CN110555267B - 一种基于隐式b-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法 - Google Patents

一种基于隐式b-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法 Download PDF

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CN110555267B CN201910820030.XA CN201910820030A CN110555267B CN 110555267 B CN110555267 B CN 110555267B CN 201910820030 A CN201910820030 A CN 201910820030A CN 110555267 B CN110555267 B CN 110555267B
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Abstract

本发明公开了一种基于隐式B‑样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，包括以下步骤：(1)根据实际使用要求选择一个设计域；(2)利用隐式B‑样条曲线对水平集函数进行参数化；(3)根据实际工作状况施加位移约束条件和荷载；(4)给定各单元节点的初始水平集值；(5)根据节点φ值计算体积分数；(6)对上一步得到的结构进行有限元分析，得到可用于速度场计算的响应量；更新水平集函数，通过隐式B‑样条曲线进行水平集函数曲面拟合；(7)迭代收敛判断；(8)优化结果处理；(9)输出优化结果。本发明以线性B‑样条为基函数的参数化水平集方法可以得到正确的优化结果，且计算速度更快，尤其是在大型有限元计算中。

Description

一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法
技术领域
本发明属于结构优化设计相关技术领域，涉及一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法。
背景技术
结构拓扑优化是在指定的设计区域内，给定荷载和位移边界条件，在一定的设计约束条件下，通过改变结构的拓扑即材料在设计域内的分布，使结构的某种性能指标达到最优。使用拓扑优化方法，可以使设计人员摆脱经验设计从而更容易开发出新颖的、特殊的结构形式。水平集方法是目前拓扑优化的常用方法。
罗震等人提出将基于RBF的参数化水平集运用于解决结构形状的拓扑优化问题。魏鹏、李祖宇等人提出了一种初始化方法，来解决径向基函数过度光滑或陡峭而难以收敛的问题。尽管基于参数化水平集的拓扑优化方法在数值计算方面已经解决了很多问题，它的计算速度仍然不能满足工程应用的要求。
发明内容
为了在拓扑优化的过程中，能够提高计算效率，本发明利用改变基函数的水平集方法相关原理，提供了一种以B-样条为基函数，同时能够在不规则网格中重建边界并加速运算的基于B-样条函数的参数化水平集拓扑优化方法。
本发明通过以下的技术方案实现。
一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，包括以下步骤：
(1)导入对原始模型根据，实际使用要求选择一个设计域，进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息；
(2)利用隐式B-样条曲线对水平集函数进行参数化；
(3)根据实际工作状况对原始模型施加位移约束条件和荷载；
(4)设置各单元节点的初始水平集函数值，根据对水平集函数求解得到的节点φ值，获得体积分数；
(5)对步骤(4)得到的结构进行有限元分析，通过隐式B-样条曲线进行水平集函数曲面拟合，获取速度场计算的响应量；
(6)迭代收敛判断；
(7)优化结果处理；
(8)输出优化结果。
进一步，所述步骤(1)具体是在可编译代码或者有限元建模的分析软件中，对该设计域进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息；所述节点信息包括：所有节点的编号及坐标；所述单元信息包括：单元编号以及组成每个单元的节点编号；所述分析软件为Abaqus、Strand7或者Rhino犀牛。
进一步，所述步骤(2)的参数化过程是建立基于IBS(Implicit B-splinesurface，隐式B-样条曲面)的系数更新矩阵，其中IBS定义如下：
定义高维基函数的任一维基函数：
Figure BDA0002187279020000021
Figure BDA0002187279020000022
其中i为节点，P为B-样条函数的次数，xi表示延维方向第i点分割坐标，Bi,P(x)为该维系数函数，x为分割出的坐标，xi+p+1某一维方向第x+i+p点分割坐标，{Ni,p(x)}为定义在非周期的i节点矢量；
定义基于IBS的系数更新矩阵系数矩阵，具体如下：
一次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000031
一次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000032
矩阵：
Figure BDA0002187279020000033
