CN112597649B - 一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法 - Google Patents

一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法 Download PDF

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Abstract

一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，对局部积分域与导数边界相交的节点采用局部弱式法建立平衡方程，并施加导数边界条件，对于其他节点则采用强式法建立平衡方程，并施加本质边界；有效的解决无网格弱式法计算量大、边界处理繁琐和强式法稳定性差等问题，改善了边界施加困难的问题，降低了编程难度，在保证工程应用精度的前提下提高了计算的效率。

Description

一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法
技术领域
本发明属于静电场数值分析领域，更具体地，涉及一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法。
背景技术
无网格法是上世纪七八十年代兴起的一种数值计算方法，由于其具有不需要在离散时定义网格信息、自适应分析相对容易实现、计算精度高等优点而受到了广泛的关注。广义的无网格方法包括两个关键步骤，即控制偏微分方程的无网格离散和无网格形函数及其导数的构造，其中离散方法对求解精度、稳定性、边界施加等问题有较大影响。
根据描述物理现象的离散系统方程的导出形式可将无网格法分为弱式与强式两类。弱式法将高阶控制偏微分方程及其导数边界条件通过加权残量法降阶，表现为积分方程的形式，再通过积分操作将弱式形式表现为代数系统方程。起初，提出的无网格弱式法为全局弱式法，如扩散单元法、无单元法等。大多数全局弱式法在整个问题域上应用全局积分形式的系统方程，因此需要对整个问题域划分积分网格，计算成本大。为避免使用全局背景网格，有学者提出了利用局部弱式形成无网格局部弱式法，仅需在局部积分域内计算数值积分，如MLPG(局部Petrov-Galerkin)法、LRPIM(局部径向基点插值法，local radialpoints interpolation method)法。弱式法稳定性好、求解精度高，但本质边界施加繁琐。强式法通过高效的配点技术在场节点上直接将强式的控制方程连同边界条件表示为一组离散系统方程，如无网格h-p云法、无网格配点法等。无网格强式法离散控制方程直接，无积分运算，不需要背景网格，算法简洁，但在处理导数边界问题时，强式法的计算精度偏低且稳定性较差。
因此，在工程应用中，仅采用无网格弱式法会带来计算量大、边界处理繁琐等问题，而仅采用无网格强式法会引入稳定性差等问题，在保证工程应用精度的前提下，计算效率低，编程难度高。
发明内容
为解决现有技术中存在的不足，本发明的目的在于，提供一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，对局部积分域与导数边界相交的节点采用局部弱式法建立平衡方程，并施加导数边界条件，对于其他节点则采用强式法建立平衡方程，并施加本质边界；有效的解决无网格弱式法计算量大、边界处理繁琐和强式法稳定性差等问题，改善了边界施加困难的问题，降低了编程难度，在保证工程应用精度的前提下提高了计算的效率。
本发明采用如下的技术方案。
强弱耦合的无网格静电场数值计算方法的步骤如下：
步骤1，采集无网格静电场边界上的电压；
步骤2，设置场节点的循环指针p<i>，上标i表示场节点的编号，i＝1,2,…,N，其中，N表示所有场节点的总数；
步骤3，定义任意一个节点的局部积分域，其中局部积分域中心为该节点，根据实际问题判断该局部积分域与自然边界是否相交，若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤5，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤4；
步骤4，设置积分点的循环指针k<j>，上标j表示积分点的编号，j＝1,2,…,M，其中，M表示所有积分点的总数，并且M≤N；
步骤5，计算节点的形函数；
步骤6，基于电压场变量的移动最小二乘形式，计算节点的刚度矩阵，包括强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵，
强式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000021
式中，
Figure BDA0002851167830000022
表示第I个节点的强式刚度矩阵，
u为电压场变量矩阵，
Figure BDA0002851167830000023
表示第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，
I表示节点编号，满足1≤I≤N，
弱式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000031
式中，
Figure BDA0002851167830000032
表示第I个节点的弱式刚度矩阵，
Figure BDA0002851167830000033
表示第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵；
步骤7，对节点的强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵进行离散计算，再根据节点编号从小到大的顺序将所有节点的离散化矩阵组合成总体刚度矩阵；
总体刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000034
若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤9，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤8；
