CN1858801A - 三维扫描的点云孔洞填补方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于三角域贝塞尔曲面的三维扫描的点云孔洞填补方法，它包括实物模型、三维数据采集、数据预处理、曲线曲面重构与分析、曲面拟合、CAD模型建模、数据编程加工、零件、测量数据库、CAD模拟库环节。本发明采用曲面拟合的方法能得到一张精确拟合孔洞周围散乱点集的曲面，从而在曲面上取点补孔时能保证较高的拟合精度。

Description

三维扫描的点云孔洞填补方法

技术领域

本发明涉及一种对三维图形的修补方法，尤其涉及一种三维扫描的点云孔洞填补方法。

背景技术

逆向工程(Reverse Engineering，RE)技术是20世纪80年代后期出现在先进制造领域里的新技术，其一般包括四个基本环节：三维形体检测与转换(物理数据的获得)、数据预处理(点云处理、识别、多视拼接)，CAD模型的建立(曲面重构)、CAM制件成型，其基本流程图如附图1所示。在三维形体检测与转换的过程中，通过三维数字化扫描仪对实物模型表面进行三维快速扫描测量，在满足离散采样速度和数据质量的前提下，获取产品的三维离散数据，点云孔洞的出现造成了这些数据的不完整，因此对孔洞进行补偿即对数据进行预处理是逆向工程中非常关键的承上启下的一环，直接影响重构成功与否和CAD模型的质量，对其后续环节起着非常关键的制约作用。本发明主要是涉及到在逆向工程的数字化过程中，用三维扫描系统(附图2)获取产品点云模型出现孔洞时的一种自动补偿方法。

近年来，点云孔洞的填补算法在国内外均取得了很大的进展，已发表了相当数量的文献，其中一些算法获得了较为广泛的应用，如基于能量优化和细分、三角网格模型、网格曲面模型中孔洞的填补算法。这些算法需先对三维扫描直接获得的点云模型做一定的前期处理或者对点云孔洞进行边界识别，实时性不强，复杂度也比较高。在实际的工程应用中，对出现的问题应能及时解决。

文献“Minimal energy surfaces using parametric splines.”(GregoryE.Fasshauer，Larry L.Schumarker.Computer Aided Geometric Design，1996，13：45~79)通过求解以“变形能量函数”为基础的优化目标函数，实现对孔洞的填补，保证了一定的光顺性，然而这类方法大多需要细分曲面，并且对多个子曲面片进行拼接，因此对曲面边界的连续性要求较高，通常很难达到曲面间的二阶连续。由于现有的三角网格模型的相关算法比较成熟，现有的算法大多都是基于此模型的，例如文献“A study of stereolithography file errors and repair”(LeongK F，Chua C K，Ng Y M.International Journal of Advanced Manufacturing，1996，12：415~422)将孔洞填补归结为一个空间多边形的三角剖分问题。但大多在构造新三角片时仅仅采用原有的孔洞多边形顶点，没有增加新的三角片顶点，因而难以获得较好的用于填补孔洞的三角片形状，填补效果不够理想。并且这类算法对于复杂的点云数据编程建立三角网格模型运算量较大，在填补孔洞的过程中还需要改变三角网格的拓扑结构，因此具有对三角网格模型修改和再设计能力不足的缺点，复杂度高，这些缺点都限制了它在实践中的应用。对一类多边形孔洞的填充算法不适用于一般的点云模型。对于一般曲面网格的填充算法均需要准确的获得孔洞边界信息，难度大，不易实现。通过对点云孔洞周围散乱点集进行曲面拟合补偿孔洞的算法过程中，散乱点的参数化必不可少。通常有均匀参数化、向心参数化和累积弦长参数化方法，而这些方法主要针对呈拓扑矩形阵列的数据点，对无规则分布的点云数据，需要对其排序，难度也比较大。

