CN116384162B - 基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法及电子设备 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法及电子设备，基于能量法框架，利用虚拟弹簧模拟周期边界条件，将边界条件转化为虚拟弹簧的弹性势能；对总能量泛函变分得到周期性轨道结构的运动特征方程；将虚拟弹簧的刚度矩阵展开，并将其含有波数的项和不含波数的项解耦；将周期性轨道结构的运动特征方程进行降价处理，将其转化为线性的特征值矩阵；通过扫描频率，并对线性的特征值矩阵变分得到复波数，进而得到轨道结构的复能带。本发明提供了一种新的周期轨道结构的复能带计算方法，该方法的方法简单，思路清晰，计算效率高且具有能量法在计算耦合结构中的优势。
Description
技术领域
本发明属于交通运输工程技术领域，具体涉及一种基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法及电子设备。
背景技术
轨道结构是一种典型的周期结构，周期结构具有带隙特性，这一特性使得结构在特定频率范围内的声波/弹性波能够顺利通过，而其它频带则因衰减而无法通过。周期结构的带隙特性可以由实能带和复能带两个方面表征。实能带结构通过给定波数的实数取值，从而求解波的衰减频率，仅能反应无衰减波的传播规律，难以反应衰减效应。与之相反的，复能带结构是给定频率来求解波数。因此不仅能够刻画波的传播规律还能获取波的衰减细节。
传递矩阵法是一种天然的复能带解法。该方法是通过状态向量传递矩阵的特征值分解来计算带隙特性，由于传递矩阵元素中包含动刚度项（与频率有关），却不含波数项，因此可以方便的得到复能带。然而，传递矩阵法的几何适用性较差，主要应用于简单一维模型的复能带，如离散支撑钢轨。
扩展平面波的复能带结构计算流程直观，能够计算二维周期结构的复能带。但该方法的不足在于：对两组元材料差异较大的周期结构的收敛性较差，且难以处理组合结构中各子结构的耦合，难以计算无砟轨道模型。
有限元法的在计算复杂周期结构中具有巨大优势，是一种好用的分析方法，但计算精度依赖于网格划分的合理程度。意味着对模型做微小改动也必须重新划分网格，严重影响几何参数分析和优化时的计算效率。
能量法具有将泛函边值问题转化为极值问题的特点，这有利于耦合问题的求解。这也在日益复杂的周期结构计算中，具有较大的优势。然而，目前利用能量法计算周期性轨道结构的复能带的方法很少。
发明内容
为了解决上述现有技术的问题，本发明利用虚拟弹簧模型，提出基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法，该方法简单，思路清晰，计算效率高且具有能量法在计算耦合结构中的优势。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法，包括下述步骤：
S1：将轨道结构的周期边界条件用虚拟弹簧模型模拟，将周期边界条件转化为虚拟弹簧的弹性势能；根据轨道结构的材料参数得到钢轨和扣件的应变能、以及钢轨和扣件的动能；
S2：对总能量泛函变分得到周期性轨道结构的运动特征方程；
S3：将虚拟弹簧的刚度矩阵展开，并将其含有波数的项和不含波数的项解耦；
S4：将周期性轨道结构的运动特征方程进行降阶处理，将其转化为线性的特征值矩阵；
S5：通过扫描频率，并对线性的特征值矩阵变分得到复波数，进而得到轨道结构的复能带。
进一步优选，步骤S1中，对于周期性离散支撑钢轨，钢轨采用欧拉梁进行描述，扣件采用弹簧描述，扣件下部的轨枕和轨道板简化为刚体，将轨道结构划分为若干个胞元；扣件间距为，钢轨的垂向位移表示为/>，扣件刚度为/>；使用虚拟弹簧模型来模拟周期边界条件，利用虚拟弹簧将相邻胞元的头尾相连，以此模拟周期边界条件。
进一步优选，步骤S1中，根据能量法计算原理，钢轨的垂向位移由位移形函数和与时间相关的未知系数/>表示：
，
式中未知系数矩阵，位移形函数矩阵, M表示用于模拟位移的位移形函数个数，即截断系数，为第m个未知系数，/>为第m个位移形函数，m∈1,2,…,M；T表示转置；根据布洛赫理论，位移和转角边界条件为：
，
其中, 表示轨道单元的起始位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道单元的结束位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道x方向的波数，i为复数的虚数单位。
进一步优选，步骤S1中，用于模拟周期边界条件的虚拟弹簧的弹性势能表示为：
，
