CN110765506B - 实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法。传统拓扑优化方法需要后处理操作才能使优化结果适用于CAD系统。本发明对六面体网格实体模型进行体细分，为原始六面体网格实体模型的每个六面体单元构造Bézier体，并在Bézier体中施加力和几何约束；然后计算其中一次细分模型的刚度矩阵和右端项，得到位移，从而对该细分模型的每个细分单元进行灵敏度分析；接着，通过进化比确定本次迭代保留的体积，直到迭代后达到目标体积时，删除所有密度不为1的细分单元，对剩余的每个细分单元构造Bézier体，得到实体模型的最终拓扑优化模型。本发明最终得到的具有光滑样条表示的最优实体几何模型可以直接导入到CAD系统之中。

Description

实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助工程与创成式设计应用领域，涉及基于BESO的拓扑优化方法，具体涉及CAD实体模型的多分辨率拓扑优化方法。

背景技术

等几何分析是利用CAD模型的样条表示来进行物理仿真模拟的新方法。该方法为CAD/CAE的无缝集成提供了新思路，也为已趋成熟的几何造型领域注入新的活力，目前已成为几何设计与计算领域新的关注热点。

创成式产品设计是计算机辅助设计和计算机图形学领域的热门研究课题，其中产品的形状和拓扑结构可以通过物理问题的数值模拟来确定。通过创成式设计理念，输出的CAD产品可以满足一些特定的性能要求，同时实现一些优化目标，如材料成本最小和重量最轻。随着3D打印技术的快速发展，利用拓扑优化的方法设计产品模型日益流行，且在创成式设计中起着关键作用。而传统的拓扑优化方法需要一些后处理操作才能使最终的拓扑优化结果适用于CAD系统，并且实现复杂外形设计、仿真和优化阶段的无缝数据集成与融合也是一个具有挑战性的问题。

发明内容

本发明的目的是为了简化用户的设计过程，提高计算方法的效率，提出一种基于等几何分析的多分辨率拓扑优化框架，对输入的六面体网格模型的近似Catmull-Clark极限体通过给定一定的外力条件进行拓扑优化。

本发明实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，具体步骤如下：

步骤1、输入原始六面体网格实体模型M，并将原始六面体网格实体模型中所有六面体单元的密度ρ_e均设置为1；原始六面体网格实体模型的体积记为V。

步骤2、使用Catmull-Clark细分方法对原始六面体网格实体模型M进行k次体细分，k＞1；体细分后每个细分单元均为六面体。第一次体细分后细分单元的密度继承其上一级六面体单元的密度，第一次之后的每次细分后细分单元的密度继承其上一级细分单元的密度。

步骤3、为原始六面体网格实体模型M的每个六面体单元构造Bézier体，在Bézier体中施加力和固定约束。

步骤4、构造一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项，从而得到该细分模型的右端项F；然后，计算该细分模型中各细分单元的刚度矩阵。另外，令it＝1。

步骤5、计算步骤4中细分模型的刚度矩阵K，对步骤4中细分模型的刚度矩阵K和右端项F进行等几何分析求解，即求解方程组KU＝F得到位移U，然后对该细分模型的每个细分单元进行灵敏度分析。

步骤6、通过以下迭代式求解步骤4中细分模型的第it次迭代后的体积

V_it＝V_it-1(1-ER)

其中，ER为预设的进化比，V₀为步骤4中细分模型的体积。若V_i达到目标体积V^*，则执行步骤9，否则执行步骤7。

步骤7、对步骤4中细分模型的所有细分单元按灵敏度从小到大进行排序，并将灵敏度最小的前(1-ER)*S个细分单元的密度均设为ρ_min，取ρ_min＝0.0001，其余细分单元的密度ρ_e保持不变。