传统的三角曲面插值算法也得到了较为广泛的应用，同时也获得了较好的效果。例如文献“An Adaptive Method for Smooth Surface Approximation to Scattered3D Points.”(Park H，Kim K.Computer Aided Design，1995，27(12)：929~939)中提出的构造光滑曲面拟合散乱点的自适应插值算法。这类插值算法虽然速度比较快，但有其致命的缺点，即：1只能处理单值的非封闭曲面；2要假定偏导矢在域边界曲线上呈线性分布；3重构的曲面依赖于估算出的偏导矢，所以曲面插值方法对离散点的逼近效果并不好，并且计算量大效率低。

在实际的应用过程中，用三维扫描系统得到的通常是具有海量散乱点的点云原始模型。此时就不可避免的存在孔洞现象，对这些孔洞进行及时的填补是关键。为此，本发明中使用一种新算法对孔洞进行补偿。如何对散乱点参数化以及提高曲面的拟合精度是此类算法中的难点。本发明中提出的对散乱点进行参数化的方法以及对曲面的迭代逼近优化方法能达到对孔洞的光滑拟合填充。

发明内容

本发明提供一种能够提供曲面拟合精确度的三维扫描的点云孔洞填补方法。

本发明采用如下技术方案：

一种基于三角域贝塞尔曲面的三维扫描的点云孔洞填补方法：

第一步：在点云孔洞周围且在屏幕坐标平面内设定一个三角形ABC，该三角形ABC的区域范围能使点云孔洞及其周围的点向屏幕坐标平面的投影落入三角形ABC内，并将投影落入三角形ABC内的点作为补孔时拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)，根据拟合曲面的点P_s在三角形ABC平面的投影P_s’位置计算其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)，u_s＝(ΔAP_s’B面积)/(ΔABC面积)、v_s＝(ΔAP_s’C面积)/(ΔABC面积)、w_s＝(ΔB P_s’C面积)/(ΔABC面积)，将拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)的坐标及其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)代入n次Bezier曲面方程并用最小二乘法得到n次Bezier曲面的控制点，从而得到初步拟合的曲面S(u，v，w)；

第二步：求出各个拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)到曲面的距离向量d(u，v，w)及曲面分别对对应点参数方向的偏微分S_u(u，v，w)，S_v(u，v，w)，S_w(u，v，w)，令：

$\left\{\begin{array}{c}f(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_u(u,v,w)=0\\ g(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_v(u,v,w)=0\\ h(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_w(u,v,w)=0\end{array}\right.$

拟合曲面的点P_s的参数化坐标为(u_s，v_s，w_s)，以(u_s，v_s，w_s)为初始估计值，根据牛顿迭代法求解以上方程组，有：

Hσ^T＝κ^T

式中：

σ＝(δu，δv，δw)，其中，δu，δv，δw为曲面u，v，w三个方向上的迭代步长。

κ＝-(f(u_s，v_s，w_s)，g(u_s，v_s，w_s)，h(u_s，v_s，w_s))

$H=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& f_v& f_w\\ g_u& g_v& g_w\\ h_u& h_v& h_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vu}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]$

式中，d＝d(u_s，v_s，w_s)；f_u，f_v，f_w，g_u，g_v，g_w，h_u，h_v，h_w分别表示在点(u_s，v_s，w_s)处相应的向量对u，v，w的一阶偏导数；S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_vw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数。

则可得：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vu}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\\ \mathrm{\δw}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

根据三角Bezier曲面的定义可知δu+δv+δw＝0，即δw＝-δu-δv，因此得到如下迭代方程组：

$\left[\begin{array}{cc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uu}}-S_{\mathrm{uw}})& S_v\·S_u-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uv}}-S_{\mathrm{uw}})\\ S_u\·S_v-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vu}}-S_{\mathrm{vw}})& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vv}}-S_{\mathrm{vw}})\\ S_u\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wu}}-S_{\mathrm{ww}})& S_v\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wv}}-S_{\mathrm{ww}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

其中，δu，δv为u，v两个方向上的迭代步长。S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_vw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数，迭代求解直到 $1/m\underset{s=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\left|\right|d(u_s+\mathrm{\δu},v_s+\mathrm{\δv},w_s+\mathrm{\δw})-d(u_s,v_s,w_s)\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ ε为预置曲面拟合精度，从而得到最终确定的三角Bezier曲面S’(u，v，w)；

