CN113705060B - 考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质 - Google Patents

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CN113705060B CN202111224862.9A CN202111224862A CN113705060B CN 113705060 B CN113705060 B CN 113705060B CN 202111224862 A CN202111224862 A CN 202111224862A CN 113705060 B CN113705060 B CN 113705060B
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Abstract

本发明公开了考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质，通过根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；根据移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；同时求解拓扑优化模型中两种变量，得到拓扑的最优拓扑结构及其对应最优边界条件，相比现有技术，本发明将结构的边界条件也考虑到优化中，得到的结果不仅能得到最优的拓扑结构还可以得到最优的边界条件，能进一步提升拓扑结构的优化效果。

Description

考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质
技术领域
本发明涉及结构设计和优化技术领域，尤其涉及考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质。
背景技术
拓扑结构设计时，传统的方法中拓扑优化都是在边界条件已经固定后的条件下进行的，没有考虑对边界条件的优化。而实际上边界条件也是直接影响拓扑优化结果和优化后结构受力性能的主要因素。
因此，现有拓扑优化方法在优化内部结构时并未优化拓扑边界，导致拓扑优化效果差已成为本领域技术人员亟待解决的技术问题。
发明内容
本发明提供了考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质，用于解决现有拓扑优化方法在优化内部结构时并未优化拓扑边界，导致拓扑优化效果差的技术问题。
为解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：
一种考虑边界优化的拓扑优化方法，包括以下步骤：
根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；
根据移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；
求解拓扑优化模型的最优解，得到拓扑的最优拓扑结构及其对应最优边界条件。
优选的，移动边界点包括：在初始有限元结构的节点连线上移动的一维移动边界点以及在给定的二维区域内移动的二维移动边界点；
一维移动边界点由待优化的活动坐标和一个固定坐标构成，一维移动边界点包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式；
二维移动边界点由两个待优化的活动坐标构成，二维移动边界点同样包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式。
优选的，拓扑优化模型为：
Figure 234746DEST_PATH_IMAGE001
其中，
Figure 509870DEST_PATH_IMAGE002
表示实数矩阵，
Figure 871450DEST_PATH_IMAGE003
表示密度变量，
Figure 941037DEST_PATH_IMAGE004
表示边界变量，即移动边界点的活动 坐标；
Figure 138800DEST_PATH_IMAGE005
表示目标函数；
Figure 686456DEST_PATH_IMAGE006
是外力荷载列阵；
Figure 918854DEST_PATH_IMAGE007
是位移列阵；
Figure 143031DEST_PATH_IMAGE008
是单元总数，
Figure 93669DEST_PATH_IMAGE009
为单元序 号；
Figure 445016DEST_PATH_IMAGE010
是第
Figure 531921DEST_PATH_IMAGE009
个单元的体积；
Figure 943311DEST_PATH_IMAGE011