步骤8，若j＜M则设置积分点的循环指针k<j+1>＝k<j>+1，返回步骤4，若j＝M则进入步骤9；
步骤9，若i＜N则设置积分点的循环指针p<i+1>＝p<i>+1，返回步骤2，若i＝N则进入步骤10；
步骤10，施加本质边界，求解总体刚度矩阵以获取无网格静电场的电势数值；
优选地，
在步骤3中，局部积分域为矩形积分域，满足如下关系式：
xl＝xspace*α
yl＝yspace*α
式中，
xl为局部积分域的长，
yl为局部积分域的宽，
xspace为沿着坐标轴x方向的平均节点间距，
yspace为沿着坐标轴y方向的平均节点间距，
α为系数；
优选地，
在步骤3中，自然边界是指非人为设定的电势导数边界；
优选地，
在步骤5中，节点的形函数φi(x)，满足如下关系式：
ΦT(x)＝pT(x)A-1(x)B(x)
式中，
ΦT(x)为形函数矩阵转置，矩阵内元素为节点的形函数φi(x)，
p(x)表示基函数向量；
形函数矩阵转置ΦT(x)中，A(x)满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000041
式中，
Wi(x)表示节点的权函数，
p(xi)表示节点的基函数向量，
ui表示电压场变量矩阵在节点处的节点参数；
形函数矩阵转置ΦT(x)中，B(x)满足如下关系式：
B(x)＝[W1(x)p(x1)W2(x)p(x2)…Wn(x)p(xn)]
优选地，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入问题域的控制方程的强式形式后，得到如下关系式：
LΦu＝f
式中，
LΦu表示对形函数φi(x)和节点参数ui进行微分计算；
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的强式刚度矩阵的关系式；
问题域的控制方程强式形式与边界条件，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000042
Figure BDA0002851167830000043
Figure BDA0002851167830000044
式中，
u表示电压，
Γ1表示本质边界，
Γ2表示自然边界，
g表示本质边界上的值，
h表示自然边界上的值，
x表示沿着坐标轴x方向，
y表示沿着坐标轴y方向，
f表示电荷密度相关函数，
ρ表示电荷密度，
ε表示介电常数；
电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式如下：
Figure BDA0002851167830000051
式中，
Us为节点参数矩阵；
优选地，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入运用散度定理得到的局部弱式形式，得到如下关系式：
Figure BDA0002851167830000052
式中，
WI表示第I个节点的权函数，
VI表示第I个节点的权函数导数矩阵，
e为方向单位向量矩阵，
Φ表示形函数矩阵，
u表示电压场变量矩阵，
Ωq表示边界，
Γi表示内部边界，
Γu表示本质边界，
Γt表示自然边界，
ex表示沿着坐标轴x方向的单位向量，
ev表示沿着坐标轴y方向的单位向量，
Figure BDA0002851167830000061
和
Figure BDA0002851167830000062
表示实际问题给定的自然边界，
fi表示第I个节点的电荷密度相关函数的值，
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的弱式刚度矩阵的关系式；
先利用加权残量法得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000063
再将边界Ωq改写为内部边界Γi、本质边界Γu、自然边界Γt，再运用散度定理得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000064
式中，
WIx表示第I个节点的权函数对x的导数，
WIy表示第I个节点的权函数对y的导数；
优选地，
在步骤6中，
第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000071
第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000072
式中，
Figure BDA0002851167830000073
表示给定的本质边界条件值按节点编号的顺序组成的向量；
优选地，
在步骤7中，
对自然边界上的节点的弱式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure BDA0002851167830000074
对非自然边界上的节点的强式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure BDA0002851167830000075
对于导数边界的节点采用离散化弱式刚度矩阵，对于其余节点采用离散化强式刚度矩阵。
本发明的有益效果在于，与现有技术相比，提出了一种高精度、高效率的无网格静电场数值计算方法，在保证实际工程所需精度的前提下，极大改善了静电场数值计算的效率。
附图说明
图1为本发明一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法的流程图；
图2为本发明具体实施例中的问题域的坐标图；
图3为本发明一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法解得的电势分布云图；的模糊逻辑示意图；
图4为传统无网格局部弱式方法解析解电势分布云图；
图5为本发明一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法与传统无网格局部弱式方法的性能对比图。
具体实施方式
下面结合附图对本申请作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本申请的保护范围。
