CN108170967A - 一种弹性梁结构pvdf模态传感器生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的是一种弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法。输入模型参数，生成模态传感器电荷方程，通过输入模态传感器灵敏度系数、形状函数和积分矩阵将模态传感器电荷方程生成矩阵形式，计算模态传感器形状系数和使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数生成模态传感器有效电极形状；利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，利用Rayleigh‑Ritz对未知系数求极值，生成K、M矩阵，生成弹性梁结构自由振动矩阵方程，计算特征值特征向量生成未知系数向量，生成振型函数二次导数。本发明通过调节边界弹簧刚度值可以实现经典边界条件、任意约束条件下PVDF模态传感器设计，具有通用性强、计算精度高、收敛速度快等优点。

Description

一种弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法

技术领域

本发明涉及的是一种连续分布式PVDF模态传感器生成方法，具体地说是一种应用于弹性梁结构振动主动控制领域的连续分布式PVDF模态传感器生成方法。

背景技术

弹性梁结构作为基本结构单元，广泛应用于桥梁、航空航天、建筑工程、汽车、船舶与海洋工程等领域。在变化的外部载荷的作用下，梁结构会产生剧烈振动，尤其是达到共振时，将会导致结构疲劳损坏，甚至影响正常工作。绝大多数，外界激励会产生宽频振动，传统的被动控制，低频段控制效果不佳。因此，弹性结构的振动主动控制引起广泛研究。

主动控制系统主要由误差传感器、控制器和执行器组成。作为主动控制系统的关键组成部分之一的误差传感器决定了控制器目标控制最小值的类型。现有的误差传感器多为离散分布式的传感器，如加速度传感器和压电陶瓷传感器。加速度传感器，对于薄壁等轻薄结构来说，加速度传感器会增加附加质量，改变结构原有的动力学特性，多个传感器布设会增加布设成本，同时加大信号难度，造成信号混叠和控制溢出。压电陶瓷传感器，脆性较大、机械强度小、抗冲击能力差、难加工等缺陷，极大限制了它的应用。

《一种模拟空间飞行器壁板结构颤振/振动控制装置与方法》中(CN103399570A)，通过在柔性两端固支板布设多片压电陶瓷片传感器和压电陶瓷片驱动器，完成对壁板结构颤振/振动控制。这种离散分布式误差传感器和驱动器的布设策略存在使用数量、尺寸大小、布置位置等优化问题。

随着材料科学的发展，一种具有压电效应和逆压电效应的新型柔性压电材料PVDF(Polyvinylidene Fluoride,聚偏氟乙烯)压电薄膜得到广泛应用，它的主要优势是，质量轻、频响宽(0.001Hz-几个GHz)、电压敏感度高(是压电陶瓷的10倍),易剪裁(机械加工性好)。

《利用PVDF薄膜压电特性的混凝土应力传感器》中(CN103674353A)，利用PVDF薄膜传感灵敏特性，设计一种应力传感器，用于测量冲击载荷下的混凝土材料应力。这种传感器结构简单、封装方便、体积小、可预埋在混凝土材料中，克服压阻式的锰铜压阻计和压电式的石英晶体传感器在高冲击应力测量的不足。

《一种层叠式PVDF作动器及主被动混合隔振器》中(CN103647018A),利用多层PVDF压电薄膜设计了一种主被动混合隔振器，将PVDF压电薄膜应用在振动控制领域。

发明内容

本发明的目的在于提供一种模型计算简单，容易实现的弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法。

本发明的目的是这样实现的：

输入模型参数，利用位移函数即模态叠加法生成模态传感器电荷方程，通过输入模态传感器灵敏度系数P_n、形状函数F(x)和积分矩阵R将模态传感器电荷方程生成矩阵形式，计算模态传感器形状系数b和使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数生成模态传感器有效电极形状；其中，使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数包括利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，利用Rayleigh-Ritz对未知系数求极值，生成K、M矩阵，生成弹性梁结构自由振动矩阵方程，计算特征值特征向量生成未知系数向量E，生成振型函数二次导数。

本发明的弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法具体包括：

(1)所述输入输入弹性梁结构模型的几何尺寸、材料属性、边界条件和PVDF压电薄膜物理参数；

(2)生成弹性梁结构PVDF模态传感器电荷输出方程：

其中，Q(t)是PVDF模态传感器输出电荷；h和h_p分别为弹性梁的厚度和PVDF压电薄膜的厚度；e₃₁为x方向的压电常数；w(x,t)为弹性梁横向位移；F(x)为PVDF模态传感器形状函数；L为弹性梁长度；

