CN107886569B - 一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统，首先读取带有初始参数化的空间网格，构建参数域网格，读取空间网格顶点N₁面积和测度；判断参数域网格的三角化，做相应的edge‑flipping；赋予空间网格顶点的N₁面积和测度，分别计算空间网格和参数域网格的面积差B；构建参数域网格的Laplace矩阵L；通过Δ*G＝B求解出G，根据G计算所有面梯度，根据面梯度计算顶点梯度；通过顶点梯度更新顶点坐标，并对边界作Boundary regularization处理；重复上述过程直至顶点梯度的二范式小于某个阈值，停止迭代；本发明有严谨的数学理论，满足任意维度测度可控的参数化。有较高运行效率，和其他方法相比，大大减少迭代次数，减少运行时间。有较高的鲁棒性，满足不同种类的模型。

Description

一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统

技术领域

本发明属于曲面参数化技术领域，涉及一种曲面参数化方法及系统，具体涉及一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法及系统。

背景技术

网格参数化是指嵌入在三维空间的流形(面网格或体网格)与某个更简单、更规则的参数域之间的一一映射，其目的是为了将在复杂流形上的处理操作转移到简单的参数域上执行，从而提高操作的可行性和效率。网格参数化是计算机图形学、计算机辅助几何设计、数字几何处理中研究的核心问题之一，在过去的近二十年中，它已成为一种无所不在的基本工具，广泛应用于三维网格模型的处理，包括纹理映射、细节转换、网格变形、网格编辑、网格重剖、网格压缩、网格修复、曲面拟合、曲面变形、形状分析等等。

通常，曲面的参数化映射主要分为如下三种：保距映射(Isometric mappings)，保角映射(Conformal mappings)，保积映射(Equiareal mappings)。假定为三角网格的曲面参数化，如果参数域中的任意一段线段的长度和空间曲面中的线段长度一致，则称为保距映射。如果参数域中任意相交线段的角度和空间中对应相交线段的角度相等，则称为保角映射。如果参数域中每个面元和空间中的对应面元有相同的面积则称为保积映射。其中如果一种映射既是保角的又是保积的，则这种映射也称为保距映射。

参数化中，根据参数域的不同，三角网格参数化基本分为两大类，即平面参数化和球面参数化。直观上讲，平面参数化就是把一个空间三角网格平摊成平面三角网格，在保证平面三角网格有效性的同时最小化变形。这种参数化方法的研究对象主要集中在带单条边界的二维流行网格上，因为封闭网格甚至是任意拓扑的网格都可以通过分而治之的方法转化为带边界网格。

目前的参数化涵盖不同的方法，保距映射的实现有着严格的曲面要求。对于某些可展曲面通过展开的方式可以实现保距映射，但是对于一般曲面仅能通过刚体运动的方式来实现。

保角映射中，目前有着严格的数学基础且是真正意义上保角映射的是RicciFlow的方法，该方法是以黎曼映射(Riemann mapping)为主要思想。1851年，德国数学家Bernhard Riemann在他的博士论文中规定了黎曼映射理论，该理论表明，如果U是一个复平面C的非空连通开集，则存在一个从U到单位圆盘的双同态映射f，这种映射即是著名的黎曼映射(Riemann mapping)。而在离散三角网格曲面中应用黎曼映照又不是一件易事。1981年美国数学家Richard Hamilton首次提出了Ricci Flow，Ricci Flow在低维的拓扑几何分析中有很大的作用，而这种方式就是黎曼映照在离散曲面参数化中的一大应用。另外保角映射中还有harmonic map和Least squares map的方法，但这两种都不是严格意义的保角映射，只是近可能地往保角映射靠近。