是设计体积；
Figure 115666DEST_PATH_IMAGE012
是第
Figure 254392DEST_PATH_IMAGE009
个单元的相对密度，
Figure 195804DEST_PATH_IMAGE013
是第
Figure 512515DEST_PATH_IMAGE009
个移动边界 点的设计坐标；
Figure 172167DEST_PATH_IMAGE014
为密度变量的取值区间，
Figure 114584DEST_PATH_IMAGE015
表示密度变量的取值下限，
Figure 176081DEST_PATH_IMAGE016
表示密 度变量的取值上限；
Figure 929273DEST_PATH_IMAGE017
为边界变量的取值区间，
Figure 810642DEST_PATH_IMAGE018
表示边界变量的取值下限，
Figure 307482DEST_PATH_IMAGE019
为 边界变量的取值上限。
优选的，求解拓扑优化模型的最优解，包括以下步骤：
分别计算拓扑优化模型中密度变量以及边界变量的敏感度，基于密度变量以及边界变量的敏感度，通过移动渐进线优化法迭代求解拓扑优化模型的最优解。
优选的，边界变量的敏感度包括一阶敏感度/二阶敏感度，当求解的敏感度为一阶敏感度时，计算拓扑优化模型中边界变量的敏感度通过以下公式实现：
Figure 207174DEST_PATH_IMAGE020
其中，
Figure 396847DEST_PATH_IMAGE021
表示边界变量，
Figure 765511DEST_PATH_IMAGE022
和
Figure 66042DEST_PATH_IMAGE023
分别表示前一步长和后一步长的函数值
Figure 570973DEST_PATH_IMAGE024
，表示变量
Figure 915236DEST_PATH_IMAGE021
的取值区间
Figure 36775DEST_PATH_IMAGE025
上下界的距离，h 为离散变量增量， 称为步长；
当求解的敏感度为二阶敏感度时，计算拓扑优化模型中边界变量的敏感度通过以下公式实现：
Figure 875418DEST_PATH_IMAGE026
Figure 500435DEST_PATH_IMAGE027
。
优选的，在迭代求解拓扑优化模型的最优解时，采用有限元节点坐标对移动边界点进行定位。
优选的，由于边界变量在优化模型中经过标准化处理，即其取值范围为[0,1]，因此在每次迭代后需要通过坐标转换法获得更新后的移动边界点的节点坐标，通过坐标转换法获得更新后的移动边界点的节点坐标通过以下公式实现：
Figure 31910DEST_PATH_IMAGE028
Figure 109588DEST_PATH_IMAGE029
Figure 18767DEST_PATH_IMAGE030
其中，
Figure 763869DEST_PATH_IMAGE031
是边界点在
Figure 200667DEST_PATH_IMAGE032
迭代的节点坐标,
Figure 31220DEST_PATH_IMAGE033
是边界变量在
Figure 946086DEST_PATH_IMAGE034
迭代的值， [] 是舍入算子，
Figure 60542DEST_PATH_IMAGE035
是符号算子，用于输出变量的符号，取值为[-1，0，1]，
Figure 668240DEST_PATH_IMAGE036
代表移动 边界点移动方向的坐标数。
优选的，最优解为在给定结构材料特性，结构优化区域，约束条件，荷载类型，荷载大小，荷载位置，移动边界点位置和类型，得到在去除给定体积后应变能最小的边界条件和拓扑结构。
一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，处理器执行计算机程序时实现上述方法的步骤。
一种计算机存储介质，其上存储有计算机程序，程序被处理器执行时实现上述方法中的步骤。
本发明具有以下有益效果：
1、本发明中的考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质，通过根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；根据移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；求解拓扑优化模型的最优解，得到拓扑的最优拓扑结构及其对应的最优边界条件，相比现有技术，本发明将结构的边界条件也考虑到优化中，得到的结果不仅能得到最优的拓扑结构还可以得到最优的边界条件，能进一步提升拓扑结构的优化效果。
