CN103049606A - 一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法 - Google Patents

一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法，通过这种不断缩小拓扑优化模型可利用材料域的方式逐渐逼近最佳解，最终提取出理想的柔顺机构0-1拓扑图。本发明可有效克服基于SIMP方法松弛设计变量时所产生的中间单元问题，提取出理想的柔顺机构0-1拓扑图；它完全不同于传统渐进拓扑优化方法，具有连续设计变量，灵敏度连续性好，而且概念简单，方法易于执行，不易导致棋盘格现象；克服了传统方法的参数敏感性和网格依赖性的缺陷，具有较好的收敛稳定性。

Description

一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法
技术领域
本发明涉及柔顺机构拓扑优化设计中的拓扑图提取技术领域，特别涉及一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法。
背景技术
随着微机电系统、微加工和微操作以及新材料等领域的迅速发展，柔顺机构的设计已经成为目前国内外机构学领域的研究热点。
采用拓扑优化方法研究柔顺机构的设计只需给定设计域和指定输入输出位置，无须从一个已知的刚性机构出发，且所得的机构具有分布式柔性的优越性能，因而引起了极大的重视。
这种方法通常是以有限元分析为基础，在拓扑优化的初始阶段，首先将设计域离散成一定数量的有限元网格，再利用优化方法确定单元材料的保留与删除，以满足预定的目标和约束条件。
在优化结果中，单元密度的理想取值为0或1，当单元密度取值为0时，表示该单元被删除，单元密度取值为1时，该单元被保留，于是，由高密度单元连接构成机构的拓扑图。但是，这类整数规划问题往往很难求解。因此，人们常采用松弛法，如均匀化方法和相对密度法，用连续变量的优化模型逼近原离散变量的优化模型，于是，拓扑设计变量可以在区间[0,1]内连续取值，使优化结果中出现中间密度单元。这一现象与工程实际不符。因此，在柔顺机构拓扑优化设计中，必须发展一种有效的方法，以克服中间单元问题，提取出清晰的柔顺机构0-1拓扑图。目前，在包括柔顺机构在内的拓扑优化领域中，主要包括以下几种方法。
一是采用形如                                               
Figure 2012105474077100002DEST_PATH_IMAGE002
的惩罚形式，以减小中间密度单元的刚度影响，然而，这种方法难以彻底去除中间单元。另一种方法是阈值法，但由于其阈值选择是启发式的，因而必然影响到方法的执行效果。此外，又发展了在优化模型的目标函数或约束条件中追加显式的惩罚函数方法，但这种额外的惩罚项也可能给优化软件寻找可行解造成困难。类似的惩罚函数法还有混合的SINH方法和凹约束方法，不过，这两种方法也依然不能提取出满意的0-1拓扑图。另外，基于图像的过滤技术也被尝试来克服中间单元问题， 然而，由于其灵敏度计算复杂，使得计算效率大大降低，且所得的拓扑图具有网格依赖性。
近来，又提出了一种修改最佳准则表达形式的启发式方法，但这种方法的最佳拓扑图具有参数敏感性。除了上述方法之外，渐进方法也是一种常用的去除中间单元的方法。它是通过逐渐地去除无效材料来获得最佳解，其优点在于不需引入太多的数学理论，不过由于该方法属于整数规划范畴，灵敏度连续性差，且被去除的单元不能再被利用，因而计算效率低，并易于导致结果不收敛。在此基础上，又发展了双向渐进方法，这种方法旨在去除无效材料的同时，也能添加有效材料，以改进收敛效果，但是这一方法本质上仍是整数规划，且无法精确评估所添加的材料单元的灵敏度。另外，还有模拟退火和SIMP相结合的方法以及单元连结参数化方法等，从它们的优化结果来看，也依然无法提取出理想的0-1拓扑图。并且，上述方法有着易于导致棋盘格的共同缺点。
此外，基于水平集的拓扑优化方法也是解决中间单元问题的一种有效方法，但是这种方法也具有初始敏感性、不能生成新孔、计算效率低和难以收敛到不光滑的角点等缺陷，虽然目前已提出一些改进的方法，但这些问题尚未完全得到很好的解决。
发明内容
本发明的发明目的是针对现有柔顺机构拓扑图提取方法的技术不足，提供一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法。
本发明首先建立柔顺机构第一层拓扑优化模型；然后，重复有限元分析、灵敏度过滤及基于最佳准则的设计变量更新过程，直至获得优化模型的拓扑优化最佳结果；之后，采用渐进方法，删除一定数量低密度单元，所有保留单元的集合构成下一层优化模型的可利用材料域，其中的高密度单元在下一层优化中恒定不变，同时，采用体积约束延拓方法，得到下一层优化模型的体积比，进而建立下一层柔顺机构拓扑优化模型，并对其进行优化。通过这种不断缩小拓扑优化模型可利用材料域的方式逐渐逼近最佳解，最终提取出理想的柔顺机构0-1拓扑图。
为实现上述发明目的，本发明采用的技术方案为：
提供一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法，包括如下步骤：
1）：建立柔顺机构第一层拓扑优化模型； 
2）：对柔顺机构拓扑优化模型进行优化，步骤如下:
2-1）：对柔顺机构拓扑优化模型进行有限元分析，并得出体积约束和优化目标的灵敏度；
2-2）：对优化目标的灵敏度进行过滤，以消除拓扑图中的棋盘格；
2-3）：基于最佳准则更新设计变量；
2-4）：重复步骤2-1）至 2-3），直到优化迭代收敛；
3）： 判断柔顺机构拓扑优化最大迭代数或前后两次迭代的单元密度变化最大值是否小于一个阈值，若满足则终止循环并输出结果，否则继续执行以下步骤；
4）：建立下一层柔顺机构拓扑优化模型, 
5）：重复步骤2-1）至4-3），如此不断缩小拓扑优化模型的可利用材料域，直至提取出满足目标体积
Figure 2012105474077100002DEST_PATH_IMAGE004
的柔顺机构0-1拓扑图。