本发明是基于参数化中保积映射领域，通过基于严格的数学理论以及高效的算法实现，可以得到很好的保积映射效果。

目前，保积映射中较为流行的是OMT(optimal mass transportation)计算几何凸方法。OMT也被称为最优传输问题，最早是由法国数学家蒙日提出，在保积映射中使用最优传输的理论可以达到较好的保积效果，但该方法目前还未找到较为出色的算法，只有在理论上可以实现任意维度的最优传输，并且在大规模网格的保面积映射中的运行效率也较低。

发明内容

为了得到高效，鲁棒性强，适用性广的曲面参数化方法，本发明提供了一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法。

本发明的方法所采用的技术方案是：一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：读取一个带有任意初始参数化的空间三角网格，读取空间三角网格所有顶点的测度M；遍历空间三角网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格；赋予每个顶点以及每个面初始序号，将参数域网格与空间三角网格进行同比例的缩放；所述测度M指的是空间三角网格每个顶点面积权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间三角网格所有顶点的权重值；

步骤2：对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

步骤3：对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并将测度M赋予到空间三角网格中每个顶点N₁面积和上，作为该点的测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积减去空间三角网格每个顶点的N₁面积，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

步骤4：根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

步骤5：遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

v_L*▽g＝v_r

解出面的梯度向量▽g；

步骤6：遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度▽g(f_ijk)，求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度▽gi；

步骤7：根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

步骤8：重复执行步骤2至步骤7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

本发明的系统所采用的技术方案是：一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化系统，其特征在于：包括以下模块；

模块1：用于读取一个带有任意初始参数化的空间三角网格，读取空间三角网格所有顶点的测度M；遍历空间三角网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格；赋予每个顶点以及每个面初始序号，将参数域网格与空间三角网格进行同比例的缩放；所述测度M指的是空间三角网格每个顶点面积权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间三角网格所有顶点的权重值；

模块2：用于对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

模块3：用于对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并将测度M赋予到空间三角网格中每个顶点N₁面积和上，作为该点N₁面积和的测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积减去空间网格每个顶点的N₁面积，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

模块4：用于根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

模块5：用于遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

v_L*▽g＝v_r

解出面的梯度向量▽g；

模块6：用于遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度▽g(f_ijk)，求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度▽gi；

模块7：用于根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

模块8：用于重复执行步骤2至步骤7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

本发明的有益效果在于：本发明提供了一种基于离散李导数的测度可控的参数化方法，对于任意带有初始参数化的空间三角网格，读取初始参数化坐标构建新的网格为参数域网格，只需要根据Δh＝g_M-g_Ω分别计算参数域网格的离散Laplace矩阵以及参数域网格和空间三角网格的面积差(在计算g_M空间三角网格的时候读取每个顶点的测度并赋予到每个点的N₁面积和上)，解出h，并通过h计算出参数域网格中每个顶点的流动梯度，然后通过顶点的梯度更新顶点的坐标，重复计算Laplace矩阵，面元面积和顶点梯度，更新顶点梯度，直至所有顶点梯度的二范式小于某一个值，停止更新。整个计算过程仅仅构建Laplace矩阵需要一定计算量，整体的计算高效，运行速度快速，对于大规模网格的保面积映射也可以得到很高效的效果，运行速度大大快于OMT的保面积映射方法。其次，对于不同种类的空间三角网格，包括有边界或者无边界，边界规则或者边界不规则都可以采用离散李导数的方式来进行保面积映射，具有较高的鲁棒性和适用性。另一方面，通过对空间三角网格赋予不同的测度，可以得到不同参数域结果，使得参数化过程在一个可控的范围内。

附图说明

图1为本发明实施例的流程图；

图2为本发明实施例的edge-flipping边翻转原理图；

图3为本发明实施例的每个顶点的N₁示意图；

图4为本发明实施例的计算Laplace矩阵的三种类别示意图；

图5为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中模型测度为保面积测度，初始参数化为Riemann map保角映射，参数域为有界规则圆盘；

图6为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中赋予的测度为保面积测度，初始参数化为CMC映射，参数域为有界无规则平面；

