CN113064272B - 半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法及系统，包括输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；通过Icosphere球面生成算法生成源区域；初始化曲面参数；构造离散母点对应的圆锥曲面；构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；计算传输映射的能量函数及梯度；通过梯度下降算法更新更新曲面参数；循环直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。本发明原理简单易懂，实现简单高效，通过半离散最优传输的凸几何求解方式，克服了光学自由曲面构造复杂求解困难的问题，为场景光照模拟技术提供了新的技术方案，同时也为工业界成像光学元件设计提供了新方案。

Description

半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法及系统

技术领域

本发明属于照明光学系统领域，具体涉及半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法及系统。

背景技术

健康节能照明，如医学照明元件、路灯元件以及其他光学元件设计生产等；光照环境模拟，如航天特殊光照模拟，图形学中三维场景下的光照模拟等。这些领域都涉及到了光学自由曲面的构造问题。

光学自由曲面的构造指的是通过构造一种弯曲的表面或者能对光进行反射/折射的物体，将光源转移至空间中形成一组连续的光点，这些连续的光点形成特殊的图案。具体地讲，该构造系统可以描述为：给定一个光源、一个光滑平面以及一张图片，如何构造一个自由曲面(一般指反射镜或折射镜)，使得光线经过这个曲面折射或反射后在光滑平面上形成的图案和给定图像一致。

光学自由曲面的构造方法主要包含三类：(1)优化法；(2)数学法；(3)几何法。

优化法的构造思想在于通过参数化自由曲面来合理选取优化能量，借助适当的优化算法不断调整优化变量的取值使得评价函数趋于极值，直至满足预定要求。2010年，Finckh等人将光学曲面抽象成C²的B样条三角网格，然后使用随机优化的方法调整网格点的高度，实现最小化光能约束，最终得到目标曲面。Papa等人则通过随机优化的算法在准直光源中设计了反射镜和折射镜。这类方法通常非常耗时，迭代的步数也非常多，往往效率不佳。

数学法则是通过函数来对源光源和目标光源进行建模，通过光照能量守恒和光学元件特性将这类设计理论演化成求解蒙日安倍方程。Caffarelli和Oliker等人则证明了蒙日安倍方程在光学自由曲面构造中的可行性，并通过最优传输理论给出了解的存在性。然而，数学法往往算法实现困难，目前还未提供有效的求解算法。

几何法主要通过计算几何的方式对该光学曲面进行求解，其中最具代表性的就是Oliker等人提出的支撑曲面算法，该算法通过对辐射面的光斑进行离散化，并对每个光斑设计对应的支撑曲面，通过调整支撑曲面的参数来得到目标光照能量，从而生成自由曲面。此类方法受限于计算效率，并且和光斑的离散情况相关联，往往无法求解存在大量离散点的情况。

1781年，法国数学家蒙日最早提出了最优传输问题：假设X,Y是完备可分的欧式区域，其上分别定义概率测度μ,ν；传输代价函数c(x,y):X×Y→[0,+∞]为光滑函数，表示质量点x∈X传输到点y∈Y的传输代价；从欧式区域X到欧式区域Y的映射T:X→Y将概率测度μ前推到欧式区域Y上的概率测度T_#μ。如果对于任意的波莱尔集

都满足T_#μ(B)＝μ(T^-1(B))，则称映射T为保测度映射，所有保测度映射中传输代价最小的映射为最优传输映射：inf{M(T):＝∫_Xc(x,T(x))dμ(x):T_#μ(B)＝μ}。蒙日提出的传输代价为L¹距离，即c(x,y)＝|x-y|，数学分析困难。1948年，俄罗斯数学家康塔洛维奇运用线性规划方法，将概率测度μ,ν离散成狄拉克测度，把传输映射推广为传输方案，求解了最优传输问题。1981年，法国数学家Brenier证明：当传输代价c(x,y)＝|x-y|²，且欧式空间X为凸区域时，某个凸函数f的梯度▽f:x→▽f(x)即为最优传输映射，建立了最优传输映射理论和凸几何之间的内在联系。2003年，Oliker等人将光学曲面构造的问题描述成最优传输问题，并给出了约束条件和求解思路。2012年，Oliker给出了该最优传输下的运输能量，并证明了解的存在性，但并未给出具体的离散化求解算法。顾险峰等结合计算几何与凸优化的方法，对Brenier理论进行离散化，建立了欧式空间中凸区域上离散最优传输的凸几何理论，构造出最优传输问题的离散求解算法。