优选地，以
Figure 2012105474077100002DEST_PATH_IMAGE006
为设计域，其为柔顺机构初始拓扑优化模型可利用材料域； 
Figure DEST_PATH_IMAGE008
和
Figure DEST_PATH_IMAGE010
分别为柔顺机构载荷输入点和位移输出点；和
Figure DEST_PATH_IMAGE014
分别为柔顺机构输入载荷和沿输出位移方向的虚拟单位载荷；
Figure DEST_PATH_IMAGE016
和分别为柔顺机构输入和输出弹簧刚度；该柔顺机构的目标体积比为
Figure DEST_PATH_IMAGE020
，初始阶段的拓扑优化层数为
Figure DEST_PATH_IMAGE022
，其体积比为
Figure DEST_PATH_IMAGE024
，将设计域离散为
Figure DEST_PATH_IMAGE026
行
Figure DEST_PATH_IMAGE028
列，柔顺机构的应变能和互应变能如下：
；
Figure DEST_PATH_IMAGE032
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE034
是系统的互应变能，互应变能越大则表明系统的柔性越大；
Figure DEST_PATH_IMAGE036
是系统的应变能，应变能越小则表明系统的刚度越大；为弹性矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE040
是系统整体刚度矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE042
是
Figure DEST_PATH_IMAGE044
作用下的节点位移向量，是
Figure DEST_PATH_IMAGE048
作用下的节点位移向量，和是设计域内任一点在载荷
Figure DEST_PATH_IMAGE054
作用下的应变和弹性变形，
Figure DEST_PATH_IMAGE056
 和 是设计域内任一点在载荷
Figure DEST_PATH_IMAGE060
作用下的应变和弹性变形；
为使柔顺机构既有足够大的刚度又有足够大的柔性，通过多目标优化而得到柔顺机构的应变能和互应变能的关系如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE062
；式中， 
Figure DEST_PATH_IMAGE064
代表最小值；
首先，基于相对密度法松弛设计变量，使柔顺机构单元密度可在0-1范围内取值，即：
Figure DEST_PATH_IMAGE066
；
式中，是单元
Figure DEST_PATH_IMAGE070
的密度，
Figure DEST_PATH_IMAGE072
是单元密度下限，
Figure DEST_PATH_IMAGE074
是单元密度上限，
Figure DEST_PATH_IMAGE076
是自然数，表明初始阶段可利用材料域的单元数，且
Figure DEST_PATH_IMAGE078
；
柔顺机构拓扑优化模型的整体刚度矩阵是：
Figure DEST_PATH_IMAGE080
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE082
是单元
Figure DEST_PATH_IMAGE084
的刚度矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE086
是任一实心单元的材料体积，
Figure DEST_PATH_IMAGE088
为密度
Figure 731083DEST_PATH_IMAGE068
的指数，且，
Figure DEST_PATH_IMAGE092
为任一实心单元的单元刚度矩阵，且
Figure DEST_PATH_IMAGE094
，是任一实心单元的应变矩阵；该柔顺机构第一层拓扑优化模型的体积约束如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE098
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE100
是柔顺机构初始拓扑优化模型可利用材料的体积，
Figure DEST_PATH_IMAGE102
是由
Figure DEST_PATH_IMAGE104
所构成的列向量；
根据上述目标和约束条件，得到柔顺机构第一层拓扑优化模型如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE106
。
优选地，步骤2-1）中，优化目标的灵敏度为：
Figure DEST_PATH_IMAGE108
；
体积约束的灵敏度为：
Figure DEST_PATH_IMAGE110
。
优选地，步骤2-2）中，过滤后的灵敏度如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE112
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE114
为单元 
Figure DEST_PATH_IMAGE116
的邻域, 该邻域内的各单元中心到单元
Figure 77531DEST_PATH_IMAGE116
的中心的距离小于或等于过滤半径
Figure DEST_PATH_IMAGE118
，
Figure DEST_PATH_IMAGE120
是卷积因子，如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE122
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE124
是单元
Figure DEST_PATH_IMAGE126
的中心坐标。
优选地，步骤2-3）中，最佳准则如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE128
