CN1828672A - 一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于先利用拓扑规则将六面体的拓扑网格进行分裂，以增加新顶点并形成新的网格拓扑，再利用几何规则计算所有顶点的几何位置；循环迭代上述步骤至满足循环停止条件。本发明通过在六面体拓扑结构实体上的细分规则，在体的内部要求有分布较均匀的拓扑网格点，这些网格点将被插值，并进一步细分，逐渐形成稠密的体数据点集。

Description

一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法

                      技术领域

本发明属于几何体造型技术领域，特别是涉及一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法。

                      技术背景

细分方法是一个从离散到离散的过程，从初始多面体或多边形网格出发，递归地调用细分规则加密控制网格，最终在极限意义下，网格序列收敛到连续甚至光滑曲线、曲面，具有许多参数方法和隐式方法表示的优点，适合计算机的离散表示。2002年，Bajaj等人在论文“A smooth subdivision scheme forhexahedral meshes.The Journal of Visual Computer，2002，18：343-356”中利用三线性插值的技术和基于六面体网格的平均算法，提出了类似的体细分方法，在基于数值实验分析的基础上，分析了其极限性质，这种方法可以用于产生非流形的网格上的几何形体的生成，本质上讲是一种逼近型的体细分方法。

传统的实体造型技术往往基于以下一种或几种几何造型方法：体素构造表示实体几何模型，边界表示法模型，样条实体造型方法，单元分解法，以及在科学数据可视化中常用的基于Voxel的三维图像体元构造方法。

近年来使用细分方法迭代构造三维几何实体作为一个新的研究方向，在理论和应用中逐渐得到了重视和发展，成为一种新的体造型的手段。体细分方法目的在于建立了一种基于离散数据迭代细化的方法快速建立三维数据体的技术，表现出了很多新的特性和优点。其中，六面体拓扑网格是形成三维几何形体和进行有限元等计算中常用的三维形体表示的拓扑结构。

目前与基于体细分方法的几何造型方法相关的技术方案有：2002年，Y.S.Chang，K.T.McDonnell和H.Qin在论文“A new solid subdivision scheme based onbox splines.In Proceedings of Solid modeling，2002：226-233”中提出在四面体拓扑网格上的逼近型体细分方法，其极限实体是一个三变量的Box样条形式。这种方法仅仅适用于四面体网格，而且它采用逼近型的拓扑规则，破坏了初始网格的定点，不能很好的保持原网格的几何属性。2003年，Y.S.Chang，K.T.McDonnell和H.Qin在论文“An interpolatory subdivision for volumetric modelsover simplicial complexes.In Proceedings of the Fifth International Conference onShape Modeling and Applications，May 2003，143-152”给出了基于四面体的插值体细分方法，并且给出了体细分规则和理论分析，证明了其细分方法的收敛性以及在规则情况下极限体的连续性。

王建民等人在论文“Tensor product interpolatory subdivision scheme forvolumetric modeling.Submitted to CAD/CG 2003China”给出了六面体拓扑网格上的张量积四点法插值型体细分方法。这种几何造型构造方法简单，易于实现，但需要张量积形式的拓扑结构，这给实际应用带来很多限制。针对这些缺陷，本发明提出了一种基于非张量积六面体网格拓扑结构上的插值型几何数据细分方法，可以运用于计算机动画、计算机可视化及三维体造型方面。

                        发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法。

为了实现发明目的，采用的技术方案为：

一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，先利用拓扑规则将六面体的拓扑网格进行分裂，以增加新顶点并形成新的网格拓扑，再利用几何规则计算所有顶点的几何位置；循环迭代上述步骤至满足循环停止条件。

上述技术方案中，所述拓扑规则为：

(1)在拓扑网格的每一个六面体中，产生一个新的体点，所述新体点是构成六面体的八个顶点的线性凸组合；

(2)在拓扑网格的每一个面上，对应产生一个新面点，所述新面点是构成面的顶点和面所属的六面体的其余顶点的线性凸组合；所述(1)所生成的每个新体点被连接到六面体中各个面的面点上；

(3)在拓扑网格上的每一条边上，对应产生一个新边点，所述新边点是构成所述边的顶点，和共享边的面的其余顶点，和共享边的六面体的其余顶点的线性凸组合；所述(2)所生成的每个新面点被连接到该面上的所有边的新边点上；

