CN107274488B

CN107274488B - 一种三维片上网络的三维模型的生成方法

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Publication number: CN107274488B
Application number: CN201710384963.XA
Authority: CN
Inventors: 张大坤
Original assignee: Tianjin Polytechnic University
Current assignee: Tianjin Polytechnic University
Priority date: 2017-05-26
Filing date: 2017-05-26
Publication date: 2021-03-23
Anticipated expiration: 2037-05-26
Also published as: CN107274488A

Abstract

本发明公开一种三维模型的生成方法，以多面体为初始拓扑结构，选取其中一个节点作为原节点，将原节点裂变为若干新节点，所述新节点的个数与原节点的节点度相等；所述裂变过程为从原节点出发沿与之相连的所有棱滑动一段距离后，在每条棱上生成一个新节点，将各个新节点依次相连，并删除原节点，原节点位置形成空穴。本发明通过拓扑裂变的方式生成新的三维模型，新的三维模型通过拓扑裂变可继续扩展，并且能够在扩展拓扑结构的同时保持网络拓扑结构的原有特性；避免了通过在三维模型外侧增加行或列的方法扩展而造成的三维模型失去其原有的特性、导致网络性能下降的问题。

Description

一种三维片上网络的三维模型的生成方法

技术领域

本发明属于网络拓扑结构领域，特别是涉及到一种通信网络的三维模型的生成方法。

背景技术

网络拓扑结构的研究在各领域都起到越来越重要的作用，例如网络拓扑结构应用在超大规模集成电路领域，对大规模多处理器系统的性能有非常重要的影响，或者网络拓扑结构应用在通信领域，对整个通信系统的性能至关重要，因此，对网络拓扑结构的要求也越来越高。

在网络拓扑结构中，良好的可扩展性，是衡量其性能的一个重要指标，很多拓扑结构具有非常优良的特性，但本身却不具备可扩展性，例如柏拉图立体模型，满足欧拉公式，具有旋转对称性、可平面化等重要特性，但是如果想扩展，在外侧增加节点数量，则会失去其原有的特性，导致网络性能下降。

因此，如何设计一种拓扑结构扩展方法，能够在扩展拓扑结构的同时保持网络拓扑结构的原有特性，是亟需解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于提出一种三维模型的生成方法，能够在扩展拓扑结构的同时保持网络拓扑结构的原有特性。

为达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种三维模型的生成方法，以多面体为初始拓扑结构，选取其中一个节点作为原节点，将原节点裂变为若干新节点，所述新节点的个数与原节点的节点度相等；

所述裂变过程为从原节点出发沿与之相连的所有棱滑动一段距离后，在每条棱上生成一个新节点，将各个新节点依次相连，并删除原节点，原节点位置形成空穴。

进一步的，所述裂变后的新节点作为原节点进行下一级裂变，所述下一级裂变的级数为正整数。

更进一步的，所述下一级裂变后生成的新拓扑结构，与所有空穴构成的空穴树结构，共同构建组合拓扑结构模型。

进一步的，所述多面体拓扑结构的所有节点同时进行同步裂变。

更进一步的，所述同步裂变后的新节点作为原节点进行再同步裂变，所述再同步裂变的次数为正整数。

再更进一步的，所述再同步裂变后生成的新拓扑结构，与所有空穴构成的空穴树结构，共同构建组合拓扑结构模型。

更进一步的，所述作为初始拓扑结构的多面体为柏拉图立体，即正多面体。

再更进一步的，所述柏拉图立体的裂变公式为：

其中P4、P6、P8、P12、P20代表柏拉图立体的五种正多面体结构；

i代表裂变级数。

本发明还提出一种通信网络，所述通信网络为应用上述拓扑结构扩展方法得到的可扩展通信网络。

本发明还提出一种三维片上网络，所述三维片上网络为应用上述拓扑结构扩展方法得到的可扩展三维片上网络。

相对于现有技术，本发明的优点在于：

（1）本发明具有内生长性，通过拓扑裂变的方式生成新的三维模型，新的三维模型通过拓扑裂变可继续扩展，并且能够在扩展拓扑结构的同时保持网络拓扑结构的原有特性；避免了通过在三维模型外侧增加行或列的方法扩展而造成的三维模型失去其原有的特性、导致网络性能下降的问题；