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE130
是步骤2中优化模型的可利用材料域，
Figure DEST_PATH_IMAGE132
是步骤2的可利用材料域中密度为
Figure DEST_PATH_IMAGE134
且恒定不变的单元集合，且当
Figure DEST_PATH_IMAGE136
时，
Figure 158226DEST_PATH_IMAGE132
为空集，
Figure DEST_PATH_IMAGE138
是步骤2的可利用材料域中密度可变的单元的集合，
Figure DEST_PATH_IMAGE140
是步骤2的优化模型中所有已删除单元的集合，其中各单元密度为
Figure DEST_PATH_IMAGE142
且恒定不变，当
Figure DEST_PATH_IMAGE144
时，
Figure 661014DEST_PATH_IMAGE140
为空集，
Figure DEST_PATH_IMAGE146
为迭代数, 
Figure DEST_PATH_IMAGE148
 为松弛因子, 
Figure DEST_PATH_IMAGE150
为一个较小的移动极限, 
Figure DEST_PATH_IMAGE152
为一个非负数，即：
Figure DEST_PATH_IMAGE154
；
式中，可由Kuhn–Tucker必要条件导出，如下：
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE160
为拉格朗日乘子，在设计变量更新过程中采用二分法得到，以使更新后的密度满足体积约束，即：
Figure DEST_PATH_IMAGE162
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE164
是步骤2的体积比，
Figure DEST_PATH_IMAGE166
，
Figure DEST_PATH_IMAGE168
 和
Figure DEST_PATH_IMAGE170
分别是集合
Figure 304048DEST_PATH_IMAGE138
中所更新的三类设计变量的和。
优选地，步骤4）中，首先修改柔顺机构拓扑优化的层数
Figure DEST_PATH_IMAGE172
，使
Figure DEST_PATH_IMAGE174
；采用渐进方法，按单元密度从小到大顺序，删除一定数量低密度单元，使其密度值均为
Figure 508765DEST_PATH_IMAGE142
，直至设计域中所保留的单元数
Figure DEST_PATH_IMAGE176
为：
Figure DEST_PATH_IMAGE178
；
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE180
代表最大值，符号[]表示取整运算，
Figure DEST_PATH_IMAGE182
是步骤2的优化结果中密度为
Figure DEST_PATH_IMAGE184
的单元数；所有
Figure 268517DEST_PATH_IMAGE176
个保留单元的集合构成下一层(即第
Figure DEST_PATH_IMAGE186
层)拓扑优化模型的可利用材料域
Figure DEST_PATH_IMAGE188
，其中个密度为
Figure 559788DEST_PATH_IMAGE184
的单元构成下一层优化模型的可利用材料域中恒定不变的集合
Figure 314117DEST_PATH_IMAGE132
；
接着，修改体积比：采用体积约束延拓方法，对下一层优化模型，体积比
Figure 254391DEST_PATH_IMAGE164
取为：；
式中，
Figure 964727DEST_PATH_IMAGE180
代表最大值，
Figure DEST_PATH_IMAGE192
是体积约束延拓因子初值，且
Figure DEST_PATH_IMAGE194
，是体积约束延拓因子增量，且
Figure DEST_PATH_IMAGE198
，
Figure DEST_PATH_IMAGE200
；
最后，得到下一层(即第
Figure 755091DEST_PATH_IMAGE186
层)柔顺机构拓扑优化模型为：
；
式中，
Figure 934400DEST_PATH_IMAGE138
是第
Figure 475102DEST_PATH_IMAGE186
层优化模型的可利用材料域中密度可变的单元的集合，
Figure DEST_PATH_IMAGE204
是第
Figure 39945DEST_PATH_IMAGE186
层优化模型中所有已删除单元的集合。
本发明相对于现有技术，具有以下有益效果：
1. 本发明可有效克服基于SIMP方法松弛设计变量时所产生的中间单元问题，提取出理想的柔顺机构0-1拓扑图。
2. 本发明完全不同于传统渐进拓扑优化方法，它具有连续设计变量，灵敏度连续性好，而且概念简单，方法易于执行，不易导致棋盘格现象。
3. 本发明将体积约束延拓方法和渐进方法相结合，能最大限度地保留所有可能单元，避免了添加材料的灵敏度评估困扰。
4. 本发明克服了传统方法的参数敏感性和网格依赖性的缺陷，具有较好的收敛稳定性。
附图说明
图1为本发明柔顺机构0-1拓扑图提取方法流程图；
图2为实施例柔顺力-位移反向机构设计域和边界条件示意图；
图3为
Figure DEST_PATH_IMAGE206
,
Figure DEST_PATH_IMAGE208
,
Figure DEST_PATH_IMAGE210
以及具有
Figure DEST_PATH_IMAGE212
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图4为
Figure 388493DEST_PATH_IMAGE206
,
Figure 851836DEST_PATH_IMAGE208
,
