CN108052772A

CN108052772A - 一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法

Info

Publication number: CN108052772A
Application number: CN201711489928.0A
Authority: CN
Inventors: 谢长川; 安朝; 杨澜; 杨超
Original assignee: Beihang University
Current assignee: Beihang University
Priority date: 2017-12-30
Filing date: 2017-12-30
Publication date: 2018-05-18

Abstract

本发明提供了一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法。首先建立飞行器机翼或全机有限元模型，给定随动测试载荷并通过有限元软件求解对应测试变形，其次在给定非线性刚度系数形式下通过对随动测试载荷及测试变形进行回归分析求解非线性刚度系数建立结构降阶模型，最后应用于飞行器几何非线性静气动弹性分析，建立机翼几何非线性静气动弹性变形计算及全机几何非线性静气动弹性配平分析流程。本发明给定三次多项式形式的非线性刚度系数，并考虑气动力随动效应及机翼几何非线性大变形下的展向变形，提高几何非线性气动弹性分析的合理性及准确性，有助于几何非线性气动弹性变形及配平的高效分析计算。

Description

一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法

技术领域

本设计提供一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法。属于计算结构动力学，飞行器气动弹性分析领域。

背景技术

气动弹性主要研究弹性物体在气流中的力学行为。弹性体在气动载荷作用下会发生变形和振动，而变形和振动反过来又会影响气动载荷的分布与大小，这样的耦合作用在不同条件下产生不同的气动弹性问题，包括静气动弹性发散，颤振，阵风响应等。在有动力飞行的历史发展进程中，气动弹性现象扮演了重要角色。

大变形几何非线性气动弹性问题是上世纪90年代末提出的非线性气动弹性问题。一方面，结构变形超过线性讨论范围，结构的力学平衡关系必须建立在其变形后的构型上，另一方面，结构材料特性远没有超出弹性范围，应力应变的本构关系仍然满足线性关系。随着对现代飞行器特别是对大展弦比无人机及大型运输机/客机飞行性能要求的不断提高，飞机质量逐渐降低，柔性逐渐加大，几何非线性气动弹性问题变得愈发重要。

目前，气动弹性研究中结构计算分析通常使用现有的商业有限元软件。对于几何非线性气动弹性问题中的结构大变形分析，大变形结构几何非线性理论还远谈不上成熟。现有的商业结构分析软件均是基于传统位移基有限元，模型自由度数大，非线性阶数高，收敛性差计算效率低；另外有限元方法难以对结构动力学特性进行机理性研究。

本发明针对大柔性飞行器几何非线性气动弹性问题，建立非线性结构降阶模型，研究大变形结构高效准确的结构建模方法，并结合曲面气动力进行机翼几何非线性静气动弹性变形计算及全机几何非线性静气动弹性配平分析。

发明内容

为了克服现有几何非线性气动弹性计算中结构非线性有限元计算的不足，本发明提供一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法，建立机翼几何非线性静气动弹性变形计算及全机几何非线性静气动弹性配平分析流程。

本发明核心部分可描述如下：采用对输入测试载荷及其对应结构变形进行回归分析的方法求解给定形式的结构非线性刚度系数，利用非线性刚度系数构建大变形结构动力学方程，并围绕结构降阶模型搭建几何非线性气动弹性求解流程。本方法考虑了结构大变形中的展向位移恢复问题，并全程以随动力的形式加载气动力。本方法解决了非线性快速结构计算、显式计算的问题，可应用于航空航天类飞行器几何非线性气动弹性分析计算。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

步骤1：计算初始化

建立计算模型的有限元模型，划分模型的结构有限元网格，定义结构有限元网格的单元属性和材料特性，设置计算边界条件；

步骤2：计算结构模态

非线性结构降阶模型基于结构的线性模态建立，在建立结构降阶模型前，需要提取模型线性模态信息。具体步骤如下：

(1)计算结构垂直弯曲，扭转及水平弯曲方向线性模态；

(2)根据结构有限元模型特点，建立沿机翼展向的正交模态；

步骤3：确定降阶模型建立需要的测试载荷及测试变形

测试载荷的给定是降阶模型建立的关键部分，测试载荷合适与否直接影响回归分析的准确性及降阶模型的合理性。具体步骤如下:

(1)选择有限元模型的弯曲及扭转模态，组合机翼变形如(1)式所示：

w＝∑a_i{φ_i}_bend+∑a_j{φ_j}_torsion (1)