图7为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中赋予的测度为保面积测度，初始参数化为CMC映射，参数域为无界规则球面；

图8为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，该图网格赋予的测度为猫头鹰网格右眼测度变大，初始参数化为CMC映射，参数域为有界无规则平面。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合图例以及实施例对本发明做进一步的详细描述，应该理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

请见图1，本发明提供的一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，包括以下步骤：

步骤1：读取一个带有初始参数化的空间三角网格，初始参数化为Riemannmap的保角参数化，参数域点坐标保存在空间三角网格的纹理之中，读取网格所有顶点的测度M(测度M指的是空间每个顶点N₁面积和的权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间网格所有顶点的权重值)。遍历网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的面的结构，构建新的网格，称其参数域网格。为了避免计算机计算网格面元面积以及三角面元角度产生较大误差，将空间三角网格和参数域网格进行缩放T倍。缩放方式为：计算空间三角网格面积和Sr和参数域网格面积和Su。遍历空间三角网格的所有顶点，对于每个顶点，将其坐标除以

将网格缩放T倍。同样的方式将参数域网格所有顶点坐标除以

缩放T倍。

步骤2：对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

请见图2，对于图2(1)中分别计算α和β的角度，如果α和β角度和大于π，则做edge-flipping，变成如图2(2)所示。

步骤3：对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并将测度M赋予到空间三角网格中每个顶点N₁面积和上，作为该点的面积测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积和减去空间网格每个顶点的N₁面积和，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

请见图3，分别遍历参数域网格和空间三角网格的每个点，遍历每个点的one-ring邻接面，则每个顶点的N₁面积S为：

其中，St表示网格顶点i的某个邻接面，该面的三个顶点为i、j、k；v_ij，v_ik表示边ij和边ik的向量，通过每个面的三个顶点求得向量v_ij，v_ik；

表示网格顶点i的one-ring邻接面(

指的是在计算某个三角形的面积的时候，St表示的是两个向量的叉乘，其模长是两倍的三角形的面积。另一方面，同一个面的面积会被面的三个顶点都计算一次。因此对于某个顶点来说，该顶点只占面积的

因此最终为

)；

计算参数域网格中每一个顶点的N₁面积，得到参数域网格所有顶点的N₁面积，构成向量Sv；计算空间三角网格中每一个顶点的N₁面积，得到空间三角网格顶点的N₁面积，构成向量St；通过St＝St*M，将测度赋予到空间三角网格每个顶点N₁面积和中，则：

B＝Sv-St

得到面积差向量B。

步骤4：根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

参数域网格的Laplacian矩阵Δ为：

其中，L_ij为N*N矩阵Δ的第i行j列元素，N为网格顶点个数；e_ij为连接顶点i和j的边；E为网格中非边界边集合，B为网格中边界边的集合，α_ij表示边e_ij的一个对角，β_ij表示边e_ij的另外一个对角(这里在非边界边的时候，一条边相对两个角。在为边界边的时候，一条边只有一个对角)。

对于三角网格，计算Laplacian矩阵分为如下三种类别；请见图4，三幅图分别对应Laplace矩阵的三种情况。在解得Laplace矩阵Δ之后，由泊松方程Δ*G＝B可知，即可计算出G向量。在这里，本实施例通过解算大量的Δ矩阵发现，将上式子做如下变形将会有更好的数值稳定性，可以解出更精确的解。

Δ^T*Δ*G＝Δ^T*B

从而解算出G向量。

步骤5：遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

v_L*▽g＝v_r

解出面的梯度向量▽g；

面的梯度向量▽g计算公式为：

其中，i、j、k表示面的三个顶点的序号(步骤1初始化中，每个顶点皆有序号)，G_i表示G向量下标为i的值，G_j表示G向量下标为j的值，G_k表示G向量下标为k的值(解出的G向量即是每个顶点对应的值)。

步骤6：遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度▽g(f_ijk)，求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度