第三步：在所述的三角Bezier曲面S’(u，v，w)上取线，再在线上取点，用于填补点云孔洞。

本发明主要用于对三维扫描系统中各种具有复杂曲面形状的点云原始模型中孔洞进行填补的应用场合。利用本发明中的曲面拟合算法，即可得到一张精确逼近孔洞周围散乱点的曲面，随后在面上取点可以即可实现对孔洞的光滑填补。该方法主要有以下优点：

(1)由于传统的曲面插值方法对离散点的逼近效果并不好，本发明采用曲面拟合的方法能得到一张精确拟合孔洞周围散乱点集的曲面，从而在曲面上取点补孔时能保证较高的拟合精度。

(2)采用基于三角域上的曲面拟合方法，比四边域的曲面更容易表现无规则的表面，因此对具有复杂表面的物体，在补孔时更容易控制填补孔洞的曲面的形状，保证了补完孔的表面具有一定的光顺性和保形性。

(3)三角网格模型、网格曲面模型中孔洞的填补算法，这些算法需先对三维扫描直接获得的点云模型做一定的前期处理或者对点云孔洞进行边界识别，实时性不强，复杂度也比较高相比较多数算法中的网格化处理，本发明主要针对三维扫描系统得到的原始点云模型，不需要任何的网格化处理，适用性广，速度快。

(4)拟合曲面时，交互选取孔洞周围的散乱点，无需对点云孔洞进行边界识别，所以当孔洞边界形状比较复杂时，也同样适用。

(5)对散乱点参数化时，无需拟合孔洞的边界曲线，由于避免了孔洞的边界识别，因此对于绝大多数具有任意形状的孔洞也同样适用。

(6)由于对散乱点进行曲面拟合采用了初步拟合和迭代逼近优化两步方法，能够使拟合的曲面获得更高的精度。

(7)操作过程比较简单，只要交互选定孔洞周围的离散点，接下来的的步骤都可自动完成，速度快。并且该方法具有很强的通用性。

此外要注意的是，选取散乱点时，尽量在孔洞周围大范围内选取，可以避免自适应增加散乱点数量，以进一步提高算法的效率。

附图说明

图1是逆向工程流程图。

图2是光栅式三维扫描系统组成图。

图3是算法整体流程图。

图4是选取圆盖点云中的孔洞附近的点集实例示意图。

图5是散乱点参数化流程图

图6是对圆盖点云中的孔洞附近的点集拟合曲面实例示意图。。

图7是曲面初步拟合流程图。

图8是对圆盖点云中的孔洞填补实例示意图。

图9是曲面迭代逼近优化流程图。

具体实施方式

一种基于三角域贝塞尔曲面的三维扫描的点云孔洞填补方法：

第一步：在点云孔洞周围且在屏幕坐标平面内设定一个三角形ABC，该三角形ABC的区域范围能使点云孔洞及其周围的点向屏幕坐标平面的投影落入三角形ABC内，并将投影落入三角形ABC内的点作为补孔时拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)，根据拟合曲面的点P_s在三角形ABC平面的投影P_s’位置计算其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)，u_s＝(ΔAP_s’B面积)/(ΔABC面积)、v_s＝(ΔAP_s’C面积)/(ΔABC面积)、w_s＝(ΔBP_s’C面积)/(ΔABC面积)，将拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)的坐标及其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)代入n次Bezier曲面方程并用最小二乘法得到n次Bezier曲面的控制点，从而得到初步拟合的曲面S(u，v，w)；

第二步：求出各个拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)到曲面的距离向量d(u，v，w)及曲面分别对对应点参数方向的偏微分S_u(u，v，w)，S_v(u，v，w)，S_w(u，v，w)，令：

$\left\{\begin{array}{c}f(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_u(u,v,w)=0\\ g(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_v(u,v,w)=0\\ h(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_w(u,v,w)=0\end{array}\right.$

拟合曲面的点P_s的参数化坐标为(u_s，v_s，w_s)，以(u_s，v_s，w_s)为初始估计值，根据牛顿迭代法求解以上方程组，有：

Hσ^T＝κ^T

式中：

σ＝(δu，δv，δw)