式中，为虚拟弹簧的弹性势能，/>表示虚拟弹簧的刚度矩阵，上标H表示共轭转置，/>为虚拟的位移弹簧的刚度，/>为虚拟的转角弹簧的刚度；
钢轨和扣件的应变能和动能表示为：
，
，
式中，表示钢轨和扣件的应变能，/>表示钢轨和扣件的动能；E，I，ρ和A分别表示钢轨的弹性模量、截面转动惯量、密度和横截面积；/>和/>分别为轨道结构一个胞元的刚度矩阵和质量矩阵，/>表示/>对时间的导数，/>表示未知系数矩阵/>对时间的导数。
进一步优选，步骤S2中，轨道结构的总能量泛函表示为：，根据拉格朗日方程/>，得到其运动特征方程：/>，/>为频率。
进一步优选，步骤S3中，将虚拟弹簧的刚度矩阵展开为：
，
式中，表示位移形函数矩阵/>对x方向的一阶导数；/>为钢轨x方向坐标为0时的位移形函数矩阵；/>为钢轨x方向坐标为l时的位移形函数矩阵；/>为/>的共轭转置；/>为/>对x方向的一阶导数，/>为/>的共轭转置；/>表示与波数相关的量，/>，/>；而后将/>中含有波数的项和不含波数的项分离：
，
式中，分别为/>展开后系数为/>，/>和1的矩阵；将/>展开后代入到运动特征方程/>，将已知矩阵：/>合并形成过渡矩阵；将/>解耦后的运动特征方程表示为：
。
进一步优选，步骤S4中，定义一个降阶向量，并令/>，即：/>，将其代入方程/>中，得到降阶后的运动特征方程：
。
进一步优选，步骤S4中，将代入降阶后的运动特征方程，形成线性的特征值矩阵：
，
对特征值矩阵分解，求出，进而求出波数/>；输入不同的频率/>，便可得到对应频率下的波数/>。
本发明提供了一种非易失性计算机存储介质，计算机存储介质存储有计算机可执行指令，该计算机可执行指令可执行上述的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
本发明还提供一种计算机程序产品，计算机程序产品包括存储在非易失性计算机存储介质上的计算机程序，计算机程序包括程序指令，当程序指令被计算机执行时，使计算机执行上述的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
本发明提供一种电子设备，包括：至少一个处理器，以及与所述至少一个处理器通信连接的存储器，其中，所述存储器存储有可被所述至少一个处理器执行的指令，所述指令被所述至少一个处理器执行，以使所述至少一个处理器能够执行基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
本发明的有益效果：本发明基于能量法的框架，利用虚拟弹簧模型模拟周期边界条件，将位移形函数与边界条件解耦，能够简单快捷的表示轨道结构胞元的位移场。通过对模拟周期边界条件的虚拟弹簧的刚度矩阵处理，得到能够变分求解的特征值方程，通过给定频率并对上述特征值方程变分便可得到复频散进而得到复能带结构。本发明为研究轨道结构复能带提供了一种新的计算方法。该方法计算过程简单，思路清晰，计算效率高且具有能量法在计算耦合结构中的优势。
附图说明
图1是基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法的步骤流程图；
图2是轨道结构的结构示意图；
图3是轨道结构计算模型图；
图4为本发明提出的方法得到的复能带的实数部分示意图；
图5为传递矩阵法得到的复能带的实数部分示意图；
图6为本发明提出的方法得到的复能带的虚数部分示意图；
图7为传递矩阵法得到的复能带的虚数部分示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例（离散支撑钢轨模型），对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
如图1所示，为本实施例提供的一种基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法，包括下述步骤S1至步骤S5，以下详细说明各个步骤的实现方式。
S1：将轨道结构的周期边界条件用虚拟弹簧模型模拟，将周期边界条件转化为虚拟弹簧的弹性势能；根据轨道结构的材料参数得到钢轨和扣件的应变能、以及钢轨和扣件的动能。
图2所示为周期性离散支撑钢轨，钢轨采用欧拉梁进行描述，扣件采用弹簧描述，扣件下部的轨枕和轨道板简化为刚体。轨道结构划分为若干个胞元，虚线框出的部分即为轨道结构的一个胞元，扣件间距为。钢轨的垂向位移表示为/>，扣件刚度为/>。本方法使用虚拟弹簧模型来模拟周期边界条件，轨道结构计算模型如图3所示。利用虚拟弹簧将相邻胞元的头尾相连，以此模拟周期边界条件。
根据能量法计算原理，钢轨的垂向位移由位移形函数和与时间相关的未知系数/>表示：
，