2、在优选方法中，将边界点变量和密度变量用移动渐进线优化法（MMA）进行优化求解；将移动渐进线优化法输出的结果进行坐标转换用于定位优化后的移动边界点。能在保证全局收敛的情况下，快速求解出最优解。
3、在优选方案中，本发明同时采用一阶敏感度和二阶敏感度结合移动渐进线优化法求解最优解，能提高解算的准确性和效率，使得算法计算效率更高，输出的结果更加受力合理，更加新颖美观。
除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。
附图说明
构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1是本发明优选实施例中的拓扑优化方法的流程图；
图2是本发明优选实施例中的节点坐标方案和三种移动边界点约束形式图，图中，(a) 表示竖向约束边界点；(b)表示水平约束边界点；(c)表示铰形边界点，图中箭头为有限元节点坐标系，y箭头代表y轴，x箭头代表x轴；
图3 是本发明优选实施例中的第一种待优化拓扑的初始有限元结构简图；
图4 是本发明优选实施例中的第一种待优化拓扑的优化结果图，（a）表示第一种 待优化拓扑优化时将边界点类型设置为固定边界后的优化结果图，优化后的第一种待优化 拓扑在荷载作用下的应变能为
Figure 720510DEST_PATH_IMAGE037
；（b）表示第一种待优化拓扑优化时将边界点类型设 置为一维竖向边界点后的优化结果图，优化后拓扑在荷载作用下的应变能为
Figure 704647DEST_PATH_IMAGE038
；
图5 是本发明优选实施例中的第二种待优化拓扑的初始有限元结构方案图；
图6是本发明优选实施例中的第二种待优化拓扑的优化结果图，（a）表示第二种待 优化拓扑优化时将边界点类型设置为固定边界后的优化结果图，优化后的第二种待优化拓 扑在荷载作用下的应变能为
Figure 158762DEST_PATH_IMAGE039
；（b）表示第一种待优化拓扑优化时将边界点类型设 置为一维水平边界点后的优化结果图，优化后拓扑在荷载作用下的应变能为
Figure 452209DEST_PATH_IMAGE040
；
图7是本发明优选实施例中的第二种待优化拓扑的优化过程图，（a）表示第二种待优化拓扑在优化过程中第一迭代形成的优化图，（b）表示第二种待优化拓扑在优化过程中第10次迭代形成的优化图，（c）表示第二种待优化拓扑在优化过程中第20次迭代形成的优化图，（d）表示第二种待优化拓扑在优化过程中第50次迭代形成的优化图，（e）表示第二种待优化拓扑在优化过程中第100次迭代形成的优化图；
图8 是是本发明优选实施例中的第三种待优化拓扑的初始有限元结构图；
图9是本发明优选实施例中的第三种待优化拓扑在拓扑优化时，将边界点设置为 二维边界点后的优化结果，优化后的第三种待优化拓扑在荷载作用下的应变能为
Figure 991774DEST_PATH_IMAGE041
；
图10 是本发明中考虑边界优化的拓扑优化方法的流程图；
图11是本发明优选实施例中的初始有限元结构的节点连线示意图；
图12是本发明优选实施例中的一维移动边界点的移动示意图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以由权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。
实施例一：
如图10所示，本实施中公开了一种考虑边界优化的拓扑优化方法，包括以下步骤：
根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；
根据移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；
求解拓扑优化模型的最优解，得到拓扑的最优拓扑结构及其对应的最优边界条件。
此外，在本实施例中，还公开了一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，处理器执行计算机程序时实现上述方法的步骤。
此外，在本实施例中，还公开了一种计算机存储介质，其上存储有计算机程序，程序被处理器执行时实现上述方法中的步骤。
本发明中的考虑边界优化的拓扑优化方法、系统及存储介质，通过根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；根据移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；求解拓扑优化模型的最优解，得到拓扑的最优拓扑结构及其对应的最优边界条件，相比现有技术，本发明将结构的边界条件也考虑到优化中，得到的结果不仅能得到最优的拓扑结构还可以得到最优的边界条件，能进一步提升拓扑结构的优化效果。
实施例二：
