CN112580240A - 一种适用于复杂大柔性飞机建模的非线性子结构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种适用于复杂大柔性飞机建模的非线性子结构方法，将大柔性飞机模型分为机翼部件及机身部件(含尾翼等)；对机翼部件采用非线性结构降阶模型进行建模：利用非线性刚度系数构建大变形结构动力学方程，利用模态组合乘比例系数的方式构建测试载荷，在此基础上采用对输入测试载荷及其对应的结构变形进行回归分析的方法求解非线性刚度系数，形成非线性结构降阶模型；对机身部件采用线性模态建模。对机翼部件应用固定界面模态综合法求解约束模态，对机身部件应用自由界面模态综合法求解剩余模态，随后通过界面位移及力协调条件综合组集形成结构动力学方程。本发明的方法大大降低了建模成本，提高了建模与结构分析效率。

Description

一种适用于复杂大柔性飞机建模的非线性子结构方法

技术领域

本发明属于结构动力学，飞行器气动弹性分析技术领域，尤其涉及一种适用于复杂大柔性飞行器结构建模的非线性子结构方法。

背景技术

随着计算机，电子，材料及控制等技术的快速发展，航空飞行器的应用范围不断扩展，飞行性能要求不断提高，随之而来的是对新设计思想及分析方法的急切需求。以高空长航时无人机，飞翼布局无人机为代表的大柔性飞行器自20世纪90年代以来，逐渐成为各航空大国的研究重点。该类飞行器能够以灵活的方式不间断的执行诸如军事侦察、民用科学探索、通信中继等任务，具有超过传统飞行器的飞行高度及续航能力，拥有广阔的应用前景。由于其对飞行性能的要求，这类飞行器通常利用较大的机翼展弦比来提高升阻比，同时在结构设计中增加复合材料比例，这些因素导致这类飞行器相对结构重量低、柔性大，飞行器结构变形大，超过了线性分析范畴。

当飞行器结构变形较大，或结构上加载了较大的初始载荷时，结构动力学特性按非线性关系依赖于结构瞬时变形及应力状态。在力学机理上表现为结构应变与位移呈现非线性关系、受力平衡呈现非线性关系，而应力与应变的本构关系依然是线性的。因为大变形导致的结构应变与位移的非线性称为几何非线性。几何非线性问题在飞行器设计，结构变形测量及气动弹性分析中具有重要意义，准确的大变形结构建模方法是飞行器设计及气动弹性分析的基础。目前，气动弹性研究中通常采用大变形梁理论，且对模型复杂性有很大要求，难以应用于实际工程复杂模型，而工程分析分析通常使用现有的商业有限元软件，模型自由度数大，非线性阶数高，收敛性差计算效率且难以对结构动力学特性进行机理性研究。

子结构方法是处理复杂模型建模问题的有效方法，通过将整体结构分解为若干简单子结构，通过对各个子结构的动态特性进行综合，并利用子结构间的边界条件，最终得到整个结构的动态特性的方法即为子结构方法。相较于整体的模态降阶方法，子结构方法更符合复杂模型结构特性及相关试验需求，对于大型复杂结构而言仍能够保证其分析模型具有低模型阶数及高计算精度。在实际应用中，模态综合法应用广泛。其中最常用的是固定界面模态综合法及自由界面模态综合法。前者应用简单，所需模态较少；后者易于结合试验结果，应用面更广。

传统子结构方法对线性分析具有较高的适用性及准确性，然而对于非线性结构分析而言需要进行改进。由子结构思想发展而来的模态综合法在局部非线性动力学问题上的应用得到了许多学者的关注，但对于几何非线性这类域内非线性问题，研究较少。另外，大柔性飞行器其几何非线性因素的主要来源是受载机翼部件，机身等部件在几何非线性问题分析中往往保持线性性质，将全部飞行器结构作为非线性结构处理将大幅提高计算消耗。考虑域内几何非线性因素的子结构方法应成为大柔性飞行器结构建模的重要思路。