（2）本发明具有自相似性，发生一次拓扑裂变后裂变模型的顶点度数均为3，从二级裂变开始每个节点都拓扑裂变成由3个节点形成的三角形、存在同样的拓扑裂变规律；

（3）本发明具有精细结构，随着拓扑裂变次数的增加多级拓扑裂变模型不断产生更精细的结构，趋于无穷时将产生更多相同的结构，各级拓扑裂变模型之间表现出广义的分形特征；

（4）本发明裂变后生成的新拓扑结构，与所有空穴构成的空穴树结构，共同构建组合拓扑结构模型，组合拓扑结构模型为新型高强度的组合模型；

（5）本发明具有低节点度特征，即各级裂变产生的模型所有节点度均为3；

（6）本发明应用范围涉及多个技术领域，例如可用于研究群论和对称性研究、图论、网络拓扑结构设计、超分子结构设计、各种结构的修复、集成电路的修复、自相似性与数据结构等；

（7）本发明具有很好的艺术价值，对美学鉴赏、景观设计、建筑结构设计、艺术品设计、立体构成研究、益智玩具设计均有指导意义。

附图说明

图1（a）为正四面体球棍模型；

图1（b）为正六面体球棍模型；

图1（c）为正八面体球棍模型；

图1（d）为正十二面体球棍模型；

图1（e）为正二十面体球棍模型；

图2（a）为正四面体一级拓扑裂变模型；

图2（b）为正六面体一级拓扑裂变模型；

图2（c）为正八面体一级拓扑裂变模型；

图2（d）为正十二面体一级拓扑裂变模型；

图2（e）为正二十面体一级拓扑裂变模型；

图2（f）为正四面体二级拓扑裂变模型；

图2（g）为正六面体二级拓扑裂变模型；

图2（h）为正八面体二级拓扑裂变模型；

图2（i）为正十二面体二级拓扑裂变模型；

图2（j）为正二十面体二级拓扑裂变模型；

图3（a）为正四面体一级拓扑裂变模型平面图；

图3（b）为正六面体一级拓扑裂变模型平面图；

图3（c）为正八面体一级拓扑裂变模型平面图；

图3（d）为正十二面体一级拓扑裂变模型平面图；

图3（e）为正二十面体一级拓扑裂变模型平面图；

图3（f）为正四面体二级拓扑裂变模型平面图；

图3（g）为正六面体二级拓扑裂变模型平面图；

图3（h）为正八面体二级拓扑裂变模型平面图；

图3（i）为正十二面体二级拓扑裂变模型平面图；

图3（j）为正二十面体二级拓扑裂变模型平面图；

图4为正二十面体四级裂变留下的“空穴树”示意图；

图5（a）为正四面体拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型；

图5（b）为正六面体拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型；

图5（c）为正八面体拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型；

图5（d）为正十二面体拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型；

图5（e）为正二十面体拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型。

具体实施方式

需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。

下面以柏拉图立体作为初始结构，结合附图对本发明作进一步的详细说明。

1、柏拉图立体简介：

柏拉图立体是正多面体的别称、是指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所连接的面数都是一样的凸多面体，而且已经证明这样的立体只存在以下五种：正四面体(Tetrahedron)、正六面体 (Cube/Hexahedron)、正八面体 (Octahedron)、正十二面体(Dodecahedron）和正二十面体 (Icosahedron)，如图1（a）至图1（e）所示。柏拉图立体由古希腊人发现，当时柏拉图的朋友特埃特图斯告诉了柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写进了《提玛友斯》内，其作法收录在《几何原本》的第13卷，于是后人就将这5种正多面体统称为柏拉图立体。

柏拉图立体特性如表1所示：

表1

类型	面数	棱数	顶点数	每面边数	每顶点度数
						正4面体	4	6	4	3	3
正6面体	6	12	8	4	3
						正8面体	8	12	6	3	4
正12面体	12	30	20	5	3
						正20面体	20	30	12	3	5

