CN112100877A - 一种结构刚度高效拓扑优化方法及其应用 - Google Patents

一种结构刚度高效拓扑优化方法及其应用 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种结构刚度高效拓扑优化方法及其应用，该方法针对在给定材料下寻求结构刚度最大的拓扑结构这一工程问题，从缩减有限元分析中的方程求解规模和拓扑优化迭代过程的收敛速度两个方面提升优化效率，拓扑优化有限元方程求解时，该方法通过减少有限元方程的自由度，缩减有限元方程的求解规模，从而加快有限元分析中的方程求解速度；在拓扑优化迭代求解过程中，该方法通过改进优化准则(OC)，将有限元单元的中间单元密度逐步向两极化推进，进而更好达到收敛条件，加快优化迭代过程的收敛速度。本发明显著地提高了结构刚度拓扑优化的计算效率，而且得到高精度的优化结果。

Description

一种结构刚度高效拓扑优化方法及其应用
技术领域
本发明涉及结构拓扑优化技术领域，具体涉及一种结构刚度高效拓扑优化方法及其应用。
背景技术
结构刚度拓扑优化是结构刚度设计的一种重要设计方法，它在给定约束条件与给定设计域下，寻求最佳刚度结构的一种智能优化方法。通过结构刚度拓扑优化，可获得给定载荷下整体变形量最小的高刚度结构。
由于实际工程问题结构有限元离散后单元规模日益增加，模型求解越来越复杂，对拓扑优化的要求也越来越高，传统的拓扑优化方法的计算效率往往不能满足产品设计快速响应需求。因此，寻求一种拓扑优化的加速方法，提高拓扑优化的计算效率显得尤为重要。
发明内容
为了克服现有技术存在的缺陷与不足，本发明提供一种结构刚度高效拓扑优化方法，该方法包括缩减有限元分析中的方程求解规模和提高拓扑优化过程的收敛速度两个方面：拓扑优化有限元方程求解时，该方法通过减少有限元方程的自由度，缩减有限元方程的求解规模，从而加快有限元分析中的方程求解速度；在拓扑优化迭代求解过程中，该方法通过改进优化准则(OC)，将有限元单元的中间单元密度逐步向两极化推进，进而更好达到收敛条件，加快优化迭代过程的收敛速度；大幅提高了结构刚度拓扑优化的计算效率，同时还能获得高精度的优化结果。
本发明的第二目的在提供一种结构刚度高效拓扑优化系统。
本发明的第三目的在于提供一种存储介质。
本发明的第四目的在于提供一种计算设备。
为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：
本发明提供一种结构刚度高效拓扑优化方法，包括下述步骤：
S1：定义拓扑优化的基本参数；
S2：循环迭代；
S3：根据结构设计域的有限元模型单元密度计算节点密度，找出节点密度为0的节点，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
S4：根据步骤S3中的自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到自由度缩减的有限元方程；
S5：判断循环迭代次数是否大于设定的参数值，若大于则进行步骤S10，否则进行步骤S6；
S6：求解自由度缩减的有限元方程；
S7：采用OC法更新有限元单元密度；
S8：判断是否收敛，若收敛则进行步骤S9,若不收敛是返回步骤S2，所述收敛的条件为：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
S9：输出结果，所述结果包括结构的柔度值、有限元最终单元密度、体积分数、迭代次数和最终的拓扑结构；
S10：计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的位移对应的自由度索引；
S11：根据步骤S10得到的自由度索引减少有限元方程的自由度；
S12：求解经过步骤S4和步骤S11自由度缩减后的有限元方程；
S13：根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量；
S14：判断结构柔度的变化量是否小于设定阈值，若小于则进行步骤S15，若大于则跳转步骤S7；
S15：采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后进行步骤S8。
作为优选的技术方案，所述节点密度计算方式为：
将单元密度映射到单元上的节点，如同一节点被多个单元共有，则该节点密度等于所有共享该节点单元的平均密度；如一节点只被一个单元占有，则该节点密度等于该占有单元的密度。
作为优选的技术方案，步骤S10中所述计算有限元单元节点位移的变化量，具体计算公式为：
Figure BDA0002625522160000031
其中，ΔX表示节点位移的变化量，U表示有限元模型的节点位移，k表示当前迭代次数，M表示一个整数。
作为优选的技术方案，根据步骤S10得到的自由度索引减少有限元方程的自由度，具体步骤为：
根据步骤S10得到的位移变化量小的自由度引索，将当前迭代次数下引索对应的位移作为下次迭代对应引索位置的位移。
作为优选的技术方案，步骤S13中所述根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量，具体计算公式为：
