总动能方程和总势能方程分别进行离散，得到离散化的总动能和总势能；具体步骤如下：

S51位移可以采用如下方式进行离散：

y_S＝Φ_SQ_y

z_S＝Φ_SQ_z

u_D＝Φ_DQ_D1cosθ+Φ_DQ_D2sinθ

u(η，θ，t)＝U(η，θ)^Tq_U(t)

v(η，θ，t)＝V(η，θ)^Tq_V(t)

w(η，θ，t)＝W(η，θ)^Tq_W(t)

其中，Φ_S和Φ_D分别为柔性轴和柔性盘的允许函数向量，Q_y为y_S对应的广义变量，Q_z为z_S对应的广义变量，Q_D1为u_D对应的第一广义变量，Q_D2为u_D对应的第二广义变量；U(η，θ)、V(η，θ)′、W(η，θ)′分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的允许函数向量，q_U(t)、q_V(t)、 q_W(t)分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的广义变量。

S52采用Gram-Schmidt正交多项式作为柔性轴、柔性盘和柔性壳的容许函数，Φ_S和Φ_D均为

形式的集合，其中集合的每一项均由下面过程得到。Gram-Schmidt正交多项式的表达式为：

其中ψ_r(η)中η代表

ξ，η，

ξ，η均为积分的变量，j为正整数。

在考虑任意边界条件时，采用满足自由-自由边界条件的第一项，即ψ₁(η)＝1。多项式的其他项根据下列递推公式构造：

ψ₂(η)＝(η-B₁)ψ₁(η)，ψ_m+1(η)＝(η-B_m)ψ_m(η)-C_mψ_m-1(η)，m≥2

其中，

S53对中间变量的离散化可采用如下方式：

θ_y＝Φ_SD′Q_y，θ_z＝Φ_SD′Q_z

θ_Sy＝Φ_S′Q_y，Q_Sz＝Φ_S′Q_z

其中下标L_D表示在柔性盘位置计算的值，′表示对时间求导。

S54将上述离散化的变量(y_S、z_S、y_D、z_D、u_D、θ_y、θ_z、θ_Sy、θ_Sz)带入S4的总动能方程和总势能方程，可以得到离散化的总动能和总势能。

S6利用S5得到的离散化的总动能和总势能，应用拉格朗日Lagrange方程，得到系统的动力学方程，从而建立起任意边界条件下柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学模型。

其中，Lagrange方程表达式为：

其中，L＝T-U为拉格朗日函数，q＝[Q_y Q_z Q_D1 Q_D2 q_U q_V q_W]为广义坐标，

为广义速度，F为广义力；

柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学模型为：

其中M,G,K分别为质量、陀螺和刚度矩阵，具体表达式分别如下：

η＝x/L，

K_C11＝KK₁+H_I+K_pc1

K_C22＝K_pc2+KK₄-2Ω²H_VV+H₂

K_C33＝K_pc10+K_pc3+KK₆-2Ω²H_WW+H₃

K_C23＝KK₅+H₄

M_C＝πRh_CLρ_CΦ_SD ²

M_I＝M_I1+M_I2

G_I＝G_I1+G_I2

K_IBy＝K_By0+K_By1+K_Byt0+K_Byt1

K_IBz＝K_Bz0+K_Bz1+K_Bzt0+K_Bzt1

K₂＝K₂₁+K₂₂+K₂₃+K₂₄+K₂₅+K₂₆

KK₆＝KK₂+KK₃

S7选定待分析柔性轴-盘-壳连接转子系统的几何参数(L_S、R_i、R₀、h_D、h_C、L_D、L)、材料参数(ρ_S、E_S、ρ_D、E_D、μ、ρ_C、E_C、μ_C)、边界条件参数

和连接耦合条件参数

将上述参数代入S6得到动力学模型，求解该模型以得到该系统的固有频率和振型。

若改变模型某个参数，重新带入S6的动力学模型，再次求解，可以得到新的固有频率和振型。采用此过程，可以分析任一柔性轴-盘-壳连接转子系统几何参数、材料参数、边界条件及连接耦合条件对柔性轴-盘-壳连接转子系统动态特性的影响。

本实施例给定一组参数及此参数下的部分求解结果，分析耦合条件对柔性轴-盘-壳连接转子系统某一阶固有频率和振型的影响。给定系统的参数：对于柔性轴，长度为 L_S＝350mm；对于柔性盘，内半径为R_i＝20mm，外半径为R₀＝100mm，厚度为h_D＝2mm，盘的位置L_D＝0.37L_S；柔性盘、柔性轴和柔性壳采用相同的材料制造，密度均为ρ＝7.86g/cm³，弹性模量均为E＝200GPa，泊松比均为0.3；该系统以Ω＝0绕X₀轴旋转。本建模方法可以模拟任意边界条件是指可以模拟所有类型的边界条件，包括经典边界条件和非经典边界条件，对称边界条件和非对称边界条件，例如：模拟两简支边界条件，可以令