上述理论来求解光学自由曲面各具优缺点，康塔洛维奇提出的线性规划方法原理简单，但是实现复杂且复杂度高，空间复杂度为N²，无法适用于光学自由曲面的大规模构造。Oliker提出了光学曲面下的最优传输代价，在理论上给出了严格的证明，但是并没有给出离散的解法，无法运用在实际场景中。顾险峰提出的计算几何凸方法将最优传输求解问题的规模从N²降到N，极大地降低了空间复杂度，提高了计算效率。然而他们提出的离散最有传输算法实际仅适用于平面域及球面域的几何参数化应用中，并不能直接使用于解决光学曲面镜的最优传输问题，缺乏一种实用高效的离散方法来求解光学曲面镜的最优传输问题。

由于光学自由曲面构造问题的复杂性，对于该系统的构造方法依然存在计算效率低，计算鲁棒差等问题。同时，对于离散最优传输理论来构建自由曲面也仅仅是停留在理论阶段，还没有一套专门的方法来实现这套理论。高效的曲面构造可以为医学照明、健康节能照明、三维场景模拟等方面提供巨大的帮助。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，能够有效地解决光学自由曲面的构造问题。

本发明的方法所使用的技术方案是一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，包括以下步骤：

步骤1，输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；

步骤2，通过Icosphere球面生成算法生成源区域；

步骤3，初始化曲面参数；

步骤4，构造离散母点对应的圆锥曲面；

步骤5，构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；

步骤6，计算传输映射的能量函数及梯度；

步骤7，通过梯度下降算法更新更新曲面参数；

步骤8，循环步骤4-步骤7，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；

步骤9，通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。

而且，步骤1的实现方式如下，

输入一张灰度图像I，将灰度图像I像置于欧式空间R³中并垂直三维笛卡尔坐标系的Z轴正半轴于点p，然后根据灰度图像I中像素点位置构造目标域离散母点y_i，离散母点的个数为M，同时定义每个像素点的灰度值为a_i，通过下式构造每个离散母点的狄拉克测度，

其中，i为像素点的标识。

而且，步骤2中，通过Icosphere生成算法生成7阶球面模型，将球心置于欧式空间R³原点上，仅保留处在Z轴负半轴的半球面模型，生成源区域X。

而且，步骤3中，定义每个源域离散母点对应的曲面参数为d_i，初始化d_i为定值，该定值为任意大于0的值。

而且，步骤4中，通过离散母点y_i、曲面参数d_i以及以下圆锥曲面方程构造曲面，

其中，ρ表示曲面上的点到原点的距离，e为曲面离心率，x_i是球面模型网格点的坐标，x_i∈X。

而且，步骤5中，设源区域为球面域S²，构造所有圆锥曲面形成的上包络，并投影到源区域，得到源区域的球面胞腔分解，每个胞腔V(y_i)通过下式得到，

其中，球面域S²中的每个点x_i对于每个圆锥曲面都能通过圆锥曲面方程计算一个ρ值，且共有M个，球面域S²中的部分点x_i构成集合x，V(y_i)是在y_i对应的圆锥曲面中使得ρ值最小的x集合，j用于标识与离散点y_i不同的其他离散点。

而且，步骤7中通过梯度下降法更新曲面参数d_i，实现如下，

其中，stepLength为下降步长，

为步骤6所得能量函数Q对于d_i的偏导数。

而且，步骤8中，能量函数达到极值的判断条件是，其梯度函数收敛，在梯度函数的最大值小于预设的收敛误差时认为梯度函数收敛。

而且，步骤9中，将源区域离散点x_i通过圆锥曲面方程得到曲面离散点ρ_i·x_i，得到三维空间的离散自由曲面，其中，ρ_i为沿着源区域离散点x_i方向得到的曲面离散点距离笛卡尔坐标系原点的距离ρ。