实施例二是实施例一的优选实施例，其与实施例以的不同之处在于，对优化方法的具体步骤进行了细化：
在本实施例中，如图1所示，在本实施例中，公开了一种考虑边界优化的拓扑优化方法，包括以下步骤：
1、根据工程需要确定目标的初始设计，根据设计需要设置移动边界点；确定移动边界点的类型和形式；其中，移动边界点包括：在初始有限元结构的节点连线上移动的一维移动边界点以及在给定的二维区域内移动的二维移动边界点；
有限元分析将整个长方体结构离散若干个方形单元，如图11所示，所述节点连线为有限单元节点所连成的线如图中水平方向的AB或竖向的CD。移动边界点只能作用在节点上，如ＡＢ直线上包括5个节点。
一维移动边界点由待优化的活动坐标和一个固定坐标构成，所述一维移动边界点包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式；
二维移动边界点由两个待优化的活动坐标构成，二维移动边界点同样包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式。
如图2所示，对移动边界点的设置如下：
用有限元节点坐标系统对移动边界点进行设置和定位，通过对移动边界点坐标的优化实现对边界条件的优化。
2、以结构应变能最小化为优化目标的拓扑优化。应变能在这里定义为外力做功之和，可以表示为：
Figure 779602DEST_PATH_IMAGE042
Figure 88223DEST_PATH_IMAGE043
其中
Figure 303304DEST_PATH_IMAGE044
是力荷载列阵；
Figure 313854DEST_PATH_IMAGE045
是位移列阵。
3、根据敏感度移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量、以SIMP法的物理模型为基础，以应变能为目标的拓扑优化模型。
其中，考虑边界优化的拓扑优化模型为：
Figure 905373DEST_PATH_IMAGE046
Figure 68501DEST_PATH_IMAGE047
其中，
Figure 454483DEST_PATH_IMAGE002
表示实数矩阵，
Figure 968641DEST_PATH_IMAGE003
表示密度变量，
Figure 98271DEST_PATH_IMAGE004
表示边界变量，
Figure 365173DEST_PATH_IMAGE005
表示目标函数；
Figure 922056DEST_PATH_IMAGE006
是力荷载列阵；
Figure 923510DEST_PATH_IMAGE007
是位移列阵；
Figure 325673DEST_PATH_IMAGE008
是单元总数，
Figure 728972DEST_PATH_IMAGE009
为单元序号；
Figure 706024DEST_PATH_IMAGE010
是第
Figure 929195DEST_PATH_IMAGE009
个单元的体积；
Figure 400628DEST_PATH_IMAGE011
是设计体积；
Figure 392855DEST_PATH_IMAGE012
是第
Figure 291541DEST_PATH_IMAGE009
个单元的相对密度，
Figure 251275DEST_PATH_IMAGE013
是第
Figure 526399DEST_PATH_IMAGE009
个移动边界点的设计坐标。
Figure 373132DEST_PATH_IMAGE014
为密 度变量的取值区间，取
Figure 442719DEST_PATH_IMAGE048
。
Figure 640482DEST_PATH_IMAGE025
为边界点变量的取值区间，为了计算方便将其进行 标准化处理，取
Figure 702985DEST_PATH_IMAGE049
。其中
Figure 935383DEST_PATH_IMAGE036
表示移动边界点在优化方向的节点数量。如图2 所示，由于移动边界定位在有限元网格的节点上，
Figure 910293DEST_PATH_IMAGE036
也等于有限元模型在优化方向的节 点数量。
其中，当移动边界点为一维移动边界点时，移动边界在由同一竖向或水平方向的两个以上的节点构成的直线上移动，假设移动边界点水平移动，从坐标上来看，相当于其y坐标为常数固定不动，x为变量。如图12所示，移动边界在AB直线上移动，其中y坐标为15（从上往下数），固定不变，x坐标是变量。即此时移动边界点的坐标（x，y）只有x这个待优化的活动坐标作为边界变量；当移动边界点为二维移动边界点时，移动边界在一个平面内移动，此时对两个坐标x，y都要优化，即活动坐标x，y均是边界变量。