Figure 196229DEST_PATH_IMAGE210
以及具有网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图5为
Figure DEST_PATH_IMAGE216
,,
Figure 888690DEST_PATH_IMAGE210
以及具有
Figure 542392DEST_PATH_IMAGE212
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图6为
Figure 362581DEST_PATH_IMAGE216
,
Figure 715065DEST_PATH_IMAGE208
,
Figure 657613DEST_PATH_IMAGE210
以及具有
Figure 282498DEST_PATH_IMAGE214
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图7为
Figure 968694DEST_PATH_IMAGE206
,
Figure DEST_PATH_IMAGE218
,
Figure DEST_PATH_IMAGE220
以及具有网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图8为
Figure 915233DEST_PATH_IMAGE206
,
Figure 840464DEST_PATH_IMAGE218
,
Figure 64772DEST_PATH_IMAGE220
以及具有
Figure 329531DEST_PATH_IMAGE214
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图9为
Figure 348302DEST_PATH_IMAGE216
,,
Figure 975779DEST_PATH_IMAGE220
以及具有
Figure 157361DEST_PATH_IMAGE212
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果；
图10为
Figure 550297DEST_PATH_IMAGE216
,
Figure 184540DEST_PATH_IMAGE218
,
Figure 750651DEST_PATH_IMAGE220
以及具有
Figure 737805DEST_PATH_IMAGE214
网格离散方式时，实施例柔顺力-位移反向机构0-1拓扑图提取结果。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明的发明目的作进一步详细地描述，实施例不能在此一一赘述，但本发明的实施方式并不因此限定于以下实施例。除非特别说明，本发明采用的材料和加工方法为本技术领域常规材料和加工方法。
如图1所示，为本发明所提出的一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法流程图。
本发明实施例是一种典型的柔顺力-位移反向机构，其设计域和边界条件如图2所示。其中，设计域大小为
Figure DEST_PATH_IMAGE222
，材料的弹性模量和泊松比分别为和
Figure DEST_PATH_IMAGE226
，
Figure 301642DEST_PATH_IMAGE008
和
Figure 610132DEST_PATH_IMAGE010
分别为载荷输入点和位移输出点，输入载荷
Figure DEST_PATH_IMAGE228
，同时，沿输出位移方向作用有一虚拟单位载荷
Figure 979934DEST_PATH_IMAGE048
，输入和输出弹簧刚度分别为
Figure DEST_PATH_IMAGE230
和
Figure DEST_PATH_IMAGE232
。
柔顺机构的目标体积比为，灵敏度过滤半径为
Figure DEST_PATH_IMAGE236
。由于设计域和边界条件具有对称性，因此仅取设计域的下半区域进行优化。采用SIMP方法松弛密度变量，以柔顺机构的最大柔度和最大刚度为优化目标，得到柔顺机构第一层拓扑优化模型为：
；
式中，
Figure 496945DEST_PATH_IMAGE068
是单元
Figure 105781DEST_PATH_IMAGE070
的密度，是单元密度下限，是单元密度上限，
Figure DEST_PATH_IMAGE242
是设计域内的单元数，
Figure DEST_PATH_IMAGE244
是任一实心单元的材料体积，
Figure 138328DEST_PATH_IMAGE100
是柔顺机构初始拓扑优化模型可利用材料的体积，
Figure DEST_PATH_IMAGE246
是单元的密度，
Figure DEST_PATH_IMAGE250
是载荷
Figure DEST_PATH_IMAGE252
作用下的节点位移矢量，
Figure 778037DEST_PATH_IMAGE046
是载荷作用下的节点位移矢量，
Figure 29076DEST_PATH_IMAGE076
是自然数，表明初始阶段可利用材料域单元数，
Figure DEST_PATH_IMAGE254
和分别是系统的互应变能和应变能，公式为：
Figure 678363DEST_PATH_IMAGE030
；
；
式中，
Figure 682408DEST_PATH_IMAGE038
为弹性矩阵，
Figure 954252DEST_PATH_IMAGE050
和
Figure 469547DEST_PATH_IMAGE052
是设计域内任一点在载荷
Figure 189241DEST_PATH_IMAGE054
作用下的应变和弹性变形，
Figure 436683DEST_PATH_IMAGE056
 和 
Figure 507407DEST_PATH_IMAGE058
是设计域内任一点在载荷
Figure 747764DEST_PATH_IMAGE060