Figure BDA0002625522160000032
其中，ΔC表示结构柔度变化量，c代表结构柔度，k表示当前迭代次数，Z表示一个整数。
作为优选的技术方案，步骤S15中所述采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，所述改进OC法具体计算公式为：
Figure BDA0002625522160000041
Figure BDA0002625522160000042
其中，x′new表示有限元模型的最终单元密度，xnew表示采用标准OC法更新后的有限元模型的单元密度，ΔC表示结构柔度变化量，t表示一个常量。
为了到达上述第二目的，本发明采用以下技术方案：
本发明提供一种结构刚度高效拓扑优化系统，包括：拓扑优化基本参数定义模块、循环迭代模块、第一自由度索引构建模块、第一有限元方程构建模块、迭代次数判断模块、第一有限元方程求解模块、第一有限元单元密度更新模块、收敛判断模块、结果输出模块、第二自由度索引构建模块、第二有限元方程构建模块、第二有限元方程求解模块、结构柔度变化量计算模块、结构柔度变化量判断模块和第二有限元单元密度更新模块；
所述拓扑优化基本参数定义模块用于定义拓扑优化的基本参数；
所述循环迭代模块用于循环迭代；
所述第一自由度索引构建模块用于根据结构设计域的有限元模型单元密度计算节点密度，找出节点密度为0的节点，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
所述第一有限元方程构建模块用于根据自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到自由度缩减的有限元方程；
所述迭代次数判断模块用于判断循环迭代次数是否大于设定的参数值，若大于则进行有限元单元节点位移变化量的计算，否则进行自由度缩减的有限元方程的求解；
所述第一有限元方程求解模块用于求解自由度缩减的有限元方程；
所述第一有限元单元密度更新模块用于采用OC法更新有限元单元密度；
所述收敛判断模块用于判断是否收敛，若收敛则输出结果,若不收敛是返回循环迭代，所述收敛的条件为：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
所述结果输出模块用于输出结果，所述结果包括结构的柔度值、有限元最终单元密度、体积分数、迭代次数和最终的拓扑结构；
所述第二自由度索引构建模块用于计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的位移对应的自由度索引；
所述第二有限元方程构建模块用于根据第二自由度索引减少有限元方程的自由度；
所述第二有限元方程求解模块用于求解基于第二自由度索引的自由度缩减后的有限元方程；
所述结构柔度变化量计算模块用于根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量；
所述结构柔度变化量判断模块用于判断结构柔度的变化量是否小于设定阈值，若小于则采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，若大于则采用OC法更新有限元单元密度；
所述第二有限元单元密度更新模块用于采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后判断是否收敛。
为了达到上述第三目的，本发明采用以下技术方案：
一种存储介质，存储有程序，所述程序被处理器执行时实现如上述结构刚度高效拓扑优化方法。
为了达到上述第四目的，本发明采用以下技术方案：
一种计算设备，包括处理器和用于存储处理器可执行程序的存储器，所述处理器执行存储器存储的程序时，实现上述结构刚度高效拓扑优化方法。
本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：
(1)本发明拓扑优化迭代次数减少，有限元方程求解时间减少，整体计算效率大幅提高。
(2)本发明拓扑优化过程中更易达到收敛条件，能解决一些难收敛的拓扑优化问题。
(3)本发明解决了传统拓扑优化结果中存在大量中间密度单元的问题，优化结果更加精确。
附图说明
图1为本实施例结构刚度高效拓扑优化方法的流程示意图；
图2为本实施例改进OC法中函数x′new的图像；
图3(a)至图3(c)表示不同网格规模下传统拓扑优化方法的结果对比图；
图3(d)至图3(f)表示不同网格规模下高效拓扑优化方法的结果对比图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
实施例
以拓扑优化中的经典的变密度法为例来对本发明进行说明。变密度法将每个有限元单元赋予一个相对密度，单元相对密度与单元弹性模量有着确定的函数关系。以结构有限元单元的相对密度为设计变量，目标函数是最大刚度(即最小柔度)的优化问题的数学模型如下：
Find x＝(x1,x2,…xN)T
Figure BDA0002625522160000071
Figure BDA0002625522160000072
