CN116167187A - 一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法。包括：将板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板，子板间设置虚拟耦合弹簧模拟边界上四种耦合作用；子板的边界条件采用罚函数法处理；将任意形状板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上积分之和；利用正交化方法生成完备正交多项式集来作为位移容许函数；利用正交多项式性质，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算；利用Rayleigh‑Ritz法得到板的固有频率和振型。本方法能解决任意边界条件和耦合角度的任意形状板耦合结构的自由振动问题。

Description

一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法

技术领域

本发明涉及一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，属于工程力学和振动工程领域。

背景技术

薄板以不同角度耦合而成的板耦合结构是工程中常见的典型构件，在车辆、船舶、机械工程以及土木工程中应用广泛。不同的工作环境、工作空间、承载工况对耦合板结构的几何形状有着迥异的需求，它们的振动特性对结构安全性和可靠性评估具有重要意义，深入了解和把握其振动特性是耦合板结构设计和应用的重要前提。

由于任意曲线轮廓的引入会增加板耦合结构振动问题在建模和求解上的困难，目前国内外绝大多数耦合板结构振动特性的研究局限于矩形板的耦合结构。对任意形状板耦合结构的自由振动问题的解析方法的研究尚未见文献报道。因此对更能适应工程实际需求的任意形状板耦合结构建立一种适用于任意边界条件和任意耦合角度的分析方法，具有重要的理论和应用价值。

发明内容

本发明提出了一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，以解决现有技术中存在的问题。

一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，所述任意形状板耦合结构的振动特性分析方法包括以下步骤：

步骤一：将板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板，子板间设置虚拟耦合弹簧模拟边界上四种耦合作用；

步骤二：将所述子板的边界条件采用罚函数法处理；

步骤三：将任意形状板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上积分之和；

步骤四：利用Gram-Schmidt正交化方法生成完备正交多项式集来作为位移容许函数；

步骤五：利用正交多项式性质，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算；

步骤六：利用Rayleigh-Ritz法得到板的固有频率和振型。

进一步的，具体的，所述虚拟耦合弹簧设置有四组。

进一步的，具体的，将板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板；在耦合边界处设置四组虚拟耦合弹簧k_cr，k_cz，k_cx和k_cy，分别模拟横向弯矩、面外剪切、面内垂直于耦合边界的纵向作用和面内相切于耦合边界的剪切，两子板刚性耦合时耦合弹簧刚度均设为无穷大；弹性耦合时刚度在区间(0,10¹²)取值。

进一步的，在步骤二中，具体的，子板的边界条件采用罚函数法处理，即在子板的非耦合边均匀布置模拟弯曲振动边界条件的平动弹簧和转动弹簧，以及面内振动边界条件的切向弹簧和法向弹簧，平动弹簧、转动弹簧、切向弹簧和法向弹簧的刚度k_t，k_r，k_n和k_p作为惩罚参数；通过改变这些弹簧的刚度值来模拟耦合结构的任意弯曲和面内边界条件，当这些弹簧对应的边界约束为刚性时弹簧刚度均设为无穷大；对应的边界约束为弹性约束时刚度在区间(0,10¹²)取值。

进一步的，在步骤三中，具体的，将任意形状子板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上累次积分或定积分之和，其表达式形式如下：

弯曲振动应变能表达式为：

其中，W_i(x_i,yi)是横向弯曲位移，i＝1,2为任意形状子板编号，D＝Eh³/[12(1-v²)]是抗弯刚度，v，E和h分别是泊松比，杨氏模量和板厚，y_i＝f_p(x_i)或y_i＝f_p'(x_i)为同一个曲边梯形的两条曲线段的方程，p＝1,2,,…,n；n为个曲边梯形域数量；

面内振动应变能表达式为：

其中，u_i和v_i分别为板面内振动在x和y方向上的位移，

边y_i＝f_p(x_i)的弯曲振动边界势能表达式为：

其中x_i,p1和x_i,p2为该边两端点的x_i坐标，k_t和k_r为平动弹簧和转动弹簧刚度，

边y_i＝f_p(x_i)的面内振动边界势能表达式为：

其中，k_t和k_r为切向弹簧和法向弹簧刚度，

分别为边界上点在法向和切向的位移，/>

为曲线边切线与x轴正向的夹角，

所有边的约束弹簧中的总势能表达式为：

其中，pb_i为子板i非耦合边的边数，

弯曲振动动能表达式为：

其中，ρ是质量密度,ω是角频率，

面内振动动能表达式为：

耦合弹簧势能表达式为：

其中，x₁＝x_1c和x₂＝x_2c分别为耦合边在两子板坐标系下的方程，y_c1和y_c2为耦合边两端点的y坐标，k_cr、k_cz、k_cx和k_cy分别为模拟横向弯矩，面外剪切，面内垂直于耦合边界的纵向作用和面内相切于耦合边界的剪切作用的耦合弹簧刚度。