其中a_i a_j为比例系数，使机翼组合变形在感兴趣的非线性变形范围内。共得到组合变形m组；

(2)在上述机翼组合变形下，给定若干来流风速及迎角组合n组，在每组机翼组合变形下利用曲面涡格法求解每个来流风速及迎角组合下的机翼曲面定常气动力，将其作为建立降阶模型需要的测试载荷，测试载荷共N＝mn组；

(3)将N组测试载荷以随动力的形式加载于有限元模型，利用MSC.Nastran有限元软件计算机翼变形，作为建立降阶模型需要的测试变形；

步骤4：利用回归分析方法建立非线性结构降阶模型

考虑包含几何非线性大变形作用的结构动力学方程如式(2)所示：

其中{w(x,t)}为节点位移，[M]为质量阵，[K_L]为线性刚度阵，{F(x,t)}为外力向量，[K_NL]＝[K_NL(w(x,t))]为非线性刚度阵，非线性刚度阵是节点位移的函数。将结构动力学方程映射至模态空间并取静力学部分如(3)式所示：

[E_L]{p(t)}+[E_NL(p(t))]＝{f(t)} (3)

其中[E_L]为线性模态刚度阵，{f(t)}是模态力，[E_NL]为非线性刚度阵，非线性刚度阵是模态坐标的函数。

给定非线性刚度系数的形式如式(4)所示：

其中，E_NL(p_j,p_l,p_p)_i表示第i项非线性刚度系数，其中包含p_j,p_l,p_p三项模态坐标多项式，通过回归分析可以得到非线性刚度系数列阵A；

步骤5：利用结构降阶模型求解几何非线性静气动弹性问题

得到非线性结构降阶模型，利用降阶模型结合定常曲面气动力及曲面样条插值方法可以进行大柔性机翼几何非线性静气动弹性的计算。大柔性机翼的变形与气流的作用力有关，而气动力又与机翼在空中的形状和位置有关，两者是互相影响相互制约的非线性关系，本方法采用分析迭代计算的方法得到大柔性机翼的静气动弹性非线性平衡状态，具体步骤如下：

(1)输入结构气动模型数据并给定工况条件包括动压及攻角；

(2)计算结构气动插值矩阵

(3)利用定常曲面涡格法求解曲面气动力；

(4)进行力插值，利用非线性结构降阶模型计算结构变形

(5)根据(4)中的结构变形更新气动面，重复进行上述过程，直至两次迭代循环所得的结构变形差异很小，并且满足设定的收敛标准为止。

收敛后即得到大柔性机翼在该工况下的静气动弹性响应平衡态。

步骤6：利用结构降阶模型求解几何非线性静气动弹性配平问题

得到非线性结构降阶模型，利用降阶模型结合定常曲面气动力，曲面样条插值及飞行器配平方程求解可以进行大柔性飞机几何非线性静气动弹性配平分析。与机翼非线性静气动弹性分析类似，大柔性机翼的变形与气流的作用力是相互制约的非线性关系，利用静气动弹性配平的准定常假设进行机翼几何非线性变形构型下的全机平衡方程求解，通过多轮迭代，解决大柔性飞机几何非线性静气动弹性配平问题，具体步骤如下：

(1)输入结构气动模型数据并给定工况条件包括动压及攻角；

(2)计算结构气动插值矩阵；

(3)进行构型刚化的刚体配平分析计算，得到当前构型下的配平变量a＝{α,β,p,q,r,δ_i,…}；

(4)利用曲面涡格法计算当前配平状态下的载荷；

(5)力插值，利用非线性结构降阶模型计算结构变形w_n；

(6)根据(5)中的结构变形w_n更新气动面，重复进行上述过程，直至两次迭代循环所得的结构变形差异很小，并且满足设定的收敛标准为止。

收敛后即可得到大柔性飞机静气动弹性配平时的配平参数以及载荷分布等。

根据本发明的一个方面，提供了一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法，其特征在于包括：

A)初始化，包括建立对象的有限元模型，该有限元模型包括多个节点、多个梁单元、多个集中质量单元，其中至少一部分节点上加载随动力，该对象的根部六自由度固支，

B)确定对象的前N个结构模态，其中每个模态由其固有频率和模态刚度表征，

C)确定降阶模型建模所需的测试载荷及测试变形，包括：

选取前若干阶模态作为结构分析模态

选定测试载荷为在由一阶弯曲模态和一阶扭转模态组合的出的变形下产生的随动气动载荷：

w＝∑a₁{φ₁}+∑a₂{φ₆} (5)