一次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000034
矩阵：
Figure BDA0002187279020000035
二次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000036
二次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000037
矩阵：
Figure BDA0002187279020000038
二次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000039
矩阵：
Figure BDA00021872790200000310
三次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA00021872790200000311
三次B-样条基函数
Figure BDA00021872790200000312
矩阵:
Figure BDA0002187279020000041
三次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000042
矩阵:
Figure BDA0002187279020000043
扩大的一次B-样条基的系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000044
扩大的一次B-样条基
Figure BDA0002187279020000045
矩阵：
Figure BDA0002187279020000046
扩大的一次B-样条基
Figure BDA0002187279020000047
矩阵：
Figure BDA0002187279020000048
水平集函数为没有具体形式的一类函数，其定义如下：
Figure BDA0002187279020000049
其中，t是伪时间步长,x是自变量，D为水平集内区域，Ω为整个设计域；
Figure BDA00021872790200000410
表示水平集函数；
水平集函数用任一曲线/曲面近似参数化表示为如下：
曲线：
Figure BDA0002187279020000051
曲面：
Figure BDA0002187279020000052
其中，a表示定义域区间，x表示自变量，b表示定义域区间，Bi,P(x)表示x方向系数，i表示节点，Pi表示节点i的B-样条函数的次数；n表示节点总数，f(x)为x方向系数函数，gj(y)表示y方向系数函数，Pi,j样本点的φ值。
进一步，所述步骤(3)所述位移约束条件包括：约束点编号、坐标和被约束的自由度；所述荷载包括：受力点编号、坐标、受力方向对应的自由度和受力大小。
进一步，步骤(4)所述的初始水平集函数值为任意值，将各单元节点的初始水平集函数值设定为某一正数，使材料在设计域范围内满布。
进一步，步骤(4)采用Marching Cube(移动立方体切割)得到有限单元体积分数与整体结构体积分数。
进一步，步骤(5)的具体过程是：通过隐式B-样条为基函数对水平集函数进行拟合，拟合方式为：
Figure BDA0002187279020000053
其中αi(t)是定义在每个节点上的基函数的系数，mi(x)是定义在每个节点上的B-样条基函数，再利用Marching Cube算法(移动立方体切割来源于1987年Lorenson与Cline提出的移动立方体算法)得到相应拓扑结构，得到用于速度场计算的响应量。：
进一步，步骤(6)具体是对步骤(7)得到的拓扑结构进行有限元分析，通过速度场计算的响应量，通过比较目标函数，判断收敛情况；
比较目标函数具体是在最小柔顺度为应变能，比较以柔顺度为目标函数时两次连续迭代的相对变化量，当变化量小于设定的数值时，优化迭代结束；否则重复步骤(4)至步骤(6)直至收敛。
进一步，步骤(7)具体是优化步骤(6)的迭代结果，通过隐式B-样条为基函数对有限元不规则网格上的水平集函数进行拟合，并用Marching Cube算法(移动立方体切割)进行边界表达，得到相应拓扑结构，最终得到具有清晰边界且比原结果更加光滑的结构结果。
与现有的技术相比，本发明的有益效果为：
该发明提出了一种快速灵活的曲线用于基于隐式B-样条的曲面重建技术，不需要对曲面进行任何参数化，同时这种方法进一步加速算法进程，最后，对优化后的模型进行边界重建，使得整个模型边界更加光滑，计算快速高效，可以处理大量单元计算，计算成本非常低。实验表明所提出的算法具有描述复杂拓扑的对象的灵活性和准确性。
附图说明
图1为本实施例的三角网格中的修正线性样条函数曲面图；
图2a为本实施例的张量积曲线示意图；
图2b为本实施例的张量积曲面示意图；
图3为本实施例的悬臂梁优化前的边界条件以及外加荷载示意图；
图4为本实施例的悬臂梁优化结果图；
图5为本实施例的基于四种基函数优化结果的边界重建对比示意图；
图5a为本实施例的基于一次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图；
图5b为本实施例的基于二次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图；
图5c为本实施例的基于三次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图；
图5d为本实施例的基于四次B-样条基函数系数矩阵的优化结果边界重建示意图；