进一步的，在步骤四中，具体的，利用Gram-Schmidt正交化方法对任意形状板域x_min≤x≤x_max,y_min≤y≤y_max生成完备正交多项式集来作为位移容许函数，

容许函数表达式为：

其中，S_n(ξ)和

为利用Gram-Schmidt正交化方法，在x和y方向分别在区间[A₁,B₁]＝[x_min,x_max]和[A₂,B₂]＝[y_min,y_max]上，采用幂函数集{1,ξ,…,ξ^k,…}并选定区间[A_i,B_i]的权函数r_i(ξ)构造的完备正交多项式，

位移函数表达式为：

其中，C_imn，C_iu,mn及C_iv,mn为待定系数,j＝1,2,……,n。

进一步的，在步骤五中，具体的，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，得到定积分形式的任意形状板耦合结构能量泛函，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算，

对于具有累次积分形式的能量表达式，包括弯曲振动应变能式、面内振动应变能式、弯曲振动动能式以及面内振动动能式，将其化简为定积分形式，表达式为：

其中，U_i代表以上任一种具有累次积分形式的能量；A代表各式中的常系数，

为关于x_i和y_i的二元多项式，s＝0,1,2,…,S,t＝0,1,2,…,T,S和T分别为x_i和y_i的幂的最高次数，k_s,t为系数，/>

为P(x_i,y_i)关于y_i的解析的原函数，

得到定积分形式的任意形状板耦合结构能量泛函，其表达式为：

根据曲线方程y_i＝f_p(x_i)和y_i＝f_p'(x_i)的形式决定能量泛函I_CP的求解方式，如果这些定积分可以解析地计算，则能量U_i有解析解；如果不可以，U_i采用高斯积分法进行求解。

进一步的，在步骤六中，具体的，使任意形状板耦合结构能量泛函I_CP最小化，利用Rayleigh-Ritz法得到任意形状板耦合结构的振动特性。

一种存储介质，该存储介质上储存有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时实现权利要求1至8任一项所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法。

一种计算机设备，其特征在于，包括：存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序，以实现上述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法。

本发明的有益效果：本发明的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，得到了任意形状板三维耦合结构的解析或半解析解，相较于现有的有限元法等数值解法，从理论上揭示了板耦合结构振动过程中复杂的板轮廓曲线与应变能、动能以及边界势能的解析的数学关系；应用范围广，对于任意形状、任意边界条件、任意耦合角度以及任意耦合刚度的板耦合结构均可适用；结果为级数形式的精确解，精度高，收敛快。

附图说明

图1为任意形状板耦合结构示意图；

图2为任意形状子板域划分为曲边梯形域示意图；

图3为子板i曲线轮廓上点的位移的分解示意图；

图4为三角形板-半椭圆板耦合结构几何示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

彩照附图，本发明提供了一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法的一实施例，包括以下步骤：

步骤一：将如图1所示的板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板；在耦合边界处设置四组虚拟弹簧k_cr，k_cz，k_cx和k_cy，分别模拟横向弯矩，面外剪切，面内垂直于耦合边界的纵向作用和面内相切于耦合边界的剪切，两子板刚性耦合时耦合弹簧刚度均设为无穷大(以10¹²代替)；弹性耦合时刚度在区间(0,10¹²)取值。

步骤二：子板的边界条件采用罚函数法处理，即在子板的非耦合边均匀布置模拟弯曲振动边界条件的平动弹簧和转动弹簧，以及面内振动边界条件的切向弹簧和法向弹簧，它们的刚度k_t，k_r，k_n和k_p作为惩罚参数。通过改变这些弹簧的刚度值来模拟耦合结构的任意弯曲和面内边界条件，当这些弹簧对应的边界约束为刚性时弹簧刚度均设为无穷大(以10¹²代替)；对应的边界约束为弹性约束时刚度在区间(0,10¹²)取值。