(3)利用模态叠加，简谐激励力下的弹性梁横向位移表示为：

其中，a_m和φ_m(x)分别为第m阶结构复模态幅值和振型函数；M是模态截断数；e^jωt是简谐振动时间因子；

(4)输入PVDF模态传感器灵敏度系数P_m，代入步骤(2)表达式，得到：

其中，是振型函数二次导数；

(5)将PVDF模态传感器电荷方程生成矩阵形式，表达为：

Q(t)＝γe^jωtaP

其中，γ是常数项,定义为γ＝e₃₁(h+h_p)/2；a是1×M的复模态幅值行向量；P表示M×1的模态灵敏度列向量；

(6)输入PVDF模态传感器形状函数，表达式如下：

(7)将步骤(6)PVDF模态传感器形状函数表达式F(x)代入步骤(4)建立PVDF模态传感器电荷方程矩阵形式，同时，结合步骤(5)，得到如下等式：

Q(t)＝γe^jωtaP＝γe^jωtaRb^T

其中，R为积分矩阵，表达式如下：

(8)PVDF模态传感器生成中模态灵敏度向量P_m为预设值，目标阶模态设定为1，向量中其他元素设定为0，具体的表达式如下：

其中，t表示目标阶数；

(9)通过步骤(7)等式，计算PVDF模态传感器未知系数向量b，表达式如下：

b＝(R^-1P)^T；

(10)求解振型函数二次导数，更具体地，振型函数φ(x)利用光滑傅里叶级数展开为，标准余弦级数和四项修正项，表达式如下：

其中，A₀,A₁…A_n,B₁,B₂,B₃,B₄是未知傅里叶级数系数和相应的补充项函数系数ξ₁(x),ξ₂(x),ξ₃(x),ξ₄(x)是克服边界不连续的四项补充项函数，

(11)利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，具体表达式如下：

L＝V-T

其中，V表示总势能，包含弹簧势能V_spring,和弹性梁势能V_beam；T表示总动能，

其中，EI、ρ、S分别表示弹性梁结构的截面拉弯刚度、质量密度、截面面积；K₀与K₁、k₀与k₁分别表示边界左端与右端旋转弹簧刚度、左端与右端线性弹簧刚度；

(12)利用Rayleigh-Ritz方法，对步骤(11)表达式L中未知系数求极值，生成K、M矩阵，并用矩阵表示：

(K-ω²ρSM)E＝0；

其中，K是刚度矩阵，M是质量矩阵，E是改进傅里叶级数未知系数向量，ω是固有角频率，E＝[A₀ A₁ … A_n B₁ B₂ B₃ B₄]^T；

(13)通过利用步骤(12)特征值和特征向量得到位置系数向量E、振型函数φ(x)、固有频率；

(14)生成振型函数二次导数；

结合步骤(6)、(9)和(14)生成PVDF模态传感器有效电极形状。

本发明提供了一种实现弹性梁结构任意边界条件下的PVDF模态传感器设计。这种PVDF模态传感器具有适用于任意边界条件，避免误差传感高阶模态干扰引入的控制溢出，模型计算简单，程序实现容易等特点。

本发明利用PVDF压电薄膜生成一种振动主动控制中的连续分布式误差传感器，又称PVDF模态传感器。使用光滑傅里叶级数法生成弹性边界的PVDF模态传感器有效电极，该方法计算简便，通过调节边界弹簧刚度值可以实现经典边界条件(简支、固支、悬臂)和任意约束边界条件下弹性梁结构PVDF模态传感器设计。同时，边界约束刚度的变化不需要重新计算特征方程和编写程序。

本发明具有如下有益效果：

1)本发明使用光滑傅里叶级数展开法，建立了统一的弹性梁结构PVDF模态传感器设计模型。通过调节边界弹簧刚度值可以实现经典边界、任意约束条件下PVDF模态传感器设计。此外，边界约束刚度的变化不需要重新计算特征方程和编写程序。同时，本发明具有通用性强、计算精度高、收敛速度快等优点。

2)本发明的一种弹性梁结构PVDF模态传感器是一种连续分布式误差传感器，相比较于离散式误差传感器如加速度传感器和压电陶瓷传感器，具有质量轻、频响宽、易剪裁、信号处理简单等显著优势。

