CN112560320A - 一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的在于提供一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，包括如下步骤：a)建立轨道结构的动力学模型，所述钢轨简化为铁木辛柯梁单元，扣件与道砟简化为扣件弹簧和道砟弹簧，轨枕简化为质量块，即铁木辛柯梁单元通过支撑弹簧与质量块上表面连接，质量块下表面通过另一支撑弹簧与地基连接的双层弹性点支撑轨道结构动力学模型；b)计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，得到有砟轨道结构垂向振动频散曲线。本发明方法提出双层连续弹性梁模型结构，相比于现有的方案更加贴合实际情况。解决了传统平面波方法在求解双层轨道结构时，本征方程中存在奇异矩阵从而导致无法求解的问题，提高了平面波展开法的适用性。

Description

一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法

技术领域

本发明属于轨道交通技术领域，具体涉及一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法。

背景技术

近年来我国高速铁路、重载铁路技术不断发展，随着现代铁路的速度和运营密度的大幅提高，车辆和轨道的相互作用变得更加强烈，其中，轨道的主体结构没有发生太多变化，传统的有砟轨道仍然是当前普速铁路的主要结构形式，列车运行引起轨道振动，振动以弹性波的形式在轨道结构中传播，对轨道结构构件造成严重损伤。此外，当铁路穿越居民区和城区时，轨道结构的振动会由于声波的辐射造成严重的噪声污染，对沿线临近居民的工作与生活健康、临近建筑物和精密仪器的正常使用等造成了不利影响，成为最具代表性的环境问题。衰减慢、穿透力强、传播距离远的轮轨噪声会造成人体神经衰落、引发高血压，心脏病等症状。因此，研究轨道结构中波的传播行为及其控制具有重要的意义。

近代固体物理学研究发现周期结构具有重要的物理特性，即振动带隙特性，轨道结构作为一种常见的周期性结构，当振动以弹性波的形式在轨道中传播时，受内部周期结构的作用，某些频率范围内的弹性波不能传播，则相应的频率范围称之为带隙。平面波展开法是周期结构带隙计算最基本的方法，其基本思路是将弹性波动方程中的位移、材料参数等物理量按Fourier级数的形式在倒格矢空间展开，通过截取有限个展开项，将波动方程转化为本征方程，求解本征方程的特征值即可得到带隙，目前平面波展开法用于计算单层轨道结构带隙问题已有相关研究，但对于双层轨道结构还缺少相关研究，而且在用该方法计算双层轨道结构时，特征值方程中存在奇异矩阵，导致特征值方程无解。因此，亟需对现有的平面波展开法进行改进，提出一种适用于计算双层轨道结构弯曲振动带隙的方法。

发明内容

本发明的目的在于解决现有平面波方法适用范围窄的现状，目前仅适用于单层轨道结构振动带隙问题的求解，而单层轨道结构的计算结果与实际情况偏差较大，提出一种更加精确的轨道结构弯曲振动带隙的计算方法。

具体而言，本发明提供一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

a)建立轨道结构的动力学模型，所述钢轨简化为铁木辛柯梁单元，扣件与道砟简化为扣件弹簧和道砟弹簧，轨枕简化为质量块，即铁木辛柯梁单元通过支撑弹簧与质量块上表面连接，质量块下表面通过另一支撑弹簧与地基连接的双层弹性点支撑轨道结构动力学模型；

b)计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，得到有砟轨道结构垂向振动频散曲线。

进一步地，其特征在于，所述计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，为通过平面波展开法计算得到。

进一步地，其特征在于，所述扣件弹簧、轨枕、道砟弹簧系统可以简化成一个等效弹簧，其中，

表示轨道结构垂向等效支撑刚度，k₁、k₂、m、ω分别示扣件垂向刚度、道砟垂向支承刚度、轨枕质量、轨枕圆频率。

进一步地，其特征在于，所述计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性的具体方法为，采用如下特征值方程实现，

式中：

其中：

A＝mL1，B＝(k1+k2)L1+mL3+mk1Q，C＝(k1+k2)L2+k1k2Q，

D＝mL3，E＝(k1+k2)L3，F＝L5，G＝L4，H＝L6，

其中：

其中：

G₁表示一维倒格矢；i为虚部，U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别是的u_k(x)、θ_k(x)Fourier系数；G₂表示一维倒格矢；M_n(G₂)、K_v(G₂)分别是的m_n(x)、k_v(x)Fourier系数。U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别为位移和转角的Fourier系数列阵。G3表示一维倒格矢，u_k(x)表示钢轨的垂向位移函数，θ_k(x)表示x的周期函数，k表示一维波矢，函数m_n(x)、扣件刚度分布函数k_v(x)表示与梁的垂向位移u(x,t)和截面转角θ(x,t)有相同空间周期性的函数，G₃＝G₁+G₂。