本建模方法可以模拟柔性轴和柔性盘之间连接耦合条件，以及柔性盘和柔性壳之间连接耦合条件，通过改变连接耦合弹簧刚度的大小，改变耦合强弱，刚度值越大，表示耦合程度越强，当连接耦合弹簧刚度值均为0极限值时，表示二者不耦合。本例中考虑轴、盘和壳之间的弹性连接，令

将本例参数带入动力学模型，进行求解，可以得到固有频率和振型。本例给出系统的前三阶固有频率结果如表1所示，作为示例。

表1 本发明实施例的前三阶固有频率(NF)(单位：Hz)

Claims (1)

1.柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学建模与分析方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立三维坐标系，具体步骤如下：

1-1)建立惯性坐标系C-XYZ，C-XYZ为右手系，其中X轴指向轴向；将C-XYZ平移到柔性轴-盘-壳连接系统的圆盘上，得到坐标系C₁-X₀Y₀Z₀，其中，C₁-X₀Y₀Z₀的原点C₁位于盘心处，X₀轴Y₀轴Z₀轴的方向分别与坐标系C-XYZ的X轴Y轴Z轴平行；

1-2)建立局部参考系C₁-X₁Y₁Z₁，C₁-X₁Y₁Z₁由C₁-X₀Y₀Z₀坐标系绕X₀轴逆时针旋转Ωt角度得到，C₁-X₁Y₁Z₁的原点为C₁，X₁和X₀轴共线，其中，Ω表示系统绕X₀轴旋转的恒定速度，t表示时间；

1-3)建立圆盘坐标系C₁-X₂Y₂Z₂；C₁-X₂Y₂Z₂是固定在柔性盘上的局部坐标系，是由坐标系C₁-X₁Y₁Z₁绕Y₁轴逆时针旋转θ_y再绕Z₂轴逆时针旋转θ_z得到，其中θ_y和θ_z均大于0°，C₁-X₂Y₂Z₂的原点为C₁；

1-4)建立壳的随体坐标系C₂-xθβ；C₂-xθβ是固定在弹性薄壁圆柱壳上的随体坐标系，是由坐标系C₁-X₂Y₂Z₂绕Y₂轴逆时针旋转θ后再沿着径向移动R得到，其中θ大于0°小于360°，R为壳体半径，满足关系R＝R_O，C₂-xθβ的原点为C₂；

2)建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的边界支承弹簧和连接耦合弹簧，用于系统各个部件之间的连接，具体采用连续分布的人工弹簧来实现，实现具体步骤如下：

2-1)建立系统左端边界弹簧和右端边界弹簧；

采用人工弹簧模拟柔性轴-盘-壳连接转子系统的任意边界条件；其中，采用左端边界弹簧模拟轴的左端边界条件，采用右端边界弹簧模拟轴的右端边界条件；左端边界弹簧和右端边界弹簧均采用两组弹簧来模拟，一组弹簧沿着Y轴方向布置，另一组弹簧沿着Z轴方向布置，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧；

2-2)建立轴-盘之间连接耦合弹簧；

采用人工弹簧模拟轴-盘之间的连接耦合关系，该弹簧记为轴-盘连接耦合弹簧，布置方式为在轴和盘的结合面上连续布置形成整圈的多组弹簧，每组弹簧包括一个直线弹簧和一个扭转弹簧；

2-3)建立盘-壳之间连接耦合弹簧；

采用人工弹簧模拟盘-壳之间的连接耦合关系，该弹簧记为盘-壳连接耦合弹簧，布置方式为在盘和壳的连接面上连续布置形成整圈的多组弹簧，每组弹簧包括三个直线弹簧和一个扭转弹簧；

3)建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的能量方程，系统的各个部件(轴、盘、壳)全部采用弹性体理论和连续体理论建模，具体包括：

3-1)建立柔性轴的应变能表达式如下：

其中，E_S为柔性轴的弹性模量，L_S为柔性轴的长度，y_S表示平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_S表示平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移，I_Sy表示柔性轴截面对Y轴的惯性矩；

3-2)建立柔性轴的动能表达式如下：

其中，ρ_S为柔性轴的密度，A_S为柔性轴的截面积，θ_Sy表示柔性轴平行于Y轴方向的角位移，θ_Sz表示柔性轴平行于Z轴方向的角位移；

3-3)建立柔性盘的总应变能表达式如下：

其中，D_D是柔性盘的抗弯刚度，表达式为

E_D为柔性盘的弹性模量，h_D为柔性盘的厚度，μ为泊松比，定义R＝R_O-R_i，

是拉普拉斯算子，表达式为

u_D为柔性盘的弹性变形，σ_r和σ_θ分别为径向应力和切向应力；

3-4)建立柔性盘的动能表达式如下:

其中，ρ_D为柔性盘的密度，M_D为柔性盘的质量，J_Dx为柔性盘截面对X轴的惯性矩，y_D是柔性盘位置处平行于Y轴方向的柔性轴的弹性位移，z_D是柔性盘位置处平行于Z轴方向的柔性轴的弹性位移；