附图说明

图1为本发明的弹性梁结构PVDF模态传感器生成流程图。

图2为弹性梁结构示意图。

图3a至图3d为本发明的实施例中弹性梁结构前四阶PVDF模态传感器有效电极示意图。

具体实施方式

下面举例对本发明做更详细的描述。

本发明的弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法，涉及一种使用光滑傅里叶级数法生成弹性边界的PVDF模态传感器有效电极。所述弹性边界的PVDF模态传感器有效电极生成方法包括：输入模型参数，利用位移函数(模态叠加法)生成模态传感器电荷方程，通过输入模态传感器灵敏度系数P_n、形状函数F(x)和积分矩阵R将模态传感器电荷方程生成矩阵形式，计算模态传感器形状系数b和使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数；其中，使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数包括利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，利用Rayleigh-Ritz对未知系数求极值，生成K、M矩阵，生成弹性梁结构自由振动矩阵方程，计算特征值特征向量生成未知系数向量E，生成振型函数二次导数。结合图1本发明的方法具体包括如下步骤：

(1)输入弹性梁结构模型的几何尺寸、材料属性、边界条件和PVDF压电薄膜物理参数；

(2)生成弹性梁结构PVDF模态传感器电荷输出方程，表达式如下：

其中，Q(t)是PVDF模态传感器输出电荷；h和h_p为弹性梁的厚度和PVDF压电薄膜的厚度；e₃₁为x方向的压电常数；w(x,t)为弹性梁横向位移；F(x)为PVDF模态传感器形状函数；L为弹性梁长度；

(3)利用模态叠加理论，简谐激励力下的弹性梁横向位移可以表示为：

其中，a_m和φ_m(x)分别为第m阶结构复模态幅值和振型函数；M是模态截断数；e^jωt是简谐振动时间因子。

(4)输入PVDF模态传感器灵敏度系数P_m，代入步骤(1)表达式，得到：

其中，是振型函数二次导数；

(5)将PVDF模态传感器电荷方程生成矩阵形式，表达式如下：

Q(t)＝γe^jωtaP

其中，γ是常数项,定义为γ＝e₃₁(h+h_p)/2；a是1×M的复模态幅值行向量；P表示M×1的模态灵敏度列向量；

(6)输入PVDF模态传感器形状函数，表达式如下：

(7)将步骤(6)PVDF模态传感器形状函数表达式F(x)代入步骤(4)建立PVDF模态传感器电荷方程矩阵形式，同时，结合步骤(5)，得到表达式如下：

Q(t)＝γe^jωtaP＝γe^jωtaRb^T

其中，R为积分矩阵，表达式如下：

(8)特别地，PVDF模态传感器生成中模态灵敏度向量P_m为预设值，目标阶模态设定为1，向量中其他元素设定为0，具体的表达式如下：

其中，t表示目标阶数；

(9)通过步骤(7)等式，计算PVDF模态传感器未知系数向量b，表达式如下：

b＝(R^-1P)^T

(10)进一步，要想得到步骤(6)定义的PVDF模态传形状函数F(x)，需要求解振型函数二次导数，更具体地，振型函数φ(x)利用光滑傅里叶级数展开为，标准余弦级数和四项修正项，表达式如下：

其中，A₀,A₁…A_n,B₁,B₂,B₃,B₄是未知傅里叶级数系数和相应的补充项函数系数ξ₁(x),ξ₂(x),ξ₃(x),ξ₄(x)是克服边界不连续的四项补充项函数，特别地，

(11)利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，具体表达式如下：

L＝V-T

其中，V表示总势能，包含弹簧势能V_spring,和弹性梁势能V_beam；T表示总动能，

其中，EI、ρ、S分别表示弹性梁结构的截面拉弯刚度、质量密度、截面面积；K₀(K₁)、k₀(k₁)分别表示边界左端(右端)旋转弹簧刚度、左端(右端)线性弹簧刚度；

(12)利用Rayleigh-Ritz方法，对步骤(11)表达式L中未知系数求极值，生成K、M矩阵，并用矩阵表示：

(K-ω²ρSM)E＝0

其中，K是刚度矩阵，M是质量矩阵，E是改进傅里叶级数未知系数向量，ω是固有角频率；

E＝[A₀ A₁ … A_n B₁ B₂ B₃ B₄]^T

(13)通过利用步骤(12)特征值和特征向量得到位置系数向量E、振型函数φ(x)、固有频率；

(14)生成振型函数二次导数；

结合步骤(6)、(9)和(14)生成PVDF模态传感器有效电极形状。

结合图2，设定边界弹簧刚度为K₀＝K₁＝0，k₀＝k₁＝1e12,模态截断数M＝45。弹性梁结构模型材料杨氏模量E＝200Gpa，密度ρ＝7800kg/m³，梁长0.64m，宽0.056m厚度为0.008m