其中，δu，δv，δw为曲面u，v，w三个方向上的迭代步长。

κ＝-(f(u_s，v_s，w_s)，g(u_s，v_s，w_s)，h(u_s，v_s，w_s))

$H=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& f_v& f_w\\ g_u& g_v& g_w\\ h_u& h_v& h_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vu}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]$

式中，d＝d(u_s，v_s，w_s)；f_u，f_v，f_w，g_u，g_v，g_w，h_u，h_v，h_w分别表示在点(u_s，v_s，w_s)处相应的向量对u，v，w的一阶偏导数；S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_vw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数。

则可得：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vu}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\\ \mathrm{\δw}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

根据三角Bezier曲面的定义可知δu+δv+δw＝0，即δw＝-δu-δv，因此得到如下迭代方程组：

$\left[\begin{array}{cc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uu}}-S_{\mathrm{uw}})& S_v\·S_u-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uv}}-S_{\mathrm{uw}})\\ S_u\·S_v-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vu}}-S_{\mathrm{vw}})& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vv}}-S_{\mathrm{vw}})\\ S_u\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wu}}-S_{\mathrm{ww}})& S_v\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wv}}-S_{\mathrm{ww}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

其中，δu，δv为u，v两个方向上的迭代步长。S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_vw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数，迭代求解直到 $1/m\underset{s=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\left|\right|d(u_s+\mathrm{\δu},v_s+\mathrm{\δv},w_s+\mathrm{\δw})-d(u_s,v_s,w_s)\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ ε为预置曲面拟合精度，从而得到最终确定的三角Bezier曲面S’(u，v，w)；

第三步：在所述的三角Bezier曲面S’(u，v，w)上取线，再在线上取点，用于填补点云孔洞。

下面参照附图，对本发明加以详细描述：

在逆向工程中，面对的是密集的点云散乱数据。拟合曲面时，如果曲面的对象边界和形状极其复杂时，一般不便直接运用常规的曲面构造方法，而Bezier曲面由于其构造灵活，边界适应性好，具有构造复杂形状的潜力，而且其本身具有良好的性质：光滑性、局部性和保形性。基于三角域曲面的拟合方法最适合表现无规则型面的物体，特别是人面，地貌等自然物体以及玩具等产品，基于四边域参数曲面的拟合方法，通常要求数据点是有序的，这个条件比较苛刻，综合以上，因此本发明采用三角域上的Bezier曲面对孔洞部分进行拟合填充。总体算法流程见附图3。

本发明主要包括以下步骤：

1)散乱点的选定及参数化过程

在圆盖点云孔洞屏幕二维坐标系附近选择不共线的三点A、B、C，构成需要初步拟合的三角Bezier曲面片的三个角点，将孔洞周围的点向这三点所构成的三角形平面投影，如果点落在三角形平面内，则认为是拟合曲面时所需的点P_s(s＝0，1，…，m-1)，见附图4。

根据选取的点P_s在三角形ABC平面的投影位置计算其曲面参数化坐标。即如果P_s在三角形平面ABC内相对应的投影点为P_s’，那么P_s的参数化坐标(u_s，v_s，w_s)分别为u_s＝(ΔAP_s’B面积)/(ΔABC面积)、v_s＝(ΔAP_s’C面积)/(ΔABC面积)、w_s＝(ΔB P_s’C面积)/(ΔABC面积)。算法流程图见附图5。

2)最小二乘自适应初步拟合

三角域ABC上n次Bezier曲面的表达式为：

$S(u,v,w)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=0}{\overset{n-i}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{\mathrm{ijk}}^n(u,v,w)b_{\mathrm{ijk}}$

式中 $B_{\mathrm{ijk}}^n(u,v,w)=\frac{n!}{i!j!k!}{u}^i{v}^j{w}^k\≥0\left\{\begin{array}{c}0\≤u,v,w\≤1,u+v+w=1\\ 0\≤i,j,k\≤n,i+j+k=n\end{array}\right.$

