CN107563097B - 一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于结构拓扑优化相关技术领域，其公开了一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其包括以下步骤：(1)对设计域进行有限元离散，并计算获得位移结构响应及应力结构响应；(2)通过P范数法凝聚有限元离散单元以得到全局应力测度，并求解得到伴随解；(3)计算获得有限元离散单元的灵敏度指数；(4)更新所述离散拓扑设计变量；(5)对离散拓扑设计变量进行过滤处理；(6)根据离散拓扑设计变量更新有限元模型的单元材料模型，重复以上步骤直至许用材料用量分数达到设定的许用材料用量分数且优化构型稳定收敛。本发明采用离散设计变量，具有明确的物理意义，同时兼具稳定性及高效性。
Description
技术领域
本发明属于结构拓扑优化相关技术领域，更具体地，涉及一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法。
背景技术
结构拓扑优化设计方法是新型的数字化结构设计方式，通过建立包含目标函数与约束方程的数学模型，对结构进行有限元数值分析，在设计域中按照优化准则或者数学规划方法迭代出满足目标要求的材料分布。结构拓扑优化设计方法广泛应用于车身设计、航空航天、通信电子等结构设计。
目前，本领域相关技术人员已经做了一些研究，如文献1“Le C，Norato J，BrunsT，Ha C，Tortorelli D(2010)Stress-based topology optimization for continua，Structural and Multidisciplinary Optimization 41(4):605–620”公开了一种基于变密度材料插值模型的拓扑优化设计方法，该方法用以实现给定材料用量下结构的整体应力水平最小化设计，该设计方法定义的伪密度设计变量可在0-1区间内连续取值，根据设计变量的灵敏度通过数学规划算法进行设计变量的迭代更新。然而，文献1提供的方法由于采用可在区间0-1区间连续取值的伪密度设计变量，中间密度变量与对应材料模型间的物理意义存在歧义，为了获得可行设计，提出了对有效应力进行松弛，同时依据经验匹配调节若干人为假设的模型参数，具有局限性。又如文献2“Xia Q，Shi TL，Liu SY，Wang MY(2012)Alevel set solution to the stress-based structural shape and topologyoptimization，Computers and Structures 90-91:55–64”提出了一种基于水平集描述的拓扑优化设计方法，此设计方法实现了同时满足给定材料用量和许用应力约束的结构刚度最大化设计，其定义的水平基函数可在空间内任意连续变化，基于刚度和应力耦合的设计目标和形状灵敏度信息，通过最速下降法进行水平集函数的迭代更新，但是，该优化设计方法需要300-800次优化迭代步才可获得可行设计，设计效率低下。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其基于现有结构拓扑优化设计方法的特点，研究及设计了一种兼具稳定性及高效性的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法。所述启发式结构离散拓扑优化设计方法采用离散设计变量，其取值1或者0对应材料的有无，具有明确的物理意义，同时，所述启发式结构离散拓扑优化设计方法能够保证在有限优化迭代步数内得到结构整体应力水平有效较低的设计方案，兼具稳定性及高效性。
为实现上述目的，本发明提供了一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，该启发式结构离散拓扑优化设计方法包括以下步骤：
(1)对待优化结构的设计域进行有限元离散，每一个有限元离散单元上对应一个离散拓扑设计变量，并对有限元模型施加位移及载荷边界条件以进行有限元分析，由此计算获得位移结构响应及应力结构响应；
(2)通过P范数法凝聚有限元离散单元以得到全局应力测度，并求解得到伴随解；
(3)计算获得有限元离散单元的灵敏度指数，并对获得的灵敏度指数进行过滤及平均处理；
(4)根据设定的材料去除率、删除材料的恢复率及步骤三得到的灵敏度指数计算当前优化迭代步对应的许用材料用量、材料增长的阈值及材料去除的阈值，进而更新所述离散拓扑设计变量；
(5)对更新后的离散拓扑设计变量进行过滤处理，离散拓扑设计变量的过滤权重通过设计变量过滤半径进行控制；
(6)根据步骤(5)得到的离散拓扑设计变量更新有限元模型的单元材料模型，重复步骤(1)至(5)直至许用材料用量分数达到设定的许用材料用量分数且优化构型稳定收敛。
进一步地，所述离散拓扑设计变量xi＝0/1，其中，0指示该有限元离散单元没有材料，1指示该有限元离散单元具有材料，i表示有限元离散单元编号。
进一步地，所述全局应力测度由以下公式计算获得：