2、柏拉图立体拓扑裂变与拓扑裂变模型

2.1 拓扑裂变概念的提出

在网络拓扑结构的研究中，经常采用柏拉图立球棍模型作为网络拓扑结构，这些拓扑结构有许多优良特性，但其本身不具备可扩展性。假如能采取某种方式以柏拉图立体顶点为基准来增加节点数量，就可以设计出更多新的网络拓扑结构。对此许多研究者想了多种方法，如超立方体结构等，但由于n-超立方体的节点度随着n的增加而增加，n的增加使网络信息传递变得困难、网络性能下降。为解决这些问题，本发明提出柏拉图立体拓扑裂变的概念，即沿着每个顶点（源节点）所连接的每一个棱滑动一段距离后增加一个节点，并将增加的节点绕源节点依次连接起来，然后切断这些新增节点与源节点的连接，使源节点成为孤立节点并将其删除，这样就完成了柏拉图立体的一次裂变，每一次裂变都会使网络的规模增大。

2.2 柏拉图立体拓扑裂变过程

以正二十面体为例来说明柏拉图立体拓扑裂变过程。先选取正二十面体的一个顶点N_o1，N_o1与5条棱相连，所以它是一个5度节点，从No1出发沿与之相连5条棱移动一段距离后生成5个新节点并一次相连并删除源节点，这样就完成了N_o1的第一次拓扑裂变。

2.3 柏拉图立体拓扑裂变模型

柏拉图立体拓扑裂变模型如图2（a）至图2（j）所示，分别为5种柏拉图立体的一级拓扑裂变模型和二级拓扑裂变模型。

3、柏拉图立体拓扑裂变特性分析

3.1 各级裂变模型的节点度与节点数

（1）正四面体各级拓扑裂变模型的节点度与节点数

正四面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P₄)-i表示，节点度用D(P₄)-i表示，节点数用V(P₄)-i表示，则：