其中，模态加权系数a₁及a₂取值使组合变形在合理范围内

选定生成气动力的载荷风速剔除过大的气动力，从而形成N1组测试载荷，

将每组测试载荷加载在有限元模型上并进行非线性有限元计算，得到N1组测试变形，

D)利用回归分析法建立非线性结构降阶模型，包括：

输入测试载荷与测试变形，给定结构非线性刚度系数形式如(4)式所示：

利用最小二乘法对(4)式进行回归分析，

从而得到结构降阶模型，

E)利用非线性结构降阶模型确定几何非线性静气动弹性响应，包括在一定风速范围内，对各风速条件下的对象的模型进行基于结构降阶模型的静气动弹性分析，直至计算收敛，得到相应风速下机翼模型的稳定变形即静气动弹性响应。

本发明得到的结构几何非线性大变形位移数据与非线性有限元计算结果精度误差在1％以内。基于结构降阶模型的几何非线性气动弹性计算结果与基于非线性有限元的几何非线性气动弹性计算结果精度误差在2％以内，且有效减小了计算资源消耗，提高了计算效率。下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

附图说明

图1是本发明建立非线性结构降阶模型示意图

图2是本发明求解几何非线性静气动弹性问题流程图

图3是本发明求解几何非线性静气动弹性配平问题流程图

图4是示例机翼模型示意图

图5是示例机翼模型有限元模型示意图

图6是示例机翼前六阶模态振型图

图7是示例机翼构造的两阶展向正交模态振型图

图8是验证载荷作用下示例模型翼尖变形示意图

图9是验证载荷作用下非线性有限元与结构降阶模型计算的得到的示例机翼翼尖变形偏差对比图

图10是33m/s风速下示例机翼静气动弹性迭代计算收敛过程图

图11是33m/s风速下示例机翼静气动弹性收敛后机翼变形图

图12是各来流风速下基于非线性有限元与基于结构降阶模型的静气动弹性分析示例机翼翼尖垂向变形计算结果对比

图13是示例飞机模型示意图

图14是示例飞机模型有限元示意图

图15是给定速度条件下飞机攻角及升降舵偏角随飞机质量变化配平结果图

图16是给定速度条件下飞机翼尖垂向位移随飞机质量变化配平结果图

具体实施方式

以下结合附图和实施例，详细说明根据本发明的基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析求解的具体实施方法。

作为为了说明的目的而采用的大柔性机翼，翼型选用NACA0015对称翼型，翼根完全固支。机翼参数如下：翼根弦长60mm，翼尖弦长60mm，展长483mm，后掠角0Deg，无扭转角。机翼主梁采用矩形截面，截面长7.03mm，截面宽1.14mm，位于机翼50％弦长处。机翼外形由12个轻木盒段来维持，每个盒段由轻木骨架与热缩膜蒙皮组成，为减小由于弯曲变形使得盒段相互挤压而产生对机翼刚度的影响，盒段与主梁单点连接并且相邻盒段之间留有一定间隙。为了调整机翼的颤振速度和结构变形，在翼尖设置了配重杆，配重杆总长150mm，重31.5g，由中段和前后锥组成，中段为铝制，前后锥为钢制配重。该机翼模型示意图如附图4所示。

作为为了说明的目的而采用的大柔性飞机，飞机机翼与上述大柔性机翼模型一致。飞机参数如下：

平尾展长144mm，

弦长36mm，

翼型NACA0009，

平尾容量0.293，

机身长度305mm，

空机结构质量170g，

重心纵向位置在机翼30％弦线处。

大柔性飞机模型示意图如附图13所示。

根据本发明的一个实施例的基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法方法包括：

步骤1:计算初始化

建立机翼的有限元模型，利用有限元软件MSC.Nasrtan完成有限元建模。有限元模型采用CBEAM单元模拟主梁及翼肋，采用CONM2单元模拟集中质量，FORCE1添加随动力结构载荷，GRAV添加重力加速度，根部六自由度固支。有限元模型信息如表1所示。有限元模型共有节点109个，梁单元108个，集中质量单元62个，在16个节点上加载随动力，有限元模型示意图如附图5所示。