(4)原有的拓扑网格顶点保持不变，所述(3)所生成的每一个新的边点被连接到原有边的两个顶点上。

所述几何规则包括不规则六面体几何规则和规则六面体几何规则，所述不规则六面体几何规则具体如下：

(I)计算体点，设六面体的N个顶点为{V₀，V₁，...，V_N-1}，则相应的体点计算规则为C＝(V₀+V₁+...+V_N)/N；

(II)计算面点，根据与面点相关的空间位置，把与面点相关的最多两个六面体C₁和C₂的顶点分为三类V_F，V_C1和V_C2，分别属于三个集合：V_F∈FF(v)，V_C1∈FC₁(v)，V_C2∈FC₂(v)，所述面点的计算规则为：

$\mathrm{NFV}=\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}+\frac{1}{N_2}+\frac{2}{M})\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_1\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C+\frac{1}{N_2}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_2\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C)$

其中，N₁和N₂为六面体C₁和C₂的网格点个数，FF(v)为所述面点所对应面的M个网格顶点，FC₁(v)为在六面体C₁网格中，除去FF(v)集合中的点的其它网格顶点；FC₂(v)为在六面体C₂网格中，除去FF(v)集合中的点的其他网格顶点；

(III)计算边点，把和所述边点相关的拓扑网格顶点分为三种权重的点V_E、V_F和V_C，分别属于三个集合V_E∈EE(V)，V_F∈EF(v)，V_C∈EC(v)，所述边点的计算规则为：

$\mathrm{NEV}=\frac{4K-7}{8K}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{3}{4K^2}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{8K^2}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C$

其中，EE(v)为所述边点所对应边的两端端点、EF(v)为包含所述边点对应边的K个面中，除去EE(v)集合中的点的其它拓扑网格顶点、EC(v)为在包含所述边点对应边的K个六面体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其他拓扑网格顶点；

(IV)顶点位置保持不变。

所述规则六面体几何规则，具体如下：

(I)计算体点，设六面体的八个顶点为{V₀，V₁，...，V₇}，则体点的计算规则为：C＝(V₀+V₁+...+V₇)/8；

(II)计算面点，把共享所述面点对应面的两个六面体的顶点分为两类V_F和V_C，分别属于两个集合：V_F∈FF(v)，V_C∈FC(v)，其中FF(v)为面点所对应面的四个网格点，FC(v)为共享面点对应面的两个相邻六面体中，除去FF(v)集合中的点的其他网格点，所述面点的计算规则为： $F=\frac{\mathrm{\α}}{4}\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1-\mathrm{\α}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{FC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C$

$\mathrm{\α}\∈\left[\mathrm{0,1}\right];$

(III)计算边点，把拓扑网格点分为三种权重的点V_E，V_F和V_C，且分别属于三个集合：V_E∈EE(v)，V_F∈EF(v)V_C∈EC(v)，其中EE(v)为边点所对应边的两个端点、EF(v)为共享所述边点对应边的四个面中，除去EE(v)集合中的点的其它拓扑网格点、EC(v)为共享所求边点对应边的四个六面体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其它拓扑网格点，所述边点的计算规则为：

$E=\frac{\mathrm{\ω}}{2}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{\mathrm{\β}}{8}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{\mathrm{\γ}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C,$ ω+β+γ＝1；

(IV)顶点保持不变。

上述规则六面体几何规则所涉及的拓扑意义上的规则六面体的几何约束为：

(1)所有的拓扑网格都很好连接在一起，也就是说没有孤立点或者孤立边，每一个点都在边上，每一条边都在面上，每一个面都属于一个体；

(2)每一个体元素都是一个封闭体，由六个面包围而成，也就是说六个面包围的体不会形成漏缝或洞，体不会产生相交和自相交；

(3)四个顶点按一定次序连接成面，一个面最多被两个体共享，两个面最多共享一条边；

(4)对于规则六面体拓扑网格，一条边最多被四个体共享。

本发明可采用如下方法选定计算规则六面体几何规则的面点、边点的参数：

在选择面点和边点参数的时候，主要针对于其拓扑结构进行如下的计算：面点可以取为 $F=\frac{C_0+2A+C_1}{4}$ 其中，C₀、C₁是两个包含指定面的相邻六面体的体点，A是这个面的质心，通过计算可知α＝3/4，这时面点的计算规则可以具体写为 $F=\frac{3}{16}\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{32}\underset{V_C\∈\mathrm{FC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C;$