本发明的优点在于：

(1)本发明方法提出双层连续弹性梁模型结构，相比于现有的方案更加贴合实际情况。

(2)通过分析带隙特性，了解轨道结构中弹性波的传递特性，从而指导减振或者用于振动预测。

(3)本发明方法在已有的平面波方法上进行改进，通过矩阵求逆的数学方法，解决了传统平面波方法在求解双层轨道结构时，本征方程中存在奇异矩阵从而导致无法求解的问题，提高了平面波展开法的适用性，并进一步将平面波展开法推广到求解各类轨道结构振动带隙问题中。

附图说明

图1是双层周期离散支撑钢轨分析模型示意图

图2是有砟轨道结构单胞有限元示意图

图3是基于改进平面波展开法的钢轨垂向振动频散曲线图

图4是基于有限元法的钢轨垂向振动频散曲线图

具体实施方式

为了使本发明的技术方案和优点更加清楚，下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述。

本发明提供一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，包括如下步骤：

a)建立轨道结构的动力学模型，所述钢轨简化为铁木辛柯梁单元，扣件与道砟简化为扣件弹簧和道砟弹簧，轨枕简化为质量块，形成双层弹性点支撑轨道结构动力学模型；

b)计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，得到有砟轨道结构垂向振动频散曲线。

对于有砟轨道结构，整体弹性主要由扣件系统以及道床提供，此时，道床道砟的弹性支承不可忽略。因此，要精确计算轨道结构的动力学特性，则有必要建立双层弹性点支承轨道结构的动力学模型，具体如图1所示。其中，轨道结构简化为由钢轨、扣件、轨枕和道砟组成的无限周期结构，其中，钢轨简化为Timoshenko(铁木辛柯)梁单元，扣件与道砟简化为支承弹簧，轨枕简化为质量块，即铁木辛柯梁单元通过支撑弹簧与质量块上表面连接，质量块下表面通过另一支撑弹簧与地基连接。

在一个方案中，所述计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，为通过平面波展开法计算得到。

在一个方案中，在对有砟轨道结构进行相关动力学分析时，轨下支承结构(图1所示的扣件弹簧、轨枕、道砟弹簧系统)可以简化成一个等效弹簧，其中，

表示轨道结构垂向等效支撑刚度，k₁、k₂、m、ω分别示扣件垂向刚度、道砟垂向支承刚度、轨枕质量、轨枕圆频率。

钢轨垂向位移和转角以及无缝线路纵向温度力可以等效为沿着钢轨纵向分布的均布力，可以写成与材料参数有相同空间周期性的函数，故将其展开为Fourier级数形式。

式中：G₁表示一维倒格矢；i为虚部，U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别是的u_k(x)、θ_k(x)Fourier系数；G₂表示一维倒格矢；M_n(G₂)、K_v(G₂)分别是的m_n(x)、k_v(x)Fourier系数，U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别为位移和转角的Fourier系数列阵。G3表示一维倒格矢，u_k(x)表示钢轨的垂向位移函数，θ_k(x)表示x的周期函数，k表示一维波矢，函数m_n(x)、扣件刚度分布函数k_v(x)表示与梁的垂向位移u(x,t)和截面转角θ(x,t)有相同空间周期性的函数，G₃＝G₁+G₂。

需要注意的是，式(1)中的

表示有砟轨道结构轨下垂向等效支承刚度在倒格矢空间Fourier系数，下面将进一步说明求解式(1)的方法。

定义矩阵L_1～6、U、θ，使其分别满足：

同时利用

替代式(1)中的

并进一步写成矩阵的形式：

将式(3)、(2)代入(1)中可得

将式(4)进一步展开为

定义矩阵A～H，使其分别满足：

将式(6)代入式(5)可得

将方程(7)进一步写成矩阵形式

将式(8)进一步写成

ω⁴T₁Y-ω²T₂Y+T₃Y＝0 (9)

其中矩阵T₁、T₂、T₃、Y满足

可以看出式(9)中同时含有ω⁴、ω²项，不是标准的特征值方程，因而不能直接求解式(9)得到有砟轨道结构弯曲振动的频散曲线。需要进一步对该方程进行相应的数学处理。

令λ＝ω²，代入式(9)中

λ²T₁Y-λT₂Y+T₃Y＝0 (11)

根据现有的平面波展开法的特征值求解方式，令X＝λY，可以将式(11)中的λ²项消掉，进而转化成标准的特征值问题：

需要注意的是，对于特征值方程(12)，由于矩阵T1是奇异矩阵，不存在逆矩阵，因此该特征值方程无解。故直接利用现有的方法无法对方程(11)求解，需要先经过特殊的手段进行处理，下面进一步说明：