现有研究中，将结构降阶模型应用于飞机部件或全机的几何非线性静/动气动弹性分析中。此方法需要事先计算大量测试载荷与测试位移，对于全机复杂模型而言，即使结构降阶模型能够在一定程度上提高计算效率，但对于需要反复迭代计算的非线性气动弹性问题而言依旧难以接受。亟需一种处理方式进一步降低复杂大柔性飞机模型结构建模成本。

发明内容

为了克服传统结构建模方法在大柔性复杂飞机模型中建模成本高，计算效率低的问题，本发明基于非线性结构降阶模型及模态综合法进行复杂模型的结构建模及计算分析，利用子结构方法的思想，将机翼部件作为几何非线性部件利用非线性结构降阶模型建模，将机身部件作为线性部件利用线性模态建模，最终利用模态综合法，以界面协调条件重新组集，形成全机结构模型，提出一种高效准确的大针对大柔性飞行器的几何非线性结构建模分析方法，能够进一步降低复杂大柔性飞机模型结构建模成本，提高建模与结构分析效率。本发明的具体技术方案如下：

一种适用于复杂大柔性飞机建模的非线性子结构方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：计算初始化；

建立飞机全机的有限元模型，划分有限元网格，定义结构有限元网格的单元属性和材料特性；将全机模型从机翼、机身对接面分离，形成机翼结构模型及机身结构模型；

S2：对步骤S1得到的机翼结构模型建立机翼非线性结构降阶模型；

S2-1：给定机翼固支边界条件，固支选在与机身的对接点上，计算结构模态，包括垂直弯曲、扭转及水平弯曲结构模态；

S2-2：考虑包含几何非线性大变形作用的结构动力学方程：

方程(1)对应第m阶结构模态并应用了Einstein求和约定；M_m为第m阶结构模态的广义质量项；K_m为第m阶结构模态的广义刚度项；

为广义坐标二阶多项式项的非线性刚度系数，

为广义坐标三阶多项式项的非线性刚度系数；q_m,q_n,q_l,q_p分别为第m阶结构模态广义坐标、第n阶结构模态广义坐标、第l阶结构模态广义坐标和第p阶结构模态广义坐标；F_m为第m阶结构模态的广义力；

结构动力学取静力学部表示为：

将已知的线性刚度部分移至方程右侧，得到：

将方程(3)化为回归问题进行分析，进而求解未知的非线性刚度系数

和

S2-3：选择有限元模型的垂直弯曲及扭转线性模态，给出组合得到的测试载荷如下：

F＝∑p_iφ_ib+∑p_jφ_jt (4)

其中，p_i,p_j为比例系数，φ_ib,φ_jt为选定的垂直弯曲及扭转模态振型；选择一系列比例系数能够形成对应的一系列测试载荷；

选择NT组比例系数p_i,p_j得到NT组测试载荷，将NT组测试载荷以随动力的形式加载于有限元模型，利用MSC.Nastran有限元软件计算机翼变形，调整比例系数使得最终得到的NT组机翼变形在感兴趣的非线性变形范围内，作为建立机翼非线性结构降阶模型需要的测试变形；

S2-4：设提供NT组测试载荷，对应有NT组静态位移，将测试载荷与对应的静态位移投影至模态空间，给出线性模态Φ＝{Φ₁,Φ₂,…,Φ_n}，Φ₁,Φ₂,…,Φ_n分别为选定的n阶模态向量，模态空间广义坐标与物理空间位移关系为：

其中，q_i，M_i分别为第i阶模态对应的物理广义坐标及广义质量项，

为第i阶模态向量的转置，

为物理空间下的结构质量矩阵，x为物理空间的测试位移向量；

方程(3)左侧的系数由回归分析得到，回归问题表达为：

其中，q_m ¹，q_m ²，…，q_m ^NT分别为NT组测试位移的第m阶模态广义坐标；q_n ¹，q_n ²，…，q_n ^NT分别为NT组测试位移的第n阶模态广义坐标；q_l ¹，q_l ²，…，q_l ^NT分别为NT组测试位移的第l阶模态广义坐标；q_p ¹，q_p ²，…，q_p ^NT分别为NT组测试位移的第p阶模态广义坐标；F_m ¹，F_m ²，…，F_m ^NT分别为NT组对应第m阶模态的广义力；