边点可以表示为 $E=\frac{C_{\mathrm{avg}}+2A_{\mathrm{avg}}+M}{4},$ C_avg为包含指定边的那些六面体的体点的均值；A_avg为包含这条边的面的质心的均值；M为这条边的中点。进一步计算可知，ω＝9/16，β＝3/8，and γ＝1/16，此时边点的几何规则可具体写为：

$E=\frac{9}{32}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{3}{64}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{128}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C.$

所述循环停止条件为六面体已经达到设定的足够的计算精度或显示精度、或六面体的最长的一条边的长度小于设定的值、或六面体最大的体元素小于设定的参数值、或六面体的体元素的数量大于设定的参数值。

本发明方案定义的是在六面体拓扑结构实体上的细分规则，在体的内部要求有分布较均匀的拓扑网格点，这些网格点将被插值，并进一步细分，逐渐形成稠密的体数据点集。

其优越性如下：

(1)对于六面体的三维网格数据，可以通过本发明，经过迭代计算生成稠密的连续体数据；

(2)插值型方法所生成的图形经过其初始的控制顶点，当需要进行几何形体变形时，可以直接操纵控制顶点，进行交互式的操作，易于构造任意形状的三维几何形体。利用动力学方程控制体细分初始控制网格，进而进行体细分，能够产生符合物理规律的实体变形效果；

(3)除了几何特点以外，对于插值节点赋予一定的材料属性和物理属性，施加同样的细分规则，可以得到连续甚至光滑的物理属性。

                       附图说明

图1(a)为规则六面体体点细分规则示意图；

图1(b)为规则六面体面点细分规则示意图；

图1(c)为规则六面体边点细分规则示意图；

图2(a)为不规则六面体体点细分规则示意图；

图2(b)为不规则六面体面点细分规则示意图；

图2(c)为不规则六面体边点细分规则示意图。

                      具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的说明。

本发明对规则六面体的细分过程如附图1所示，先对该四方体的拓扑网格进行分裂，具体如下：

(1)在拓扑网格上产生一个新的体点NCV，它是构成四方体的八个顶点的线性凸组合，如附图1(a)所示；

(2)拓扑网格上的每一个面上，对应产生一个新面点NFV，它是构成面的顶点和面所属的两个四方体的其余顶点的线性凸组合，如附图1(b)所示；每个新生成的体点被连接到体中各个包围面的面点上；

(3)拓扑网格上的每一条边上，对应产生一个新边点NEV，它是构成边的两个顶点和共享边的四个面的其余顶点和共享边的四个六面体的其余顶点的线性凸组合，如附图1(c)所示；每个新的面点连接到包围边上新的边点；

(4)因为是插值型体细分规则，原有的拓扑网格点保持不变。每一个新的边点被连接到原有边上的两个顶点上。

产生新的体点NCV、面点NFV、边点NEV后，通过几何规则计算点的位置，具体如下：

(1)计算体点NCV，体点NCV是八个顶点的均值，即四方体的重心。假设八个顶点为{V₀，V₁，...，V₇}，则相应的体点计算规则为C＝(V₀+V₁+...+V₇)/8；

(2)计算面点NFV，把共享此面点对应面的两个体的顶点分为两类V_F和V_C，分别属于两个集合：V_F∈FF(v)，V_C∈FC(v)，这两个集合定义如下：

FF(v)：在拓扑网格中，面点NFV对应面的四个网格点，在如附图1(b)中的FFv点；

FC(v)：在拓扑网格中，共享面点NFV对应面的两个相邻体中，除去FF(v)集合中的点的其他网格点，如附图1(b)中的FCv点；

所求面点NFV的规则为： $F=\frac{\mathrm{\α}}{4}\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1-\mathrm{\α}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{FC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C,\mathrm{\α}\∈\left[\mathrm{0,1}\right];$

(3)计算边点NEV：把相关拓扑网格点分为三种权重的点V_E、V_F和V_C，且分别属于三个集合：V_E∈EE(v)、V_F∈EF(v)、V_C∈EC(v)，集合定义如下：