步骤8、根据步骤7中各细分单元的密度更新对应细分单元的刚度矩阵，it增加1，回到步骤5。

步骤9、删除步骤4的细分模型中所有密度为ρ_min的细分单元，然后对剩余的每个细分单元构造Bézier体，得到实体模型的最终拓扑优化模型。

进一步，步骤2进行体细分时，一个六面体网格单元被细分为8个六面体网格子单元。在步骤3中用以下的规则生成对应六面体网格单元的Bézier体控制网格。

六面体网格单元M₁的64个Bézier控制点根据M₁及其邻接的六面网格单元的顶点计算得到，Bézier控制点为内点、边点、面点或角点时，其坐标分别采用下列方法计算：

设点v所在六面体网格单元的邻域L＝v,e₁,e₂,e₃,f₁,f₂,f₃,c，其中，e_t,t＝1、2或3表示邻接边点坐标，邻接边点表示与v在同一条边上的另一点，在一个六面体内有3个邻接边点；f_t,t＝1、2或3表示邻接面点坐标，邻接面点表示与v在同一个面且不在同一条边上的点，一个六面体内有3个邻接面点；c表示邻接块点坐标，邻接块点表示与v在同一个六面体网格单元内且不在同一个面上的点，在一个六面体内有1个邻接块点；则点v相邻内点的坐标v_in计算公式为：

若要计算六面体网格单元的边点、面点或者角点坐标，只需计算出包含待求边点、面点或者角点的各个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的一个内点的坐标，然后对求出的这些内点的坐标取平均即可，即

其中n_new为包含待求边点、面点或者角点的六面体网格单元数量，

为包含待求边点、面点或者角点的第t₁个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的那个内点的坐标。

进一步，对于步骤4和步骤5，首先在原始六面体网格实体模型M上进行等几何分析，然后在一次细分模型上进行拓扑优化，具体框架如下：

/>

上述框架中，在已知(2)、(3)、(4)式的条件下，要使(1)式的值最小，minimize代表求最小值，s.t代表使得。m为M的六面体单元数量，m^e表示M中的第e个六面体单元在细分单元中细分成的细分单元个数，K_e(ρ_e)为第e个六面体单元的刚度矩阵，

表示第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的刚度矩阵，/>

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的密度，u^e为第e个六面体单元的位移，/>

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的位移，T代表转置，r为函数符号，/>

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的体积。计算/>

的方法为：

其中

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元未关联/>

时的刚度矩阵，中间变量μ_min在10^-9～10^-7中取值，p为惩罚因子，在3～5中取值；/>

的计算方法为

其中矩阵B＝(B₁,B₂,…,B_m′)，D为矩阵符号，Ω_e为六面体单元的空间，ξ、η和ζ分别为六面体单元的三个空间方向，m'为每个六面体单元在Bézier体中对应的基函数个数，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的雅可比行列式；

/>

其中，N_i',x,N_i',y,N_i',z分别为Bézier基函数N_i'在x,y,z三个方向的偏导数，E为杨氏模量，v为泊松比。

求得各细分单元的

后，建立一次体细分后的细分模型刚度矩阵K，并结合一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项建立一次体细分后的细分模型的右端项矩阵F，然后根据公式(2)，通过KU＝F计算出位移U。最后，通过以下公式计算第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的灵敏度/>

其中，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元在位移矩阵U中对应的位移。

进一步，步骤6中，取V^*＝0.1V，ER＝0.02。

进一步，步骤8中，根据第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的密度

最新值来更新刚度矩阵/>

用于计算下次迭代的全局刚度矩阵K。

本发明具有的有益效果：

本发明采用非结构化三变量样条体构造方法，提出了一种基于等几何分析的多分辨率拓扑优化框架。该框架使用一致的样条表示进行几何建模、等几何分析和拓扑优化，最终得到的拓扑优化结果具有光滑三次B样条表示形式，可以直接导入到CAD系统之中。同时本发明可以在低分辨率网格中进行力学仿真，在高分辨率网格中进行优化设计，从而大大提高计算效率。特别地，本发明可在拓扑优化时精确地保持不同组件之间的界面几何形状，可满足具有几何约束的创成式设计的关键需求。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2(a)为输入的实体模型示意图；