对方程(6)给出的回归问题进行逐步回归分即能求解未知非线性刚度系数；得到非线性刚度系数后，机翼部件的非线性结构降阶模型动力学方程即如方程(1)所示；

S3：对步骤S1得到的机身模型建立机身线性降阶模型；

将机身作为线性部件进行建模，使用自由边界条件，截取低阶弹性模态Φ_k，机身部件线性动力学方程为：

其中，M_k，K_k分别为低阶弹性模态对应的广义质量阵、广义刚度阵，q_k为广义坐标，F_k为模态外力，机身实际位移u＝Φ_kq_k；

S4：利用固定界面模态综合法求完整的机翼非线性动力学方程；

在步骤S2的机翼部件非线性结构降阶模型建立过程中，机翼与机身连接点固支，非线性结构降阶模型并不能考虑该约束自由度影响，通过固定界面模态综合法求约束模态的思想可以考虑该约束自由度影响；

对于机翼非线性部件，其物理空间动力学方程为：

其中，方程(8)右上角标(nl)表示方程对应的非线性部件，m_tt ^(nl)，m_tb ^(nl)，m_bt ^(nl)，m_bb ^(nl)分别为机翼非线性部件物理质量阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，k_tt ^(nl)，k_tb ^(nl)，k_bt ^(nl)，k_bb ^(nl)分别为机翼非线性部件物理刚度阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，u_t ^(nl)，u_b ^(nl)为机翼非线性部件内部及边界自由度结点位移，g_t(u)^(nl)为机翼非线性部件域内非线性函数，g_b(u)^(nl)为机翼非线性部件的边界连接非线性函数，此处不考虑连接非线性问题，g_b(u)^(nl)＝0，G_b ^(nl)为连接点上的内力，f_t ^(nl)，f_b ^(nl)分别为内部及边界自由度上受到的外力；

按照方程(8)表达，引入线性模态Φ_t ^(nl)对非线性机翼部件内部自由度降阶，线性模态数目为r，机翼部件的非线性结构降阶模型动力学方程(1)改写为矩阵形式：

其中，

其中，

为非线性机翼部件内部自由度降阶后的广义质量矩阵，q_t ^(nl)为非线性机翼部件的广义模态坐标，

为非线性机翼部件内部自由度降阶后的广义刚度矩阵，

为非线性机翼部件域内非线性函数，F_t ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度降阶后对应的广义外力向量，m_tt ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度物理质量阵，k_tt ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度物理刚度阵，M₁，M₂，…，M_n分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的各阶模态广义质量项，K₁，K₂，…，K_n分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的各阶模态广义刚度项，

分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的非线性刚度系数项；

引入约束模态Ψ_b ^(nl)对子结构界面自由度进行附加约束，将约束模态在矩阵内分解为上下两部分：

其中，ψ_tb为对应非线性机翼部件内部自由度的约束模态矩阵，I_bb为对应非线性机翼部件界面自由度的约束模态矩阵，为NR阶单位阵，NR为结构界面自由度数；

将机翼内部自由度模态Φ_t ^(nl)增维为包含界面自由度的模态矩阵Φ_b ^(nl)：

其中，O_bt为NR阶零矩阵；

将(10)代入(8)中得到机翼部件非线性动力学方程为：

其中：

M_bt ^(nl)＝M_tb ^(nl)T

K_bb ^(nl)＝k_bb ^(nl)-k_bt ^(nl)k_tt-^1(nl)k_tb ^(nl)