其中，xe是有限元单元的相对密度，其取值范围是0～1；x是设计变量向量；N是设计变量的个数；c是结构的柔度；Ee是有限元模型的单元弹性模量；U是总体位移矩阵；F是总体受力矩阵；K是总体刚度矩阵；ke是单元刚度矩阵；ue是单元位移矩阵；V(x)，V0分别是结构的实体体积和设计域的体积；f是体积分数；
如图1所示，本实施例提供一种结构刚度高效拓扑优化方法，包括缩减有限元刚度分析中的方程求解规模和提高结构刚度拓扑优化过程的收敛速度两个方面：拓扑优化有限元方程求解时，该方法通过减少有限元方程的自由度，缩减有限元方程的求解规模，从而加快有限元分析中的方程求解速度。在拓扑优化迭代求解过程中，该方法通过改进优化准则(OC)，将有限元单元的中间单元密度逐步向两极化推进，进而更好达到收敛条件，加快优化迭代过程的收敛速度，包括下述步骤：
S1：定义拓扑优化的基本参数；定义拓扑优化的设计域，约束，载荷等边界条件。定义体积分数，网格规模等参数；
S2：循环迭代i次；
S3：计算结构设计域有限元模型的节点密度，将单元密度映射到单元上的节点得到节点密度；本实施例的有限元单元密度是指变密度法拓扑优化中每一个有限元单元赋予的一个“伪密度”，用以决定每个有限元单元的弹性模量。节点密度是指将单元密度映射到单元上的节点。如同一节点被多个单元共有，则该节点密度等于所有共享该节点的单元的平均密度；如一节点只被一个单元占有，则该节点密度等于该占有单元的密度，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
S4：减少有限元分析时的自由度：根据步骤S3得到的自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到一个新的自由度缩减有限元方程，将因删除而不能求解的位移置为0；
S5：判断i是否大于设定参数P，如大于则进行步骤S10，否则进行步骤S6；
S6：求解有限元方程：即求解步骤S4中得到的自由度缩减的有限元方程；
S7：OC法更新有限元单元密度；
S8：判断是否收敛，若收敛则进行步骤S9,若不收敛是返回步骤S2，收敛准则是：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
S9：输出结果：输出结果包括结构的柔度值，有限元最终单元密度，体积分数，迭代次数和最终的拓扑结构等；
S10：根据公式：位移变化量
Figure BDA0002625522160000081
计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的自由度索引，公式中U代表有限元模型的节点位移，k代表当前迭代次数，M是一个整数，一般M可取值在5-10之间；
S11：根据步骤S10得到的自由度索引减少有限元方程的自由度，步骤S10得到的位移变化量小的自由度引索，将当前迭代次数下引索对应的位移直接作为下次迭代对应引索位置的位移，从而减少了有限元分析时的自由度。
下面以一个8自由度有限元方程为例来说明如何减少方程的自由度，有限元方程为：
Figure BDA0002625522160000091
假设U2是根据步骤S10自由度索引得到的位移，因为变化量小，假定U2在下次迭代保持不变，则有限元方程可以变为：
Figure BDA0002625522160000092
式中删除了原刚度矩阵的第2行第2列，删除了位移向量的第2行，力向量减去原刚度矩阵第2列与U2的乘积，然后删除第2行。这样实现了8自由度的有限元方程向7自由度的转化；
S12：求解经过步骤S4和步骤S11自由度缩减后的有限元方程；
S13：根据公式：结构柔度变化量
Figure BDA0002625522160000093
计算结构柔度的变化量，公式中c为结构柔度值，Z是一个整数，一般可取值5-10之间；
本实施例的步骤S5判断i是否大于P的原因是步骤S10和步骤S13需要用到前几次的迭代信息。
S14：判断结构柔度(刚度倒数)的变化量是否小于设定阈值，若小于则进行步骤S15，若大于则跳转步骤S7；
S15：用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后进行步骤S8。改进OC所用的公式是
Figure BDA0002625522160000101
其中xnew为用标准OC法更新后的有限元模型的单元密度，x′new是有限元模型的最终单元密度。如图2所示，该函数把中间密度进一步向两极化推进，从而更好达到收敛条件，加快收敛速度。参数a随着迭代进行不断增大,以最大化地加快收敛。a可取反比例函数：
Figure BDA0002625522160000102
其中参数t是一个常量，常量t较大时收敛加速的效果会更好，但结构柔度的精度可能会降低。t较小时，收敛加速的效果不能充分体现。针对不同的优化问题，t可选取不同的值。
如图3(a)至图3(c)所示，分别表示60×20×4、70×30×5、80×40×6网格规模下的传统拓扑优化方法得到的最终优化结果。如图3(d)至图3(f)所示，分别表示60×20×4、70×30×5、80×40×6网格规模下的本发明高效拓扑优化方法的优化结果。对比传统拓扑优化方法和本发明高效拓扑优化方法可以看到，加速方法的优化结果几乎没有灰度单元，黑白分明，能够得到更好的结构刚度(柔度更小)，而且加速方法整个优化过程所需时间短，易收敛，计算效率高。