表1有限元模型信息

模型节点数	109
		模型梁单元数	108
模型集中质量数	62
		随动力数	16

步骤2：计算结构模态

有限元模型建立完成后，利用Nastran软件SOL103线性模态求解器计算结构模态，前六阶模态及第11阶模态二阶扭转模态的信息如表2所示。振型信息如附图6所示。第1阶模态为垂直一弯模态，固有频率1.7799Hz，模态刚度1.250678E+02，固有频率较低，模型柔度较大；第2阶模态为水平一弯模态，固有频率10.604Hz，模态刚度4.439389E+03；第3阶模态为一阶扭转模态，固有频率13.756Hz，模态刚度7.470369E+03；第4阶模态为垂直二弯模态，固有频率17.355Hz，模态刚度1.189092E+04；第5阶模态为垂直三弯模态，固有频率54.013Hz，模态刚度1.151736E+05；第6阶模态为水平二弯模态，固有频率85.040Hz，模态刚度2.855005E+05；第11阶模态为二阶扭转模态，固有频率318.78Hz，模态刚度4.007757E+06.

表2前六阶模态信息

模态阶数	模态名称	固有频率/Hz	模态刚度
				1	垂直一弯	1.7799	1.250678E+02
2	水平一弯	10.604	4.439389E+03
				3	一阶扭转	13.756	7.470369E+03
4	垂直二弯	17.355	1.189092E+04
				5	垂直三弯	54.013	1.151736E+05
6	水平二弯	85.040	2.855005E+05
				11	二阶扭转	318.780	4.007757E+06

该结构有限元模型复杂度低，能够采用求解波动方程的方法求解机翼结构展向变形正交模态。计算模型的两阶展向变形正交模态信息如表3所示。第1阶展向模态固有频率1.43747E+03Hz，模态刚度8.14925E+07；第2阶展向模态固有频率5.45172E+03Hz，模态刚度1.17216E+09。振型信息如附图7所示。

表3展向模态信息

模态阶数	模态名称	固有频率/Hz	模态刚度
				1	一阶展向	1.43747E+03	8.14925E+07
2	二阶展向	5.45172E+03	1.17216E+09

步骤3：确定降阶模型建立需要的测试载荷及测试变形

本算例中选取七项模态作为结构分析模态，包括：垂直一弯{φ₁}、水平一弯{φ₂}、垂直二弯{φ₃}、一阶展向{φ₄}、二阶展向{φ₅}、一阶扭转{φ₆}、二阶扭转{φ₇}。

测试载荷选定为在由一阶弯曲模态和一阶扭转模态组合的出的变形下产生的随动气动载荷。

w＝∑a₁{φ₁}+∑a₂{φ₆} (5)

模态加权系数a₁取值0、1、2、3、4、5、6、7，模态加权系数a₂取值0、0.3、0.6、0.9、1.2、1.5、1.8。翼端最大垂直变形213mm，接近翼展的50％。

生成气动力测试载荷风速选定5～35m/s，均匀分布8个等级，根部迎角0.0097弧度，剔除过大的气动力后共形成254组测试载荷。每组测试载荷包含16个节点随动力。将每组测试载荷加载在有限元模型上并利用Nastran软件SOL106几何非线性静力学分析求解器计算，得到254组测试变形。测试节点位移中翼端最大垂直变形为250mm，同样在翼展的50％附近，能够满足分析需求。

步骤4：利用回归分析方法建立非线性结构降阶模型

输入测试载荷与测试变形，给定结构非线性刚度系数形式如(4)式所示，在MATLAB中利用最小二乘法对问题进行回归分析，本算例中具体形式如式(6)所示(r＝1,2,3,4,5,6,7，NA为多项式个数)

通过回归分析求解非线性刚度系数列阵A后，得到结构降阶模型。

非线性结构降阶模型建立后，验证非线性降阶模型的准确性。选取50组气动载荷，利用有限元方法及结构降阶模型计算有限元模型结构变形，对比机翼翼尖垂向变形及展向变形。50组气动载荷作用下翼尖垂向变形大小及展向变形大小如附图8所示，选取的验证气动载荷使得结构翼尖垂向变形在展长的10％～25％范围附近，满足非线性分析需求。有限元计算结果与结构降阶模型计算结果对比如附图9所示，垂向变形及展向变形偏误均不超过1％，非线性结构降阶模型准确，能够满足大变形结构分析及几何非线性气动弹性分析需求。