图2(b)和图2(c)分别为图2(a)细分一次和细分两次之后的模型示意图；

图2(d)为图2(a)的细分极限体的近似Bézier体及受力情况示意图；

图2(e)、图2(f)和图2(g)分别对应目标体积为50.3％、28.7％和19.2％时，在图2(a)上进行等几何分析，并在细分模型图2(b)上进行拓扑优化的结果示意图；

图2(h)、图2(i)和图2(j)分别对应目标体积为50.3％、28.7％和19.2％时，在图2(a)上进行等几何分析，在细分模型图2(c)上进行拓扑优化的结果示意图。

图3(a)为一个六面体网格单元中的八个局部顶点示意图；

图3(b)为图3(a)相应的Bézier控制点示意图；

图4(a)为用来计算图3(b)中内点的掩模示意图；

图4(b)为用来计算图3(b)中边点的掩模示意图；

图4(c)为用来计算图3(b)中面点的掩模示意图；

图4(d)为用来计算图3(b)中角点的掩模示意图；

图5(a)、图5(b)、图5(c)和图5(d)分别为用来计算规则点一侧的内点、边点、面点和角点的掩模示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，以实体模型为例来说明本发明实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，具体步骤如下：

步骤1、输入原始六面体网格实体模型M，如图2(a)所示，并将原始六面体网格实体模型中所有六面体单元的密度ρ_e均设置为1；原始六面体网格实体模型的体积记为V。

步骤2、使用Catmull-Clark细分方法对原始六面体网格实体模型M进行k次体细分，k＞1；一次体细分的细分模型A见图2(b)，二次体细分的细分模型B见图2(c)，体细分后每个细分单元均为六面体。第一次体细分后细分单元的密度继承其上一级六面体单元的密度，第一次之后的每次细分后细分单元的密度继承其上一级细分单元的密度。体细分的目的是首先在原始六面体网格实体模型M上进行等几何分析，然后在细分模型A或B上进行拓扑优化。

步骤3、为原始六面体网格实体模型M的每个六面体单元构造Bézier体，在Bézier体中的椅背几何中心处施加垂直于椅背的力，椅座几何中心处施加垂直于椅座的力，并在椅座底部四个角处施加固定约束，如图2(d)所示，Bézier体能用于近似经过无限次体细分后的细分极限体。

步骤4、构造其中一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项，从而得到该细分模型的右端项F；然后，计算该细分模型中各细分单元的刚度矩阵。另外，令it＝1。

步骤5、计算步骤4中细分模型的刚度矩阵K，对步骤4中细分模型的刚度矩阵K和右端项F进行等几何分析，即求解方程组KU＝F得到位移U，然后对该细分模型的每个细分单元进行灵敏度分析。

步骤6、通过以下迭代式求解步骤4中细分模型的第it次迭代后的体积

V_it＝V_it-1(1-ER)

其中，ER为预设的进化比，V₀为步骤4中细分模型的体积。若V_i达到目标体积V^*，则执行步骤9，否则执行步骤7。

步骤7、对步骤4中细分模型的所有细分单元按灵敏度从小到大进行排序，并将灵敏度最小的前(1-ER)*S个细分单元的密度均设为ρ_min，一般取ρ_min＝0.0001，其余细分单元的密度ρ_e保持不变。

步骤8、根据步骤7中各细分单元的密度更新对应细分单元的刚度矩阵，it增加1，回到步骤5。

步骤9、删除步骤4的细分模型中所有密度为ρ_min的细分单元，然后对剩余的每个细分单元构造Bézier体，得到实体模型的最终拓扑优化模型。

其中，步骤6-8为基于SIMP的拓扑优化方法，SIMP方法的基本思想是在单元内部引入一种假想的密度可变材料，并假设这种可变材料的密度介于0～1之间，然后在单元密度和材料的弹性模量之间建立起一种非线性对应关系，对密度为0的单元进行材料去除，密度为1的单元进行材料保留，使设计区域生成结构清晰、易于设计实现的几何形状。