另一方面，本发明还提供一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造系统，包括以下模块：

第一模块，用于输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；

第二模块，用于通过Icosphere球面生成算法生成源区域；

第三模块，用于初始化曲面参数；

第四模块，用于构造离散母点对应的圆锥曲面；

第五模块，用于构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；

第六模块，用于计算传输映射的能量函数及梯度；

第七模块，用于通过梯度下降算法更新更新曲面参数；

第八模块，用于命令第四模块到第七模块循环工作，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；

第九模块，用于通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。

本发明的有益效果在于：本发明提供了一种基于半离散最优传输的光学自由曲面成像系统构造方法，将目标图像离散化，表示成一簇离散母点，对于每个离散母点，构造定义在球面源区域的空间圆锥曲面，通过构造这一簇圆锥曲面的上包络，并将其投影到球面源区域中形成胞腔分解，通过计算源区域胞腔测度以及离散母点测度来得到能量函数及其梯度，最后通过梯度下降算法得到最终曲面参数，从而构造目标自由曲面。本发明原理简单易懂，实现简单高效，通过半离散最优传输的凸几何求解方式，避免了复杂几何分析、积分计算，克服了光学自由曲面构造复杂、求解困难的问题，为图形学中场景光照模拟技术提供了新的技术方案，同时也为工业界成像光学元件的设计提供了新的系统方案。

附图说明

图1为本发明实施例的光学自由曲面系统说明图；

图2为本发明实施例的半离散最优传输下光学自由曲面构造问题示意图；

图3为本发明实施例的半离散最优传输下光学自由曲面构造的求解原理图；

图4为本发明实施例的点光源下圆锥曲面的光线轨迹示例图；

图5为本发明实施例的半离散最优传输下光学自由曲面构造的流程图；

图6为本发明实施例中Icosphere球面源区域生成示意图；

图7为本发明实施例的离散母点狄拉克测度相等的最优传输结果示例图，其中(1)为左视图，(2)为前视图，(3)为右视图；

图8为本发明实施例的生成的自由曲面在光学环境下的成像过程示例图；

图9为本发明实施例的最优传输下生成的自由曲面在点光源系统下成像结果实例图，其中(a)为Gauss原始图，(b)为Cauchy原始图，(c)为Gauss成像图，(d)为Cauchy成像图；

图10为本发明实施例在实际场景中可能涉及的曲面形状示意图，其中(a)为环带曲面顶部视图，(b)为环带曲面底部视图，(c)为环带曲面侧面视图；

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

请见图1，其中O表示点光源，R表示待构建的曲面镜，Y表示接收经过反射光线的平面。本发明的光学自由曲面构造系统为：给定一个点光源O，一个可反射光线的自由曲面R，光源经过曲面R的反射光线在目标区域Y上形成辐射图案，通过调整自由曲面R改变辐射图案以达到目标图案。

请见图2，本发明的本离散最优传输问题是：源区域X为半球面连续区域，概率测度分布均匀，测度密度函数处处为μ；目标区域被离散化，表示成一簇离散母点，每个离散母点y_i上被赋予一个狄拉克测度ν_i，i代表这一簇离散母点中第i个离散点。求解将源区域X映射到目标区域离散母点的最优传输映射T，使得T满足以下条件：映射前后测度相等，即

其中M代表离散母点的数量，j代表这一簇离散母点中第j个离散点；且传输代价最小，即映射的能量取最小值。其中W_i表示从源区域经过映射函数T映射到点(y_i,v_i)中源区域的球面面积，y_i表示目标域离散点的坐标，v_i表示点的测度值。

请见图3，本发明的半离散最优传输求解自由曲面的求解原理为：给定曲面参数d_i和离散母点y_i，通过圆锥曲面方程(2)构造定义在源区域上的圆锥曲面，圆锥曲面的上包络为凸函数的图。Projection则表示以原点为基准的径向投影将该上包络投影至源区域X诱导出源区域的胞腔分解，凸函数的梯度将每个胞腔映到相应的离散母点。

请见图4，本发明的半离散最优传输光学自由曲面成像系统涉及到的自由曲面主要包含两种类型圆锥曲面：一种是通过构造椭球曲面来形成光学自由曲面；一种是通过构造抛物曲面来形成光学自由曲面；两种曲面的光学性质提供了离散最优传输下求解光学自由曲面的基本条件。图4中(1)部分抛物面反射镜中的X,Y,Z分别代表标准三维笛卡尔坐标系下的坐标轴，F₁表示抛物面焦点，从焦点发出的光线经过曲面反射的光线与焦点所在的轴平行射出；图4中(2)部分椭球面反射镜焦点为F₁、F₂，从一个焦点发出的光线经过曲面反射到达另外一个焦点。其中，light表示光线。