作用下的应变和弹性变形, 
Figure DEST_PATH_IMAGE258
是系统的整体刚度矩阵，公式为;
Figure 587544DEST_PATH_IMAGE080
式中，
Figure 5887DEST_PATH_IMAGE082
是单元
Figure 563908DEST_PATH_IMAGE084
的刚度矩阵，
Figure 155426DEST_PATH_IMAGE092
为任一实心单元的单元刚度矩阵，且
Figure DEST_PATH_IMAGE260
，是任一实心单元的应变矩阵, 
Figure 390022DEST_PATH_IMAGE088
为密度
Figure 169759DEST_PATH_IMAGE068
的指数，且
Figure 564968DEST_PATH_IMAGE090
，本实施例中，为了加快收敛，取
Figure DEST_PATH_IMAGE262
；
为了获得优化模型的拓扑优化最佳结果，按以下公式对其进行有限元分析，求出节点位移向量
Figure DEST_PATH_IMAGE264
和
Figure DEST_PATH_IMAGE266
：
Figure DEST_PATH_IMAGE268
；
Figure DEST_PATH_IMAGE270
。
进一步得出优化目标和体积约束的灵敏度，公式如下:
；
。
再对优化目标的灵敏度进行过滤，公式如下：
Figure 281886DEST_PATH_IMAGE112
；
式中，
Figure 418469DEST_PATH_IMAGE114
为单元 
Figure 87348DEST_PATH_IMAGE116
的邻域, 该邻域内的各单元中心到单元的中心的距离小于或等于过滤半径，
Figure 759003DEST_PATH_IMAGE120
是卷积因子，即：
Figure 220072DEST_PATH_IMAGE122
；式中，
Figure 649916DEST_PATH_IMAGE124
是单元
Figure 891542DEST_PATH_IMAGE126
的中心坐标。
之后，再利用最佳准则更新设计变量,公式如下:
Figure DEST_PATH_IMAGE271
 ； 
式中，
Figure 846292DEST_PATH_IMAGE130
是步骤2中优化模型的可利用材料域，
Figure 427446DEST_PATH_IMAGE132
是步骤2的可利用材料域中密度为且恒定不变的单元集合，当
Figure 491534DEST_PATH_IMAGE136
时，
Figure 757299DEST_PATH_IMAGE132
为空集，
Figure 255276DEST_PATH_IMAGE138
是步骤2的可利用材料域中密度可变的单元集合，
Figure 26923DEST_PATH_IMAGE140
是步骤2的优化模型中所有已删除单元的集合，其中各单元密度为且恒定不变，当
Figure 797750DEST_PATH_IMAGE144
时，
Figure 150234DEST_PATH_IMAGE140
为空集，
Figure 781198DEST_PATH_IMAGE146
为迭代数, 
Figure 219132DEST_PATH_IMAGE148
 为松弛因子, 
Figure 577432DEST_PATH_IMAGE150
为一个较小的移动极限，在本实施例中，为了保证密度更新过程的稳定性，和
Figure 50002DEST_PATH_IMAGE150
分别取值为和
Figure DEST_PATH_IMAGE277
，
Figure 288085DEST_PATH_IMAGE152
 为一个非负数，即：
Figure 213316DEST_PATH_IMAGE154
。
式中，
Figure 437624DEST_PATH_IMAGE156
可由Kuhn–Tucker必要条件导出，公式是：
Figure 184607DEST_PATH_IMAGE158
；式中，为拉格朗日乘子，在设计变量更新过程中采用二分法得到，以使更新后的密度满足体积约束，即：
Figure DEST_PATH_IMAGE279
；式中，是步骤2的体积比，
Figure 847166DEST_PATH_IMAGE166
，
Figure 215700DEST_PATH_IMAGE168
 和
Figure 405373DEST_PATH_IMAGE170
分别是集合
Figure 242878DEST_PATH_IMAGE138
中所更新的三类设计变量的和。
利用最佳准则更新设计变量的具体过程是：
首先，给定
Figure 808989DEST_PATH_IMAGE160
的最小值和最大值，分别是
Figure DEST_PATH_IMAGE281
和
Figure DEST_PATH_IMAGE283
；
然后，计算它们的中点值：
Figure DEST_PATH_IMAGE285
，并代入密度变量更新公式，得到更新后的单元密度；
之后，计算体积约束余量
Figure DEST_PATH_IMAGE287
，再根据
Figure DEST_PATH_IMAGE289
值修改
Figure DEST_PATH_IMAGE291
或的值：如果，则使
Figure DEST_PATH_IMAGE297
，否则如果
Figure DEST_PATH_IMAGE299
，则使
Figure DEST_PATH_IMAGE301
；
重复
Figure 861390DEST_PATH_IMAGE291
和
Figure 913309DEST_PATH_IMAGE293
的中点值的计算、单元密度更新以及
Figure 300428DEST_PATH_IMAGE291
或
Figure 607913DEST_PATH_IMAGE293
的修改过程，直至与
Figure 295563DEST_PATH_IMAGE291
的差小于一个阈值为止。
重复有限元分析、灵敏度计算和过滤以及设计变量更新过程，直到优化迭代收敛。