步骤三：将任意形状子板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上积分之和；如图2所示，子板i为具有任意分段光滑曲线轮廓的薄板。每段光滑曲线的方程必须可以显式地表示为(或近似表示为)y_i＝f(x_i)的形式。该板具有n+1段光滑曲线边。这里把相邻光滑曲线边的交点称为顶点。顶点的数量也是n+1。板在坐标系中的放置位置可以是任意的，为简便起见，将任意两个顶点置于x轴上，过其余各顶点的x轴的垂线将板分为n个部分，同时将板的边界分为2n条光滑曲线段，用C_p或C'_p表示，其方程为y_i＝f_p(x_i)或y_i＝f_p'(x_i)，p＝1,2,,…,n；位于原点的顶点x坐标x_i,0＝0，其余各顶点的x坐标为x_i,p；y_i,max和y_i,min分别为板轮廓曲线上点的y坐标的最大值和最小值；

根据经典板理论，子板i自由弯曲振动的应变能为：

其中，

为拉普拉斯算子，W_i(xi,yi)是横向弯曲位移，D＝Eh³/[12(1-v²)]是抗弯刚度，v，E和h分别是泊松比，杨氏模量和板厚；S_i为沿板中面的积分域。

根据图2，式(s1)可以改写为

其面内振动应变能可以表示为：

其中，u_i(x_i,y_i)和v_i(x_i,y_i)分别为板面内振动在x和y方向上的位移。

同样根据图2，式(s3)可以进一步写作：

对于子板i，除作为耦合边界的边外，其余各条边均需计算边界弹簧势能。以边y_i＝f_p(x_i)为例，存储其中的弯曲振动弹簧势能为

其中x_i,p1和x_i,p2为该边两端点的x_i坐标。

如图3所示，将曲线边y_i＝f_p(x_i)上任一点Q处的面内位移u_i和v_i分解到沿该点的切线方向(p向)和法线方向(n向)，

为曲线边切线与x轴正向的夹角。则存储其中的面内振动弹簧势能为

其中

分别为边界上点在法向和切向的位移。

则所有边的约束弹簧中的总势能为

其中，pb_i为子板i非耦合边的边数。

子板i的弯曲振动动能为

其中，ρ是质量密度,ω是角频率。

按照任意形状积分域的分割思想，式(s9)可以进一步写作

子板i的面内振动动能为

同样，式(s11)可以进一步写作：

耦合弹簧存储的势能可以表示为

其中，x₁＝x_1c和x₂＝x_2c分别为耦合边在两子板坐标系下的方程，y_c1和y_c2为耦合边两端点的y(y₁或y₂)坐标。

于是任意形状板耦合结构的能量泛函可以表示为

在Rayleigh-Ritz方法中，位移被假定为容许函数的线性组合:

其中

为容许函数，C_j,C_u,j,C_v,j为待定系数,j＝1,2,……,n。

步骤四：利用Gram-Schmidt正交化方法生成完备正交多项式集来作为位移容许函数，任取区间[A,B]和一组构成完备集的线性无关的多项式函数，以幂函数集{1,ξ,…,ξ^k,…}为例，利用如下Gram-Schmidt正交化过程，可以构造一组完备正交多项式S_k(ξ)：

S₀(ξ)＝1 (s16a)

其中r(ξ)为区间[A,B]的权函数。多项式S_k(ξ)满足如下正交化条件：

对不同的坐标变量构造不同的正交多项式。在x和y方向分别取区间[A₁,B₁]和[A₂,B₂]构造正交多项式S_n(ξ)和

并将容许函数取为

其中，n＝0,1,2,3…,N；m＝0,1,2,3…,M，N,M表示正交多项式中的最高次数。同时，x和y坐标需要被规范化通过

/>

为避免规范化过程造成的运算复杂性，对于任意形状板域x_min≤x≤x_max,y_min≤y≤y_max，在x和y方向分别取区间[A₁,B₁]和[A₂,B₂]构造正交多项式S_n(ξ)和

取

则由式(s19)有

即无需进行坐标规范化。得到容许函数为

以任一子板的弯曲振动为例，位移函数式(s15a)可以写成以下形式：

基于以上理论论证，分别为两个子板利用Gram-Schmidt正交化方法构造容许函数。对于子板1，在x₁，y₁方向分别取区间[A₁₁,B₁₁]＝[x_1min,x_1max]，[A₁₂,B₁₂]＝[y_1min,y_1max]构造正交多项式S_1n(x₁)和