根据上步已知，可以求得三角域上n次Bezier曲面的表达式中P_s的参数化坐标(u_s，v_s，w_s)，

(n+1)(n+2)/2个控制顶点为n次Bezier曲面的表达式中的未知量，所以只要求出(n+1)(n+2)/2个控制顶点坐标b_ijk(0≤i，j，k≤n，i+j+k＝n)，即可确定出一个三角Bezier曲面。

根据三角Bezier曲面的性质可知三角Bezier曲面的三个角点正好是其控制多面体网格的三个控制顶点，那么所选三角形的三个顶点A、B、C即可做为三个已知控制顶点b_00n，b_0n0，b_n00，把P_s(s＝0，1，…，m-1)的坐标代入三角Bezier曲面方程，构成以(n+1)(n+2)/2-3个未知控制顶点为未知量的m个线性方程组。在所选三角形内部的三维坐标点数m一般大于(n+1)(n+2)/2-3，在不满足此条件即待求方程组系数矩阵奇异时，以三角形ABC的重心为基点，扩大三角形ABC的面积来增加m的个数。最后采用最小二乘法求解此过约束方程组，确定出曲面其它的未知控制顶点，得到初步拟合的曲面S(u，v，w)，见附图6。算法流程图见附图7。

3)曲面逼近优化

经过最小二乘初步拟合后，散乱点集P_s与曲面S(u，v，w)的距离误差还比较大，因此需要进一步修正控制顶点，改变控制多面体的形状，从而改变曲面的形状，使曲面逼近点集。本发明采用了以牛顿迭代法为基础的迭代逼近算法，提高拟合精度，最终确定出曲面S’(u，v，w)，见附图8。

具体步骤如下：

(1)求出各个散乱点到曲面的距离向量d(u，v，w)及曲面分别对对应点参数方向的偏微分S_u(u，v，w)，S_v(u，v，w)，S_w(u，v，w)，组成待求方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}f(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_u(u,v,w)=0\\ g(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_v(u,v,w)=0\\ h(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_w(u,v,w)=0\end{array}\right.$

(2)采用基于牛顿迭代法的方法求解此方程组，最终可求得的迭代方程组为：

$\left[\begin{array}{cc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uu}}-S_{\mathrm{uw}})& S_v\·S_u-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uv}}-S_{\mathrm{uw}})\\ S_u\·S_v-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vu}}-S_{\mathrm{vw}})& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vv}}-S_{\mathrm{vw}})\\ S_u\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wu}}-S_{\mathrm{ww}})& S_v\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wv}}-S_{\mathrm{ww}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

(3)迭代求解以上方程组，当拟合曲面的点数少于迭代方程组的未知数个数时，及方程组系数奇异时，同样以三角形ABC的重心为基点，自适应扩大三角ABC的面积来增加m的个数，重复(2)。

算法流程图见附图9。

4)面上取点补孔

在最终拟合好的Bezier曲面上取点填充孔洞，首先在曲面上取线，再在线上取点，实现孔洞的光滑填补。

Claims (3)

1、一种基于三角域贝塞尔曲面的三维扫描的点云孔洞填补方法，其特征在于：

第一步：在点云孔洞周围且在屏幕坐标平面内设定一个三角形ABC，该三角形ABC的区域范围能使点云孔洞及其周围的点向屏幕坐标平面的投影落入三角形ABC内，并将投影落入三角形ABC内的点作为补孔时拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)，根据拟合曲面的点P_s在三角形ABC平面的投影P_s’位置计算其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)，u_s＝(ΔAP_s’B面积)/(ΔABC面积)、v_s＝(ΔAP_s’C面积)/(ΔABC面积)、w_s＝(ΔB P_s’C面积)/(ΔABC面积)，将拟合曲面的点P_s(s＝0， 1，…，m-1)的坐标及其曲面参数化坐标(u_s，v_s，w_s)代入n次Bezier曲面方程并用最小二乘法得到n次Bezier曲面的控制点，从而得到初步拟合的曲面S(u，v，w)；

第二步：求出各个拟合曲面的点P_s(s＝0，1，…，m-1)到曲面的距离向量d(u，v，w)及曲面分别对对应点参数方向的偏微分S_u(u，v，w)，S_v(u，v，w)，S_w(u，v，w)，令：

