CN105205035A - 一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的在于提供一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法，包括以下步骤：将非均匀面内约束线性弹簧刚度采用傅立叶级数进行展开，采用能量原理描述矩形板结构面内振动，对矩形板结构施加任意作用角度面内载荷，构建矩形板结构面内振动位移边界光滑级数，求解任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组，从而得到矩形板结构面内振动强迫响应导纳。本发明同有限元等传统方法相比，对于非均匀面内边界条件处理不需要对节点进行操作，从而大大节省了建模和计算时间；通过调节弹簧的刚度分布函数可以实现任意经典边界条件、均匀弹性约束边界条件以及非均匀弹性约束边界条件。

Description

一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法

技术领域

本发明涉及的是一种矩形板结构的振动特性分析方法。

背景技术

矩形板结构广泛应用于许多工程领域，如船舶工程、车辆工程以及航空航天工程等等。其振动特性一直是众多研究人员的关注重点。在板结构内部，存在两种不同的振动形式：弯曲振动和面内振动。其中关于板结构弯曲振动问题的研究起步较早，相关文献资料十分丰富。近年来，一些研究表明，在组合结构能量传输问题分析过程中，结构的面内振动分量也起到相当重要的作用。因此，矩形板结构的面内振动分析同样引起了结构动力学领域的研究兴趣。

为了深入理解板结构的面内振动特性，研究人员提出了多种方法来建立其动力学模型。尽管传统的有限元法可以进行面内振动问题分析，然而该方法本质上是一种基于网格离散的数值方法，这意味着当结构几何参数发生改变或所分析频率逐渐升高时，需要重新进行模型建立与网格划分。另一方面，对于纯粹的数值解法来说，在求解过程中通常会丢失人们对问题本质认识的宝贵机会。因此，解析法有助于更好的理解结构振动特性以及结构优化设计，在面内振动分析问题中更为适用。

对于板结构面内振动分析来说，现有的研究工作大多数针对于经典边界条件约束情况，然而从工程角度来看，完全满足经典理论的边界条件实际中并不存在，真实结构的边界约束往往是弹性的。Gorman(D.J.Gorman,Freein-planevibrationanalysisofrectangularplateswithelasticsupportnormaltotheboundaries,JournalofSoundandVibration,2005,285:941-966.)应用模态叠加法分析了在边界上切向约束满足经典边界条件，法向约束满足弹性约束边界条件的矩形板结构面内自由振动问题。Du等人(J.T.Du,W.L.Li,G.Y.Jin,T.J.Yang,Z.G.Liu,Ananalyticalmethodforthein-planevibrationanalysisofrectangularplateswithelasticallyrestrainededges,JournalofSoundandVibration,2007,306:908-927.)提出了边界光滑傅立叶级数法求解弹性约束边界条件下矩形板结构面内自由振动问题。这些计算方法通常考虑边界约束弹簧的刚度值沿边界上均匀分布的情况，无法求解边界约束弹簧的刚度值沿边界满足非均匀分布这种更为一般的情况。对于这一问题，Dozio(L.Dozio,Freein-planevibrationanalysisofrectangularplateswitharbitraryelasticboundaries,MechanicsResearchCommunications,2010,37:627-635.)给出了边界约束弹簧刚度分布函数分布为一次函数与二次函数条件下矩形板结构的面内自由振动分析。随着理论不断发展完善，准确有效的预测结构强迫振动响应仍需进一步研究。

发明内容

本发明的目的在于提供用于分析自由振动与强迫振动的一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法。

本发明的目的是这样实现的：

本发明一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法，其特征是：

(1)将非均匀面内约束线性弹簧刚度采用傅立叶级数进行展开：

设一个处于笛卡尔坐标系x-y平面内的矩形板结构长度为l_x，宽度为l_y，每条边界上分布有两组线性弹簧，分别对法向位移与切向位移产生约束，在y＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny0(x)与k_py0(x)来表示；在y＝l_y边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny1(x)与k_py1(x)来表示；在x＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx0(y)与k_px0(y)来表示；在x＝l_x边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx1(y)与k_px1(y)来表示；线性弹簧刚度k沿着边界呈现非均匀分布，即k与其作用点的坐标s之间满足函数关系k＝k₀×f(s)，其中k₀表示线性弹簧刚度系数，f表示线性弹簧刚度分布函数，s表示笛卡尔坐标x或y；将各个线性弹簧刚度分布函数统一展开为傅立叶余弦级数形式，矩形板结构所有边界上的八个非均匀法向与切向线性弹簧刚度为：