图6a为本实施例在规则一的网格中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；
图6b为本实施例在规则二的网格中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；
图6c为本实施例在规则三的网格中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；
图6d为本实施例在规则四的网格中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；
图7a为本实施例的对于挂钩的待优化模型；
图7b为本实施例的对于挂钩的拓扑优化优化结果；
图8为本实施例的基于修正的三次B-样条函数的边界重建悬臂梁优化结果。
具体实施方式
下面结合实施例及附图，对本发明作进一步地详细说明，但本发明的实施方式不限于此。
本实施例的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，设计域的二维平面应力结构如图3所示，设计域左端为固定约束，2a×a(40×80mm)的悬臂梁，实体材料的弹性模量为1GPa，空白材料的弹性模量为1Pa，泊松比为0.3。结构在右端中点处受到竖直方向力F的作用。以结构应变能最小化为目标，施加体积等式约束，体积分数取50％，优化过程及结果如图4所示,优化步骤如下：
(1)导入对原始模型根据，实际使用要求选择一个设计域，进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息，具体是在可编译代码或者有限元建模的分析软件中，对该设计域进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息；所述节点信息包括：所有节点的编号及坐标；所述单元信息包括：单元编号以及组成每个单元的节点编号；所述分析软件为Abaqus、Strand7或者Rhino犀牛。
(2)选择隐式B-样条对水平集函数进行参数化；建立基于IBS的系数更新矩阵，和水平集灵敏度导数计算矩阵。其中IBS定义如下：
定义高维基函数的任一维基函数：
Figure BDA0002187279020000081
Figure BDA0002187279020000082
其中i为节点，P为B-样条函数的次数，xi表示延维方向第i点分割坐标，Bi,P(x)为该维系数函数，x为分割出的坐标，xi+p+1某一维方向第x+i+p点分割坐标，{Ni,p(x)}为定义在非周期的i节点矢量；
定义基于IBS的系数更新矩阵系数矩阵，具体如下：
一次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000083
一次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000084
矩阵：
Figure BDA0002187279020000085
一次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000086
矩阵：
Figure BDA0002187279020000091
二次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000092
二次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000093
矩阵：
Figure BDA0002187279020000094
二次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000095
矩阵：
Figure BDA0002187279020000096
三次B-样条基函数系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000097
三次B-样条基函数
Figure BDA0002187279020000098
矩阵:
Figure BDA0002187279020000099
三次B-样条基函数
Figure BDA00021872790200000910
矩阵:
Figure BDA00021872790200000911
扩大的一次B-样条基的系数矩阵：
Figure BDA0002187279020000101
扩大的一次B-样条基
Figure BDA0002187279020000102
矩阵：
Figure BDA0002187279020000103
扩大的一次B-样条基
Figure BDA0002187279020000104
矩阵：
Figure BDA0002187279020000105
水平集函数为没有具体形式的一类函数，其定义如下：
Figure BDA0002187279020000106
其中，t是伪时间步长,x是自变量，D为水平集内区域，Ω为整个设计域；
Figure BDA0002187279020000107
表示水平集函数；
水平集函数用任一曲线/曲面近似参数化表示为如下：
曲线：
Figure BDA0002187279020000108
曲面：
Figure BDA0002187279020000109