式中未知系数矩阵, 位移形函数矩阵, M表示用于模拟位移的位移形函数个数，即截断系数，为第m个未知系数，/>为第m个位移形函数，m∈1,2,…,M；T表示转置；根据布洛赫(Bloch)理论，周期单元需要满足位移，转角，弯矩和剪力的周期边界条件，在能量法的运算框架下，可以简化为位移和转角边界条件为：
，
其中, 表示轨道单元的起始位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道单元的结束位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道x方向的波数，i为复数的虚数单位。
用于模拟周期边界条件的虚拟弹簧的弹性势能表示为：
，
式中，为虚拟弹簧的弹性势能，/>表示虚拟弹簧的刚度矩阵，上标H表示共轭转置，/>为虚拟的位移弹簧的刚度，/>为虚拟的转角弹簧的刚度；
钢轨和扣件的应变能和动能表示为：
，
，
式中，表示钢轨和扣件的应变能，/>表示钢轨和扣件的动能；E，I，ρ和A分别表示钢轨的弹性模量、截面转动惯量、密度和横截面积；/>和/>分别为轨道结构一个胞元的刚度矩阵和质量矩阵，/>表示/>对时间的导数，/>表示未知系数矩阵/>对时间的导数。
S2：对总能量泛函变分得到周期性轨道结构的运动特征方程。
根据能量法的计算原理，轨道结构的总能量泛函表示为：，根据拉格朗日方程/>，得到其运动特征方程：/>，/>为频率。
对于实能带问题，扫描第一不可约布里渊区, ，并运动特征方程进行特征值分解，便可得到轨道结构的实能带。与实能带算法相反，复能带算法是通过给定频率，来求解波数/>。然而，由于未知的波数/>出现在周期边界约束中而无法直接求解，我们考虑该运动特征方程转化为线性特征值问题。
S3：将虚拟弹簧的刚度矩阵展开，并将其含有波数的项和不含波数的项解耦。
为得到线性特征值方法，首先需要将波数从矩阵中分离出来。得益于虚拟弹簧模型，波数仅存在于虚拟弹簧的弹性势能中。因此，仅需将虚拟弹簧的刚度矩阵中的波数解耦。将虚拟弹簧的刚度矩阵展开为：
，
式中，表示位移形函数矩阵/>对x方向的一阶导数；/>为钢轨x方向坐标为0时的位移形函数矩阵；/>为钢轨x方向坐标为l时的位移形函数矩阵；/>为/>的共轭转置；/>为/>对x方向的一阶导数，/>为/>的共轭转置；/>表示与波数相关的量，/>，/>；而后将/>中含有波数的项和不含波数的项分离：
，
式中，分别为/>展开后系数为/>，/>和1的矩阵；将/>展开后代入到运动特征方程/>，将已知矩阵：/>合并形成过渡矩阵；将/>解耦后的运动特征方程表示为：
。
S4：将周期性轨道结构的运动特征方程进行降阶处理，将其转化为线性的特征值矩阵。
将解耦后的运动特征方程的/>的次数设置为2。那么，需要降低λ的次数，这在数学上称为降阶。定义一个降阶向量/>，并令/>，即：/>，将其代入方程中，得到降阶后的运动特征方程：
，
进一步的，将代入降阶后的运动特征方程，形成线性的特征值矩阵：
，
对特征值矩阵分解，求出，进而求出波数/>；输入不同的频率/>，便可得到对应频率下的波数/>。
S5：通过扫描频率，并对线性的特征值矩阵变分得到复波数，进而得到轨道结构的复能带。
本实施例中，仅考虑钢轨的垂向振动，周期性离散支撑钢轨的材料参数如表1所示。为验证本实施例准确性，取相同材料参数，采用本发明提出的方法与传递矩阵法计算，获取轨道复能带结果如图4-图7所示，两者结果符合良好。如图4和图5所示，实线框部分为轨道结构的带隙频率区域，对比两种方法得到的轨道结构复能带的实数部分，可知采用本方法计算得到在129Hz以内和1340.5Hz~1353Hz存在两条带隙频段；由传递矩阵法计算得到的带隙频段为129 Hz以内和1342~1355 Hz。如图6和图7所示，对比两种方法得到的轨道结构复能带的虚数部分，可知129Hz以内带隙的最大衰减的波数为1.1，而1340.5Hz~1353Hz的带隙的最大衰减波数为1.1e-3。
本实施例还提供了一种非易失性计算机存储介质，计算机存储介质存储有计算机可执行指令，该计算机可执行指令可执行上述任意实施例中的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
本实施例还提供一种计算机程序产品，计算机程序产品包括存储在非易失性计算机存储介质上的计算机程序，计算机程序包括程序指令，当程序指令被计算机执行时，使计算机执行上述实施例的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
本实施例还提供一种电子设备，包括：至少一个处理器，以及与所述至少一个处理器通信连接的存储器，其中，所述存储器存储有可被所述至少一个处理器执行的指令，所述指令被所述至少一个处理器执行，以使所述至少一个处理器能够执行基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