并将容许函数取为

则位移函数取为：

类似地，对于子板2，在x₂，y₂方向分别取区间[A₂₁,B₂₁]＝[x_2min,x_2max]，[A₂₂,B₂₂]＝[y_2min,y_2max]构造正交多项式S_2n(x₂)和

并将容许函数取为

则位移函数取为：

于是由式(s25)和式(s27)及能量泛函式(s14)知能量泛函I_CP是全部待定系数C_1mn，C_1u,mn，C_1v,mn及C_2mn，C_2u,mn，C_2v,mn的函数。

步骤五：利用正交多项式性质，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算。考虑子板的弯曲应变能。将多项式形式的式(s23)代入式(s2)，则式(s2)中的被积函数整理后仍然是关于x_i和y_i的二元多项式，应变能可以表示为：

其中，

为关于x_i和y_i的二元多项式，s＝0,1,2,…,S,t＝0,1,2,…,T,S和T分别为x_i和y_i的幂的最高次数；k_s,t为系数。

显然，P(x_i,y_i)关于y_i具有解析的原函数Q(x_i,y_i)，它仍然是多项式：

因此，式(s28)可以写作

此时，式(31)中的积分能否解析地以封闭形式计算出来，取决于曲线方程y_i＝f_p(x_i)和y_i＝f_p'(x_i)的形式。如果这些积分可以解析地计算，则应变能U_ti有解析解；如果不可以，U_ti采用高斯积分法进行求解。

类似地，动能表达式(s10)可以采取相同的程序解析地或利用数值方法进行计算。而边界能表达式(s5)的计算方法与式(s31)类似。

显然，以上计算过程可以应用到面内振动能量式(s4)、(s12)和(s6)，以及耦合弹簧能量式(s13)的计算。

步骤六：利用Rayleigh-Ritz法得到板结构的振动特性。使能量泛函I_CP最小化，有

其中，C_CP为全部待定系数组成的向量。

将之前各式代入式(s32)得到广义特征值问题：

其中，K_CP为刚度矩阵，M_CP为质量矩阵。求解该式，得到任意形状板耦合结构的固有频率和对应的振型。

按照以上步骤，计算了如图4所示的三角形板-半椭圆板耦合结构的振动特性。该耦合结构由一个等边三角形板和一个半椭圆板耦合而成。两子板的几何尺寸分别为：等边三角形边长l₁＝l₂＝l₃＝1m，半椭圆板的半长轴r_a＝1m，半短轴r_b＝0.5m，板厚均为h＝0.001m。材料弹性模量E＝200Gpa，泊松比υ＝0.3，密度ρ＝7850kg/m³。分别对耦合角θ取45°、90°和135°时的耦合结构进行了分析，考虑了两种边界条件，分别是完全自由和完全固支。

表1三角形板-半椭圆板耦合结构的前8阶固有频率结果(Hz)

以上所述，仅为本申请的具体实施方式，但本申请的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本申请揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本申请的保护范围之内。因此，本申请的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (10)

1.一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，所述任意形状板耦合结构的振动特性分析方法包括以下步骤：

步骤一：将板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板，子板间设置虚拟耦合弹簧模拟边界上四种耦合作用；

步骤二：将所述子板的边界条件采用罚函数法处理；

步骤三：将任意形状板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上积分之和；

步骤四：利用Gram-Schmidt正交化方法生成完备正交多项式集来作为位移容许函数；

步骤五：利用正交多项式性质，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算；

步骤六：利用Rayleigh-Ritz法得到板的固有频率和振型。

2.根据权利要求1所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，具体的，所述虚拟耦合弹簧设置有四组。

3.根据权利要求2所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，具体的，将板结构沿耦合边界分解为两块任意形状子板；在耦合边界处设置四组虚拟耦合弹簧k_cr，k_cz，k_cx和k_cy，分别模拟横向弯矩、面外剪切、面内垂直于耦合边界的纵向作用和面内相切于耦合边界的剪切，两子板刚性耦合时耦合弹簧刚度均设为无穷大；弹性耦合时刚度在区间(0,10¹²)取值。

4.根据权利要求3所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，在步骤二中，具体的，子板的边界条件采用罚函数法处理，即在子板的非耦合边均匀布置模拟弯曲振动边界条件的平动弹簧和转动弹簧，以及面内振动边界条件的切向弹簧和法向弹簧，平动弹簧、转动弹簧、切向弹簧和法向弹簧的刚度k_t，k_r，k_n和k_p作为惩罚参数；通过改变这些弹簧的刚度值来模拟耦合结构的任意弯曲和面内边界条件，当这些弹簧对应的边界约束为刚性时弹簧刚度均设为无穷大；对应的边界约束为弹性约束时刚度在区间(0,10¹²)取值。