每个顶点v_i的梯度▽gi为：

其中

为顶点的所有one-ring邻接面。

步骤7：根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

对于不同的网格，处理方式分别如下；

(1)对于二维规则圆形边界网格，遍历网格的每个顶点v_i；

当v_i为非边界顶点时，通过如下公式更新顶点坐标：

v_i＝v_i+▽g_i*step

当v_i为边界顶点时，则进行Boundary regularization处理，具体步骤如下：

步骤A1：计算v_i的法向量v_n以及原始模长v_r＝|v_i|；

步骤A2：根据如下公式：

求得边界顶点v_i的梯度▽g_i在垂直于v_n的切向方向的分量▽g_t，通过如下公式更新顶点坐标：

v_i＝v_i+▽g_t*step；

步骤A3：将求得的新的顶点v_i通过如下公式改变模长为初始模长，将顶点拉回边界：

完成Boundary regularization；

(2)对于规则三维球体网格，对于每个顶点v_i都进行Boundary regularization处理来更新每个顶点的坐标；

(3)对于非规则二维曲面，对于所有顶点都只进行和非边界点相同的方式进行处理。

步骤8：重复执行步骤2至步骤7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

本发明还提供了一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化系统，包括以下模块；

模块1：用于读取一个带有任意初始参数化的空间三角网格，读取空间三角网格所有顶点的测度M；遍历空间三角网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格；赋予每个顶点以及每个面初始序号，将参数域网格与空间三角网格进行同比例的缩放；测度M指的是空间三角网格每个顶点面积权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间三角网格所有顶点的权重值；

模块2：用于对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

模块3：用于对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并测度M赋予到空间三角网格中每个顶点N₁面积和上，作为该点的面积测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积和减去空间网格每个顶点的N₁面积和，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

模块4：用于根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

模块5：用于遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

v_L*▽g＝v_r

解出面的梯度向量▽g；

模块6：用于遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度▽g(f_ijk)，求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度▽gi；

模块7：用于根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

模块8：用于重复执行步骤2至步骤7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

请见图5，为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中模型测度为保面积测度，初始参数化为Riemann map保角映射，参数域为有界规则圆盘；

请见图6，为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中赋予的测度为保面积测度，初始参数化为CMC映射，参数域为有界无规则平面；

通过图5和图6可以说明该专利既可以满足不同种初始参数化下的保面积映射，而且在规则和非规则边界也可以得到很好的保面积效果。

请见图7，为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，其中赋予的测度为保面积测度，初始参数化为CMC映射，参数域为无界规则球面；

通过图6和图7可以说明在有界和无界模型中，该方法都可以实现很好的保面积效果，证明该方法有较广的应用性。

请见图8，为本发明实施例的基于离散李导数的测度可控的参数化示例图，该图网格赋予的测度为猫头鹰网格右眼测度变大，初始参数化为CMC映射，参数域为有界无规则平面。

通过图8可以说明，通过赋予猫头鹰右眼较大测度，可以实现右眼变大的参数化效果，从而实现测度可控的效果。

本发明提供的一种离散李导数的方式。该方法通过严格的数学证明，可以实现等积映射的参数化，并且在等积映射的基础上，通过赋予原始域中不同顶点的权重以达到参数化过程测度可控的目的，也就是说，使得参数化的过程往预先设定的方向变化。另一方面，该方法在参数化大规模网格的时候可以达到高效的效果，运行速度大大快于OMT的保面积映射。本发明不仅可以大大提高点面密集网格的参数化速度，而且具有较高的鲁棒性以及普遍性，对于有边界或者无边界网格，边界规则或者不规则等情况都可以得到很好的参数化效果。本发明有严格的数学理论支持，不仅适用于二维网格，在高维也同样适用。