$k_{ny0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{ny1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{nx0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

$k_{nx1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

其中，采用及来分别表示矩形板结构各个边界上线性弹簧刚度傅里叶余弦级数的系数；i_a表示傅里叶余弦级数的项数，截断数为I_a；与分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；

(2)采用能量原理描述矩形板结构面内振动：

采用能量原理的表示形式，矩形板结构拉格朗日方程L可以表示为

L＝V-T

其中，V表示矩形板结构总势能：

$\begin{array}{c}V=\frac{G}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\{{(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})}^2-2(1-\mathrm{\μ})\frac{\∂u}{\∂x}\frac{\∂v}{\∂y}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}{(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})}^2\}dxdy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx0}{u}^2+k_{px0}{v}^2\]}_{x=0}dy+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx1}{u}^2+k_{px1}{v}^2\]}_{x=l_x}dy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny0}{v}^2+k_{py0}{u}^2\]}_{y=0}dx+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny1}{v}^2+k_{py1}{u}^2\]}_{y=l_y}dx\end{array}$

其中G为矩形板结构的广义刚度，μ为矩形板结构材料的泊松比，u与v分别为矩形板结构内部沿着x轴方向的位移分量与沿着y轴方向的位移分量；

T表示矩形板结构总动能：

$T=\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\mathrm{\ρ}h\[{\left(\frac{\∂u}{\∂t}\right)}^2+{\left(\frac{\∂v}{\∂t}\right)}^2\]dxdy=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρh\ω}}^2{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}(u^2+v^2)dxdy$

其中ρ为材料的面密度，h为矩形板结构的厚度，t为时间变量，ω为角频率；

(3)对矩形板结构施加任意作用角度面内载荷：

载荷将通过任意作用角度的点力做功的形式引入至矩形板结构能量原理描述，点力对矩形板结构所做的功W为

W＝Fu(x_e,y_e)cosθ+Fv(x_e,y_e)sinθ

式中，F为面内激励力的幅值，θ为力向量与x轴的任意作用夹角，(x_e,y_e)为激励力作用施加位置坐标；

(4)构建矩形板结构面内振动位移边界光滑级数：

矩形板结构内部场点位移可以分解为两个相互垂直的位移分量，分别为沿着x轴方向的位移分量u(x,y)与沿着y轴方向的位移分量v(x,y)，应用边界光滑傅立叶级数法将两组矩形板结构面内振动位移函数表示为如下形式：

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right\}=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left\{\begin{array}{c}{A}_{mn}\\ B_{mn}\end{array}\right\}{\mathrm{cos\λ}}_{am}x{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\\ +\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{a}_m\\ e_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1b}\left(y\right)+\left\{\begin{array}{c}{b}_m\\ f_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2b}\left(y\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{am}x\\ +\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{c}_n\\ g_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1a}\left(x\right)+\left\{\begin{array}{c}{d}_n\\ h_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2a}\left(x\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\end{array}$

其中，m与n分别表示沿x轴方向与沿y轴方向傅里叶余弦级数的项数，A_mn、B_mn、a_m、b_m、e_m、f_m、c_n、d_n、g_n及h_n分别表示矩形板结构面内振动位移函数各个傅里叶余弦级数的系数；λ_am＝mπ/l_x与λ_bn＝nπ/l_y分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；为了克服矩形板结构面内振动位移函数在边界上可能产生的求导不连续，引入ξ_1b(y)、ξ_2b(y)、ξ_1a(x)与ξ_2a(x)四个辅助函数，表达式如下：

ξ_1a(x)＝l_xζ_x(ζ_x-1)²，ξ_2a(x)＝l_xζ_x ²(ζ_x-1)，(ζ_x＝x/l_x)