判断最大迭代数或前后两次迭代的单元密度变化最大值小于一个阈值的条件是否满足，若满足则终止循环并输出结果；否则修改柔顺机构拓扑优化的层数
Figure 91350DEST_PATH_IMAGE172
，使
Figure 264842DEST_PATH_IMAGE174
；然后，采用渐进方法，按单元密度从小到大顺序，删除一定数量低密度单元，使其密度值均为
Figure 275523DEST_PATH_IMAGE142
，直至设计域中所保留的单元数
Figure 181162DEST_PATH_IMAGE176
为：
Figure DEST_PATH_IMAGE303
。
式中，
Figure 277294DEST_PATH_IMAGE180
代表最大值，符号[]表示取整运算，
Figure 677314DEST_PATH_IMAGE182
是步骤2的优化结果中密度为
Figure 542502DEST_PATH_IMAGE184
的单元数；所有
Figure 619042DEST_PATH_IMAGE176
个保留单元的集合构成下一层(即第
Figure 202470DEST_PATH_IMAGE186
层)拓扑优化模型的可利用材料域
Figure 452186DEST_PATH_IMAGE188
，其中
Figure 624410DEST_PATH_IMAGE182
个密度为
Figure 934169DEST_PATH_IMAGE184
的单元构成下一层优化模型的可利用材料域中恒定不变的集合
Figure 4893DEST_PATH_IMAGE132
；
接着，修改体积比：采用体积约束延拓方法，对下一层优化模型，体积比
Figure 995983DEST_PATH_IMAGE164
取为：
。
式中，
Figure 316423DEST_PATH_IMAGE180
代表最大值，
Figure 294350DEST_PATH_IMAGE192
是体积约束延拓因子初值，
Figure 151447DEST_PATH_IMAGE194
，是体积约束延拓因子增量，
Figure 434978DEST_PATH_IMAGE198
，且。为了验证不同的参数设置对本发明所提出的方法的性能的影响，在本实施例中，对参数
Figure DEST_PATH_IMAGE307
、
Figure 667245DEST_PATH_IMAGE192
和选取了四组数值，分别是：
(1) 
Figure 548931DEST_PATH_IMAGE206
,,
Figure 592421DEST_PATH_IMAGE210
;
(2),
Figure 194621DEST_PATH_IMAGE208
,
Figure 391247DEST_PATH_IMAGE210
;
(3) 
Figure 145576DEST_PATH_IMAGE206
,
Figure 882588DEST_PATH_IMAGE218
,;
(4)
Figure 22768DEST_PATH_IMAGE216
,
Figure 936498DEST_PATH_IMAGE218
,
Figure 477201DEST_PATH_IMAGE220
;
并且，给定
Figure DEST_PATH_IMAGE309
的上限为
Figure DEST_PATH_IMAGE311
，以使
Figure 823735DEST_PATH_IMAGE164
逐步逼近
Figure 158902DEST_PATH_IMAGE020
。
同时，对每一组参数值情形，分别采用了两种不同的网格离散方式，即：
Figure 825507DEST_PATH_IMAGE212
和
Figure 904321DEST_PATH_IMAGE214
。
最后，得到下一层(即第
Figure 402298DEST_PATH_IMAGE186
层)柔顺机构拓扑优化模型为：
Figure DEST_PATH_IMAGE313
。
式中，
Figure 95317DEST_PATH_IMAGE138
是第层优化模型的可利用材料域中密度可变的单元集合，
Figure 131723DEST_PATH_IMAGE204
是第
Figure 484207DEST_PATH_IMAGE186
层优化模型中所有已删除的单元集合。
再对该拓扑优化模型进行求解，如此不断缩小可利用材料域，直至提取出满足目标体积比的理想的柔顺机构0-1拓扑图。
图3、图5、图7和图9分别是在
Figure 553105DEST_PATH_IMAGE212
网格离散方式下，对应于参数
Figure 911405DEST_PATH_IMAGE307
、
Figure 383975DEST_PATH_IMAGE192
和
Figure 231845DEST_PATH_IMAGE196
的四组取值情形时，本发明采用的一种典型的柔顺力-位移反向机构最终0-1拓扑图提取结果。
图4、图6、图8和图10分别是在网格离散方式下，对应于参数
Figure 568335DEST_PATH_IMAGE307
、
Figure 895411DEST_PATH_IMAGE192
和
Figure 117445DEST_PATH_IMAGE196
的四组取值情形时，本发明采用的一种典型的柔顺力-位移反向机构最终0-1拓扑图提取结果。
图3至图10表明，本发明所提出的柔顺机构0-1拓扑图提取方法能获得理想的黑白拓扑结果，同时能避免传统方法的参数敏感性和网格依赖性的缺陷，具有较好的收敛稳定性。
上述实施例仅为本发明的较佳实施例，并非用来限定本发明的实施范围。即凡依本发明内容所作的均等变化与修饰，都为本发明权利要求所要求保护的范围所涵盖。

Claims (6)

1.一种柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于包括如下步骤：
1）：建立柔顺机构第一层拓扑优化模型； 
2）：对柔顺机构拓扑优化模型进行优化，步骤如下:
2-1）：对柔顺机构拓扑优化模型进行有限元分析，并得出体积约束和优化目标的灵敏度；
2-2）：对优化目标的灵敏度进行过滤，以消除拓扑图中的棋盘格；