其中，M_tb ^(nl)，M_bb ^(nl)分别为结构内部自由度与边界自由度耦合质量矩阵及边界自由度耦合质量矩阵，M_bt ^(nl)为M_tb ^(nl)的转置，K_bb ^(nl)为结构边界自由度耦合刚度矩阵，

为结构内部自由度外力向量，

为结构边界自由度外力向量；

S5：利用自由界面模态综合法求完整的机身线性动力学方程；

步骤S3给出了机身线性降阶模型，通过截断的低阶模态来表征机身部件结构动力学特性，线性模态是在自由边界条件下求解的，不需要像机翼补充约束自由度影响，但子结构方法中要求考虑高阶模态影响，通过加入剩余模态来处理；

机身线性部件的物理空间动力学方程为：

其中，方程(12)右上角标(l)表示方程对应线性部件，m_tt ^(l)，m_tb ^(l)，m_bt ^(l)，m_bb ^(l)分别为线性部件物理质量阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，k_tt ^(l)，k_tb ^(l)，k_bt ^(l)，k_bb ^(l)分别为线性部件物理刚度阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，u_t ^(l)，u_b ^(l)为线性部件内部及边界自由度结点位移，G_b ^(l)为线性部件连接点上的内力，f_t ^(l)，f_b ^(l)分别为线性部件内部及边界自由度上受到的外力；

引入剩余模态Ψ_d ^(l)进行结构位移表达：

其中，q_k ^(l)为低阶模态广义坐标，Φ_k ^(l)为低阶模态矩阵；

根据线性自由模态综合法理论，对应剩余模态的广义自由度即为连接点上的约束力G_b ^(l)，将(13)代入(12)中得到机身线性部件完整的结构动力学方程为：

M_k ^(l)＝Φ_k ^(l)Tm_tt ^(l)Φ_k ^(l)

K_k ^(l)＝Φ_k ^(l)Tk_tt ^(l)Φ_k ^(l)

其中，M_k ^(l)为结构低阶模态广义质量矩阵，，M_bb ^(l)分别为结构剩余模态广义质量矩阵，，K_k ^(l)为结构低阶模态广义刚度矩阵，K_bb ^(l)为结构剩余模态广义刚度矩阵，F_k ^(l)为结构内部自由度外力向量，

为结构边界自由度外力向量；

S6：综合组集机翼机身结构动力学方程；

补充界面位移与界面力的协调条件，完成整体动力学方程的综合组集；要求界面连接处，两子结构位移相等，力大小相等，方向相反；

设飞机共有n个子结构，取第i个子结构及第j个子结构具有连接关系，则协调条件为：

u_bi＝u_bj，G_bi＝-G_bj (15)

其中，u_bi为第i个子结构的边界自由度位移，u_bj为第j个子结构的边界自由度位移，G_bi为第i个子结构的边界对接点上的约束力，G_bj为第j个子结构的边界对接点上的约束力；

对每组具有连接关系的子结构按照界面位移与力协调条件综合组集，则机翼部件非线性动力学方程(11)、机身线性部件完整的结构动力学方程(14)及协调条件(15)构成飞机的结构动力学方程，即大柔性飞机结构模型。

本发明的有益效果在于：

1.考虑到大柔性飞机在飞行时，其大变形通常发生在机翼部分，而机身部分往往变形较小的特点，本发明将大柔性飞机拆分为机翼部件及机身部件，在机翼部分建立非线性模型而在机身部分建立线性模型，能够降低整体模型分析计算量，提高计算与设计效率，突出重点。

2.本发明基于非线性结构降阶模型及固定界面模态综合法建立机翼非线性部件的结构动力学方程。非线性结构降阶模型是建立机翼部件几何非线性模型的有效方法，而采用固定界面模态综合法进行建模，则使得机翼部件建模形式与全机建模时采用了同样的边界条件，机翼部件的几何非线性模型在进行分析后能够直接用于全机建模中，避免了重复建模，加快了设计进度。