步骤5：利用结构降阶模型求解几何非线性静气动弹性问题

在一定风速范围内，对各风速条件下的该机翼模型进行基于结构降阶模型的静气动弹性分析，直至计算收敛，得到相应风速下机翼模型的稳定变形即静气动弹性响应。

以风速33m/s为例：

(1)输入结构气动模型数据，结构有限元模型如附图5所示。根据结构模型建立长480mm，宽60mm的矩形气动面，共划分512个气动网格，其中沿机翼展向64个网格，沿机翼弦向8个网格，网格大小一致，分布均匀。给定速度为33m/s，攻角1度(0.0167弧度)。

(2)利用MATLAB语言计算结构气动插值矩阵。

(3)利用MATLAB语言编写程序进行曲面气动力的求解，气动力方法选用定常曲面涡格法，在512个网格内布置涡环基本解。求解坐标系规定为：x轴沿来流方向，y轴水平向右，z轴右手定则确定，在涡格内布置涡环单元。涡环单元由四段等强度直线涡首尾相接而成，翼面自由涡由后缘涡格拖出，平行于来流方向。第一次计算气动力时，机翼气动面处于初始状态即未变形状态。

(4)求解未变形状态的(3)的气动力后，计算力插值，将力以随动力的形式加载在结构上，利用结构降阶模型求解结构变形。

(5)在(4)步计算得到结构变形的基础上，利用结构变形插值，得到新的气动面，在新的气动面下计算气动力，重复上述过程直至两次计算所得的结构变形差异小于1mm，认为此时机翼静平衡。33m/s风速条件下，迭代计算35次左右达到收敛。

附图10给出该风速条件下机翼模型静气动弹性迭代计算收敛过程。由于重力作用，开始时机翼翼尖垂向位移(z方向)为负值，随着气动载荷的加载及增大，机翼逐渐向上弯曲，气动力随着机翼变形的改变而改变，机翼重新变形到新的位置。迭代计算中，变形差异越来越小，逐渐收敛到一个稳定值，这个稳定值即为一定风速下由静气动弹性分析得到的弹性变形。附图10给出最终变形稳定时，机翼主梁节点垂向(z方向)变形。机翼主梁翼尖垂向位移可达180mm左右，接近翼展的37％，早已在非线性大变形分析范围内。

在一定风速范围内，计算各风速下变形稳定时的机翼主梁翼尖垂向位移，并与基于非线性有限元方法的静气动弹性分析结果进行对比，对比结果见附图11及表4。

表4计算结果对比

风速/m/s	非线性降阶模型结果/mm	有限元方法结果/mm	偏差
				20	-59.1386	-62.5	0.71％
25	-31.4230	-37.5	1.3％
				28	1.7816	-0.52	0.46％
30	41.9373	49.23	1.5％
				31	72.8532	81.76	1.6％
32	115.7604	124.63	1.8％
				33	177.7625	182.12	1.3％
34	243.9941	250.54	1.3％

在风速接近28m/s时，机翼翼尖变形接近零，此时气动力与重力平衡，随着来流速度的增大，机翼主梁翼尖端点变形与速度变化成非线性增长。另外，基于非线性降阶模型的静气动弹性分析方法与基于有限元方法的静气动弹性分析方法结果较为接近，证明该分析方法具有较高的准确性。

对大柔性飞机全机模型进行定直平飞非线性配平分析，利用结构降阶模型进行机翼变形计算。

以不同飞行重量定直平飞纵向配平结果为例：

(1)输入结构气动模型数据，结构有限元模型如附图14所示。根据结构模型在机翼位置建立长480mm，宽60mm的矩形气动面，共划分512个气动网格，其中沿机翼展向64个网格，沿机翼弦向8个网格，网格大小一致，分布均匀。平尾做刚体处理，共划分50个网格，其中沿平尾展向10个网格，沿平尾弦向5个网格，网格大小一致，分布均匀。给定飞行速度30m/s。

(2)利用MATLAB语言计算结构气动插值矩阵。

(3)进行初始状态构型下的刚体配平分析，配平自由度包括纵向加速度URDD3，俯仰角加速度URDD5，配平变量包括攻角，俯仰角速度及升降舵偏角。配平分析时，配平自由度纵向加速度及俯仰角加速度取零，配平变量俯仰角速度取零，求解给定条件下的攻角及升降舵偏角。

