CN115906333A - 一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其实现步骤是：针对含几何非线性的桁架结构，首先构建线性等效Mindlin板动力学模型；然后描述Mindlin板的几何约束关系，进行位移和转角近似并模拟一般弹性边界条件；最后根据扩展的哈密顿原理建立含几何非线性的等效板动力学模型，并进行非线性动力学响应分析。本发明克服了传统等效梁模型中未考虑横截面宽度方向上分布铰链安装位置特征的缺陷，且适合于几何非线性大变形分析；适用于具有一般边界条件的桁架结构，工程适用性强；采用半解析方法建立的等效非线性模型，相比传统有限元等数值算法计算效率更高，更适于动力学分析和控制律设计。
Description
技术领域
本发明涉及结构动力学建模与分析研究技术领域，具体涉及一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法。
背景技术
空间可展开结构，由于具有诸多优点如质量轻、高比刚度、高收纳比、强展开可控性等，在航天领域得到了广泛的应用。伴随航天器载荷向大型化和复杂化不断发展，大型柔性空间桁架天线结构，如图1所示，逐步成为主要发展趋势并发展为国内外研究重点。其桁架天线单元由支撑桁架和天线阵面组成，如图2所示，支撑桁架与每个天线阵面之间通过沿桁架截面宽度方向分布的铰链相互连接，因此桁架结构在铰链连接处呈现连接非线性特性。由于桁架结构沿长度延展方向尺度很大，因此在外界载荷干扰下极易发生几何非线性大变形，呈现较强的几何非线性特性，给航天器的动力学建模和振动控制带来较大困难。因此对于此类桁架结构的几何非线性大变形的研究具有重要的现实意义。
当前在对桁架结构的几何非线性动态特性研究中，常采用有限元建模方法进行分析。但是有限元方法通常存在自由度数高，计算量大的缺点，并不适合于桁架结构振动控制系统的设计。等效连续体建模方法作为一种半解析方法，有效的避免了有限元法存在的缺陷，对解决含几何非线性特性的桁架结构动力学高效精确建模问题具有很好的应用前景。目前针对含几何非线性的桁架结构等效建模研究较少，仅有的研究成果集中在将桁架结构等效为连续梁模型。然而连续梁模型采用点截面假设，无法刻画在横截面宽度方向上分布铰链的安装位置特征，存在难以表征铰链导致的连接非线性的问题；另外，现有关于含几何非线性的桁架结构等效动力学建模研究，仅仅局限于满足两边简支的边界条件，适用于大跨桥梁的动力学建模，并不适用于具有悬臂边界条件的航天器桁架结构，现有方法对于更具工程普遍意义的一般边界条件研究较少。因此对于一般边界条件下含几何非线性特性且考虑横截面宽度方向上分布铰链安装位置特征的桁架结构，目前的等效动力学建模和响应分析技术并不能很好地解决这一问题。
发明内容
为了解决或部分解决相关技术中存在的问题，本发明提供了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，为了能够更精确地描述几何非线性特性且考虑横截面宽度方向上分布铰链安装位置特征，建立了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法。构建桁架结构的线性等效Mindlin板动力学模型，描述Mindlin板的几何约束关系，利用均匀分布弹簧来模拟一般的弹性边界条件，采用勒让德多项式近似等效板的位移和转角。根据扩展的哈密顿原理建立含几何非线性的等效板动力学模型，并进行非线性动力学响应分析。为具有几何非线性特性的桁架结构动力学建模、分析及控制奠定技术基础。
本发明提供了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特点是，包括以下步骤：
S1，构建桁架结构的线性等效Mindlin板动力学模型；
S2，描述Mindlin板的几何约束关系；
S3，进行Mindlin板位移和转角近似及人工弹簧边界设定；
S4，构建几何非线性等效板动力学模型并进行响应分析。
可选地，所述步骤S1中，建立桁架结构的正交各向异性线性等效板动力学模型。由于桁架结构的横截面为正三角形，所以桁架结构的横向振动与侧向振动是对称的，因此对于本专利的几何非线性分析，仅需考虑横向振动情况即可。
针对桁架结构，基于Mindlin板理论，将周期单元的应变高阶泰勒展开，描述等效板横向振动的应变。
根据横向振动的应变表达式，计算周期桁架单元的应变能和动能，从而利用能量等效原理，求解等效板模型横向振动的等效弹性矩阵和等效惯性矩阵。
采用静态缩聚法对等效模型进行降阶，获得与Mindlin板应变变量的维数相同的等效弹性矩阵D和等效惯性矩阵G,如下：
其中，D1和D2分别为面外弯曲刚度，D3为扭转刚度，Gxz和Gyz分别为横向剪切刚度；非对角线元素ηij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合刚度，由于桁架结构的横截面为正三角形，所以桁架结构是对称的，因此D矩阵中非对角线耦合刚度的影响可以忽略不计。
其中，
表示等效板单位面积的质量，
和