其中，a表示定义域区间，x表示自变量，b表示定义域区间，Bi,P(x)表示x方向系数，i表示节点，Pi表示节点i的B-样条函数的次数；n表示节点总数，f(x)为x方向系数函数，gj(y)表示y方向系数函数，Pi,j样本点的φ值。
图1为本实施例的三角网格中的修正线性样条函数曲面图，图1中i1～i10为该曲面的节点。图2a为本实施例的张量积曲线示意图；图2b为本实施例的张量积曲面示意图。
图5为本实施例的基于四种基函数优化结果的边界重建对比示意图；图5a为基于一次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图，其网格为2524个节点2822个单元；图5b为基于二次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图，其网格3322个节点6424个单元；图5c为基于三次B-样条基函数系数矩阵的优化结果的边界重建示意图，其网格为1641个节点3184个单元；图5d为基于四次B-样条基函数系数矩阵(扩大的一次B-样条基函数系数矩阵)的优化结果边界重建示意图，其网格为1656个节点3190个单元。
本实施例的悬臂梁其边界重建基于修正的三次B-样条函数的优化结果如图8所示。
本实施例中使用的cubic Bspline和linear Bspline插值法，与现有的优化方法MQRBF和CSRBF进行对比。基于不同基函数的参数化水平集的优化悬臂梁时间对比，不同优化方法整个运算的过程所需时间以及迭代步数的对比，如表1所示。
表1 优化悬臂梁时间
Figure BDA0002187279020000121
(3)根据实际工作状况施加位移约束条件和荷载；其中约束信息包括：约束点编号及坐标、被约束的自由度；荷载信息包括：受力点编号及坐标、受力方向对应的自由度和受力大小。
(4)给定初始水平集值：初始密度可以为任意值，一般将各单元节点的初始水平集函数值设定为某一正数，使材料在设计域范围内满布，根据节点φ值，采用Marching Cube计算有限单元体积分数与整体结构体积分数。
(5)对步骤(4)得到的结构进行有限元分析，得到可用于速度场计算的响应量，更新水平集函数，通过隐式B-样条进行水平集函数曲面拟合。具体是引入隐式B-样条概念，先将步骤(4)得到的单元水平集值φ，通过隐式B-样条为基函数对水平集函数进行拟合，再利用Marching Cube算法得到相应拓扑结构。拟合方式为：拟合方式为：
Figure BDA0002187279020000122
其中αi(t)是定义在每个节点上的基函数的系数，mi(x)是定义在每个节点上的B-样条基函数。
更新水平集函数：对步骤(4)得到的结构进行有限元分析，得到可用于速度场计算的响应量，更新水平集函数。
(6)迭代收敛判断：比较目标函数在两次连续迭代的相对变化量；当变化量小于一个事先给定的数值时，优化迭代结束；否则重复步骤(4)至步骤(6)直至收敛。
(7)优化结果处理：具体是优化步骤(6)的迭代结果，通过隐式B-样条为基函数对有限元不规则网格上的水平集函数进行拟合，并用Marching Cube算法(移动立方体切割)进行边界表达，得到相应拓扑结构，最终得到具有清晰边界且比原结果更加光滑的结构结果。
图6a是在规则一的网格(2524个节点2822个单元)中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；图6b是在规则二的网格(3322个节点6424个单元)中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；图6c是在规则三的网格(1641个节点3184个单元)中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果；图6d是在规则四的网格(1656个节点3190个单元)中基于B-样条的参数化水平集悬臂梁拓扑优化结果。
(8)输出优化结果，图4为本实施例的悬臂梁优化结果。
图7a为挂钩的待优化模型，其荷载F和边界条件如图所示；图7b为挂钩的拓扑优化优化结果；图7a和图7b是挂有重物钩子的算例模型和算法结果，这个算例与结果展示了本发明算法的可行性。
以上所述，仅为本发明实施例而已，故不能依此限定本发明实施的范围，即依本发明专利范围及说明书内容所作的等效变化与修饰，皆应仍属本发明涵盖的范围内。

Claims (8)

1.一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)导入对原始模型根据，实际使用要求选择一个设计域，进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息；
(2)定义基于隐式B-样条曲面的系数更新矩阵，首先定义高维基函数的任一维度基函数：
Figure FDA0004177982700000011
Figure FDA0004177982700000012
其中i为节点，p为B-样条函数的次数，xi表示延该维度方向第i点分割坐标，Bi,P(x)为该维度方向上的系数函数，x为分割处的坐标，xi+p+1为某一维度方向第x+i+p点分割坐标；
定义基于隐式B-样条曲面的系数更新矩阵系数矩阵，具体如下：
一次B-样条基函数系数矩阵：
Figure FDA0004177982700000013
一次B-样条基函数
Figure FDA0004177982700000017
矩阵：
Figure FDA0004177982700000014
一次B-样条基函数
Figure FDA0004177982700000018