4、分别计算拓扑优化模型中密度变量以及边界变量的敏感度，基于密度变量以及边界变量的敏感度，通过移动渐进线优化法迭代求解拓扑优化模型的最优解。
敏感度分析是求解目标函数关于变量的导数，作为优化算法（如移动渐进线法）的优化信息。将边界变量y引入后，可目标函数的一阶导数可以表示为偏导数的形式：
Figure 860931DEST_PATH_IMAGE050
（3）
Figure 212278DEST_PATH_IMAGE051
（4）
其中
Figure 554310DEST_PATH_IMAGE003
表示密度变量，
Figure 700120DEST_PATH_IMAGE004
表示边界点变量，
Figure 872475DEST_PATH_IMAGE052
和
Figure 27513DEST_PATH_IMAGE053
表示变量增量。
其中密度变量的敏感度分析可以用解析式计算：
Figure 703345DEST_PATH_IMAGE054
上式中
Figure 800483DEST_PATH_IMAGE055
为惩罚因子，
Figure 194555DEST_PATH_IMAGE056
为弹性模量，
Figure 887705DEST_PATH_IMAGE057
为赋予的最小弹性模量用于避免算法 不稳定性，u为单元位移列阵，k为单元刚度矩阵。
5、适应性数值微分方法
边界点变量属于离散变量，其取值范围由有限元模型在边界点方向节点数确定。 因此关于边界点变量的敏感度分析需要通过数值微分方法计算。当变量距取值区间
Figure 683623DEST_PATH_IMAGE025
上下界的距离大于两个步长
Figure 702394DEST_PATH_IMAGE058
时，采用三点法的中点公式计算一阶导数；当 变量距取值区间
Figure 567451DEST_PATH_IMAGE025
上下界的距离等于一个步长
Figure 329870DEST_PATH_IMAGE059
时，使用两点法的中点公式计 算。当变量距取值区间
Figure 245874DEST_PATH_IMAGE025
下界
Figure 169968DEST_PATH_IMAGE060
，
Figure 538632DEST_PATH_IMAGE061
时，使用后退公式计算；当变量距取值区 间
Figure 88431DEST_PATH_IMAGE025
上界
Figure 593362DEST_PATH_IMAGE060
，
Figure 953936DEST_PATH_IMAGE062
时，使用前进公式计算。
Figure 544317DEST_PATH_IMAGE063
Figure 648539DEST_PATH_IMAGE064
（6）
其中，h 为离散变量增量，称为步长；
Figure 522823DEST_PATH_IMAGE022
和
Figure 788720DEST_PATH_IMAGE023
分别表示前一步长和后一步长的 函数值。
Figure 131976DEST_PATH_IMAGE024
表示变量
Figure 508731DEST_PATH_IMAGE021
距取值区间
Figure 253833DEST_PATH_IMAGE025
上下界的距离。
二阶敏感度分析，同样使用适应数值微分方法：
Figure 939898DEST_PATH_IMAGE065
Figure 770451DEST_PATH_IMAGE066
Figure 950897DEST_PATH_IMAGE067
此优化问题通过移动渐进线法进行求解，移动渐进线法是一种非线性优化方法，其利用当前设计点的目标函数和一阶导数构造一个简单的凸函数，使其在当前设计点上与实际的目标函数一阶近似。这样将原优化问题转换为具有显函数的凸优化问题进行求解。此方法不是本发明内容，不详述。
6、移动边界点坐标转换方法
由于在优化过程中边界点的变量经过标准化处理，其取值区间被都被限制在[0,1]，所以要通过坐标转换将优化后的结果转换为移动边界点的新节点坐标。移动边界点坐标的转换需要根据移动边界点的移动趋势进行，分为前进方案，后退方案和中间方案：
前进方案：
Figure 550505DEST_PATH_IMAGE068
在前进方案中假设移动边界点在优化过程中会向前移动。同理在后退方案中假设移动边界点在优化过程中会后退，此方案可以表示为
Figure 423783DEST_PATH_IMAGE069
当一个移动边界点的移动方法不确定时可以使用中间方案：
Figure 476053DEST_PATH_IMAGE070
其中,
Figure 709457DEST_PATH_IMAGE031
是边界点在
Figure 163572DEST_PATH_IMAGE032
迭代的节点坐标,
Figure 207751DEST_PATH_IMAGE033