分别表示等效板模型单位面积上沿x轴和y轴的转动惯量；非对角线元素mij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合质量参数。由于桁架结构是对称的，因此G矩阵中非对角线耦合质量的影响也可以忽略不计。
所述步骤S2中，基于Mindlin板理论，当考虑桁架结构的几何非线性大变形时，构建等效Mindlin板的几何约束方程，如下：
其中u、v和w为坐标x、y和z方向的位移，
为沿x轴的转角，
为沿y轴的转角。
所述步骤S3中，采用勒让德多项式近似Mindlin板的5个位移和转角变量u,v,w,
如下式：
其中，ξ＝2x/a-1,η＝2y/b-1；-1＜ξ,η＜1；a和b分别为板的长度和宽度；Pi(ξ)和Pj(η)为勒让德多项式；Uij(t),Vij(t),Wij(t),Φij(t),Ψij(t)分别表示变量的广义坐标；i和j表示勒让德多项式的阶数，I和J表示所截断的勒让德多项式阶数的最大值。
在Mindlin板的四条边界上分别均匀地布置位移弹簧和旋转约束弹簧，利用人工弹簧边界方法来模拟Mindlin板的边界条件，通过设置不同的弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件。则边界弹簧上储存的应变能为：
其中，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上法向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上切向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上横向位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿x轴旋转的约束弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿y轴旋转的约束弹簧的刚度值。改变刚度值为无穷大或零，可以模拟任意一般边界条件。例如，若令
为无穷大，其它刚度值均为0，则模拟x＝0边上固支其它三条边自由的悬臂边界条件。
所述步骤S4中，Mindin板的总应变能为：
V＝Vp+Vb
其中Vb为边界弹簧上储存的应变能。
Mindin板的总动能为：
将经多项式近似后的位移和转角变量u,v,w,
带入几何约束方程，可得到下式：
将上式左端分别乘以Pk(ξ)和Pl(η)并在[-1,1]之间积分，几何约束方程可变换为：
其中，
分别表示4个对应的约束方程；Pk(ξ)和Pl(η)为勒让德多项式，k和l也表示勒让德多项式的阶数。
利用扩展的哈密顿原理可得到如下的动力学平衡方程：
其中，F为作用在Mindlin板坐标点(xF,yF)位置上沿挠度方向的外界载荷,
为拉格朗日乘子。
将应变能V、动能T、约束方程
的表达式带入上式中，即可获得含几何非线性的等效板动力学方程。
所得等效板动力学方程为指标3的带拉格朗日乘子的微分-代数方程组。为了方便求解，对约束方程进行两次求导，将动力学方程转换为指标1的微分-代数方程组，通过增广方法将其转化为常微分方程组。为了控制约束违约，采用鲍姆加特方法引入人工阻尼对约束进行校正，可取得较好的稳定效果。
针对获得的动力学常微分方程组采用四阶龙格-库塔法进行迭代求解，可求得广义坐标变量q＝[Ui,j Vi,j Wi,jΦi,jΨi,j]T,(i＝0,...,I,j＝0,...,J)。将q带入位移和转角表达式中，即可获得含几何非线性的等效板在外界载荷作用下的动力学响应。
在同样的载荷条件下，将本专利方法计算的动力学响应，与采用商用有限元软件计算获得的几何非线性动力学响应进行比较，可以验证本专利方法的正确性。
本发明提供的技术方案可以包括以下有益效果：
(1)相比等效梁模型，本发明所提出的几何非线性等效板模型可以计算和分析桁架结构横截面宽度上不同点的动力学响应，克服了等效梁模型存在的缺陷；
(2)本发明方法可以应用于任意边界条件，不仅仅局限于简支边界条件，而且可以应用于悬臂和两端自由的边界条件，拓宽了方法的适用范围；
(3)相比有限元等数值计算方法，本专利采用等效非线性模型求解动态响应的方法，在保证精度的前提下计算效率更高；
(4)本发明可以高效精确地描述具有几何非线性特性且考虑横截面宽度方向上分布铰链安装位置特征的桁架结构的非线性动力学特性，且更便于进行振动控制律的设计。
应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本发明。
附图说明
为了更清楚地说明本发明专利实施例的技术方案，下面将对实施例描述所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明专利的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明实施例中空间桁架天线结构示意图；
图2为本发明实施例中桁架天线单元示意图；
图3为本发明实施例中桁架结构示意图；