(4)利用MATLAB语言编写程序进行曲面气动力的求解，气动力方法选用定常曲面涡格法，在512个网格内布置涡环基本解。求解坐标系规定为：x轴沿来流方向，y轴水平向右，z轴右手定则确定，在涡格内布置涡环单元。涡环单元由四段等强度直线涡首尾相接而成，翼面自由涡由后缘涡格拖出，平行于来流方向。平尾气动力求解方法一致。第一次计算气动力时，机翼气动面处于初始状态即未变形状态，飞行状态为(3)中刚体配平状态。

(5)求解(4)状态的气动力后，计算力插值，将力以随动力的形式加载在结构上，利用结构降阶模型求解结构变形。

(6)第(5)步计算得到结构变形，利用结构变形插值，得到新的气动面，在该气动面构型下进行刚体配平分析，得到新的配平状态后计算气动力求解新的结构变形，重复以上步骤直至两次计算所得的结构变形差异小于1mm，攻角及升降舵偏角差异小于0.01度，认为此时飞机弹性配平，机翼静平衡。

(7)改变有限元模型中飞机质点处集中质量大小，重新计算(1)-(6)计算，本算例中，飞机质量变化范围为100-500g，变化间隔50g，共计算11次。

附图15-16给出了不同飞行重量的飞机以30m/s的飞行速度做定直平飞时，攻角/升降舵偏角两个配平变量的变化曲线及翼尖垂向位移变化曲线。计算结果显示当全机质量较小时配平载荷较小，机翼变形量不大，此时非线性计算结果与线性计算结果差别较小。随着全机质量的增加，气动载荷增大，机翼变形量随之增大，配平所需攻角及升降舵偏角呈非线性趋势增长。传统线性静气动弹性配平分析方法基于小变形假设，配平变量，机翼翼尖垂直位移等参数均随全机重量线性增加。与非线性分析有很大区别。线性计算结果不符合真实情况。

基于非线性降阶模型的静气动弹性配平分析方法与基于有限元方法的静气动弹性配平分析方法结果较为接近，证明该分析方法具有较高的准确性。

Claims

1.一种基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法，其特征在于包括：

C)确定降阶模型建模所需的测试载荷及测试变形，包括：

选取前若干阶模态作为结构分析模态

w＝∑a₁{φ₁}+∑a₂{φ₆} (5)

其中，模态加权系数a₁及a₂取值使组合变形在合理范围内

D)利用回归分析法建立非线性结构降阶模型，包括：

<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>L</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <munder> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>p</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>m</mi> </msup> <msup> <msub> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </msub> <mi>n</mi> </msup> </mrow> </mrow> <msup> <msub> <mi>p</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>t</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

利用最小二乘法对(4)式进行回归分析，从而得到结构降阶模型

2.根据权利要求1所述的基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法，其特征在于所述步骤E)包括：

E1)输入对象的结构气动模型数据，根据结构模型建立相应的长度和宽度的矩形气动面，划分出预定数目的气动网格，网格大小一致分布均匀，给定风速和攻角的数值，

E2)利用MATLAB语言计算结构气动插值矩阵，

E3)利用MATLAB语言编写程序确定曲面气动力，

气动力方法选用定常曲面涡格法，在512个网格内布置涡环基本解。求解坐标系规定为：x轴沿来流方向，y轴水平向右，z轴右手定则确定，在涡格内布置涡环单元。涡环单元由四段等强度直线涡首尾相接而成，翼面自由涡由后缘涡格拖出，平行于来流方向。其中第一次计算曲面气动力时，对象的曲面气动面处于初始未变形状态，

E4)求解气动力后，计算力插值，包括将力以随动力的形式加载在所述至少一部分节点上，利用结构降阶模型求解结构变形，

E5)在E4)步计算得到的结构变形的基础上，利用结构变形插值，得到对象的新的气动面，在新的气动面下计算气动力，

E6)重复上述步骤E3～E5直至两次计算所得的结构变形差异小于预定值，此时认为对象处于静平衡。

3.根据权利要求1所述的基于结构降阶模型的几何非线性静气动弹性分析方法，其特征在于所述回归分析具有如式(6)所示的形式：

其中r＝1，2，3，4，5，6，7，NA为多项式个数，

通过回归分析求解非线性刚度系数列阵A，A中元素为(6)式中的A(r,i)。