EE(v)：边点所对应边的两个端点，如附图1(c)中的EEv点；

EF(v)：在体拓扑网格中，共享所求边点对应边的四个面中，除去EE(v)集合中的点的其他拓扑网格点。如附图1(c)中的EFv点；

EC(v)：在体拓扑网格中，共享所求边点对应边的四个体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其他拓扑网格点，如附图1(c)中的ECv点；

所求边点NEV的规则如下：

$E=\frac{\mathrm{\ω}}{2}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{\mathrm{\β}}{8}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{\mathrm{\γ}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C,$ ω+β+γ＝1

(4)计算顶点，顶点位置在细分过程中保持不变。

通过以上的六面体插值体细分算法，一个六面体将被分成八个小的六面体，在体细分循环迭代计算中，可能的循环停止条件如下：已经达到足够的计算精度或显示精度；最长的一条边的长度小于某个预先给定的值；或者最大的体元素都小于某个参数值；体元素的数量大于某个参数值。

实验表明，一般进行3-5次体细分就能够得到较稠密的体数据，满足应用要求。

对不规则六面体的细分过程如附图2所示，其拓扑规则与规则六面体的细分过程相同，而几何规则则具体如下：

(1)计算体点NCV，组成体元素的网格点的均值，即整个体的重心，假设体的N个顶点为{V₀，V₁，....，V_N-1}，则相应的体点规则如下：

C＝(V₀+V₁+...+V_N)/N

(2)计算面点NFV，根据与面点相关的空间位置，把与此面点相关的两个体C₁和C₂(网格点个数分别为N₁和N₂)的顶点分为三类V_F，V_C1和V_C2，分别属于三个集合： $V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right),$ $V_{C_1}\∈{\mathrm{FC}}_1\left(v\right),$ $V_{C_2}\∈{\mathrm{FC}}_2\left(v\right),$ 集合定义如下：FF(v)：在相邻体拓扑网格中，所求面点F所对应面的M个网格点；FC₁(v)：在体C₁网格中，除去FF(v)集合中的点的其他网格点；FC₂(v)：在体C₂网格中，除去FF(v)集合中的点的其他网格点；所求面点E的规则如下：

$F=\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}+\frac{1}{N_2}+\frac{2}{M})\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_1\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C+\frac{1}{N_2}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_2\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C);$

(3)计算边点NEV：在规则情形下，每一个边被四个体所包围，非规则情形下，边被K个体所包围。把和求边点相关的拓扑网格点分为三种权重的点V_E、V_F和V_C，且分别属于三个集合：V_E∈EE(V)，V_F∈EF(V)，V_C∈EC(v)，集合定义如下：

EE(v)：所求边点对应边两端的端点；

EF(v)：在相邻体拓扑网格中，包含所求边点对应边的面，共有K个面。在K个面中，除去EE(v)集合中的点的其他拓扑网格点；

EC(v)：在相邻体拓扑网格中，包含所求边点对应边的K个体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其他拓扑网格点；

所求边点NEV的规则如下：

$E=\frac{4K-7}{8K}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{3}{4K^2}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{8K^2}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C$

(4)计算顶点，顶点位置在细分过程中保持不变。

本发明在六面体拓扑结构实体上的细分规则，在体的内部要求有分布较均匀的拓扑网格点，这些网格点将被插值，并进一步细分，逐渐形成稠密的体数据点集。

Claims (5)

1、一种基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于先利用拓扑规则将六面体的拓扑网格进行分裂，以增加新顶点并形成新的网格拓扑，再利用几何规则计算所有顶点的几何位置；循环迭代上述步骤至满足循环停止条件。

2、根据权利要求1所述的基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于所述拓扑规则为：

(1)在拓扑网格的每一个六面体中，产生一个新的体点，所述新体点是构成六面体的八个顶点的线性凸组合；

(2)在拓扑网格的每一个面上，对应产生一个新面点，所述新面点是构成面的顶点和面所属的六面体的其余顶点的线性凸组合；所述(1)所生成的每个新体点被连接到六面体中各个面的面点上；

(3)在拓扑网格上的每一条边上，对应产生一个新边点，所述新边点是构成所述边的顶点，和共享边的面的其余顶点，和共享边的六面体的其余顶点的线性凸组合；所述(2)所生成的每个新面点被连接到该面上的所有边的新边点上；