ξ_1b(y)＝l_yζ_y(ζ_y-1)²，ξ_2b(y)＝l_yζ_y ²(ζ_y-1)，(ζ_y＝y/l_y)；

(5)求解任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组：

将矩形板结构面内振动位移函数带入矩形板结构拉格朗日方程L中，并对各个傅里叶余弦级数的系数取极值，即可获得任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组，矩阵表达式为：

(K-ω²M)E＝F

其中，K与M分别表示矩形板结构面内振动刚度矩阵与质量矩阵，E为未知傅里叶余弦级数系数向量，F为外力做功项；通过求解矩阵标准特征值问题可获得矩形板结构所有频率参数及模态振型，矩阵特征值表征矩形板结构的固有频率，而每一个特征向量实际上包含了相应模态的所有傅里叶余弦级数的系数，将未知傅里叶余弦级数系数E带入矩形板结构面内振动位移函数中，即为矩形板结构的模态振型，对于任意激励频率ω作用下的矩形板结构面内强迫振动问题来说，响应向量R所包含的所有傅立叶级数的系数可以通过直接求解矩形板结构面内振动线性方程中的未知数获得：

R＝(K-ω²M)^-1F

将R带入矩形板结构面内振动位移函数表达式中，即为矩形板结构面内振动强迫响应导纳。

本发明的优势在于：任意非均匀边界约束刚度分布统一采用傅立叶级数进行展开，使面内振动分析系统矩阵中的积分能够解析计算；同有限元等传统方法相比，对于非均匀面内边界条件处理不需要对节点进行操作，从而大大节省了建模和计算时间；通过调节弹簧的刚度分布函数可以实现任意经典边界条件、均匀弹性约束边界条件以及非均匀弹性约束边界条件。此外，通过求解简单的线性方程组及标准矩阵特征值问题，系统强迫振动响应及模态信息可以一次性全部获得，成功避免了当边界条件或激励类型发生改变时其它方法所需要对场函数和理论描述的形式修改与重新推导，相比之下更加简便直观，更为适合满足任意边界约束条件的矩形板结构面内振动特性分析。同时，本发明还具有通用性强、收敛速度快以及计算精度高等突出优点。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2a矩形板结构边界线性约束弹簧刚度分布函数，图2b矩形板结构面内振动理论模型示意图；

图3为C-C(f)-C-C(f)方形板边界约束示意图；

图4a为C-C(f)-C-C(f)方形板结构强迫振动原点导纳(f₁＝x+1)，图4b为C-C(f)-C-C(f)方形板结构强迫振动原点导纳(f₂＝-4x²+4x+1)，图4c为C-C(f)-C-C(f)方形板结构强迫振动原点导纳图4d为C-C(f)-C-C(f)方形板结构强迫振动原点导纳

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

结合图1～4，本发明包括如下流程：

(1)将非均匀面内约束线性弹簧刚度采用傅立叶级数进行展开：

设一个处于笛卡尔坐标系x-y平面内的矩形板结构长度为l_x，宽度为l_y，每条边界上分布有两组线性弹簧，分别对法向位移与切向位移产生约束，在y＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny0(x)与k_py0(x)来表示；在y＝l_y边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny1(x)与k_py1(x)来表示；在x＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx0(y)与k_px0(y)来表示；在x＝l_x边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx1(y)与k_px1(y)来表示；线性弹簧刚度k沿着边界呈现非均匀分布，即k与其作用点的坐标s之间满足函数关系k＝k₀×f(s)，其中k₀表示线性弹簧刚度系数，f表示线性弹簧刚度分布函数，s表示笛卡尔坐标x或y；将各个线性弹簧刚度分布函数统一展开为傅立叶余弦级数形式，矩形板结构所有边界上的八个非均匀法向与切向线性弹簧刚度为：

$k_{ny0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{ny1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{nx0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

$k_{nx1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

其中，采用及来分别表示矩形板结构各个边界上线性弹簧刚度傅里叶余弦级数的系数；i_a表示傅里叶余弦级数的项数，截断数为I_a；与分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；