2-3）：基于最佳准则更新设计变量；
2-4）：重复步骤2-1）至 2-3），直到优化迭代收敛；
3）： 判断柔顺机构拓扑优化最大迭代数或前后两次迭代的单元密度变化最大值小于一个阈值的条件是否满足，若满足则终止循环并输出结果，否则继续执行以下步骤；
4）：建立下一层柔顺机构拓扑优化模型, 
5）：重复步骤2-1）至4-3），如此不断缩小拓扑优化模型的可利用材料域，直至提取出满足目标体积 
Figure 105984DEST_PATH_IMAGE001
的柔顺机构0-1拓扑图。
2.根据权利要求1所述的柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于：步骤1）中，
以
Figure 836174DEST_PATH_IMAGE002
为设计域，其为柔顺机构初始拓扑优化模型可利用材料域； 和
Figure 73437DEST_PATH_IMAGE004
分别为柔顺机构载荷输入点和位移输出点；
Figure 887809DEST_PATH_IMAGE005
和
Figure 24786DEST_PATH_IMAGE006
分别为柔顺机构输入载荷和沿输出位移方向的虚拟单位载荷；
Figure 291819DEST_PATH_IMAGE007
和
Figure 366086DEST_PATH_IMAGE008
分别为柔顺机构输入和输出弹簧刚度；该柔顺机构的目标体积比为
Figure 97281DEST_PATH_IMAGE009
，初始阶段的拓扑优化层数为
Figure 402229DEST_PATH_IMAGE010
，其体积比为
Figure 218876DEST_PATH_IMAGE011
，将设计域离散为
Figure 955888DEST_PATH_IMAGE012
行
Figure 292322DEST_PATH_IMAGE013
列；柔顺机构的应变能和互应变能如下：
；
Figure 26109DEST_PATH_IMAGE015
；
式中，
Figure 301232DEST_PATH_IMAGE016
是系统的应变能，应变能越小则表明系统的刚度越大；
Figure 259217DEST_PATH_IMAGE017
是系统的互应变能，互应变能越大则表明系统的柔性越大；
Figure 656701DEST_PATH_IMAGE018
为弹性矩阵，
Figure 385622DEST_PATH_IMAGE019
是系统整体刚度矩阵，
Figure 277486DEST_PATH_IMAGE020
是
Figure 775464DEST_PATH_IMAGE021
作用下的节点位移向量，
Figure 609427DEST_PATH_IMAGE022
是
Figure 560066DEST_PATH_IMAGE023
作用下的节点位移向量，
Figure 442571DEST_PATH_IMAGE024
和
Figure 106640DEST_PATH_IMAGE025
是设计域内任一点在载荷
Figure 49188DEST_PATH_IMAGE026
作用下的应变和弹性变形，
Figure 549439DEST_PATH_IMAGE027
 和 
Figure 970056DEST_PATH_IMAGE028
是设计域内任一点在载荷
Figure 255675DEST_PATH_IMAGE029
作用下的应变和弹性变形；
为使柔顺机构既有足够大的刚度又有足够大的柔性，通过多目标优化而得到柔顺机构的应变能和互应变能的关系如下：
Figure 369125DEST_PATH_IMAGE030
；式中， 
Figure 356672DEST_PATH_IMAGE031
代表最小值；
首先，基于相对密度法松弛设计变量，使柔顺机构单元密度可在0-1范围内取值，即：
；
式中，
Figure 642477DEST_PATH_IMAGE033
是单元
Figure 241342DEST_PATH_IMAGE034
的密度，
Figure 653869DEST_PATH_IMAGE035
是单元密度下限，
Figure 744185DEST_PATH_IMAGE036
是单元密度上限，
Figure 925767DEST_PATH_IMAGE037
是自然数，表明初始阶段可利用材料域的单元数，且
Figure 928490DEST_PATH_IMAGE038
；
柔顺机构拓扑优化模型的整体刚度矩阵是：
Figure 828312DEST_PATH_IMAGE040
；
式中，
Figure 456740DEST_PATH_IMAGE041
是单元
Figure 758408DEST_PATH_IMAGE042
的刚度矩阵，
Figure 430567DEST_PATH_IMAGE043
是任一实心单元的材料体积，为密度
Figure 249804DEST_PATH_IMAGE033
的指数，且
Figure 15766DEST_PATH_IMAGE045
，
Figure 812821DEST_PATH_IMAGE046
为任一实心单元的单元刚度矩阵，且
Figure 724452DEST_PATH_IMAGE047
，
Figure 960261DEST_PATH_IMAGE048
是任一实心单元的应变矩阵；该柔顺机构第一层拓扑优化模型的体积约束如下：
Figure 970943DEST_PATH_IMAGE049
；
式中，
Figure 751948DEST_PATH_IMAGE050
是柔顺机构初始拓扑优化模型可利用材料的体积，
Figure 848080DEST_PATH_IMAGE051
是由所构成的列向量；
根据上述目标和约束条件，得到柔顺机构第一层拓扑优化模型如下：
Figure 487189DEST_PATH_IMAGE054
。
3.根据权利要求2所述的柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于：步骤2-1）中，
优化目标的灵敏度为：
Figure 626046DEST_PATH_IMAGE055