令式(11)式各项乘以λ^-2可以得到：

λ^-2T₃Y-λ^-1T₂Y+T₁Y＝0 (13)

令λ^*＝λ^-1，代入式(13)中

λ^*2T₃Y-λ^*T₂Y+T₁Y＝0 (14)

此时，因为矩阵T₃为非奇异矩阵，可以求出其逆矩阵，此时则现有求解方法消掉项λ^*2，进而转化成标准的特征值问题：

此时特征值方程(15)有解。如果将无限级数用N个倒格矢求和来近似，则式(15)转化为2N×2N的矩阵特征值问题，取遍第一不可约Brilliouin区(第一不可约布里渊区范围[0,π/l],其中l表示轨枕间距)的波矢k值，将求得的特征值取倒数进而可得到相对应特征频率值，从而得到周期有砟轨道结构弯曲振动的频散曲线(即带隙图)。

实施例1：

下面结合附图说明本发明双层轨道结构振动带隙计算方法的一个实施例，其中，钢轨采用CHN60轨，轨道结构相关参数取值见表1。为了说明Timoshenko(铁木辛柯梁)梁模型的合理性，建立图2所示的周期离散支撑钢轨有限元模型：钢轨建立为实体单元，轨枕简化为实体质量块单元，扣件与道砟简化为弹簧单元，相关参数取值同表1，为满足波动问题有限元求解精度要求，实体单元的网格划分满足：最大单元为波长的六分之一，最小单元为波长的十分之一，钢轨两端边界通过逐点约束的方式施加Floquet周期性边界条件，由于轨道结构沿钢轨纵向呈现周期性，属于典型的一维周期结构，仅在钢轨纵向(x方向)定义波矢k，取遍第一布里渊区内所有的波矢k值，利用有限元软件COMSOL固体力学模块进行求解。

表1有砟轨道结构参数

根据特征方程(15)计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，得到有砟轨道结构垂向振动频散曲线，如图3所示。为了便于比较本发明方法的合理性，将有限元法(如图4)计算得到的频散曲线与基于本发明方法的计算结果进行对比。

表2列出了基于发明提出的改进平面波展开法的解析解与数值解地带隙频率范围地对比。

表2改进平面波展开法与有限元法结果对比表

带隙阶数	改进的平面波展开法	有限元法
			1	0-127.85Hz	0-127.48Hz
2	181.4-257.99Hz	180.1-256.63Hz
			3	1014.41-1060.86Hz	1016.7-1062.8Hz

由图3、4、表2可以看出，0-2500Hz范围内，本发明提出的改进的平面波展开法计算结果与实体单元有限元仿真结果基本一致，说明了本发明提出的计算双层轨道结构弯曲振动带隙的改进平面波展开法的准确性。

上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的优选实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技艺精神所作的等效实施方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

a)建立轨道结构的动力学模型，所述钢轨简化为铁木辛柯梁单元，扣件与道砟简化为扣件弹簧和道砟弹簧，轨枕简化为质量块，即铁木辛柯梁单元通过支撑弹簧与质量块上表面连接，质量块下表面通过另一支撑弹簧与地基连接的双层弹性点支撑轨道结构动力学模型；

b)计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，得到有砟轨道结构垂向振动频散曲线。

2.根据权利要求1所述的轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，所述计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性，为通过平面波展开法计算得到。

3.根据权利要求2所述的轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，所述扣件弹簧、轨枕、道砟弹簧系统可以简化成一个等效弹簧，其中，

表示轨道结构垂向等效支撑刚度，k₁、k₂、m、ω分别示扣件垂向刚度、道砟垂向支承刚度、轨枕质量、轨枕圆频率。

4.根据权利要求3所述的轨道结构弯曲振动带隙的计算方法，其特征在于，所述计算双层弹性点支撑轨道结构频散特性的具体方法为，采用如下特征值方程实现，

式中：

其中：

A＝mL₁，B＝(k₁+k₂)L₁+mL₃+mk₁Q，C＝(k₁+k₂)L₂+k₁k₂Q，

D＝mL₃，E＝(k₁+k₂)L₃，F＝L₅，G＝L₄，H＝L₆，

其中：

其中：

G₁表示一维倒格矢；i为虚部，U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别是的u_k(x)、θ_k(x)Fourier系数；G₂表示一维倒格矢；M_n(G₂)、K_v(G₂)分别是的m_n(x)、k_v(x)Fourier系数。U_k(G₁)、θ_k(G₁)分别为位移和转角的Fourier系数列阵。G3表示一维倒格矢，u_k(x)表示钢轨的垂向位移函数，θ_k(x)表示x的周期函数，k表示一维波矢，函数m_n(x)、扣件刚度分布函数k_v(x)表示与梁的垂向位移u(x,t)和截面转角θ(x,t)有相同空间周期性的函数，G₃＝G₁+G₂。

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