3.本发明基于线性模态及自由界面模态综合法建立机身线性部件的结构动力学方程。利用自由界面模态综合法建立机身模型的好处在于自然包含了机身的六阶刚体模态，综合组集得到整体飞机结构动力学方程同样自然的包含了六阶刚体模态，便于后续飞行力学分析。如果在机身建模时也采用固定界面模态综合法，当对接面坐标超过6个自由度时，刚体模态是需要在约束模态中额外挑选的，本发明免去了这一步骤，更加简便。

4.本发明同时采用边界位移与力的协调条件进行综合组集，提高了方法的准确度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：

图1是本发明机翼部件非线性结构降阶模型建立流程图；

图2是本发明大柔性飞机结构模型建立流程图；

图3是本发明实施例1的飞翼全机有限元模型示意图；

图4是本发明实施例1拆分后机翼及机身有限元模型示意图，其中，(a)为左机翼模型，(b)为右机翼模型，(c)为机身模型。

具体实施方式

为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。

本发明的一种基于非线性结构降阶模型及子结构方法的大柔性全机结构建模方法，将机翼部件作为非线性部件处理，将机身部件作为线性部件处理，提高建模与结构分析效率。具体地，将大柔性飞机模型分为机翼部件及机身部件(含尾翼等)。对机翼部件采用非线性结构降阶模型进行建模：利用非线性刚度系数构建大变形结构动力学方程，利用模态组合乘比例系数的方式构建测试载荷，在此基础上采用对输入测试载荷及其对应的结构变形进行回归分析的方法求解非线性刚度系数，形成非线性结构降阶模型。对机身部件采用线性模态建模。对机翼部件应用固定界面模态综合法求解约束模态，对机身部件应用自由界面模态综合法求解剩余模态，随后通过界面位移及力协调条件综合组集形成结构动力学方程。

为了方便理解本发明的上述技术方案，以下通过具体实施例对本发明的上述技术方案进行详细说明。

实施例1

采用一大展弦比飞翼无人机模型，该飞翼无人机主要由中央翼身融合体、两侧机翼组成。机翼翼梢处是后掠式垂直尾翼，结构形式与机翼相同。每侧机翼后缘设有两块操纵面，可以通过不同控制面之间的差动/联动起到升降舵、副翼和襟翼的控制作用。有限元模型如图3所示。面结构刚度特性用位于外侧机翼35.8％弦长处的有限元弹性梁模拟，质量特性分布采用位于翼面的若干个集中质量单元模拟。翼梢垂尾也采用相同的结构单元形式。模型部分参数如表1所示。大柔性飞机结构模型建立流程如图2所示。

表1飞翼模型参数

参数名	参数值
		机翼展长/m	4.8
机身长度/m	1.033
		机翼弦长/m	0.24
机翼面积/m2	1.345
		展弦比	17.1
全机质量/kg	20.0
		机身宽度/m	1.2

S1：计算初始化；

考虑到大柔性飞机在飞行时，其大变形通常发生在机翼部分，而机身部分往往变形较小的特点，将大柔性飞机拆分为机翼部件及机身部件，在机翼部分建立非线性模型而在机身部分建立线性模型，能够降低整体模型分析计算量，提高计算与设计效率，突出重点；

将全机模型从机翼、机身对接面分离，分成三部分，左机翼模型nla，右机翼模型nlb，机身模型ls(含尾翼等)；图4是拆分后机翼及机身有限元模型示意图，其中，(a)为左机翼模型，(b)为右机翼模型，(c)为机身模型。

S2：建立机翼非线性结构降阶模型，模型建立流程如图1所示。

机翼模型垂直一弯频率3.58Hz，垂直二弯频率22.31Hz，水平一弯频率31.96Hz，机翼模型柔性大，需要考虑几何非线性。分别建立左、右机翼非线性结构降阶模型：