以上选择的实例参数域虽然为二维圆盘，但是通过说明附图中的图例可以说明在无边界球面网格，非规则边界网格以及多边界网格中都可以获得很好的效果，具有很高的鲁棒性以及适用性，另外附图中说明，证明在不同的测度情况下可以获得预想的效果，说明测度可控。尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (8)

1.一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：读取一个带有任意初始参数化的空间三角网格，读取空间三角网格所有顶点的测度M；遍历空间三角网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格；赋予每个顶点以及每个面初始序号，将参数域网格与空间三角网格进行同比例的缩放；

所述测度M指的是空间三角网格每个顶点面积权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间三角网格所有顶点的权重值；

步骤2：对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

步骤3：对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并将测度M赋予到空间三角网格中每个顶点的N₁面积和上，作为该点N₁面积和的测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积减去空间三角网格每个顶点的N₁面积，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

步骤4：根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

所述参数域网格的Laplacian矩阵Δ为：

其中，L_ij为N*N矩阵Δ的第i行j列元素，N为网格顶点个数；e_ij为连接顶点i和j的边；E为网格中非边界边集合，B为网格中边界边的集合，α_ij表示边e_ij的一个对角，β_ij表示边e_ij的另外一个对角，N₁(i)表示顶点i的所有one-ring邻接面；

步骤5：遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

解出面的梯度向量

步骤6：遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度

求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度

步骤7：根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

其中，对于不同的网格，处理方式分别如下；

(1)对于二维规则圆形边界网格，遍历网格的每个顶点v_i；

当v_i为非边界顶点时，通过如下公式更新顶点坐标：

当v_i为边界顶点时，则进行Boundary regularization处理，具体步骤如下：

步骤A1：计算v_i的法向量v_n以及原始模长v_r＝|v_i|；

步骤A2：根据如下公式：

求得边界顶点v_i的梯度

在垂直于v_n的切向方向的分量

通过如下公式更新顶点坐标：

步骤A3：将求得的新的顶点v_i通过如下公式改变模长为初始模长，将顶点拉回边界：

完成Boundary regularization；

(2)对于规则三维球体网格，对于每个顶点v_i都进行Boundary regularization处理来更新每个顶点的坐标；

(3)对于非规则二维曲面，对于所有顶点都只进行和非边界点相同的方式进行处理；

步骤8：重复执行步骤2至步骤7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

2.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于：步骤1中所述通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格，首先将初始参数化之后的网格坐标存放在空间三角网格的纹理坐标中，然后读取所有顶点的纹理坐标，最后通过空间三角网格的拓扑结构重新构建参数域网格。

3.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于：步骤1中所述将参数域网格和空间三角网格进行同比例的缩放；首先计算空间三角网格面积和Sr和参数域网格面积和Su；遍历空间三角网格的所有顶点，对于每个顶点，将其坐标除以

将网格缩放T倍；将参数域网格所有顶点坐标除以

缩放T倍；其中，T为预设阈值。

4.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于：步骤3中分别遍历参数域网格和空间三角网格的每个点，遍历每个点的one-ring邻接面，则每个顶点的N₁面积S为：

其中，St表示网格顶点i的某个邻接面，该面的三个顶点为i、j、k；v_ij，v_ik表示边ij和边ik的向量，通过每个面的三个顶点求得向量v_ij，v_ik；N₁(i)表示网格顶点i的one-ring邻接面；

计算参数域网格中每一个顶点的N₁面积，得到参数域网格所有顶点的N₁面积，构成向量Sv；计算空间三角网格中每一个顶点的N₁面积，得到空间三角网格顶点的N₁面积，构成向量St；通过St＝St*M，将测度赋予到空间三角网格每个顶点N₁面积和中，则：

B＝Sv-St

得到面积差向量B。

5.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于：步骤4中，泊松方程Δ*G＝B进一步变形为Δ^T*Δ*G＝Δ^T*B，解算出向量G。