为了解决这个本发明提出的半离散最优传输的光学自由曲面成像问题，请见图5，实施例提供了一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，包括以下步骤：

步骤1：输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度。

输入一张灰度图像I，将灰度图像I置于欧式空间R³中并垂直标准三维笛卡尔坐标系的Z轴正半轴于点p，一般而言，p在Z轴正半轴的位置不影响最终的结果，构造方案中的点p的坐标设置在(0.5,1)之间。然后根据灰度图像I中像素点位置构造目标域离散母点y_i，其中离散母点的个数为M，表示的是灰度图像I中像素点个数。同时定义每个像素点的灰度值为a_i，通过下式(1)构造每个离散母点的狄拉克测度；

其中，i为像素点标识，用于标识灰度图像I中第i个像素点，因此i＝1,2,...M。

步骤2：通过Icosphere球面生成算法生成源区域。

通过Icosphere生成算法生成7阶球面模型(球面半径为1)，将球心置于欧式空间R³原点上，仅保留处在Z轴负半轴的半球面模型，生成源区域X；Icosphere生成算法是用多边形近似球体表面的建模方法，本发明不予赘述。

步骤3：初始化曲面参数。

定义每个源域离散母点对应的曲面参数为d_i，初始化d_i为定值，该定值可以设置成任意大于0的值，实施例中将其设置为1；

步骤4：构造离散母点对应的圆锥曲面。

通过离散母点y_i、曲面参数d_i以及圆锥曲面方程(2)构造曲面

(e为曲面离心率，x_i∈X) (2)

其中，ρ表示曲面上的点到原点的距离，x_i则为球面域中某个点的坐标，x_i∈X，e为曲面离心率，不同e代表的曲面不同，e＝1时代表抛物曲面，

时代表椭球曲面；

如步骤2中所述，Icosphere生成的球面模型已经将球面源区域离散成一系列的网格点，因此x_i即是该球面模型网格点的坐标；

步骤5：构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解。

构造所有圆锥曲面形成的上包络，并将其投影到源区域，即球面域S²，得到源区域的球面胞腔分解，每个胞腔V(y_i)可通过公式(3)得到

公式(3)中，球面域S²中的每个点x_i(含义同步骤4中的x_i)对于每个圆锥曲面都能通过公式(2)计算一个ρ值，且共有M个(圆锥曲面的个数)。球面域S²中的部分点x_i构成集合x。因此，V(y_i)即是在y_i对应的圆锥曲面中使得ρ值最小的x集合，其中j用于标识与离散点y_i不同的其他所有离散点。即可得到不同圆锥曲面对应的x集合形成源区域的胞腔分解。

步骤6：计算传输映射的能量函数及其梯度。

在最优传输求解光学自由曲面的过程中，Oliker定义如下能量函数

其中，I(x)表示定义在X上的测度函数，由于是均匀分布，因此I(x)＝1，U(y)为定义在Y上的测度函数，ρ(x)为步骤4中的ρ，σ为S²上的面元微分，dσ表示σ的积分，v为目标域T上的微分，dv表示v的积分，y表示微分中的某个离散点，d(y)即是步骤4中的d_i，因为曲面的参数值d_i与离散点y相关，所以也可以表示为关于y的函数。通过推导可以得到梯度公式为

其中S(V(y_i))则为每个y_i对应的胞腔测度，且

由于I(x)＝1，因此S(V(y_i))即为对应的胞腔面积，

为能量函数Q对于d_i的偏导数。

步骤7：通过梯度下降法更新曲面参数d_i，也即

其中，stepLength为下降步长，步长越大，能量函数收敛越快，但结果精确度越低，步长越小，结果精确度越高，但收敛速度越慢；

步骤8：循环步骤4-步骤7，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面参数解d_i。

能量函数达到极值的判断条件是，其梯度函数收敛，即梯度函数

的最大值小于预设的收敛误差threshold：

max(S(V(y_i))-v_i)＜threshold

步骤9：通过曲面参数构造自由曲面三维模型，如图7所示构造了高斯图像的反射镜模型，并从不同视角观察曲面的形状。同时，通过光线追踪模拟技术，模拟真实光学场景，并将模型放置在光学场景中，得到了光线经反射后在平面上形成的图案，如图9所示，高斯和柯西的模型经过反射形成的图案和原始图案基本一致。另一方面，考虑将问题扩展，将曲面域进行改造，得到了灯罩形状的曲面镜，如图10所示，从三个不同的视角取观察灯罩模型的形状。