图4为本发明实施例中桁架单元及等效板几何模型示意图；
图5为本发明实施例中桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析流程图；
图6为本发明实施例中板微元在x方向变形前后几何关系示意图；
图7为本发明实施例中板微元在y方向变形前后几何关系示意图；
图8为本发明实施例中任意横向边界条件下板结构的均匀弹簧布置示意图；
图9为本发明实施例中任意面内边界条件下板结构的均匀弹簧布置示意图。
具体实施方式
下面将参照附图更详细地描述本发明的实施方式。虽然附图中显示了本发明的实施方式，但是应该理解的是，可以以各种形式实现本发明而不应被这里阐述的实施方式所限制。相反，提供这些实施方式是为了使本发明更加透彻和完整，并且能够将本发明的范围完整地传达给本领域的技术人员。
在本发明使用的术语是仅仅出于描述特定实施例的目的，而非旨在限制本发明。在本发明和所附权利要求书中所使用的单数形式的“一种”、“所述”和“该”也旨在包括多数形式，除非上下文清楚地表示其他含义。还应当理解，本文中使用的术语“和/或”是指并包含一个或多个相关联的列出项目的任何或所有可能组合。
本发明实施例提供了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，能够计算和分析桁架结构横截面宽度上不同点的动力学响应，克服了等效梁模型存在的缺陷。
下文将结合附图对本发明实施例的技术方案进行详细描述。
请参阅图，本实施例提供了一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，包括：
S1、构建桁架结构的线性等效Mindlin板动力学模型；
S2、描述Mindlin板的几何约束关系；
S3、进行Mindlin板位移和转角近似及人工弹簧边界设定；
S4、构建几何非线性等效板动力学模型并进行响应分析。
图3所示为不含天线阵面的典型桁架结构，由周期单元沿长度方向一维延伸构成。从桁架结构中分离出一个周期桁架单元，如附图4所示，包括纵梁、横梁和斜拉索三种类型构件，横截面为正三角形。桁架单元共有15根构件组成，其中构件(1)-(3)为纵梁，构件(4)-(9)为斜拉索，构件(10)-(15)为横梁。惯性坐标系oxyz位于等效板的中面ABCD上，原点o位于桁架横截面形心处，x轴沿桁架长度方向，y轴和z轴分别沿截面两个横向方向。
如图5所示为本发明一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，主要实施步骤如下：
步骤S1中，构建桁架结构的线性等效Mindlin板动力学模型
由于桁架结构的横截面为正三角形，所以桁架结构的横向振动与侧向振动是对称的，因此对于本专利的几何非线性分析，仅需考虑横向振动情况即可。
针对桁架结构，基于Mindlin板理论，将周期单元的应变高阶泰勒展开，描述等效板横向振动的应变。根据横向振动的应变表达式，计算周期桁架单元的应变能和动能，从而利用能量等效原理，求解等效板模型横向振动的等效弹性矩阵和等效惯性矩阵。
采用静态缩聚法对等效模型进行降阶，获得与Mindlin板应变变量的维数相同的等效弹性矩阵D和等效惯性矩阵G,如下：
其中，D1和D2分别为面外弯曲刚度，D3为扭转刚度，Gxz和Gyz分别为横向剪切刚度；非对角线元素ηij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合刚度，由于桁架结构的横截面为正三角形，所以桁架结构是对称的，因此D矩阵中非对角线耦合刚度的影响可以忽略不计。
其中，
表示等效板单位面积的质量，
和
分别表示等效板模型单位面积上沿x轴和y轴的转动惯量；非对角线元素mij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合质量参数。由于桁架结构是对称的，因此G矩阵中非对角线耦合质量的影响也可以忽略不计。
步骤S2，描述Mindlin板的几何约束关系
当考虑桁架结构的几何非线性大变形时，基于Mindlin板理论，从板中取一微元，长和宽分别为dx和dy。附图6表示微元在x方向变形前后情况，dw为挠度方向变形位移。根据三角函数关系，可得到：
附图7表示微元在y方向变形前后情况。根据三角函数关系，可得到：
其中，u、v和w分别为坐标x、y和z方向的位移，
为沿x轴的转角，
为沿y轴的转角。
将公式(3)和(4)两端分别除以dx和dy，可得到Mindlin板的几何约束方程，如下：
步骤S3，进行Mindlin板位移和转角近似及人工弹簧边界设定。
采用勒让德多项式近似Mindlin板的5个位移和转角变量u,v,w,
如下式：
其中，ξ＝2x/a-1,η＝2y/b-1；-1＜ξ,η＜1；a和b分别为板的长度和宽度；Pi(ξ)和Pj(η)为勒让德多项式；Uij(t),Vij(t),Wij(t),Φij(t),Ψij(t)分别表示变量的广义坐标；i和j表示勒让德多项式的阶数，I和J表示所截断的勒让德多项式阶数的最大值。