3-5)建立柔性薄壁圆柱壳的应变能表达式如下：

其中L是薄壁圆柱壳的长度，N_θ＝ρ_Ch_CR²Ω²是离心力引起的初始环向张力，R是薄壁圆柱壳的半径，E_C是薄壁圆柱壳的杨氏模量，ρ_C是薄壁圆柱壳的密度，μ_C是薄壁圆柱壳的泊松比，u是薄壁圆柱壳上任意一点沿轴向的弹性变形，v是薄壁圆柱壳上任意一点沿切向的弹性变形，w是薄壁圆柱壳上任意一点沿径向的弹性变形；

3-6)建立柔性薄壁圆柱壳的动能表达式如下：

其中M_C为薄壁圆柱壳的质量；

3-7)建立轴-盘连接耦合弹簧的势能表达式如下：

其中，

为连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度，

为柔性盘内径处的弹性变形；

3-8)建立盘-壳连接耦合弹簧的势能表达式如下：

其中，

为轴向连接耦合直线弹簧的刚度，

为切向连接耦合直线弹簧的刚度，

为径向连接耦合直线弹簧的刚度，

为连接耦合扭转弹簧的刚度；

3-9)建立左端边界弹簧的势能表达式如下：

其中，

为左端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为左端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示左端边界处柔性轴的弹性变形，故和

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示左端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移；

3-10)建立右端边界弹簧的势能表达式如下：

其中，

为右端边界处平行于Y轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的直线弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Y轴方向的扭转弹簧的刚度，

为右端边界处平行于Z轴方向的扭转弹簧的刚度，

表示右端边界处柔性轴的弹性变形，故

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的直线弹性位移，

和

分别表示右端边界处平行于Y轴和Z轴方向的柔性轴的扭转弹性位移；

4)利用步骤3)的结果，建立柔性轴-盘-壳连接转子系统的总动能方程和总势能方程；

其中，柔性轴-盘-壳连接转子系统的总动能方程为：

T＝T_S+T_D+T_C

柔性轴-盘-壳连接转子系统的总势能方程为：

5)对步骤4)得到的总动能方程和总势能方程分别进行离散，得到离散化的总动能和总势能；具体步骤如下：

5-1)采用如下方式对位移进行离散：

y_S＝Φ_SQ_y

z_S＝Φ_SQ_z

u_D＝Φ_DQ_D1cosθ+Φ_DQ_D2sinθ

u(η，θ，t)＝U(η，θ)^Tq_U(t)

v(η，θ，t)＝V(η，θ)^Tq_V(t)

w(η，θ，t)＝W(η，θ)^Tq_W(t)

其中，Φ_S和Φ_D分别为柔性轴和柔性盘的允许函数向量，Q_y为y_S对应的广义变量，Q_z为z_s对应的广义变量，Q_D1为u_D对应的第一广义变量，Q_D2为u_D对应的第二广义变量；U(η，θ)、V(η，θ)’、W(η，θ)′分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的允许函数向量，q_U(t)、q_V(t)、q_W(t)分别为薄壁圆柱壳的u、v、w对应的广义变量；

5-2)采用Gram-Schmidt正交多项式作为柔性轴和柔性盘的容许函数；

5-3)采用如下方式对中间变量进行离散：

θ_y＝Φ_SDQ_y，θ_z＝Φ_SDQ_z

θ_Sy＝Φ_SQ_y，θ_Sz＝Φ_SQ_z

其中下标L_D表示在柔性盘位置计算的值，′表示对时间求导；

5-4)将离散化的变量y_S、z_S、y_D、z_D、u_D、θ_y、θ_z、θ_Sy、θ_Sz带入步骤4)的总动能方程和总势能方程，分别得到离散化的总动能和总势能；

6)利用步骤5)得到的离散化的总动能和总势能，应用拉格朗日方程，建立起任意边界条件下柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学模型；

其中，拉格朗日方程表达式为：

其中，L＝T-U为拉格朗日函数，q＝[Q_y Q_z Q_D1 Q_D2 q_U q_V q_W]为广义坐标，

为广义速度，F为广义力；

柔性轴-盘-壳连接转子系统的耦合动力学模型为：

其中，M，G，K分别为质量、陀螺和刚度矩阵，具体表达式分别如下：

K_C11＝KK₁+H₁+K_pc1

K_C22＝K_pc2+KK₄-2Ω²H_VV+H₂

K_C33＝K_pc10+K_pc3+KK₆-2Ω²H_WW+H₃

K_C23＝KK₅+H₄

M_C＝πRh_CLρ_CΦ_SD ²

M_I＝M_I1+M_I2

G_I＝G_I1+G_I2

K_IBy＝K_By0+K_By1+K_Byt0+K_Byt1

K_IBz＝K_Bz0+K_Bz1+K_Bzt0+K_Bzt1

K₂＝K₂₁+K₂₂+K₂₃+K₂₄+K₂₅+K₂₆

KK₆＝KK₂+KK₃

7)选定待分析柔性轴-盘-壳连接转子系统的几何参数L_S、R_i、R₀、h_D、h_C、L_D、L，材料参数ρ_S、E_S、ρ_D、E_D、μ、ρ_C、E_C、μ_C，边界条件参数

和连接耦合条件参数

将上述参数代入步骤6)得到动力学模型，求解该模型得到该系统的固有频率和模态振型。

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