其中，步骤1将输入的实体模型的所有单元密度ρ_e设为1，表示还未开始删除，随后在进行拓扑优化的迭代过程中，对于要删除的单元进行标记，并将这些单元的密度设为ρ_min。迭代结束后再将所有标记为要删除的单元一并删除，得到拓扑优化后的模型。

其中，步骤2在对一个模型进行Catmull-Clark体细分时，一个六面体网格单元会被细分为8个六面体网格子单元，且这8个子单元都继承上一级的六面体网格单元的密度。

在步骤3中用以下的规则生成对应六面体网格单元的Bézier体控制网格。

给定一个六面体网格单元M₁，其相应的控制网格表示为M₁'。64个Bézier控制点是根据M₁及其邻接的六面网格单元的顶点计算出来的。六面体网格单元中的八个局部顶点如图3(a)所示，相应的Bézier控制顶点如图3(b)所示，有四个不同类型的点，图3(b)中圆代表内点，方块代表边点，三角形代表面点，菱形点代表角点，内点、边点、面点和角点的坐标可以采用下列方法计算：

设点v所在六面体网格单元的邻域L＝v,e₁,e₂,e₃,f₁,f₂,f₃,c，其中，e_t,t＝1、2或3表示邻接边点坐标，邻接边点表示与v在同一条边上的另一点，在一个六面体内有3个邻接边点；f_t,t＝1、2或3表示邻接面点坐标，邻接面点表示与v在同一个面且不在同一条边上的点，一个六面体内有3个邻接面点；c表示邻接块点坐标，邻接块点表示与v在同一个六面体网格单元内且不在同一个面上的点，在一个六面体内有1个邻接块点；则点v相邻内点的坐标v_in计算公式为：

计算时，表示坐标的各变量取坐标系中同一坐标轴的坐标值；若要计算六面体网格单元的边点、面点或者角点坐标，只需计算出包含待求边点、面点或者角点的各个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的一个内点的坐标，然后对求出的这些内点的坐标取平均即可，即

/>

计算时，表示坐标的各变量取坐标系中同一坐标轴的坐标值；其中n_new为包含待求边点、面点或者角点的六面体网格单元数量，

为包含待求边点、面点或者角点的第t₁个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的那个内点的坐标。

内点、边点、面点和角点的坐标也可以分别用图4(a)、图4(b)、图4(c)及图4(d)的掩膜来计算。图4(b)和图4(d)中，n_v为一个点的度数，即该点邻接边的数量，m_e为一条边的度数，即该边邻接面的数量。以图3为例，若想计算图3(a)中A点一侧的内点，则：

计算时，表示坐标的各变量取坐标系中同一坐标轴的坐标值；其它点的坐标通过掩模来计算的方法也类似。

当不存在任何奇异信息的时候，即对应点的度数n_v＝6，即为规则点，对应边的度数m_e＝4，即为规则边，那么计算内点、边点、面点和角点的坐标可以分别通过图5(a)、图5(b)、图5(c)和图5(d)的掩模进行。图2(d)展示了实体模型生成的Bézier体。

对于步骤4和步骤5，普通的拓扑优化框架有一定的弊端，随着细分次数的不断增多，六面体单元也在成倍的增长，每细分一次，六面体单元个数就会变为原来的8倍。所以对一个单元个数很多的模型进行等几何分析时，构造的刚度矩阵就会异常的大，一个简单模型的刚度矩阵就会达到百万级别甚至千万级别，伴随着需要消耗巨大内存，普通的8G或者16G内存的电脑根本无法支持这类计算。因此本发明提出了多分辨率的框架，极大地减小了所需要消耗的内存和运行需要的时长，大大提升了效率。具体思想为，将输入的粗糙的网格模型细分到可以保证分析精度的程度，并将此时的模型记为M₂。然后对M₂进行细分，具体细分次数可以根据需求而定，将M₂细分后的模型记为M₃，在细分模型M₂上进行等几何分析，在细分模型M₃上进行拓扑优化，即可大大提升效率和节省内存，本实例针对实体模型，首先在原始六面体网格实体模型M上进行等几何分析，然后在一次细分模型上进行拓扑优化，具体的框架如下：