矩阵：
Figure FDA0004177982700000015
二次B-样条基函数系数矩阵：
Figure FDA0004177982700000016
二次B-样条基函数
Figure FDA0004177982700000027
矩阵：
Figure FDA0004177982700000021
二次B-样条基函数
Figure FDA0004177982700000028
矩阵：
Figure FDA0004177982700000022
三次B-样条基函数系数矩阵：
Figure FDA0004177982700000023
三次B-样条基函数
Figure FDA0004177982700000029
矩阵:
Figure FDA0004177982700000024
三次B-样条基函数
Figure FDA00041779827000000210
矩阵:
Figure FDA0004177982700000025
扩大的一次B-样条基的系数矩阵：
Figure FDA0004177982700000026
扩大的一次B-样条基
Figure FDA00041779827000000211
矩阵：
Figure FDA0004177982700000031
扩大的一次B-样条基
Figure FDA0004177982700000037
矩阵：
Figure FDA0004177982700000032
根据定义的系数更新矩阵，对水平集函数进行参数化：
水平集函数为没有具体形式的一类函数，其定义如下：
Figure FDA0004177982700000033
其中，t是伪时间步长,x是自变量，D为水平集内区域，Ω为整个设计域；
Figure FDA0004177982700000034
表示水平集函数；
水平集函数用任一曲线/曲面近似参数化表示为如下：
曲线：
Figure FDA0004177982700000035
曲面：
Figure FDA0004177982700000036
其中，a表示定义域区间，x表示自变量，b表示定义域区间，Bi,P(x)表示x方向系数，i表示节点，Pi表示节点i的B-样条函数的次数；n表示节点总数，f(x)为x方向系数函数，gj(y)表示y方向系数函数，Pi,j表示样本点的φ值；
(3)根据实际工作状况对原始模型施加位移约束条件和荷载；
(4)设置各单元节点的初始水平集函数值，根据对水平集函数求解得到的节点φ值，获得体积分数；
(5)对步骤(4)得到的结构进行有限元分析，通过隐式B-样条曲线进行水
平集函数曲面拟合，获取速度场计算的响应量；
(6)迭代收敛判断；
(7)优化结果处理；
(8)输出优化结果。
2.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤(1)具体是在可编译代码或者有限元建模的分析软件中，对该设计域进行离散和有限元网格划分，导出节点信息和单元信息；所述节点信息包括：所有节点的编号及坐标；所述单元信息包括：单元编号以及组成每个单元的节点编号；所述分析软件为Abaqus、Strand7或者Rhino犀牛。
3.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤(3)所述位移约束条件包括：约束点编号、坐标和被约束的自由度；所述荷载包括：受力点编号、坐标、受力方向对应的自由度和受力大小。
4.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤(4)所述的初始水平集函数值为任意值，将各单元节点的初始水平集函数值设定为某一正数，使材料在设计域范围内满布。
5.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤(4)采用移动立方体切割的方法得到有限单元体积分数与整体结构体积分数。
6.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤(5)的具体过程是：通过隐式B-样条为基函数对水平集函数进行拟合，拟合方式为：
Figure FDA0004177982700000041
其中αi(t)是定义在每个节点上的基函数的系数，mi(x)是定义在每个节点上的B-样条基函数，再利用Marching Cube移动立方体切割算法得到相应拓扑结构，得到用于速度场计算的响应量。
7.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤(6)具体是对步骤(7)得到的拓扑结构进行有限元分析，通过速度场计算的响应量，通过比较目标函数，判断收敛情况；
比较目标函数具体是在最小柔顺度为应变能，比较以柔顺度为目标函数时两次连续迭代的相对变化量，当变化量小于设定的数值时，优化迭代结束；否则重复步骤(4)至步骤(6)直至收敛。
8.根据权利要求1所述的一种基于隐式B-样条的参数化水平集结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤(7)具体是优化步骤(6)的迭代结果，通过隐式B-样条为基函数对有限元不规则网格上的水平集函数进行拟合，并用Marching Cube算法(移动立方体切割)进行边界表达，得到相应拓扑结构，最终得到具有清晰边界且比原结果更加光滑的结构结果。
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