强弱耦合的无网格静电场数值计算方法的步骤如下：
步骤1，采集无网格静电场边界上的电压；
步骤2，设置场节点的循环指针p<i>，上标i表示场节点的编号，i＝1，2，…，N，其中，N表示所有场节点的总数。
步骤3，定义任意一个节点的局部积分域，其中局部积分域中心为该节点，根据实际问题判断该局部积分域与自然边界是否相交，若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤5，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤4。
具体地，
在步骤3中，局部积分域为矩形积分域，满足如下关系式：
xl＝xspace*α
yl＝yspace*α
式中，
xl为局部积分域的长，
yl为局部积分域的宽，
xspace为沿着坐标轴x方向的平均节点间距，
yspace为沿着坐标轴y方向的平均节点间距，
α为系数，取值为2。
优选地，
在步骤3中，自然边界是指非人为设定的电势导数边界。
本发明的优选实施例中，如图1所示，问题域为正方形区域ABCD，边长为10；边AB、边BC、边AD为本质边界Γu，满足如下关系式：
Γu＝x+y+xy
边CD为自然边界Γt，满足如下关系式：
Γt|x＝10＝1+y
步骤4，设置积分点的循环指针k<j>，上标j表示积分点的编号，j＝1，2，…，M，其中，M表示所有积分点的总数，并且M≤N。
步骤5，计算节点的形函数。
具体地，
在步骤5中，节点的形函数φi(x)，满足如下关系式：
ΦT(x)＝pT(x)A-1(x)B(x)
式中，
ΦT(x)为形函数矩阵转置，矩阵内元素为节点的形函数φi(x)，
p(x)表示基函数向量；
形函数矩阵ΦT(x)中，A(x)满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000091
式中，
Wi(x)表示节点的权函数，
p(xi)表示节点的基函数向量，
ui表示电压场变量矩阵在节点处的节点参数；
形函数矩阵ΦT(x)中，B(x)满足如下关系式：
B(x)＝[W1(x)p(x1)W2(x)p(x2)…Wn(x)p(xn)]
步骤6，基于电压场变量的移动最小二乘形式，计算节点的刚度矩阵，包括强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵，
强式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000092
式中，
Figure BDA0002851167830000093
表示第I个节点的强式刚度矩阵，
u为电压场变量矩阵，
Figure BDA0002851167830000094
表示第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，
I表示节点编号，满足1≤I≤N。
具体地，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入问题域的控制方程的强式形式后，得到如下关系式：
LΦu＝f
式中，
LΦu表示对形函数φi(x)和节点参数ui进行微分计算；
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的强式刚度矩阵的关系式。
问题域的控制方程强式形式与边界条件，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000101
Figure BDA0002851167830000102
Figure BDA0002851167830000103
式中，
u表示电压，
Γ1表示本质边界，
Γ2表示自然边界，
g表示本质边界上的值，
h表示自然边界上的值，
x表示沿着坐标轴x方向，
y表示沿着坐标轴y方向，
f表示电荷密度相关函数，
ρ表示电荷密度，
ε表示介电常数。
电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式如下：
Figure BDA0002851167830000104
式中，
Us为节点参数矩阵。
弱式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000105
式中，
Figure BDA0002851167830000106
表示第I个节点的弱式刚度矩阵，
Figure BDA0002851167830000107
表示第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵。
具体地，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入运用散度定理得到的局部弱式形式，得到如下关系式：
Figure BDA0002851167830000111
式中，
WI表示第I个节点的权函数，
VI表示第I个节点的权函数导数矩阵，
e为方向单位向量矩阵，
Φ表示形函数矩阵，
u表示电压场变量矩阵，
Ωq表示边界，
Γi表示内部边界，
Γu表示本质边界，
Γt表示自然边界，
ex表示沿着坐标轴x方向的单位向量，
ey表示沿着坐标轴y方向的单位向量，
Figure BDA0002851167830000112
和
Figure BDA0002851167830000114
表示实际问题给定的自然边界，
fi表示第I个节点的电荷密度相关函数的值，
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的弱式刚度矩阵的关系式。
先利用加权残量法得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000115
再将边界Ωq改写为内部边界Γi、本质边界Γu、自然边界Γt，再运用散度定理得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000121
式中，
WIx表示第I个节点的权函数对x的导数，
WIy表示第I个节点的权函数对y的导数。
具体地，
在步骤6中，