D(P₄)-i=3,i=0、1、2、。。。、n

V(P₄)-i=4*3ⁱ，i=0、1、2、。。。、n

（2）正六面体各级拓扑裂变模型的节点度与节点数

D(P₆)-i=3, i=0、1、2、。。。、n

V(P₆)-i=8*3ⁱ，i=0、1、2、。。。、n

（3）正八面体各级拓扑裂变模型的节点度与节点数

D(P₈)-0=4

D(P₈)-i=3, i=1、2、。。。、n

V(P₈)-i=6*3ⁱ，i=0、1、2、。。。、n

（4）正十二面体各级拓扑裂变模型的节点度与节点数

D(P₁₂))-i=3, i=0、1、2、。。。、n

V(P₁₂)-i=20*3ⁱ，i=0、1、2、。。。、n

（5）正二十面体各级拓扑裂变模型的节点度与节点数

D(P₂₀)-0=5

D(P₂₀₎-i=3 , i=1、2、。。。、n

V(P₂₀)-i=12*3ⁱ，i=0、1、2、。。。、n

3.2 各级拓扑裂变模型的面数与棱数

（1）正四面体各级拓扑裂变模型的面数与棱数

正四面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P4)-i表示、棱数用E(P4)-i，则

F(P₄₎-0=4

F(P₄₎-i=F(P₄)-(i-1)+ V(P₄)-(i-1), i=1、2、...、n

E(P₄)-0=6

E(P₄)-i=E(P₄₎-(i-1)+3*(V(P₄)-(i-1))， i=1、2、...、n

（2）正六面体各级拓扑裂变模型的面数与棱数

正六面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P₆)-i表示、棱数用E(P₆)-i，则

F(P₆)-0=6

F(P₆)-i=F(P₆)-(i-1)+ V(P₆)-(i-1), i=1、2、...、n

E(P₆)-0=8

E(P₆)-i=E(P₆)-(i-1)+3*(V(P₆)-(i-1))， i=1、2、...、n

（3）正八面体各级拓扑裂变模型的面数与棱数

正八面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P₈))-i表示、棱数用E(P₈)-i，则

F(P₈)-0=8

F(P₈)-i=F(P₈)-(i-1)+ V(P₈)-(i-1), i=1、2、...、n

E(P₈)-0=8

E(P₈)-i=E(P₈)-(i-1)+3*(V(P₈)-(i-1))， i=1、2、...、n

（4）正十二面体各级拓扑裂变模型的面数与棱数

正十二面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P₁₂)-i表示、棱数用E(P₁₂)-i，则

F(P₁₂)-0=12

F(P₁₂)-i=F(P₁₂)-(i-1)+ V(P₁₂)-(i-1), i=1、2、...、n

E(P₁₂)-0=30

E(P₁₂)-i=E(P₁₂)-(i-1)+3*(V(P₁₂)-(i-1))， i=1、2、...、n

（5）正二十面体各级拓扑裂变模型的面数与棱数

正二十面体第i级拓扑裂变模型的面数用F(P₂₀)-i表示、棱数用E(P₂₀)-i，则

F(P₂₀)-0=20

F(P₂₀)-i=F(P₂₀)-(i-1)+ V(P₂₀)-(i-1), i=1、2、...、n

E(P₂₀)-0=30

E(P₂₀)-i=E(P₂₀)-(i-1)+3*(V(P₂₀)-(i-1))， i=1、2、...、n

3.3欧拉公式仍然成立

已经证明欧拉公式对于柏拉图立体是成立的，那么柏拉图立体裂变以后产生的柏拉图立体拓扑裂变模型欧拉公式是否仍然成立呢,下面分别进行讨论。

（1）正四面体拓扑裂变模型

已知柏拉图立体满足欧拉公式，则有如下公式成立：

(V(P₄)-0)+（F(P₄)-0）-2=（E(P₄)-0） (1)

对于正四面体1级拓扑裂变模型而言，节点数、面数、棱数分别为：

(V(P₄)-1)=3*4=3*(V(P₄)-0)； (2)

(F(P₄)-1)=4+4=（F(P₄)-0）+(V(P₄)-0)； (3)

(E(P₄)-1)=6+3*4=(E(P₄₎-0)+3*(V(P₄)-0); (4)

于是有：

(V(P₄)-1)+(F(P₄)-1)=3*(V(P₄)-0)+(F(P₄)-0)+(V(P₄)-0)

=4*(V(P₄)-0)+(F(P₄)-0) (5)

(E(P₄)-1) =(E(P₄)-0)+3*(V(P₄₎-0)

=(V(P₄)-0)+(F(P₄)-0)-2+3*(V(P₄)-0)

= 4*(V(P₄)-0)+(F(P₄)-0)- 2 (6)

(V(P₄₎-1)+(F(P₄)-1)-2=4*(V(P₄)-0)+(F(P₄)-0)-2 (7)

由式 (6)等于式 (7) 可得：

(V(P₄)-1)+(F(P₄)-1)-2= (E(P₄)-1) (8)

于是证明正四面体一级拓扑裂变模型满足欧拉公式。

现假设i=n时，即正四面体n级拓扑裂变模型满足欧拉公式，即

(V(P₄)-n)+(F(P₄)-n)-2= (E(P₄)-n) (9)

成立，那麽对于i=n+1作如下推导：

(V(P₄₎-(n+1))=3*(V(P₄)-n) (10)

(F(P₄)-(n+1))=(F(P4)-n)+ (V(P₄)-n) (11)

(E(P₄)-(n+1))=(E(P₄)-n)+3* (V(P₄)-n) (12)

(V(P₄)-(n+1))+(F(P₄)-(n+1))=3*(V(P₄)-n)+(F(P4)-n)+ (V(P₄)-n)

=4*(V(P₄)-n)+(F(P₄)-n) (13)

(E(P₄)-(n+1)) =(E(P₄)-n)+3* (V(P₄)-n)

= (V(P₄)-n)+(F(P₄)-n)-2 +3* (V(P₄)-n)

= 4*(V(P₄)-n)+(F(P₄₎-n)-2 (14)