为便于后续建模，改写为矩阵形式为：

S3：建立机身线性降阶模型；

将机身作为线性部件进行建模，传统的线性模态理论即可以描述其动力学特性。机身结构第一阶至第三阶结构模态频率分别为49.39Hz、92.29Hz、94.04Hz，结构刚度较大，不需要考虑机身部分的几何非线性因素。建立机身结构动力学方程为：

S4：利用固定界面模态综合法求完整的机翼非线性动力学方程；

通过固定界面模态综合法求约束模态的思想建立左、右机翼部件非线性动力学方程为：

非线性结构降阶模型是建立机翼部件几何非线性模型的有效方法，而采用固定界面模态综合法进行建模，则使得机翼部件建模形式与全机建模时采用了同样的边界条件，机翼部件的几何非线性模型在进行分析后能够直接用于全机建模中，避免了重复建模，加快了设计进度。

S5：利用自由界面模态综合法求完整的机身线性动力学方程；

利用自由界面模态综合法建立机身模型的好处在于自然包含了机身的六阶刚体模态，综合组集得到整体飞机结构动力学方程同样自然的包含了六阶刚体模态，便于后续飞行力学分析。如果在机身建模时也采用固定界面模态综合法，当对接面坐标超过6个自由度时，刚体模态是需要在约束模态中额外挑选的，本发明免去了这一步骤，更加简便。

S6：综合组集机翼机身结构动力学方程；

在完成各部件的子结构分析后，补充界面位移与界面力的协调条件，完成整体动力学方程的综合组集。要求界面连接处，两子结构位移相等，力大小相等，方向相反。本实施例的飞机共有3个子结构，2个机翼非线性子结构及机身线性子结构，左机翼与机身连接，右机翼与机身连接，则协调条件为：

非线性子结构方程(21)(22)、线性子结构方程(23)及协调条件(24)构成飞机的结构动力学方程。同时采用边界位移与力的协调条件进行综合组集，提高了方法的准确度。

本发明给出了能适用于大柔性飞机结构建模的非线性子结构方法，提高计算效率，在实际飞行器设计应用中具有重要意义。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种适用于复杂大柔性飞机建模的非线性子结构方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：计算初始化；

建立飞机全机的有限元模型，划分有限元网格，定义结构有限元网格的单元属性和材料特性；将全机模型从机翼、机身对接面分离，形成机翼结构模型及机身结构模型；

S2：对步骤S1得到的机翼结构模型建立机翼非线性结构降阶模型；

S2-1：给定机翼固支边界条件，固支选在与机身的对接点上，计算结构模态，包括垂直弯曲、扭转及水平弯曲结构模态；

S2-2：考虑包含几何非线性大变形作用的结构动力学方程：

方程(1)对应第m阶结构模态并应用了Einstein求和约定；M_m为第m阶结构模态的广义质量项；K_m为第m阶结构模态的广义刚度项；

为广义坐标二阶多项式项的非线性刚度系数，

为广义坐标三阶多项式项的非线性刚度系数；q_m，q_n，q_l，q_p分别为第m阶结构模态广义坐标、第n阶结构模态广义坐标、第l阶结构模态广义坐标和第p阶结构模态广义坐标；F_m为第m阶结构模态的广义力；

结构动力学取静力学部表示为：

将已知的线性刚度部分移至方程右侧，得到：

将方程(3)化为回归问题进行分析，进而求解未知的非线性刚度系数

和

S2-3：选择有限元模型的垂直弯曲及扭转线性模态，给出组合得到的测试载荷如下：

F＝∑p_iφ_ib+∑p_jφ_jt (4)

其中，p_i，p_j为比例系数，φ_ib，φ_jt为选定的垂直弯曲及扭转模态振型；选择一系列比例系数能够形成对应的一系列测试载荷；

选择NT组比例系数p_i，p_j得到NT组测试载荷，将NT组测试载荷以随动力的形式加载于有限元模型，利用MSC.Nastran有限元软件计算机翼变形，调整比例系数使得最终得到的NT组机翼变形在感兴趣的非线性变形范围内，作为建立机翼非线性结构降阶模型需要的测试变形；