(2)采用能量原理描述矩形板结构面内振动：

采用能量原理的表示形式，矩形板结构拉格朗日方程L可以表示为

L＝V-T

其中，V表示矩形板结构总势能：

$\begin{array}{c}V=\frac{G}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\{{(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})}^2-2(1-\mathrm{\μ})\frac{\∂u}{\∂x}\frac{\∂v}{\∂y}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}{(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})}^2\}dxdy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx0}{u}^2+k_{px0}{v}^2\]}_{x=0}dy+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx1}{u}^2+k_{px1}{v}^2\]}_{x=l_x}dy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny0}{v}^2+k_{py0}{u}^2\]}_{y=0}dx+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny1}{v}^2+k_{py1}{u}^2\]}_{y=l_y}dx\end{array}$

其中G为矩形板结构的广义刚度，μ为矩形板结构材料的泊松比，u与v分别为矩形板结构内部沿着x轴方向的位移分量与沿着y轴方向的位移分量；

T表示矩形板结构总动能：

$T=\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\mathrm{\ρ}h\[{\left(\frac{\∂u}{\∂t}\right)}^2+{\left(\frac{\∂v}{\∂t}\right)}^2\]dxdy=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρh\ω}}^2{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}(u^2+v^2)dxdy$

其中ρ为材料的面密度，h为矩形板结构的厚度，t为时间变量，ω为角频率；

(3)对矩形板结构施加任意作用角度面内载荷：

载荷将通过任意作用角度的点力做功的形式引入至矩形板结构能量原理描述，点力对矩形板结构所做的功W为

W＝Fu(x_e,y_e)cosθ+Fv(x_e,y_e)sinθ

式中，F为面内激励力的幅值，θ为力向量与x轴的任意作用夹角，(x_e,y_e)为激励力作用施加位置坐标；

(4)构建矩形板结构面内振动位移边界光滑级数：

矩形板结构内部场点位移可以分解为两个相互垂直的位移分量，分别为沿着x轴方向的位移分量u(x,y)与沿着y轴方向的位移分量v(x,y)，应用边界光滑傅立叶级数法将两组矩形板结构面内振动位移函数表示为如下形式：

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right\}=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left\{\begin{array}{c}{A}_{mn}\\ B_{mn}\end{array}\right\}{\mathrm{cos\λ}}_{am}x{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\\ +\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{a}_m\\ e_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1b}\left(y\right)+\left\{\begin{array}{c}{b}_m\\ f_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2b}\left(y\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{am}x\\ +\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{c}_n\\ g_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1a}\left(x\right)+\left\{\begin{array}{c}{d}_n\\ h_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2a}\left(x\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\end{array}$

其中，m与n分别表示沿x轴方向与沿y轴方向傅里叶余弦级数的项数，A_mn、B_mn、a_m、b_m、e_m、f_m、c_n、d_n、g_n及h_n分别表示矩形板结构面内振动位移函数各个傅里叶余弦级数的系数；λ_am＝mπ/l_x与λ_bn＝nπ/l_y分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；为了克服矩形板结构面内振动位移函数在边界上可能产生的求导不连续，引入ξ_1b(y)、ξ_2b(y)、ξ_1a(x)与ξ_2a(x)四个辅助函数，表达式如下：

ξ_1a(x)＝l_xζ_x(ζ_x-1)²，ξ_2a(x)＝l_xζ_x ²(ζ_x-1)，(ζ_x＝x/l_x)

ξ_1b(y)＝l_yζ_y(ζ_y-1)²，ξ_2b(y)＝l_yζ_y ²(ζ_y-1)，(ζ_y＝y/l_y)；

(5)求解任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组：

将矩形板结构面内振动位移函数带入矩形板结构拉格朗日方程L中，并对各个傅里叶余弦级数的系数取极值，即可获得任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组，矩阵表达式为：

(K-ω²M)E＝F

其中，K与M分别表示矩形板结构面内振动刚度矩阵与质量矩阵，E为未知傅里叶余弦级数系数向量，F为外力做功项；通过求解矩阵标准特征值问题可获得矩形板结构所有频率参数及模态振型，矩阵特征值表征矩形板结构的固有频率，而每一个特征向量实际上包含了相应模态的所有傅里叶余弦级数的系数，将未知傅里叶余弦级数系数E带入矩形板结构面内振动位移函数中，即为矩形板结构的模态振型，对于任意激励频率ω作用下的矩形板结构面内强迫振动问题来说，响应向量R所包含的所有傅立叶级数的系数可以通过直接求解矩形板结构面内振动线性方程中的未知数获得：