由式 (13) -2= (14)可证明正四面体n+1级拓扑裂变模型也满足欧拉公式，由数学归纳法可知，正四面体各级拓扑裂变模型均满足欧拉公式。

（2）其它拓扑裂变模型

对于正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体同理可证：

(V(P₆)-n)+(F(P₆)-n)-2= (E(P₆)-n) (15)

(V(P₈)-n)+(F(P₈)-n)-2= (E(P₈)-n) (16)

(V(P₁₂)-n)+(F(P₁₂)-n)-2= (E(P₁₂)-n) (17)

(V(P₂₀)-n)+(F(P₂₀)-n)-2= (E(P₂₀)-n) (18)

至此证明了柏拉图立体各级拓扑裂变模型均满足欧拉公式。拓扑裂变模型基本参数公式集如表2所示；

表2 拓扑裂变模型基本参数公式集：

。

3.4 拓扑裂变模型对偶性讨论

已知正六面体与正八面体对偶，正十二面体与正二十面体对偶，而正四面体则与自己对偶。两个对偶正多面体中，其一的顶点数是另一立体的面数，其面数是另一立体的顶点数。观察两个对偶正多面体一级裂变模型，此时面数等于原立体面数与原顶点数之和（见3.2），即两个对偶正多面体一级裂变模型的面数相同，而一级裂变模型的顶点数均为原顶点数的3倍（3*6与3*8、3*12与3*20），各不相同，即两个对偶的正多面体一级拓扑裂变模型之间不存在对偶性。

3.5 旋转对称性

由于柏拉图立体均存在空间旋转对称性，如果发生拓扑裂变时沿每个棱移动的距离相等，那麽得到的拓扑裂变模型保持原柏拉图立体的空间旋转对称性，原旋转对称轴保持不变。

3.6 可平面化

在图论中，如果图G能够以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S。若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。通过分析可知，柏拉图立体以及各级拓扑裂变模型均可平面化，有代表性的拓扑平面图如图3所示，图3（a）至图3（j）分别展示了5种柏拉图立体的一级拓扑裂变模型平面图和二级拓扑裂变模型平面图。

3.7 自相似性

由表1可知各柏拉图立体顶点度数不尽相同，但发生一次拓扑裂变以后所有裂变模型的顶点度数均为3，从2级裂变开始每个顶点都拓扑裂变成由3个顶点形成一个三角形，这样以后各级裂变模型均存在同样的拓扑裂变规律，即存在拓扑裂变自相似性。

3.8 精细结构

从2级拓扑裂变开始每个顶点都裂变成3个顶点，随着拓扑裂变次数的增加多级拓扑裂变模型不断产生更精细的结构，n趋于无穷时将产生更多相同的结构，各级拓扑裂变模型之间表现出广义的分形特征。

3.9 顶点环

在每一个柏拉图立体拓扑裂变模型面上的顶点都形成一个顶点环，可称之为面环，最原始的面构成最大的环，每一次拓扑裂变都会在原点出顶出形成新环，原来已有的环会增大，如发生n从次拓扑裂变就产生新的n级环，加上最大的面环，共有n+1级环，若称最大面环为0级环计为R₀，次大为R₁，...，R_n级环为只有3个顶点的三角环，每个顶点环含的顶点数依次为：

R₀=原柏拉图立体面的边数*2ⁿ

R₁=3*2^（n-1）

......

R_n-1=3*2

R_n=3*2⁰=3。

3.10“空穴树”结构

在柏拉图立体发生拓扑裂变的顶点消失了，但可以想象在原来的地方留下一个原“空穴”，每发生一次裂变的空穴不断增多，可以形成一颗“空穴树”。

空穴树有如下规律：

一级裂变留下的空穴树K₁=原立体的顶点数；

二级裂变留下的空穴树K₂=原立体的顶点数*原立体的顶点度数；

三级裂变留下的空穴树K₃=原立体的顶点数*原立体的顶点度数*3；

……；

N级裂变留下的空穴树K_n=原立体的顶点数*原立体的顶点度数*3^(n-2)；

消失的节点数总和=原立体的顶点数+原立体的顶点数*原立体的顶点度数*3^(n-2)n=2,......,n+1；

对于正二十面体，有十二个顶点，可以构成12棵完全相同的空穴树，一级拓扑裂变形成5个分支，二级拓扑裂变再各形成3个分支，以下各级拓扑裂变空穴树都变成上一级空穴树的3倍，相当于形成5棵3叉树，如图4所示。其它柏拉图立体都会形成（柏拉图立体顶点数*顶点度数）棵3叉树。