；
体积约束的灵敏度为：
Figure 521059DEST_PATH_IMAGE056
。
4.根据权利要求5所述的柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于：步骤2-2）中，过滤后的灵敏度如下：
Figure 833091DEST_PATH_IMAGE057
；
式中，
Figure 631414DEST_PATH_IMAGE058
为单元 
Figure 941173DEST_PATH_IMAGE059
的邻域, 该邻域内的各单元中心到单元
Figure 74214DEST_PATH_IMAGE059
的中心的距离小于或等于过滤半径，
Figure 281915DEST_PATH_IMAGE061
是卷积因子，如下：
；
式中，是单元
Figure 787479DEST_PATH_IMAGE064
的中心坐标。
5.根据权利要求4所述的柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于：步骤2-3）中，最佳准则如下：
；
式中，
Figure 195644DEST_PATH_IMAGE067
是步骤2中优化模型的可利用材料域，
Figure 552545DEST_PATH_IMAGE068
是步骤2的可利用材料域中密度为
Figure 947754DEST_PATH_IMAGE069
且恒定不变的单元集合，当
Figure 558864DEST_PATH_IMAGE070
时，
Figure 646906DEST_PATH_IMAGE068
为空集，
Figure 726988DEST_PATH_IMAGE071
是步骤2的可利用材料域中密度可变的单元集合，
Figure 925889DEST_PATH_IMAGE072
是步骤2的优化模型中所有已删除单元的集合，其中各单元密度为
Figure 391505DEST_PATH_IMAGE073
且恒定不变，当
Figure 964962DEST_PATH_IMAGE074
时，
Figure 719292DEST_PATH_IMAGE072
为空集，
Figure 456303DEST_PATH_IMAGE075
为迭代数, 
Figure 42005DEST_PATH_IMAGE076
 为松弛因子, 为一个较小的移动极限,
Figure 260945DEST_PATH_IMAGE078
为一个非负数，即：
Figure 801648DEST_PATH_IMAGE079
；
式中，
Figure 507436DEST_PATH_IMAGE080
由Kuhn–Tucker必要条件导出，如下：
Figure 842602DEST_PATH_IMAGE081
；
式中，
Figure 883108DEST_PATH_IMAGE082
为拉格朗日乘子，在设计变量更新过程中采用二分法得到，以使更新后的密度满足体积约束，即：
Figure 961923DEST_PATH_IMAGE084
；
式中，是步骤2的体积比，
Figure 28285DEST_PATH_IMAGE086
， 和分别是集合
Figure 354858DEST_PATH_IMAGE071
中所更新的三类设计变量的和。
6.根据权利要求5所述的柔顺机构0-1拓扑图提取方法，其特征在于：步骤4中，首先修改柔顺机构拓扑优化的层数
Figure 297406DEST_PATH_IMAGE089
，使
Figure 49855DEST_PATH_IMAGE090
；采用渐进方法，按单元密度从小到大顺序，删除一定数量低密度单元，使其密度值均为
Figure 470472DEST_PATH_IMAGE073
，直至设计域中所保留的单元数
Figure 5359DEST_PATH_IMAGE091
为：
Figure 853229DEST_PATH_IMAGE092
；
式中，
Figure 591509DEST_PATH_IMAGE093
代表最大值，符号[]表示取整运算，
Figure 815817DEST_PATH_IMAGE094
是步骤2的优化结果中密度为
Figure 516794DEST_PATH_IMAGE095
的单元数；所有个保留单元的集合构成下一层(即第层)拓扑优化模型的可利用材料域
Figure 38409DEST_PATH_IMAGE097
，其中个密度为
Figure 488293DEST_PATH_IMAGE095
的单元构成下一层优化模型的可利用材料域中恒定不变的集合
Figure 450432DEST_PATH_IMAGE068
；
接着，修改体积比：采用体积约束延拓方法，对下一层优化模型，体积比
Figure 342776DEST_PATH_IMAGE085
取为：
Figure 378865DEST_PATH_IMAGE098
；
式中，代表最大值，
Figure 454454DEST_PATH_IMAGE099
是体积约束延拓因子初值，且
Figure 371726DEST_PATH_IMAGE100
，
Figure 590218DEST_PATH_IMAGE101
是体积约束延拓因子增量，且
Figure 387272DEST_PATH_IMAGE102
，
Figure 307693DEST_PATH_IMAGE103
；
最后，得到下一层(即第
Figure 481185DEST_PATH_IMAGE096
层)柔顺机构拓扑优化模型为：
Figure DEST_PATH_IMAGE105
；
式中，
Figure 367233DEST_PATH_IMAGE071
是第
Figure 335189DEST_PATH_IMAGE096
层优化模型的可利用材料域中密度可变的单元集合，
Figure 493637DEST_PATH_IMAGE106
是第
Figure 939662DEST_PATH_IMAGE096
层优化模型中所有已删除的单元集合。
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