S2-4：设提供NT组测试载荷，对应有NT组静态位移，将测试载荷与对应的静态位移投影至模态空间，给出线性模态Φ＝{Φ₁，Φ₂，…，Φ_n}，Φ₁，Φ₂，…，Φ_n分别为选定的n阶模态向量，模态空间广义坐标与物理空间位移关系为：

其中，q_i，M_i分别为第i阶模态对应的物理广义坐标及广义质量项，

为第i阶模态向量的转置，

为物理空间下的结构质量矩阵，x为物理空间的测试位移向量；

方程(3)左侧的系数由回归分析得到，回归问题表达为：

其中，q_m ¹，q_m ²，…，q_m ^NT分别为NT组测试位移的第m阶模态广义坐标；q_n ¹，q_n ²，…，q_n ^NT分别为NT组测试位移的第n阶模态广义坐标；q_l ¹，q_l ²，…，q_l ^NT分别为NT组测试位移的第1阶模态广义坐标；q_p ¹，q_p ²，…，q_p ^NT分别为NT组测试位移的第p阶模态广义坐标；F_m ¹，F_m ²，…，F_m ^NT分别为NT组对应第m阶模态的广义力；

对方程(6)给出的回归问题进行逐步回归分即能求解未知非线性刚度系数；得到非线性刚度系数后，机翼部件的非线性结构降阶模型动力学方程即如方程(1)所示；

S3：对步骤S1得到的机身模型建立机身线性降阶模型；

将机身作为线性部件进行建模，使用自由边界条件，截取低阶弹性模态Φ_k，机身部件线性动力学方程为：

其中，M_k，K_k分别为低阶弹性模态对应的广义质量阵、广义刚度阵，q_k为广义坐标，F_k为模态外力，机身实际位移u＝Φ_kq_k；

S4：利用固定界面模态综合法求完整的机翼非线性动力学方程；

在步骤S2的机翼部件非线性结构降阶模型建立过程中，机翼与机身连接点固支，非线性结构降阶模型并不能考虑该约束自由度影响，通过固定界面模态综合法求约束模态的思想可以考虑该约束自由度影响；

对于机翼非线性部件，其物理空间动力学方程为：

其中，方程(8)右上角标(nl)表示方程对应的非线性部件，m_tt ^(nl)，m_tb ^(nl)，m_bt ^(nl)，m_bb ^(nl)分别为机翼非线性部件物理质量阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，k_tt ^(nl)，k_tb ^(nl)，k_bt ^(nl)，k_bb ^(nl)分别为机翼非线性部件物理刚度阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，u_t ^(nl)，u_b ^(nl)为机翼非线性部件内部及边界自由度结点位移，g_t(u)^(nl)为机翼非线性部件域内非线性函数，g_b(u)^(nl)为机翼非线性部件的边界连接非线性函数，此处不考虑连接非线性问题，g_b(u)^(nl)＝0，G_b ^(nl)为连接点上的内力，f_t ^(nl)，f_b ^(nl)分别为内部及边界自由度上受到的外力；

按照方程(8)表达，引入线性模态Φ_t ^(nl)对非线性机翼部件内部自由度降阶，线性模态数目为r，机翼部件的非线性结构降阶模型动力学方程(1)改写为矩阵形式：

其中，

其中，

为非线性机翼部件内部自由度降阶后的广义质量矩阵，q_t ^(nl)为非线性机翼部件的广义模态坐标，

为非线性机翼部件内部自由度降阶后的广义刚度矩阵，

为非线性机翼部件域内非线性函数，F_t ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度降阶后对应的广义外力向量，m_tt ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度物理质量阵，k_tt ^(nl)为非线性机翼部件内部自由度物理刚度阵，M₁，M₂，…，M_n分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的各阶模态广义质量项，K₁，K₂，…，K_n分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的各阶模态广义刚度项，