在Mindlin板的四条边界上分别均匀地布置位移弹簧和旋转约束弹簧，如图8和图9所示。其中，图8中为模拟任意横向边界条件下板结构的均匀弹簧布置；图9中为模拟任意面内边界条件下板结构的均匀弹簧布置。利用人工弹簧边界方法来模拟Mindlin板的边界条件，通过设置不同的弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件。则边界弹簧上储存的应变能为：
其中，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上法向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上切向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上横向位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿x轴旋转的约束弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿y轴旋转的约束弹簧的刚度值。改变刚度值为无穷大或零，可以模拟任意一般边界条件。例如，若令
为无穷大，其它刚度值均为0，则模拟x＝0边上固支其它三条边自由的悬臂边界条件。
步骤S4，构建几何非线性等效板动力学模型并进行响应分析
Mindin板的总应变能可写为：
V＝Vp+Vb (8)
其中，Vb为公式(7)所示的边界弹簧上储存的应变能。
Mindin板的总动能为：
将公式(6)代入公式(5)中的几何约束方程，可得到下式：
将式(11)左端分别乘以Pk(ξ)和Pl(η)并在[-1,1]之间积分，几何约束方程可变换为：
其中，
分别表示4个对应的约束方程；Pk(ξ)和Pl(η)为勒让德多项式，k和l也表示勒让德多项式的阶数。
利用扩展的Hamilton原理可得到如下的动力学平衡方程：
其中，F为作用在Mindlin板坐标点(xF,yF)位置上沿挠度方向的外界载荷,
为拉格朗日乘子。
将公式(8)、(10)、(12)-(15)的带入公式(16)-(20)中，即可获得含几何非线性的等效板动力学方程。
所得等效板动力学方程为指标3的带拉格朗日乘子的微分-代数方程组。为了方便求解，对约束方程进行两次求导，将动力学方程转换为指标1的微分-代数方程组，通过增广方法将其转化为常微分方程组。为了控制约束违约，采用鲍姆加特方法引入人工阻尼对约束进行校正，可取得较好的稳定效果。
针对获得的动力学常微分方程组采用四阶龙格-库塔法进行迭代求解，可求得广义坐标变量q＝[Ui,j Vi,j Wi,j Φi,j Ψi,j]T,(i＝0,...,I,j＝0,...,J)。将q带入公式(6)中的位移和转角表达式中，即可获得含几何非线性的等效板在外界载荷作用下的动力学响应。
在同样的载荷条件下，将本专利方法计算的动力学响应，与采用商用有限元软件计算获得的几何非线性动力学响应进行比较，可以验证本专利方法的正确性。
以上所述，仅为本发明的实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和范围之内做出的任何修改、等同替换和改进等，均包含在本发明的保护范围之内。
Claims (6)
1.一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，包括：
S1、构建桁架结构的线性等效Mindlin板动力学模型；
S2、描述Mindlin板的几何约束关系；
S3、进行Mindlin板位移和转角近似及人工弹簧边界设定；
S4、构建几何非线性等效板动力学模型并进行响应分析。
2.如权利要求1所述桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，所述步骤S1中，建立桁架结构的正交各向异性线性等效板动力学模型。
3.如权利要求1所述桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，所述步骤S1包括：
针对桁架结构，基于Mindlin板理论，将周期单元的应变高阶泰勒展开，描述等效板横向振动的应变；
根据横向振动的应变表达式，计算周期桁架单元的应变能和动能，从而利用能量等效原理，求解等效板模型横向振动的等效弹性矩阵和等效惯性矩阵；
采用静态缩聚法对等效模型进行降阶，获得与Mindlin板应变变量的维数相同的等效弹性矩阵D和等效惯性矩阵G，如下：
其中，D1和D2分别为面外弯曲刚度，D3为扭转刚度，Gxz和Gyz分别为横向剪切刚度；非对角线元素ηij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合刚度；
其中，
表示等效板单位面积的质量，
和
分别表示等效板模型单位面积上沿x轴和y轴的转动惯量；非对角线元素mij(i,j＝1,2,3,4,5,i≠j)为耦合质量参数。
4.如权利要求1所述桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，所述步骤S2中，基于Mindlin板理论，当考虑桁架结构的几何非线性大变形时，构建等效Mindlin板的几何约束方程，具体如下：