是边界变量在
Figure 481738DEST_PATH_IMAGE034
迭代的值， [] 是 舍入算子。
Figure 269565DEST_PATH_IMAGE035
是符号算子，用于输出变量的（正负）符号，取值[-1，0，1]。
Figure 827455DEST_PATH_IMAGE036
代表移 动边界点移动方向的坐标数。
在本实施例中，最优拓扑方案和边界方案为在给定结构材料特性，结构优化区域，约束条件，荷载类型，荷载大小，荷载位置，移动边界点位置和类型，得到在去除给定体积后应变能最小的拓扑结构和边界条件。
通过移动渐进线优化法迭代求解拓扑优化模型的最优解的具体流程如下：
根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；
根据所述移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；
采用SIMP法的物理模型，该方法将拓扑结构所有单元假想由相对密度介于0与 1 的材料构成，以所有单元的相对密度作为设计变量，引入惩罚因子迫使中间密度趋近 0或 1。所有算例中拓扑结构采用各向同性材料构建，弹性模量
Figure 42535DEST_PATH_IMAGE071
=1.0，泊松比为 0.3。优化目 标为结构应变能最小化，保留60%体积。三个算例分别为一维竖向移动边界点算例，一维水 平移动边界点算例和二维移动边界点算例，其中算例三是算例二的扩展。有限元分析中分 别被离散为240×60，200×40和200×40个四边形单元。其各自的荷载和初始边界情况分别 如图3，图5和图8所示。算例结果提供在图4，图6和图9。其中图7为算例二 的优化过程。在算 例结果中，也提供固定边界条件（未考虑边界优化）的优化结果，用于作为对比参考。
综上，本发明中的边界优化方法根据设计需要设置移动边界点；确定移动边界点的类型和和形式；将移动边界点视为附加未知量（边界点变量）和密度变量一起进行敏感度分析；将边界点变量和密度变量用移动渐进线优化法（MMA）进行优化求解；将移动渐进线优化法输出的结果进行坐标转换用于定位优化后的移动边界点。相比现有拓扑优化技术，本发明将结构的边界条件也考虑到优化中，得到的结果不仅能得到最优的外形还可以得到最优的边界条件。从而实现从现有方法拓扑优化方法基础上的进一步扩展。
在优选方案中拓扑优化方法，采用SIMP法的物理模型；以密度变量和边界点变量为设计变量；运用适应性数值微分方法进行关于边界点变量的敏感度分析；用移动渐进线法解出拓扑优化的最优解；使得算法计算效率更高，输出的结果更加受力合理，新颖美观。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
根据工程需要确定拓扑的初始有限元结构以及移动边界点的类型；
所述移动边界点包括：在初始有限元结构的节点连线上移动的一维移动边界点以及在给定的二维区域内移动的二维移动边界点；
所述一维移动边界点由待优化的活动坐标和一个固定坐标构成，所述一维移动边界点包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式；
所述二维移动边界点由两个待优化的活动坐标构成，二维移动边界点同样包括竖向约束边界点，水平约束边界点和铰形边界点三种形式；
根据所述移动边界点的类型以及拓扑的初始有限元结构构建以移动边界点、密度为变量的拓扑优化模型；其中，所述拓扑优化模型为：
Figure 290816DEST_PATH_IMAGE001
其中，
Figure 61326DEST_PATH_IMAGE002
表示实数矩阵，
Figure 890741DEST_PATH_IMAGE003
表示密度变量，
Figure 730390DEST_PATH_IMAGE004
表示边界变量，即移动边界点的活动坐标；
Figure 569033DEST_PATH_IMAGE005
表示目标函数；
Figure 928471DEST_PATH_IMAGE006
是外力荷载列阵；
Figure 991104DEST_PATH_IMAGE007
是位移列阵；
Figure 68782DEST_PATH_IMAGE008
是单元总数，
Figure 960383DEST_PATH_IMAGE009
为单元序号；
Figure 174327DEST_PATH_IMAGE010
是第
Figure 611125DEST_PATH_IMAGE009
个单元的体积；
Figure 176098DEST_PATH_IMAGE011
是设计体积；
Figure 605811DEST_PATH_IMAGE012
是第
Figure 736578DEST_PATH_IMAGE009
个单元的相对密度，