R＝(K-ω²M)^-1F

将R带入矩形板结构面内振动位移函数表达式中，即为矩形板结构面内振动强迫响应导纳。

结合图2，举一具体例子对本发明方法进行验算，所采用参数如下：矩形板的尺寸为1.0m长，1.0m宽，3mm厚，杨氏模量E＝71×10⁹N/m²，密度ρ＝2700kg/m³，泊松比μ＝0.33，频率参数

首先对经典边界条件下板结构自由振动频率参数进行验算，其中C表示固定，S代表简支。

结合图3给出的边界条件分布形式，考虑满足四种约束刚度分布函数的矩形板结构自由振动频率参数及强迫振动响应。图4给出了约束刚度满足四种不同分布函数的C-C(f)-C-C(f)方形板结构强迫振动原点导纳，下表括号中为有限元法计算结果。

Claims (1)

1.一种非均匀弹性约束边界条件矩形板结构面内振动分析方法，其特征是：

(1)将非均匀面内约束线性弹簧刚度采用傅立叶级数进行展开：

设一个处于笛卡尔坐标系x-y平面内的矩形板结构长度为l_x，宽度为l_y，每条边界上分布有两组线性弹簧，分别对法向位移与切向位移产生约束，在y＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny0(x)与k_py0(x)来表示；在y＝l_y边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_ny1(x)与k_py1(x)来表示；在x＝0边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx0(y)与k_px0(y)来表示；在x＝l_x边界上，法向与切向线性弹簧刚度分别用k_nx1(y)与k_px1(y)来表示；线性弹簧刚度k沿着边界呈现非均匀分布，即k与其作用点的坐标s之间满足函数关系k＝k₀×f(s)，其中k₀表示线性弹簧刚度系数，f表示线性弹簧刚度分布函数，s表示笛卡尔坐标x或y；将各个线性弹簧刚度分布函数统一展开为傅立叶余弦级数形式，矩形板结构所有边界上的八个非均匀法向与切向线性弹簧刚度为：

$k_{ny0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py0}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{ny1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I_a}{\Σ}}{k}_{n_a}^{ny1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),k_{py1}\left(x\right)=\underset{i_a=0}{\overset{I}{\Σ}}{k}_{n_a}^{py1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_a}x\right),$

$k_{nx0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px0}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px0}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

$k_{nx1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{nx1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),k_{px1}\left(x\right)=\underset{i_b=0}{\overset{I_b}{\Σ}}{k}_{n_b}^{px1}cos\left({\mathrm{\λ}}_{n_b}y\right),$

其中，采用及来分别表示矩形板结构各个边界上线性弹簧刚度傅里叶余弦级数的系数；i_a表示傅里叶余弦级数的项数，截断数为I_a；与分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；

(2)采用能量原理描述矩形板结构面内振动：

采用能量原理的表示形式，矩形板结构拉格朗日方程L可以表示为

L＝V-T

其中，V表示矩形板结构总势能：

$\begin{array}{c}V=\frac{G}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\{{(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})}^2-2(1-\mathrm{\μ})\frac{\∂u}{\∂x}\frac{\∂v}{\∂y}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}{(\frac{\∂v}{\∂x}+\frac{\∂u}{\∂y})}^2\}dxdy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx0}{u}^2+k_{px0}{v}^2\]}_{x=0}dy+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_y}{\[k_{nx1}{u}^2+k_{px1}{v}^2\]}_{x=l_x}dy\\ +\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny0}{v}^2+k_{py0}{u}^2\]}_{y=0}dx+\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\[k_{ny1}{v}^2+k_{py1}{u}^2\]}_{y=l_y}dx\end{array}$