5.根据权利要求4所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，在步骤三中，具体的，将任意形状子板域划分为若干个曲边梯形域，将子板的弯曲振动和面内振动的能量积分表达式改写为所有曲边梯形域上累次积分或定积分之和，其表达式形式如下：

弯曲振动应变能表达式为：

其中，W_i(x_i,y_i)是横向弯曲位移，i＝1,2为任意形状子板编号，D＝Eh³/[12(1-v²)]是抗弯刚度，v，E和h分别是泊松比，杨氏模量和板厚，y_i＝f_p(x_i)或y_i＝f′_p(x_i)为同一个曲边梯形的两条曲线段的方程，p＝1,2,,…,n；n为个曲边梯形域数量；

面内振动应变能表达式为：

其中，u_i和v_i分别为板面内振动在x和y方向上的位移，

边y_i＝f_p(x_i)的弯曲振动边界势能表达式为：

其中x_i,p1和x_i,p2为该边两端点的x_i坐标，k_t和k_r为平动弹簧和转动弹簧刚度，

边y_i＝f_p(x_i)的面内振动边界势能表达式为：

其中，k_t和k_r为切向弹簧和法向弹簧刚度，

分别为边界上点在法向和切向的位移，/>

为曲线边切线与x轴正向的夹角，

所有边的约束弹簧中的总势能表达式为：

其中，pb_i为子板i非耦合边的边数，

弯曲振动动能表达式为：

其中，ρ是质量密度,ω是角频率，

面内振动动能表达式为：

耦合弹簧势能表达式为：

其中，x₁＝x_1c和x₂＝x_2c分别为耦合边在两子板坐标系下的方程，y_c1和y_c2为耦合边两端点的y坐标，k_cr、k_cz、k_cx和k_cy分别为模拟横向弯矩，面外剪切，面内垂直于耦合边界的纵向作用和面内相切于耦合边界的剪切作用的耦合弹簧刚度。

6.根据权利要求5所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，在步骤四中，具体的，利用Gram-Schmidt正交化方法对任意形状板域x_min≤x≤x_max,y_min≤y≤y_max生成完备正交多项式集来作为位移容许函数，

容许函数表达式为：

其中，S_n(ξ)和

为利用Gram-Schmidt正交化方法，在x和y方向分别在区间[A₁,B₁]＝[x_min,x_max]和[A₂,B₂]＝[y_min,y_max]上，采用幂函数集{1,ξ,…,ξ^k,…}并选定区间[A_i,B_i]的权函数r_i(ξ)构造的完备正交多项式，

位移函数表达式为：

其中，C_imn，C_iu,mn及C_iv,mn为待定系数,j＝1,2,……,n。

7.根据权利要求6所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，在步骤五中，具体的，将能量表达式中的累次积分转化为定积分，得到定积分形式的任意形状板耦合结构能量泛函，根据轮廓曲线方程的形式解析或利用高斯积分法半解析地进行计算，

对于具有累次积分形式的能量表达式，包括弯曲振动应变能式、面内振动应变能式、弯曲振动动能式以及面内振动动能式，将其化简为定积分形式，表达式为：

其中，U_i代表以上任一种具有累次积分形式的能量；A代表各式中的常系数，

为关于x_i和y_i的二元多项式，s＝0,1,2,…,S,t＝0,1,2,…,T,S和T分别为x_i和y_i的幂的最高次数，k_s,t为系数，/>

为P(x_i,y_i)关于y_i的解析的原函数，

得到定积分形式的任意形状板耦合结构能量泛函，其表达式为：

根据曲线方程y_i＝f_p(x_i)和y_i＝f_p'(x_i)的形式决定能量泛函I_CP的求解方式，如果这些定积分可以解析地计算，则能量U_i有解析解；如果不可以，U_i采用高斯积分法进行求解。

8.根据权利要求7所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法，其特征在于，在步骤六中，具体的，使任意形状板耦合结构能量泛函I_CP最小化，利用Rayleigh-Ritz法得到任意形状板耦合结构的振动特性。

9.一种存储介质，该存储介质上储存有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被处理器执行时实现权利要求1至8任一项所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法。

10.一种计算机设备，其特征在于，包括：存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序，以实现权利要求1至8任一项所述的一种任意形状板耦合结构的振动特性分析方法。

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