将源区域离散点x_i通过公式(2)得到曲面离散点ρ_i·x_i，得到三维空间的离散自由曲面。其中，ρ_i沿着源区域离散点x_i方向得到的曲面离散点距离笛卡尔坐标系原点的距离ρ。

在本实施例中，通过将图像设置为目标区域并通过图像像素点信息将图像离散化表示成离散母点，对每个离散母点，构造定义在源区域的空间圆锥曲面，并通过径向投影将圆锥曲面构成的上包络投影到源区域，将光学自由曲面的求解问题转移至球面域的胞腔分解问题上，并通过计算胞腔测度来构造能量梯度，通过梯度下降算法优化曲面参数，得到最终曲面方程的解，极大地简化了光学自由曲面的求解过程，同时也详细阐述了半离散最优传输下光学自由曲面成像系统的详细构造流程，为工业界光学元件的构造也开辟了新的道路。

请见图6，实施例步骤2通过Icosphere生成算法近似球面源区域X，其过程为：

(1)步骤6.1，给定一个初始化的Icosphere模型，模型顶点均在球面上；

(2)步骤6.2，输入剖分阶数k，按照图6所示的面元剖分过程，详细过程为，初始化Icosphere原始模型(a)，其上包含12个顶点以及20个三角面元，对于(a)中模型中的每个三角面元，依此取每条边的中点，根据这些中点构成新的三角形面元，然后将新三角形的所有顶点坐标拉到单位球面上，得到下一次剖分结果。按照这个步骤循环剖分k次，完成Icosphere模型生成，得到模型结果(b)；

(3)步骤6.3，依次对模型剖分k次，得到最终的球面逼近模型，生成源区域X。

请见图7，通过半离散最优传输生成的自由曲面三维模型。其中源区域为半径为1的半球面，概率测度均匀分布。目标区域离散化，表示为一簇离散母点，其上赋予的狄拉克测度如公式(1)所示，离散点的数量和输入图像像素点一致。通过该模型的三个视图(a)、(b)、(c)观察该曲面模型可以得到，源图像中越白的区域对应的曲面域越大，反之越黑的区域对应的曲面域则越小，这也符合离散最优传输下源测度和目标测度之间的关系。

请见图8，生成的自由曲面三维模型在模拟场景中可以通过在曲面中心放置一个点光源，通过光线反射，在目标平面中生成的图案和目标图像一致。由于不同圆锥曲面的光学性质不同，因此目标平面放置的位置应严格遵守曲面光线反射定律；

请见图9，给定两个图像，一个是子图(a)：Gauss图像(100×100分辨率)，一个是子图(b)：Cauchy图像(200×200分辨率)。通过该系统得到两个图像的自由曲面，然后通过Mitsuba渲染器模拟真实的成像场景得到两张图像的成像结果子图(c)和子图(d)，可以发现得到成像的结果基本一致，有效说明了该发明的可靠性。

请见图10，由于在理论上保证了源区域测度均匀，因此，可设置源区域不同的形状，例如环带，来保证在实际生活中的用处，子图(a)则是环带曲面的顶部视图，子图(b)则是环带曲面的底部视图，子图(c)则是环带曲面的侧面视图。由于本发明系统源区域限定在球面域，因此目前仅针对球面进行修改。

具体实施时，本发明技术方案提出的方法可由本领域技术人员采用计算机软件技术实现自动运行流程，实现方法的系统装置例如存储本发明技术方案相应计算机程序的计算机可读存储介质以及包括运行相应计算机程序的计算机设备，也应当在本发明的保护范围内。

在一些可能的实施例中，提供了半离散最优传输的光学自由曲面成像构造系统，包括以下模块：

第一模块，用于输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；

第二模块，用于通过Icosphere球面生成算法生成源区域；

第三模块，用于初始化曲面参数；

第四模块，用于构造离散母点对应的圆锥曲面；

第五模块，用于构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；

第六模块，用于计算传输映射的能量函数及梯度；

第七模块，用于通过梯度下降算法更新更新曲面参数；

第八模块，用于命令第四模块到第七模块循环工作，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；

第九模块，用于通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。

以上优选实施例虽然基于是抛物曲面或者椭球曲面来构造该光学曲面，但是半离散最优传输的求解理论同样适用于不同参数化曲面方程，仅仅需要考虑不同参数化曲面方程的光学性质。同样的，对于折射曲面，依然可以兼容该构造系统，但需要考虑折射曲面下的光学性质以及参数化表示。