第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000122
第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000123
式中，
Figure BDA0002851167830000124
表示给定的本质边界条件值按节点编号的顺序组成的向量。
步骤7，对节点的强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵进行离散计算，再根据节点编号从小到大的顺序将所有节点的离散化矩阵组合成总体刚度矩阵；
总体刚度矩阵满足如下关系式：
Figure BDA0002851167830000125
若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤9，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤8。
具体地，
在步骤7中，
对自然边界上的节点的弱式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure BDA0002851167830000131
对非自然边界上的节点的强式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure BDA0002851167830000132
对于导数边界的节点采用离散化弱式刚度矩阵，对于其余节点采用离散化强式刚度矩阵。
步骤8，若j＜M则设置积分点的循环指针k<j+1>＝k<j>+1，返回步骤3，若j＝M则进入步骤9。
步骤9，若i＜N则设置积分点的循环指针p<i+1>＝p<i>+1，返回步骤1，若i＝N则进入步骤10。
步骤10，施加本质边界，求解总体刚度矩阵以获取无网格静电场的电势数值。
采用本发明提出的一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，解得的电势分布云如图3所示，采用传统无网格局部弱式方法解析的电势分布云如图4所示，从图3图4对比中可以看出使用该方法计算所得的结果与准确值基本相同，验证了该方法的有效性。
两种方法的性能对比如图5所示，从图5中可以看出本发明方式在保证极高的工程计算精度的前提下比传统电场数值计算方法计算效率更快。
本发明申请人结合说明书附图对本发明的实施示例做了详细的说明与描述，但是本领域技术人员应该理解，以上实施示例仅为本发明的优选实施方案，详尽的说明只是为了帮助读者更好地理解本发明精神，而并非对本发明保护范围的限制，相反，任何基于本发明的发明精神所作的任何改进或修饰都应当落在本发明的保护范围之内。

Claims (12)

1.一种强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
所述强弱耦合的无网格静电场数值计算方法的步骤如下：
步骤1，采集无网格静电场边界上的电压；
步骤2，设置场节点的循环指针p<i>，上标i表示场节点的编号，i＝1,2,…,N，其中，N表示所有场节点的总数；
步骤3，定义任意一个节点的局部积分域，其中局部积分域中心为该节点，根据实际问题判断该局部积分域与自然边界是否相交，若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤5，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤4；
步骤4，设置积分点的循环指针k<j>，上标j表示积分点的编号，j＝1,2,…,M，其中，M表示所有积分点的总数，并且M≤N；
步骤5，计算节点的形函数；
步骤6，基于电压场变量的移动最小二乘形式，计算节点的刚度矩阵，包括强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵，
强式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000011
式中，
Figure FDA0003556387210000012
表示第I个节点的强式刚度矩阵，
u为电压场变量矩阵，
Figure FDA0003556387210000013
表示第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，
I表示节点编号，满足1≤I≤N，
弱式刚度矩阵满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000014
式中，
Figure FDA0003556387210000015
表示第I个节点的弱式刚度矩阵，
Figure FDA0003556387210000016
表示第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵；
步骤7，对节点的强式刚度矩阵和弱式刚度矩阵进行离散计算，再根据节点编号从小到大的顺序将所有节点的离散化矩阵组合成总体刚度矩阵；
总体刚度矩阵满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000021
式中，ui表示电压场变量矩阵在节点处的节点参数；
若局部积分域与自然边界不相交则直接进入步骤9，若局部积分域与自然边界相交则进入步骤8；
步骤8，若j<M则设置积分点的循环指针k<j+1>＝k<j>+1，返回步骤4，若j＝M则进入步骤9；
步骤9，若i<N则设置积分点的循环指针p<i+1>＝p<i>+1，返回步骤2，若i＝N则进入步骤10；
步骤10，施加本质边界，求解总体刚度矩阵以获取无网格静电场的电势数值。
2.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤3中，局部积分域为矩形积分域，满足如下关系式：
xl＝xspace*α
yl＝yspace*α
式中，
xl为局部积分域的长，
yl为局部积分域的宽，
xspace为沿着坐标轴x方向的平均节点间距，
yspace为沿着坐标轴y方向的平均节点间距，
α为系数。