$\left\{\begin{array}{c}f(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_u(u,v,w)=0\\ g(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_v(u,v,w)=0\\ h(u,v,w)=d(u,v,w)\·S_w(u,v,w)=0\end{array}\right.$

拟合曲面的点P_s的参数化坐标为(u_s，v_s，w_s)，以(u_s，v_s，w_s)为初始估计值，根据牛顿迭代法求解以上方程组，有：

Hσ^T＝κ^T式中：

σ＝(δu，δv，δw)，其中，δu，δv，δw为曲面u，v，w三个方向上的迭代步长。

κ＝-(f(u_s，v_s，w_s)，g(u_s，v_s，w_s)，h(u_s，v_s，w_s))

$H=\left[\begin{array}{ccc}{f}_u& f_v& f_w\\ g_u& g_v& g_w\\ h_u& h_v& h_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]$

式中，d＝d(u_s，v_s，w_s)；f_u，f_v，f_w，g_u，g_v，g_w，h_u，h_v，h_w分别表示在点(u_s，v_s，w_s)处相应的向量对u，v，w的一阶偏导数；S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_vw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数。则可得：

$\left[\begin{array}{ccc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{uu}}& S_v\·S_u+d\·S_{\mathrm{uv}}& S_w\·S_u+d\·S_{\mathrm{uw}}\\ S_u\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{vv}}& S_w\·S_v+d\·S_{\mathrm{vw}}\\ S_u\·S_w+d\·S_{\mathrm{wu}}& S_v\·S_w+d\·S_{\mathrm{wv}}& {\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·S_{\mathrm{ww}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\\ \mathrm{\δw}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

根据三角Bezier曲面的定义可知δu+δv+δw＝0，即δw＝-δu-δv，因此得到如下迭代方程组：

$\left[\begin{array}{cc}{\left|\right|S_u\left|\right|}^2-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uu}}-S_{\mathrm{uw}})& S_v\·S_u-S_w\·S_u+d\·(S_{\mathrm{uv}}-S_{\mathrm{uw}})\\ S_u\·S_v-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vu}}-S_{\mathrm{vw}})& {\left|\right|S_v\left|\right|}^2-S_w\·S_v+d\·(S_{\mathrm{vv}}-S_{\mathrm{vw}})\\ S_u\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wu}}-S_{\mathrm{ww}})& S_v\·S_w-{\left|\right|S_w\left|\right|}^2+d\·(S_{\mathrm{wv}}-S_{\mathrm{ww}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\δu}\\ \mathrm{\δv}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}f(u_s,v_s,w_s)\\ g(u_s,v_s,w_s)\\ h(u_s,v_s,w_s)\end{array}\right]$

其中，δu，δv为曲面u，v两个方向上的迭代步长。S_uu，S_uv，S_uw，S_vv，S_vu，S_uw，S_ww，S_wu，S_wv是曲面S(u，v，w)在点(u_s，v_s，w_s)处分别对u，v，w的二阶偏导数，迭代求解直到 $1/m\underset{s=0}{\overset{m-1}{\mathrm{\Σ}}}\left|\right|d(u_s+\mathrm{\δu},v_s+\mathrm{\δv},w_s+\mathrm{\δw})-d(u_s,v_s,w_s)\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ},$ ε为预置曲面拟合精度，从而得到最终确定的三角Bezier曲面S′(u，v，w)；

第三步：在所述的三角Bezier曲面S′(u，v，w)上取线，再在线上取点，用于填补点云孔洞。

2、根据权利要求1所述的三维扫描的点云孔洞填补方法，其特征在于拟合曲面的点数少于曲面控制顶点数时，扩大所设定三角形ABC的面积，使拟合曲面的点数大于曲面控制顶点数。

3、根据权利要求1所述的三维扫描的点云孔洞填补方法，其特征在于拟合曲面的点数少于迭代方程组的未知数个数时，扩大所设定三角形ABC的面积，使拟合曲面的点数大于或等于迭代方程组的未知数个数。

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