本实施例还提供一种结构刚度高效拓扑优化系统，包括：拓扑优化基本参数定义模块、循环迭代模块、第一自由度索引构建模块、第一有限元方程构建模块、迭代次数判断模块、第一有限元方程求解模块、第一有限元单元密度更新模块、收敛判断模块、结果输出模块、第二自由度索引构建模块、第二有限元方程构建模块、第二有限元方程求解模块、结构柔度变化量计算模块、结构柔度变化量判断模块和第二有限元单元密度更新模块；
在本实施例中，拓扑优化基本参数定义模块用于定义拓扑优化的基本参数；循环迭代模块用于循环迭代；第一自由度索引构建模块用于根据结构设计域的有限元模型单元密度计算节点密度，找出节点密度为0的节点，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
在本实施例中，第一有限元方程构建模块用于根据自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到自由度缩减的有限元方程；
在本实施例中，迭代次数判断模块用于判断循环迭代次数是否大于设定的参数值，若大于则进行有限元单元节点位移变化量的计算，否则进行自由度缩减的有限元方程的求解；
在本实施例中，第一有限元方程求解模块用于求解自由度缩减的有限元方程；
在本实施例中，第一有限元单元密度更新模块用于采用OC法更新有限元单元密度；
在本实施例中，收敛判断模块用于判断是否收敛，若收敛则输出结果,若不收敛是返回循环迭代，所述收敛的条件为：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
在本实施例中，结果输出模块用于输出结果，所述结果包括结构的柔度值、有限元最终单元密度、体积分数、迭代次数和最终的拓扑结构；
在本实施例中，第二自由度索引构建模块用于计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的位移对应的自由度索引；
在本实施例中，第二有限元方程构建模块用于根据第二自由度索引减少有限元方程的自由度；
在本实施例中，第二有限元方程求解模块用于求解基于第二自由度索引的自由度缩减后的有限元方程；
在本实施例中，结构柔度变化量计算模块用于根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量；
在本实施例中，结构柔度变化量判断模块用于判断结构柔度的变化量是否小于设定阈值，若小于则采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，若大于则采用OC法更新有限元单元密度；
在本实施例中，第二有限元单元密度更新模块用于采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后判断是否收敛。
本实施例还提供一种存储介质，存储介质可以是ROM、RAM、磁盘、光盘等储存介质，该存储介质存储有一个或多个程序，所述程序被处理器执行时，实现上述结构刚度高效拓扑优化方法。
本实施例还提供一种计算设备，所述的计算设备可以是台式电脑、笔记本电脑、智能手机、PDA手持终端、平板电脑或其他具有显示功能的终端设备，该计算设备包括该计算设备包括处理器和存储器，存储器存储有一个或多个程序，处理器执行存储器存储的程序时，实现上述结构刚度高效拓扑优化方法。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，包括下述步骤：
S1：定义拓扑优化的基本参数；
S2：循环迭代；
S3：根据结构设计域的有限元模型单元密度计算节点密度，找出节点密度为0的节点，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
S4：根据步骤S3中的自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到自由度缩减的有限元方程；
S5：判断循环迭代次数是否大于设定的参数值，若大于则进行步骤S10，否则进行步骤S6；
S6：求解自由度缩减的有限元方程；
S7：采用OC法更新有限元单元密度；
S8：判断是否收敛，若收敛则进行步骤S9,若不收敛是返回步骤S2，所述收敛的条件为：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
S9：输出结果，所述结果包括结构的柔度值、有限元最终单元密度、体积分数、迭代次数和最终的拓扑结构；
S10：计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的位移对应的自由度索引；
S11：根据步骤S10得到的自由度索引减少有限元方程的自由度；
S12：求解经过步骤S4和步骤S11自由度缩减后的有限元方程；
S13：根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量；
S14：判断结构柔度的变化量是否小于设定阈值，若小于则进行步骤S15，若大于则跳转步骤S7；