依据本发明PVDF模态传感器有效电极生成方法，得到如图3a-图3d所示弹性梁结构前四阶PVDF模态传感器有效电极示意图，其中，图3a为第1阶，图3b为第2阶，图3c为第3阶，图3d为第4阶。1表示有效电极，2表示弹性梁粘贴面。

尽管本发明结合附图给出具体详细的实施方案，但本发明并不局限于上述具体实施方案和应用领域，上述的实施例只是为了更好的理解本发明，仅仅是示意性的、指导性的，而不是限制性的。

Claims (2)

1.一种弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法，其特征是：输入模型参数，利用位移函数即模态叠加法生成模态传感器电荷方程，通过输入模态传感器灵敏度系数P_n、形状函数F(x)和积分矩阵R将模态传感器电荷方程生成矩阵形式，计算模态传感器形状系数b和使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数生成模态传感器有效电极形状；其中，使用光滑傅里叶级数展开法计算振型函数包括利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，利用Rayleigh-Ritz对未知系数求极值，生成K、M矩阵，生成弹性梁结构自由振动矩阵方程，计算特征值特征向量生成未知系数向量E，生成振型函数二次导数。

2.根据权利要求1所述的弹性梁结构PVDF模态传感器生成方法，其特征是：

(1)所述输入输入弹性梁结构模型的几何尺寸、材料属性、边界条件和PVDF压电薄膜物理参数；

(2)生成弹性梁结构PVDF模态传感器电荷输出方程：

其中，Q(t)是PVDF模态传感器输出电荷；h和h_p分别为弹性梁的厚度和PVDF压电薄膜的厚度；e₃₁为x方向的压电常数；w(x,t)为弹性梁横向位移；F(x)为PVDF模态传感器形状函数；L为弹性梁长度；

(3)利用模态叠加，简谐激励力下的弹性梁横向位移表示为：

其中，a_m和φ_m(x)分别为第m阶结构复模态幅值和振型函数；M是模态截断数；e^jωt是简谐振动时间因子；

(4)输入PVDF模态传感器灵敏度系数P_m，代入步骤(2)表达式，得到：

其中，是振型函数二次导数；

(5)将PVDF模态传感器电荷方程生成矩阵形式，表达为：

Q(t)＝γe^jωtaP

其中，γ是常数项,定义为γ＝e₃₁(h+h_p)/2；a是1×M的复模态幅值行向量；P表示M×1的模态灵敏度列向量；

(6)输入PVDF模态传感器形状函数，表达式如下：

(7)将步骤(6)PVDF模态传感器形状函数表达式F(x)代入步骤(4)建立PVDF模态传感器电荷方程矩阵形式，同时，结合步骤(5)，得到如下等式：

Q(t)＝γe^jωtaP＝γe^jωtaRb^T

其中，R为积分矩阵，表达式如下：

(8)PVDF模态传感器生成中模态灵敏度向量P_m为预设值，目标阶模态设定为1，向量中其他元素设定为0，具体的表达式如下：

其中，t表示目标阶数；

(9)通过步骤(7)等式，计算PVDF模态传感器未知系数向量b，表达式如下：

b＝(R^-1P)^T；

(10)求解振型函数二次导数，更具体地，振型函数φ(x)利用光滑傅里叶级数展开为，标准余弦级数和四项修正项，表达式如下：

其中，A₀,A₁…A_n,B₁,B₂,B₃,B₄是未知傅里叶级数系数和相应的补充项函数系数ξ₁(x),ξ₂(x),ξ₃(x),ξ₄(x)是克服边界不连续的四项补充项函数，

(11)利用能量法描述弹性梁结构总势能和总动能的Lagrangian方程，具体表达式如下：

L＝V-T

其中，V表示总势能，包含弹簧势能V_spring,和弹性梁势能V_beam；T表示总动能，

其中，EI、ρ、S分别表示弹性梁结构的截面拉弯刚度、质量密度、截面面积；K₀与K₁、k₀与k₁分别表示边界左端与右端旋转弹簧刚度、左端与右端线性弹簧刚度；

(12)利用Rayleigh-Ritz方法，对步骤(11)表达式L中未知系数求极值，生成K、M矩阵，并用矩阵表示：

(K-ω²ρSM)E＝0；

其中，K是刚度矩阵，M是质量矩阵，E是改进傅里叶级数未知系数向量，ω是固有角频率，E＝[A₀ A₁ … A_n B₁ B₂ B₃ B₄]^T；

(13)通过利用步骤(12)特征值和特征向量得到位置系数向量E、振型函数φ(x)、固有频率；

(14)生成振型函数二次导数；

结合步骤(6)、(9)和(14)生成PVDF模态传感器有效电极形状。