上述框架中，在已知(2)、(3)、(4)式的条件下，要使(1)式的值最小，minimize代表求最小值，s.t代表使得。m为M的六面体单元数量，m^e表示M中的第e个六面体单元在细分单元中细分成的细分单元个数，K_e(ρ_e)为第e个六面体单元的刚度矩阵，

表示第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的刚度矩阵，/>

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的密度，u^e为第e个六面体单元的位移，/>

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的位移，T代表转置，r为函数符号，/>

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的方法为：

其中

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元未关联/>

时的刚度矩阵，中间变量μ_min一般取10^-9～10^-7，p为惩罚因子，一般取3～5；/>

的计算方法为

其中矩阵B＝(B₁,B₂,…,B_m′)，D为矩阵符号，Ω_e为六面体单元的空间，ξ、η和ζ分别为六面体单元的三个空间方向，m'为每个六面体单元在Bézier体中对应的基函数个数，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的雅可比行列式

其中，N_i',x,N_i',y,N_i',z分别为Bézier基函数N_i'在x,y,z三个方向的偏导数，E为杨氏模量，v为泊松比。

求得各细分单元的

后，便可以建立一次体细分后的细分模型刚度矩阵K，并结合一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项建立一次体细分后的细分模型的右端项矩阵F，然后根据公式(2)，通过KU＝F计算出位移U。最后，通过以下公式计算第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的灵敏度/>

/>

其中，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元在位移矩阵U中对应的位移。

步骤6中的各参数中，目标体积V^*意为拓扑优化所要保留的体积，若想对输入模型删除90％的体积，即取V^*＝0.1V；进化比ER意为每次迭代所要删除的体积百分比，本实施例在对实体进行拓扑优化的过程中，取V^*＝0.1V，ER＝0.02，即需要迭代

次。

步骤8中，根据第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的密度

最新值来更新刚度矩阵/>

用于计算下次迭代的全局刚度矩阵K。

图2(e)、图2(f)和图2(g)分别对应目标体积为50.3％、28.7％和19.2％时，在M上进行等几何分析，并在细分模型A上进行拓扑优化的结果。本发明在拓扑优化时可以在任何一次细分模型上进行，比如：图2(h)、图2(i)和图2(j)分别对应目标体积为50.3％、28.7％和19.2％时，在M上进行等几何分析，在细分模型B上进行拓扑优化的结果。可见，只要进行等几何分析的模型M满足一定的精度，那么对M的细分体A和B进行拓扑优化的结果的精度也不会差，所以可以对一个较为粗糙的模型进行等几何分析，对其细分体进行拓扑优化，从而可以大大提高拓扑优化的速度。

Claims (6)

1.实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：该方法具体如下：

步骤1、输入原始六面体网格实体模型M，并将原始六面体网格实体模型中所有六面体单元的密度ρ_e均设置为1；原始六面体网格实体模型的体积记为V；

步骤2、使用Catmull-Clark体细分方法对原始六面体网格实体模型M进行k次体细分，k＞1；体细分后每个细分单元均为六面体；第一次体细分后细分单元的密度继承其上一级六面体单元的密度，第一次之后的每次细分后细分单元的密度继承其上一级细分单元的密度；

步骤3、为原始六面体网格实体模型M的每个六面体单元构造Bézier体，在Bézier体中施加力和固定约束；

步骤4、构造其中一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项，从而得到该细分模型的右端项F；然后，计算该细分模型中各细分单元的刚度矩阵；另外，令it＝1；

步骤5、计算步骤4中细分模型的刚度矩阵K，对步骤4中细分模型的刚度矩阵K和右端项F进行等几何分析，即求解方程组KU＝F得到位移U，然后对该细分模型的每个细分单元进行灵敏度分析；

步骤6、通过以下迭代式求解步骤4中细分模型的第it次迭代后的体积

V_it＝V_it-1(1-ER)