6.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于，步骤5中所述面的梯度向量

计算公式为：

其中，i、j、k表示面的三个顶点的序号，G_i表示G向量下标为i的值，G_j表示G向量下标为j的值，G_k表示G向量下标为k的值。

7.根据权利要求1中所述的基于离散李导数的测度可控的曲面参数化方法，其特征在于，步骤6中所述每个顶点v_i的梯度

为：

其中N₁(i)表示顶点i的所有one-ring邻接面。

8.一种基于离散李导数的测度可控的曲面参数化系统，其特征在于：包括以下模块；

模块1：读取一个带有任意初始参数化的空间三角网格，读取空间三角网格所有顶点的测度M；遍历空间三角网格的所有点和所有面，读取每个点的纹理坐标，通过纹理坐标和空间的网络拓扑结构，构建参数域网格；赋予每个顶点以及每个面初始序号，将参数域网格与空间三角网格进行同比例的缩放；所述测度M指的是空间三角网格每个顶点面积权重，是在进行参数化之前，通过3d处理软件，赋予给空间三角网格所有顶点的权重值；

模块2：用于对于参数域网格中所有面，每两个相对面构成一个四边形；遍历参数域网格，判断四边形对角的夹角和，如果和大于π，则将参数域网格及空间三角网格中的对应边做edge-flipping边翻转；

模块3：用于对于空间三角网格和参数域网格分别计算每个网格顶点的N₁面积，并将测度M赋予到空间三角网格中每个顶点N₁面积和上，作为该点N₁面积和的测度；将参数域网格每个顶点的N₁面积减去空间网格每个顶点的N₁面积，获得n维面积向量差B；其中，n为空间三角网格和参数域网格的网格顶点总数，N₁为顶点的one-ring邻接面；

模块4：用于根据Neumann boundary condition构建参数域网格的Laplacian矩阵Δ，并将Laplace矩阵Δ、面积差向量B代入泊松方程Δ*G＝B，解算出向量G；

所述参数域网格的Laplacian矩阵Δ为：

其中，L_ij为N*N矩阵Δ的第i行j列元素，N为网格顶点个数；e_ij为连接顶点i和j的边；E为网格中非边界边集合，B为网格中边界边的集合，α_ij表示边e_ij的一个对角，β_ij表示边e_ij的另外一个对角，N₁(i)表示顶点i的所有one-ring邻接面；

模块5：用于遍历参数域网格的面，对于每个三角面的三个顶点v_i，v_j，v_k；结合面的法向v_n，构建三维向量v_L；三个顶点对应于向量G的三个值构建三维向量v_r；根据线性方程：

解出面的梯度向量

模块6：用于遍历参数域网格中每个顶点，对于每个顶点v_i，获取N₁的每个邻接面梯度

求得该邻接面在顶点v_i处的夹角

求得每个顶点v_i的梯度

模块7：用于根据求得的顶点梯度以及步长step，更新参数域网格的坐标；并对边界点做正则化处理；

其中，对于不同的网格，处理方式分别如下；

(1)对于二维规则圆形边界网格，遍历网格的每个顶点v_i；

当v_i为非边界顶点时，通过如下公式更新顶点坐标：

当v_i为边界顶点时，则进行Boundary regularization处理，具体步骤如下：

步骤A1：计算v_i的法向量v_n以及原始模长v_r＝|v_i|；

步骤A2：根据如下公式：

求得边界顶点v_i的梯度

在垂直于v_n的切向方向的分量

通过如下公式更新顶点坐标：

步骤A3：将求得的新的顶点v_i通过如下公式改变模长为初始模长，将顶点拉回边界：

完成Boundary regularization；

(2)对于规则三维球体网格，对于每个顶点v_i都进行Boundary regularization处理来更新每个顶点的坐标；

(3)对于非规则二维曲面，对于所有顶点都只进行和非边界点相同的方式进行处理；

模块8：用于重复执行模块2至模块7，直至求得的顶点梯度的二范式小于预设阈值θ。

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