分别为非线性机翼部件内部自由度降阶后的非线性刚度系数项；

引入约束模态Ψ_b ^(nl)对子结构界面自由度进行附加约束，将约束模态在矩阵内分解为上下两部分：

其中，ψ_tb为对应非线性机翼部件内部自由度的约束模态矩阵，I_bb为对应非线性机翼部件界面自由度的约束模态矩阵，为NR阶单位阵，NR为结构界面自由度数；

将机翼内部自由度模态Φ_t ^(nl)增维为包含界面自由度的模态矩阵Φ_b ^(nl)：

其中，O_bt为NR阶零矩阵；

将(10)代入(8)中得到机翼部件非线性动力学方程为：

其中：

M_bt ^(nl)＝M_tb ^(nl)T

K_bb ^(nl)＝k_bb ^(nl)-k_bt ^(nl)k_tt ^-1(nl)k_tb ^(nl)

其中，M_tb ^(nl)，M_bb ^(nl)分别为结构内部自由度与边界自由度耦合质量矩阵及边界自由度耦合质量矩阵，M_bt ^(nl)为M_tb ^(nl)的转置，K_bb ^(nl)为结构边界自由度耦合刚度矩阵，

为结构内部自由度外力向量，

为结构边界自由度外力向量；

S5：利用自由界面模态综合法求完整的机身线性动力学方程；

步骤S3给出了机身线性降阶模型，通过截断的低阶模态来表征机身部件结构动力学特性，线性模态是在自由边界条件下求解的，不需要像机翼补充约束自由度影响，但子结构方法中要求考虑高阶模态影响，通过加入剩余模态来处理；

机身线性部件的物理空间动力学方程为：

其中，方程(12)右上角标(l)表示方程对应线性部件，m_tt ^(l)，m_tb ^(l)，m_bt ^(l)，m_bb ^(l)分别为线性部件物理质量阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，k_tt ^(l)，k_tb ^(l)，k_bt ^(l)，k_bb ^(l)分别为线性部件物理刚度阵按内部及边界结点自由度分块后的矩阵，u_t ^(l)，u_b ^(l)为线性部件内部及边界自由度结点位移，G_b ^(l)为线性部件连接点上的内力，f_t ^(l)，f_b ^(l)分别为线性部件内部及边界自由度上受到的外力；

引入剩余模态Ψ_d ^(l)进行结构位移表达：

其中，q_k ^(l)为低阶模态广义坐标，Φ_k ^(l)为低阶模态矩阵；

根据线性自由模态综合法理论，对应剩余模态的广义自由度即为连接点上的约束力G_b ^(l)，将(13)代入(12)中得到机身线性部件完整的结构动力学方程为：

K_k ^(l)＝Φ_k ^(l)Tk_tt ^(l)Φ_k ^(l)

其中，M_k ^(l)为结构低阶模态广义质量矩阵，，M_bb ^(l)分别为结构剩余模态广义质量矩阵，，K_k ^(l)为结构低阶模态广义刚度矩阵，K_bb ^(l)为结构剩余模态广义刚度矩阵，F_k ^(l)为结构内部自由度外力向量，

为结构边界自由度外力向量；

S6：综合组集机翼机身结构动力学方程；

补充界面位移与界面力的协调条件，完成整体动力学方程的综合组集；要求界面连接处，两子结构位移相等，力大小相等，方向相反；

设飞机共有n个子结构，取第i个子结构及第j个子结构具有连接关系，则协调条件为：

u_bi＝u_bj，G_bi＝-G_bj (15)

其中，u_bi为第i个子结构的边界自由度位移，u_bj为第j个子结构的边界自由度位移，G_bi为第i个子结构的边界对接点上的约束力，G_bj为第j个子结构的边界对接点上的约束力；

对每组具有连接关系的子结构按照界面位移与力协调条件综合组集，则机翼部件非线性动力学方程(11)、机身线性部件完整的结构动力学方程(14)及协调条件(15)构成飞机的结构动力学方程，即大柔性飞机结构模型。

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