其中，ER为预设的进化比，V₀为步骤4中细分模型的体积；若V_i达到目标体积V^*，则执行步骤9，否则执行步骤7；

步骤7、对步骤4中细分模型的所有细分单元按灵敏度从小到大进行排序，并将灵敏度最小的前(1-ER)*S个细分单元的密度均设为ρ_min，取ρ_min＝0.0001，其余细分单元的密度ρ_e保持不变；

步骤8、根据步骤7中各细分单元的密度更新对应细分单元的刚度矩阵，it增加1，回到步骤5；

步骤9、删除步骤4的细分模型中所有密度为ρ_min的细分单元，然后对剩余的每个细分单元构造Bézier体，得到实体模型的最终拓扑优化模型。

2.根据权利要求1所述的实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：步骤2进行体细分时，一个六面体网格单元被细分为8个六面体网格子单元。

3.根据权利要求1所述的实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：六面体网格单元M₁的64个Bézier控制点是根据M₁及其邻接的六面网格单元的顶点计算出来的，Bézier控制点为内点、边点、面点或角点时，其坐标分别采用下列方法计算：

设点v所在六面体网格单元的邻域L＝v,e₁,e₂,e₃,f₁,f₂,f₃,c，其中，e_t,t＝1、2或3表示邻接边点坐标，邻接边点表示与v在同一条边上的另一点，在一个六面体内有3个邻接边点；f_t,t＝1、2或3表示邻接面点坐标，邻接面点表示与v在同一个面且不在同一条边上的点，一个六面体内有3个邻接面点；c表示邻接块点坐标，邻接块点表示与v在同一个六面体网格单元内且不在同一个面上的点，在一个六面体内有1个邻接块点；则点v相邻内点的坐标v_in计算公式为：

计算时，表示坐标的各变量取坐标系中同一坐标轴的坐标值；若要计算六面体网格单元的边点、面点或者角点坐标，只需计算出包含待求边点、面点或者角点的各个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的一个内点的坐标，然后对求出的这些内点的坐标取平均即可，即

计算时，表示坐标的各变量取坐标系中同一坐标轴的坐标值；其中n_new为包含待求边点、面点或者角点的六面体网格单元数量，

为包含待求边点、面点或者角点的第t₁个六面体网格单元上与该待求边点、面点或者角点距离最近的那个内点的坐标。

4.根据权利要求1所述的实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：对于步骤4和步骤5，首先在原始六面体网格实体模型M上进行等几何分析，然后在一次细分模型上进行拓扑优化，具体的框架如下：

或1(4)

上述框架中，在已知(2)、(3)、(4)式的条件下，要使(1)式的值最小，minimize代表求最小值，s.t代表使得；m为M的六面体单元数量，m^e表示M中的第e个六面体单元在细分单元中细分成的细分单元个数，K_e(ρ_e)为第e个六面体单元的刚度矩阵，

表示第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的刚度矩阵，/>

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其中

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时的刚度矩阵，中间变量μ_min在10^-9～10^-7中取值，p为惩罚因子，在3～5中取值；/>

的计算方法为

其中矩阵B＝(B₁,B₂,…,B_m′)，D为矩阵符号，Ω_e为六面体单元的空间，ξ、η和ζ分别为六面体单元的三个空间方向，m'为每个六面体单元在Bézier体中对应的基函数个数，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的雅可比行列式

其中，N_i',x,N_i',y,N_i',z分别为Bézier基函数N_i'在x,y,z三个方向的偏导数，E为杨氏模量，v为泊松比；

求得各细分单元的

后，建立一次体细分后的细分模型刚度矩阵K，并结合一次体细分后的细分模型中各细分单元的右端项建立一次体细分后的细分模型的右端项矩阵F，然后根据公式(2)，通过KU＝F计算出位移U；最后，通过以下公式计算第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的灵敏度/>

其中，

为第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元在位移矩阵U中对应的位移。

5.根据权利要求1所述的实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：步骤6中，取V^*＝0.1V，ER＝0.02。

6.根据权利要求1所述的实体模型的多分辨率等几何拓扑优化方法，其特征在于：步骤8中，根据第e个六面体单元在细分单元中细分成的第i个细分单元的密度

最新值来更新刚度矩阵/>

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