3.11 拓扑裂变模型与“空穴树”的组合

随着拓扑裂变级数的增加拓扑裂变模型中最大环不断增大，其强度有所下降，若将柏拉图立体n级拓扑裂变模型与“空穴树”组合起来就可以产生新的组合模型。如图5（a）至图5（e）所示，分别展示了5种柏拉图立体的拓扑裂变模型与“空穴树”组合模型。

3.12 内生扩展性

对于一般的Mesh结构（n*n*n阵列)，如果要扩展规模可以在某一方向上增加一行或一列；而柏拉图立体拓扑裂变模型规模的扩展是通过进一步裂变实现的，这一过程很像细胞裂变导致生命体的生长过程，故称其为内生扩展性。

4.柏拉图立体拓扑裂变模型的科学艺术价值

4.1柏拉图立体拓扑裂变模型的科学价值

柏拉图立体应用范围非常广泛，涉及数学、物理、化学、建筑、计算机、通讯、美术、科学研究等总多领域，柏拉图立体拓扑裂变模型在这些领域也会大有用武之地，举例如下：

（1）群论和对称性研究

（2）图论极图超图

（3）网络拓扑结构设计

（4）超分子结构设计

（5）各种结构的修复、集成电路的修复

（6）自相似性与数据结构

（7）递归级数组合技术

4.2柏拉图立体拓扑裂变模型的艺术价值

（1）美学鉴赏

（2）景观设计

（3）建筑结构设计

（4）艺术品设计

（5）立体构成研究

（6）益智玩具设计。

以上所讨论的是柏拉图立体的每个顶点同时发生拓扑裂变，可将其称为柏拉图立体同步拓扑裂变。而在许多实际问题中会出现部分顶点发生拓扑裂变的可能，我们将其称为柏拉图立体异步拓扑裂变，对柏拉图立体异步拓扑裂变的研究将更为复杂。同步拓扑裂变和异步拓扑裂变会产生数以万计的拓扑裂变模型，会成为一个立体构成的万花筒。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，以多面体为初始拓扑结构，选取其中一个节点作为原节点，将原节点裂变为若干新节点，所述新节点的个数与原节点的节点度相等；

2.根据权利要求1所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述裂变后的新节点作为原节点进行下一级裂变，所述下一级裂变的级数为正整数。

3.根据权利要求2所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述下一级裂变后生成的新拓扑结构，与所有空穴构成的空穴树结构，共同构建组合拓扑结构模型。

4.根据权利要求1所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述多面体拓扑结构的所有节点同时进行同步裂变。

5.根据权利要求4所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述同步裂变后的新节点作为原节点进行再同步裂变，所述再同步裂变的次数为正整数。

6.根据权利要求5所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述再同步裂变后生成的新拓扑结构，与所有空穴构成的空穴树结构，共同构建组合拓扑结构模型。

7.根据权利要求1-6任一项所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述作为初始拓扑结构的多面体为柏拉图立体，即正多面体。

8.根据权利要求7任一项所述的一种三维片上网络的三维模型的生成方法，其特征在于，所述柏拉图立体的裂变公式为：

其中P4代表柏拉图立体的正四面体结构、P6代表柏拉图立体的正六面体结构、P8代表柏拉图立体的正八面体结构、P12代表柏拉图立体的正十二面体结构、P20代表柏拉图立体的正二十面体结构；

F()-i表示第i级拓扑裂变模型的面数，D()-i表示第i级拓扑裂变模型的节点度，V()-i表示第i级拓扑裂变模型的节点数，E()-i表示第i级拓扑裂变模型的棱数；

i代表裂变级数。

9.一种三维片上网络，其特征在于：所述三维片上网络为应用如权利要求7或8所述三维片上网络的三维模型的生成方法得到的可扩展三维片上网络。