Figure 344277DEST_PATH_IMAGE013
是第
Figure 396547DEST_PATH_IMAGE009
个移动边界点 的设计坐标；
Figure 849525DEST_PATH_IMAGE014
为密度变量的取值区间，
Figure 552908DEST_PATH_IMAGE015
表示密度变量的取值下限，
Figure 331508DEST_PATH_IMAGE016
表示密度变 量的取值上限；
Figure 667811DEST_PATH_IMAGE017
为边界变量的取值区间，
Figure 190059DEST_PATH_IMAGE018
表示边界变量的取值下限，
Figure 233102DEST_PATH_IMAGE019
为边界变 量的取值上限；
求解所述拓扑优化模型的最优解，得到所述拓扑的最优拓扑结构及其对应最优边界条件。
2.根据权利要求1所述的考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，求解所述拓扑优化模型的最优解，包括以下步骤：
分别计算所述拓扑优化模型中密度变量以及边界变量的敏感度，基于所述密度变量以及边界变量的敏感度，通过移动渐进线优化法迭代求解所述拓扑优化模型的最优解。
3.根据权利要求2所述的考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，所述边界变量的敏感度包括一阶敏感度/二阶敏感度，当求解的敏感度为一阶敏感度时，计算所述拓扑优化模型中边界变量的敏感度通过以下公式实现：
Figure 431871DEST_PATH_IMAGE020
其中，
Figure 989891DEST_PATH_IMAGE021
表示边界变量，
Figure 315830DEST_PATH_IMAGE022
和
Figure 478958DEST_PATH_IMAGE023
分别表示前一步长和后一步长的函数值
Figure 333782DEST_PATH_IMAGE024
，表示变量
Figure 97207DEST_PATH_IMAGE025
的取值区间
Figure 757996DEST_PATH_IMAGE026
上下界的距离，h 为离散变量增 量，称为步长；
当求解的敏感度为二阶敏感度时，计算所述拓扑优化模型中边界变量的敏感度通过以下公式实现：
Figure 775630DEST_PATH_IMAGE027
。
4.根据权利要求3所述的考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，在迭代求解所述拓扑优化模型的最优解时，采用有限元节点坐标对移动边界点进行定位。
5.根据权利要求4所述的考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，由于边界变量在优化模型中经过标准化处理，即其取值范围为[0,1]，因此在每次迭代后需要通过坐标转换法获得更新后的移动边界点的节点坐标，通过坐标转换法获得更新后的移动边界点的节点坐标通过以下公式实现：
Figure 332514DEST_PATH_IMAGE028
Figure 802809DEST_PATH_IMAGE029
Figure 719819DEST_PATH_IMAGE030
其中，
Figure 388697DEST_PATH_IMAGE031
是边界点在
Figure 116482DEST_PATH_IMAGE032
迭代的节点坐标,
Figure 339653DEST_PATH_IMAGE033
是边界变量在
Figure 279927DEST_PATH_IMAGE034
迭代的值， [] 是舍入 算子，
Figure 538999DEST_PATH_IMAGE035
是符号算子，用于输出变量的符号，取值为[-1，0，1]，
Figure 437685DEST_PATH_IMAGE036
代表移动边界点移 动方向的坐标数。
6.根据权利要求5所述的考虑边界优化的拓扑优化方法，其特征在于，所述最优解为在给定结构材料特性，结构优化区域，约束条件，荷载类型，荷载大小，荷载位置，移动边界点位置和类型，得到在去除给定体积后应变能最小的边界条件和拓扑结构。
7.一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，处理器执行计算机程序时实现上述权利要求1至6任一方法的步骤。
8.一种计算机存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，程序被处理器执行时实现上述权利要求1至6任一项方法中的步骤。
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