S15：采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后进行步骤S8。
2.根据权利要求1所述的结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，所述节点密度计算方式为：
将单元密度映射到单元上的节点，如同一节点被多个单元共有，则该节点密度等于所有共享该节点单元的平均密度；如一节点只被一个单元占有，则该节点密度等于该占有单元的密度。
3.根据权利要求1所述的结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，步骤S10中所述计算有限元单元节点位移的变化量，具体计算公式为：
Figure FDA0002625522150000021
其中，ΔX表示节点位移的变化量，U表示有限元模型的节点位移，k表示当前迭代次数，M表示一个整数。
4.根据权利要求1所述的结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，根据步骤S10得到的自由度索引减少有限元方程的自由度，具体步骤为：
根据步骤S10得到的位移变化量小的自由度引索，将当前迭代次数下引索对应的位移作为下次迭代对应引索位置的位移。
5.根据权利要求1所述的结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，步骤S13中所述根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量，具体计算公式为：
Figure FDA0002625522150000022
其中，ΔC表示结构柔度变化量，c代表结构柔度，k表示当前迭代次数，Z表示一个整数。
6.根据权利要求1所述的结构刚度高效拓扑优化方法，其特征在于，步骤S15中所述采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，所述改进OC法具体计算公式为：
Figure FDA0002625522150000031
Figure FDA0002625522150000032
其中，x′new表示有限元模型的最终单元密度，xnew表示采用标准OC法更新后的有限元模型的单元密度，ΔC表示结构柔度变化量，t表示一个常量。
7.一种结构刚度高效拓扑优化系统，其特征在于，包括：拓扑优化基本参数定义模块、循环迭代模块、第一自由度索引构建模块、第一有限元方程构建模块、迭代次数判断模块、第一有限元方程求解模块、第一有限元单元密度更新模块、收敛判断模块、结果输出模块、第二自由度索引构建模块、第二有限元方程构建模块、第二有限元方程求解模块、结构柔度变化量计算模块、结构柔度变化量判断模块和第二有限元单元密度更新模块；
所述拓扑优化基本参数定义模块用于定义拓扑优化的基本参数；
所述循环迭代模块用于循环迭代；
所述第一自由度索引构建模块用于根据结构设计域的有限元模型单元密度计算节点密度，找出节点密度为0的节点，得到节点密度为0的节点位移的自由度索引；
所述第一有限元方程构建模块用于根据自由度索引，删除有限元刚度矩阵中与索引对应的行和列，删除位移向量和力向量与索引对应的行，得到自由度缩减的有限元方程；
所述迭代次数判断模块用于判断循环迭代次数是否大于设定的参数值，若大于则进行有限元单元节点位移变化量的计算，否则进行自由度缩减的有限元方程的求解；
所述第一有限元方程求解模块用于求解自由度缩减的有限元方程；
所述第一有限元单元密度更新模块用于采用OC法更新有限元单元密度；
所述收敛判断模块用于判断是否收敛，若收敛则输出结果,若不收敛是返回循环迭代，所述收敛的条件为：前后两次迭代单元密度的最大改变量小于设定阈值；
所述结果输出模块用于输出结果，所述结果包括结构的柔度值、有限元最终单元密度、体积分数、迭代次数和最终的拓扑结构；
所述第二自由度索引构建模块用于计算有限元单元节点位移的变化量，得到变化量小于设定阈值的位移对应的自由度索引；
所述第二有限元方程构建模块用于根据第二自由度索引减少有限元方程的自由度；
所述第二有限元方程求解模块用于求解基于第二自由度索引的自由度缩减后的有限元方程；
所述结构柔度变化量计算模块用于根据结构柔度变化量计算结构柔度的变化量；
所述结构柔度变化量判断模块用于判断结构柔度的变化量是否小于设定阈值，若小于则采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，若大于则采用OC法更新有限元单元密度；
所述第二有限元单元密度更新模块用于采用改进OC法更新有限元单元的单元密度，随后判断是否收敛。
8.一种存储介质，存储有程序，其特征在于，所述程序被处理器执行时实现如权利要求1-6任一项所述的结构刚度高效拓扑优化方法。
9.一种计算设备，包括处理器和用于存储处理器可执行程序的存储器，其特征在于，所述处理器执行存储器存储的程序时，实现权利要求1-6任一项所述的结构刚度高效拓扑优化方法。
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