(4)原有的拓扑网格顶点保持不变，所述(3)所生成的每一个新的边点被连接到原有边的两个顶点上。

3、根据权利要求1或2所述的基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于所述几何规则为不规则六面体几何规则，具体如下：

(I)计算体点，设六面体的N个顶点为{V₀，V₁，...，V_N-1}，则相应的体点计算规则为C＝(V₀+V₁+...+V_N)/N；

(II)计算面点，根据与面点相关的空间位置，把与面点相关的最多两个六面体C₁和C₂的顶点分为三类v_F，v_C1和v_C2，分别属于三个集合：v_F∈FF(v)， $V_{C_1}\∈{\mathrm{FC}}_1\left(v\right),V_{C_2}\∈{\mathrm{FC}}_2\left(v\right),$ 所述面点的计算规则为：

$\mathrm{NFV}=\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}+\frac{1}{N_2}+\frac{2}{M})\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{4}(\frac{1}{N_1}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_1\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C+\frac{1}{N_2}\underset{V_C\∈{\mathrm{FC}}_2\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C)$

其中，N₁和N₂为六面体C₁和C₂的网格点个数，FF(v)为所述面点所对应面的M个网格顶点，FC₁(v)为在六面体c₁网格中，除去FF(v)集合中的点的其它网格顶点；FC₂(v)为在六面体c₂网格中，除去FF(v)集合中的点的其他网格顶点；

(III)计算边点，把和所述边点相关的拓扑网格顶点分为三种权重的点V_E、v_F和v_C，分别属于三个集合V_E∈EE(v)，V_F∈EF(v)，V_C∈EC(v)，所述边点的计算规则为：

$\mathrm{NEV}=\frac{4K-7}{8K}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{3}{4K^2}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1}{8K^2}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C$

其中，EE(v)为所述边点所对应边的两端端点、EF(v)为包含所述边点对应边的K个面中，除去EE(v)集合中的点的其它拓扑网格顶点、EC(v)为在包含所述边点对应边的K个六面体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其他拓扑网格顶点；

(IV)顶点位置保持不变。

4、根据权利要求1或2所述的基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于所述几何规则为规则六面体几何规则，具体如下：

(I)计算体点，设六面体的八个顶点为{v₀，v₁，...，v₇}，则体点的计算规则为：C＝(V₀+V₁+...+V₇)/8；

(II)计算面点，把共享所述面点对应面的两个六面体的顶点分为两类V_F和V_C，分别属于两个集合：V_F∈FF(v)，V_C∈FC(v)，其中FF(v)为面点所对应面的四个网格点，FC(v)为共享面点对应面的两个相邻六面体中，除去FF(v)集合中的点的其他网格点，所述面点的计算规则为： $F=\frac{\mathrm{\α}}{4}\underset{V_F\∈\mathrm{FF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{1-\mathrm{\α}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{FC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C$ α∈[0，1]；

(III)计算边点，把拓扑网格点分为三种权重的点V_E，V_F和V_C，且分别属于三个集合：V_E∈EE(v)，V_F∈EF(v) V_C∈EC(v)，其中EE(v)为边点所对应边的两个端点、EF(v)为共享所述边点对应边的四个面中，除去EE(v)集合中的点的其它拓扑网格点、EC(v)为共享所求边点对应边的四个六面体中，除去EE(v)集合和EF(v)集合中的点的其它拓扑网格点，所述边点的计算规则为：

$E=\frac{\mathrm{\ω}}{2}\underset{V_E\∈\mathrm{EE}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_E+\frac{\mathrm{\β}}{8}\underset{V_F\∈\mathrm{EF}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_F+\frac{\mathrm{\γ}}{8}\underset{V_C\∈\mathrm{EC}\left(v\right)}{\mathrm{\Σ}}{V}_C,$ ω+β+γ＝1；

(IV)顶点保持不变。

5、根据权利要求1所述的基于六面体插值体细分的几何数据细分方法，其特征在于所述循环停止条件为六面体已经达到设定的足够的计算精度或显示精度、或六面体的最长的一条边的长度小于设定的值、或六面体最大的体元素小于设定的参数值、或六面体的体元素的数量大于设定的参数值。

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