上面所述的实施例仅仅是对本发明的实施方式进行描述，并非对本发明的构思和范围进行限定。在不脱离本发明设计构思的前提下，本领域普通人员对本发明的技术方案做出的各种变型和改进，均应落入到本发明的保护范围，本发明请求保护的技术内容，已经全部记载在权利要求书中。
Claims (3)
1.基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法，其特征在于，包括下述步骤：
S1：将轨道结构的周期边界条件用虚拟弹簧模型模拟，将周期边界条件转化为虚拟弹簧的弹性势能；根据轨道结构的材料参数得到钢轨和扣件的应变能、以及钢轨和扣件的动能；
S2：对总能量泛函变分得到周期性轨道结构的运动特征方程；
S3：将虚拟弹簧的刚度矩阵展开，并将其含有波数的项和不含波数的项解耦；
S4：将周期性轨道结构的运动特征方程进行降阶处理，将其转化为线性的特征值矩阵；
S5：通过扫描频率，并对线性的特征值矩阵变分得到复波数，进而得到轨道结构的复能带；
步骤S1中，对于周期性离散支撑钢轨，钢轨采用欧拉梁进行描述，扣件采用弹簧描述，扣件下部的轨枕和轨道板简化为刚体，将轨道结构划分为若干个胞元；扣件间距为，钢轨的垂向位移表示为/>，扣件刚度为/>；使用虚拟弹簧模型来模拟周期边界条件，利用虚拟弹簧将相邻胞元的头尾相连，以此模拟周期边界条件；根据能量法计算原理，钢轨的垂向位移由位移形函数/>和与时间相关的未知系数/>表示：
；
式中未知系数矩阵，位移形函数矩阵, M表示用于模拟位移的位移形函数个数，即截断系数，为第m个未知系数，/>为第m个位移形函数，m∈1,2,…,M；T表示转置；根据布洛赫理论，位移和转角边界条件为：
；
其中,表示轨道单元的起始位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道单元的结束位置的钢轨垂向位移，/>表示轨道x方向的波数，i为复数的虚数单位；
用于模拟周期边界条件的虚拟弹簧的弹性势能表示为：
；
式中，为虚拟弹簧的弹性势能，/>表示虚拟弹簧的刚度矩阵，上标H表示共轭转置，/>为虚拟的位移弹簧的刚度，/>为虚拟的转角弹簧的刚度；
钢轨和扣件的应变能和动能表示为：
；
；
式中，表示钢轨和扣件的应变能，/>表示钢轨和扣件的动能；E，I，ρ和A分别表示钢轨的弹性模量、截面转动惯量、密度和横截面积；/>和/>分别为轨道结构一个胞元的刚度矩阵和质量矩阵，/>表示/>对时间的导数，/>表示未知系数矩阵/>对时间的导数；
步骤S2中，轨道结构的总能量泛函表示为：，根据拉格朗日方程，得到其运动特征方程：/>，/>为频率；
步骤S3中，将虚拟弹簧的刚度矩阵展开为：
；
式中，表示位移形函数矩阵/>对x方向的一阶导数；/>为钢轨x方向坐标为0时的位移形函数矩阵；/>为钢轨x方向坐标为l时的位移形函数矩阵；/>为/>的共轭转置；/>为/>对x方向的一阶导数，/>为/>的共轭转置；/>表示与波数相关的量，/>，/>；而后将/>中含有波数的项和不含波数的项分离：
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式中，分别为/>展开后系数为/>，/>和1的矩阵；将/>展开后代入到运动特征方程/>，将已知矩阵：合并形成过渡矩阵/>；将/>解耦后的运动特征方程表示为：
；
步骤S4中，定义一个降阶向量，并令/>，即：/>，将其代入方程中，得到降阶后的运动特征方程：
；
将代入降阶后的运动特征方程，形成线性的特征值矩阵：
；
对特征值矩阵分解，求出，进而求出波数/>；输入不同的频率/>，便可得到对应频率下的波数/>。
2.一种非易失性计算机存储介质，计算机存储介质存储有计算机可执行指令，其特征在于，该计算机可执行指令执行权利要求1所述的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
3.电子设备，包括：至少一个处理器，以及与所述至少一个处理器通信连接的存储器，其中，所述存储器存储有可被所述至少一个处理器执行的指令，其特征在于，所述指令被所述至少一个处理器执行，以使所述至少一个处理器能够执行权利要求1所述的基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法。
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2023
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