其中G为矩形板结构的广义刚度，μ为矩形板结构材料的泊松比，u与v分别为矩形板结构内部沿着x轴方向的位移分量与沿着y轴方向的位移分量；

T表示矩形板结构总动能：

$T=\frac{1}{2}{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}\mathrm{\ρ}h\[{\left(\frac{\∂u}{\∂t}\right)}^2+{\left(\frac{\∂v}{\∂t}\right)}^2\]dxdy=\frac{1}{2}{\mathrm{\ρh\ω}}^2{\∫}_0^{l_x}{\∫}_0^{l_y}(u^2+v^2)dxdy$

其中ρ为材料的面密度，h为矩形板结构的厚度，t为时间变量，ω为角频率；

(3)对矩形板结构施加任意作用角度面内载荷：

载荷将通过任意作用角度的点力做功的形式引入至矩形板结构能量原理描述，点力对矩形板结构所做的功W为

W＝Fu(x_e,y_e)cosθ+Fv(x_e,y_e)sinθ

式中，F为面内激励力的幅值，θ为力向量与x轴的任意作用夹角，(x_e,y_e)为激励力作用施加位置坐标；

(4)构建矩形板结构面内振动位移边界光滑级数：

矩形板结构内部场点位移可以分解为两个相互垂直的位移分量，分别为沿着x轴方向的位移分量u(x,y)与沿着y轴方向的位移分量v(x,y)，应用边界光滑傅立叶级数法将两组矩形板结构面内振动位移函数表示为如下形式：

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right\}=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\left\{\begin{array}{c}{A}_{mn}\\ B_{mn}\end{array}\right\}{\mathrm{cos\λ}}_{am}x{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\\ +\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{a}_m\\ e_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1b}\left(y\right)+\left\{\begin{array}{c}{b}_m\\ f_m\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2b}\left(y\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{am}x\\ +\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\[\left\{\begin{array}{c}{c}_n\\ g_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{1a}\left(x\right)+\left\{\begin{array}{c}{d}_n\\ h_n\end{array}\right\}{\mathrm{\ξ}}_{2a}\left(x\right)\]{\mathrm{cos\λ}}_{bn}y\end{array}$

其中，m与n分别表示沿x轴方向与沿y轴方向傅里叶余弦级数的项数，A_mn、B_mn、a_m、b_m、e_m、f_m、c_n、d_n、g_n及h_n分别表示矩形板结构面内振动位移函数各个傅里叶余弦级数的系数；λ_am＝mπ/l_x与λ_bn＝nπ/l_y分别表示沿x轴与沿y轴两个方向的波数；为了克服矩形板结构面内振动位移函数在边界上可能产生的求导不连续，引入ξ_1b(y)、ξ_2b(y)、ξ_1a(x)与ξ_2a(x)四个辅助函数，表达式如下：

ξ_1a(x)＝l_xζ_x(ζ_x-1)²，ξ_2a(x)＝l_xζ_x ²(ζ_x-1)，(ζ_x＝x/l_x)

ξ_1b(y)＝l_yζ_y(ζ_y-1)²，ξ_2b(y)＝l_yζ_y ²(ζ_y-1)，(ζ_y＝y/l_y)；

(5)求解任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组：

将矩形板结构面内振动位移函数带入矩形板结构拉格朗日方程L中，并对各个傅里叶余弦级数的系数取极值，即可获得任意非均匀边界矩形板结构面内振动线性方程组，矩阵表达式为：

(K-ω²M)E＝F

其中，K与M分别表示矩形板结构面内振动刚度矩阵与质量矩阵，E为未知傅里叶余弦级数系数向量，F为外力做功项；通过求解矩阵标准特征值问题可获得矩形板结构所有频率参数及模态振型，矩阵特征值表征矩形板结构的固有频率，而每一个特征向量实际上包含了相应模态的所有傅里叶余弦级数的系数，将未知傅里叶余弦级数系数E带入矩形板结构面内振动位移函数中，即为矩形板结构的模态振型，对于任意激励频率ω作用下的矩形板结构面内强迫振动问题来说，响应向量R所包含的所有傅立叶级数的系数可以通过直接求解矩形板结构面内振动线性方程中的未知数获得：

R＝(K-ω²M)^-1F

将R带入矩形板结构面内振动位移函数表达式中，即为矩形板结构面内振动强迫响应导纳。