3.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于：
在步骤3中，所述自然边界是指非人为设定的电势导数边界。
4.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤5中，节点的形函数φi(x)，满足如下关系式：
ΦT(x)＝pT(x)A-1(x)B(x)
式中，
ΦT(x)为形函数矩阵转置，矩阵内元素为节点的形函数φi(x)，
p(x)表示基函数向量。
5.根据权利要求4所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
形函数矩阵ΦT(x)中，A(x)满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000031
形函数矩阵ΦT(x)中，B(x)满足如下关系式：
B(x)＝[W1(x)p(x1)W2(x)p(x2)…Wn(x)p(xn)]
上面两个关系式中，
Wi(x)表示节点的权函数，
p(xi)表示节点的基函数向量，
ui表示电压场变量矩阵在节点处的节点参数。
6.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入问题域的控制方程的强式形式后，得到如下关系式：
LΦu＝f
式中，
f为电荷密度相关函数，
LΦu表示对形函数φi(x)和节点参数ui进行微分计算；
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的强式刚度矩阵的关系式。
7.根据权利要求6所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
问题域的控制方程强式形式与边界条件，满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000032
Figure FDA0003556387210000041
Figure FDA0003556387210000042
式中，
u表示电压，
Γ1表示本质边界，
Γ2表示自然边界，
g表示本质边界上的值，
h表示自然边界上的值，
x表示沿着坐标轴x方向，
y表示沿着坐标轴y方向，
f表示电荷密度相关函数，
ρ表示电荷密度，
ε表示介电常数，
n表示方向向量。
8.根据权利要求6所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式如下：
Figure FDA0003556387210000043
式中，
ΦT(x)为形函数矩阵转置，矩阵内元素为节点的形函数φi(x)，
N表示所有场节点的总数，
Us为节点参数矩阵。
9.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤6中，将电压场变量uh(x)的移动最小二乘表达式，带入运用散度定理得到的局部弱式形式，得到如下关系式：
Figure FDA0003556387210000051
式中，
WI表示第I个节点的权函数，
VI表示第I个节点的权函数导数矩阵，
e为方向单位向量矩阵，
Φ表示形函数矩阵，
u表示电压场变量矩阵，
Ωq表示边界，
Γi表示内部边界，
Γu表示本质边界，
Γt表示自然边界，
ex表示沿着坐标轴x方向的单位向量，
ey表示沿着坐标轴y方向的单位向量，
Figure FDA0003556387210000052
和
Figure FDA0003556387210000053
表示实际问题给定的自然边界，
fi表示第I个节点的电荷密度相关函数的值，
L表示微分算子，
将上式采用矩阵形式表达，即可获得节点的弱式刚度矩阵的关系式。
10.根据权利要求9所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
先利用加权残量法得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000054
再将边界Ωq改写为内部边界Γi、本质边界Γu、自然边界Γt，再运用散度定理得到局部弱式形式，满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000061
式中，
WIx表示第I个节点的权函数对x的导数，
WIy表示第I个节点的权函数对y的导数。
11.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤6中，
第I个节点的弱式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000062
式中，
WI表示第I个节点的权函数，
ex表示沿着坐标轴x方向的单位向量，
ey表示沿着坐标轴y方向的单位向量，
Figure FDA0003556387210000063
和
Figure FDA0003556387210000064
表示实际问题给定的自然边界，
fi表示第I个节点的电荷密度相关函数的值；
第I个节点的强式形式的电荷密度相关函数矩阵，满足如下关系式：
Figure FDA0003556387210000065
式中，
Figure FDA0003556387210000066
表示给定的本质边界条件值按节点编号的顺序组成的向量。
12.根据权利要求1所述的强弱耦合的无网格静电场数值计算方法，其特征在于，
在步骤7中，
对自然边界上的节点的弱式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure FDA0003556387210000071
式中，
Ωq表示边界，
VI表示第I个节点的权函数导数矩阵，
Φ表示形函数矩阵，
u表示电压场变量矩阵，
WI表示第I个节点的权函数，
Γi表示内部边界，
Γu表示本质边界；
对非自然边界上的节点的强式刚度矩阵，按照如下关系式进行离散计算：
Figure FDA0003556387210000072
对于导数边界的节点采用离散化弱式刚度矩阵，对于其余节点采用离散化强式刚度矩阵。
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