在一些可能的实施例中，提供一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造系统，包括处理器和存储器，存储器用于存储程序指令，处理器用于调用存储器中的存储指令执行如上所述的一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法。

在一些可能的实施例中，提供一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造系统，包括可读存储介质，所述可读存储介质上存储有计算机程序，所述计算机程序执行时，实现如上所述的一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (9)

1.一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；

步骤2，通过Icosphere球面生成算法生成源区域；

步骤3，初始化曲面参数；

步骤4，构造离散母点对应的圆锥曲面；

步骤4中，通过离散母点y_i、曲面参数d_i以及以下圆锥曲面方程构造曲面，

其中，ρ表示曲面上的点到原点的距离，e为曲面离心率，x_i是球面模型网格点的坐标，x_i∈X；

步骤5，构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；

步骤6，计算传输映射的能量函数及梯度；

步骤7，通过梯度下降算法更新曲面参数；

步骤8，循环步骤4-步骤7，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；

步骤9，通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。

2.根据权利要求1所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤1的实现方式如下，

输入一张灰度图像I，将灰度图像I像置于欧式空间R³中并垂直三维笛卡尔坐标系的Z轴正半轴于点p，然后根据灰度图像I中像素点位置构造目标域离散母点y_i，离散母点的个数为M，同时定义每个像素点的灰度值为a_i，通过下式构造每个离散母点的狄拉克测度，

其中，i为像素点的标识。

3.根据权利要求2所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤2中，通过Icosphere生成算法生成7阶球面模型，将球心置于欧式空间R³原点上，仅保留处在Z轴负半轴的半球面模型，生成源区域X。

4.根据权利要求3所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤3中，定义每个源区域离散母点对应的曲面参数为d_i，初始化d_i为定值，该定值为任意大于0的值。

5.根据权利要求1或2或3或4所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤5中，设源区域为球面域S²，构造所有圆锥曲面形成的上包络，并投影到源区域，得到源区域的球面胞腔分解，每个胞腔V(y_i)通过下式得到，

其中，球面域S²中的每个点x_i对于每个圆锥曲面都能通过圆锥曲面方程计算一个ρ值，且共有M个，球面域S²中的部分点x_i构成集合x，V(y_i)是在y_i对应的圆锥曲面中使得ρ值最小的x集合，j用于标识与离散点y_i不同的其他离散点。

6.根据权利要求5所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤7中通过梯度下降法更新曲面参数d_i，实现如下，

其中，stepLength为下降步长，

为步骤6所得能量函数Q对于d_i的偏导数。

7.根据权利要求6所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤8中，能量函数达到极值的判断条件是，其梯度函数收敛，在梯度函数的最大值小于预设的收敛误差时认为梯度函数收敛。

8.根据权利要求7所述的半离散最优传输下的光学自由曲面构造方法，其特征在于：步骤9中，将源区域离散点x_i通过圆锥曲面方程得到曲面离散点ρ_i·x_i，得到三维空间的离散自由曲面，其中，ρ_i为沿着源区域离散点x_i方向得到的曲面离散点距离笛卡尔坐标系原点的距离ρ。

9.一种半离散最优传输下的光学自由曲面构造系统，其特征在于，包括以下模块：

第一模块，用于输入一张灰度图像，并构造目标域离散母点及测度；

第二模块，用于通过Icosphere球面生成算法生成源区域；

第三模块，用于初始化曲面参数；

第四模块，用于构造离散母点对应的圆锥曲面；

实现方式为，通过离散母点y_i、曲面参数d_i以及以下圆锥曲面方程构造曲面，

其中，ρ表示曲面上的点到原点的距离，e为曲面离心率，x_i是球面模型网格点的坐标，x_i∈X；

第五模块，用于构造圆锥曲面上包络，并构造源区域的胞腔分解；

第六模块，用于计算传输映射的能量函数及梯度；

第七模块，用于通过梯度下降算法更新曲面参数；

第八模块，用于命令第四模块到第七模块循环工作，直到能量函数达到极值，得到光学自由曲面解；

第九模块，用于通过曲面参数构造自由曲面三维模型，得到三维空间的离散自由曲面。

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