其中，u、v和w为坐标x、y和z方向的位移，
为沿x轴的转角，
为沿y轴的转角。
5.如权利要求1所述桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，所述步骤S3中，采用勒让德多项式近似Mindlin板的5个位移和转角变量u,v,w,
具体如下：
其中，ξ＝2x/a-1,η＝2y/b-1；-1＜ξ,η＜1；a和b分别为板的长度和宽度；Pi(ξ)和Pj(η)为勒让德多项式；Uij(t),Vij(t),Wij(t),Φij(t),Ψij(t)分别表示变量的广义坐标；i和j表示勒让德多项式的阶数，I和J表示所截断的勒让德多项式阶数的最大值；
在Mindlin板的四条边界上分别均匀地布置位移弹簧和旋转约束弹簧，利用人工弹簧边界方法来模拟Mindlin板的边界条件，通过设置不同的弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件，则边界弹簧上储存的应变能为：
其中，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上法向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上切向线性位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上横向位移弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿x轴旋转的约束弹簧的刚度值，
分别表示x＝0，x＝a，y＝0，y＝b边上沿y轴旋转的约束弹簧的刚度值。
6.如权利要求1所述桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法，其特征在于，所述步骤S4中，Mindin板的总应变能为：
V＝Vp+Vb
其中，Vb为边界弹簧上储存的应变能；
Mindin板的总动能为：
将经多项式近似后的位移和转角变量u,v,w,
带入几何约束方程，可得到下式：
将上式左端分别乘以Pk(ξ)和Pl(η)并在[-1,1]之间积分，几何约束方程可变换为：
其中，
分别表示4个对应的约束方程；Pk(ξ)和Pl(η)为勒让德多项式，k和l也表示勒让德多项式的阶数；
利用扩展的哈密顿原理可得到如下的动力学平衡方程：
其中，F为作用在Mindlin板坐标点(xF,yF)位置上沿挠度方向的外界载荷,
为拉格朗日乘子；将应变能V、动能T、约束方程
的表达式带入上式中，即可获得含几何非线性的等效板动力学方程，所得等效板动力学方程为指标3的带拉格朗日乘子的微分-代数方程组；为了方便求解，对约束方程进行两次求导，将动力学方程转换为指标1的微分-代数方程组，通过增广方法将其转化为常微分方程组；
针对获得的动力学常微分方程组采用四阶龙格-库塔法进行迭代求解，可求得广义坐标变量q＝[Ui,jVi,jWi,jΦi,jΨi,j]T,(i＝0,...,I,j＝0,...,J)；将q带入位移和转角表达式中，即可获得含几何非线性的等效板在外界载荷作用下的动力学响应；
在同样的载荷条件下，将本专利方法计算的动力学响应，与采用商用有限元软件计算获得的几何非线性动力学响应进行比较，可以验证本专利方法的正确性。
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| CN202211734063.0A CN115906333A (zh) | 2022-12-30 | 2022-12-30 | 一种桁架结构的几何非线性等效板动力学建模与响应分析方法 |
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|---|---|---|---|---|
| CN116702381A (zh) * | 2023-08-10 | 2023-09-05 | 航天科工火箭技术有限公司 | 一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法 |
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2022
- 2022-12-30 CN CN202211734063.0A patent/CN115906333A/zh active Pending
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| CN116702381B (zh) * | 2023-08-10 | 2023-11-03 | 航天科工火箭技术有限公司 | 一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法 |
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