式中，σPN为全局应力测度，σvm，i为第i个有限元离散单元的von-Mises应力，nel为有限元离散单元的总数，p是应力范数参数。
进一步地，所述伴随解由以下公式计算获得：
式中，λ为伴随解，K为结构的整体刚度矩阵，D0是实体材料的弹性矩阵，Bi和Li分别是第i个有限元离散单元的应变-位移矩阵和自由度变换(整体到单元)矩阵，V是对应von-Mises应力的系数变换矩阵，σi是第i个有限元离散单元的应力向量。
进一步地，所述灵敏度指数是由以下公式计算获得的：
式中，αi、ui和λi分别为第i个有限元离散单元的灵敏度指数、位移向量和伴随解向量，ki0是第i个有限元离散单元为实体材料时的刚度矩阵。
进一步地，所述离散拓扑设计变量的更新是依据以下公式进行的：
其中，和
分别为材料增长的阈值及材料去除的阈值，(l)为优化迭代步。
进一步地，对所述灵敏度指数进行过滤时采用的灵敏度指数过滤权重
其由过滤半径rsen和单元间中心距离Δ(i，j)构成；对所述离散拓扑设计变量进行过滤时采用的过滤权重由设计变量过滤半径rden及单元间中心距离Δ(i，j)构成。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法主要具有以下有益效果：
1.采用离散拓扑设计变量，其取值1或0对应材料的有无，具有明确的物理意义；
2.采用的启发式优化策略，能够保证在有限优化迭代步数内得到结构整体应力水平有效降低的设计方案，兼具稳健性和高效性；
3.所述启发式结构离散拓扑优化设计方法简单，易于实施，灵活性较高，适用性较强。
附图说明
图1是本发明较佳实施方式提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法的流程示意图；
图2是采用图1中的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法进行优化设计的L型悬臂梁的结构及尺寸示意图；
图3是图2中的L型悬臂梁采用图1中的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法进行优化设计得到的设计构型示意图；
图4是图2中的L型悬臂梁采用传统的基于刚度的优化设计方法进行优化设计得到的设计构型示意图；
图5中的(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i)、(j)分别是图2中的L型悬臂梁采用图1中的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法进行优化设计的第1步、第2步、第5步、第11步、第20步、第25步、第29步、第34步、第41步及第47步的拓扑优化设计示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
请参阅图1，本发明较佳实施方式提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其采用离散设计变量，离散设计变量取值1或者0对应材料的有无，具有明确的物理意义，同时，所述启发式结构离散拓扑优化设计方法能够保证在有限优化迭代步数内得到结构整体应力水平有效较低的设计方案，兼具稳定性及高效性。
所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法主要包括以下步骤：
步骤一，对待优化结构的设计域进行有限元离散，每一个有限元离散单元上对应一个离散拓扑设计变量，并对有限元模型施加位移及载荷边界条件以进行有限元分析，由此计算获得位移结构响应及应力结构响应。
具体地，对待优化结构的设计域进行有限元离散，每一个有限元离散单元上对应定义一个离散拓扑设计变量(xi＝0/1)，其中0指示该有限元离散单元没有材料，1指示该有限元离散单元具有材料，i表示有限元离散单元编号，并对有限元模型施加位移和载荷边界条件，以进行有限元分析，由此计算位移、应力等静态结构响应。
步骤二，通过P范数法凝聚有限元离散单元以得到全局应力测度，并求解得到伴随解。具体地，通过P范数法凝聚有限元离散单元以得到全局应力测度，所述全局应力测度是由公式(1)计算获得的。
式中，σPN为全局应力测度，σvm，i为第i个有限元离散单元的von-Mises应力，nel为有限元离散单元的总数，p是应力范数参数。
所述伴随解是由公式(2)计算获得的：
式中，λ为伴随解，K为结构的整体刚度矩阵，D0是实体材料的弹性矩阵，Bi和Li分别是第i个有限元离散单元的应变-位移矩阵和自由度变换(整体到单元)矩阵，V是对应von-Mises应力的系数变换矩阵，σi是第i个有限元离散单元的应力向量。
步骤三，计算获得有限元离散单元的灵敏度指数，并对获得的灵敏度指数进行过滤及平均处理。
具体地，所述灵敏度指数是通过公式(3)计算获得的：
式中，αi、ui和λi分别为第i个有限元离散单元的灵敏度指数、位移向量和伴随解向量，ki0是第i个有限元离散单元为实体材料时的刚度矩阵。
对所述灵敏度指数进行过滤时采用的灵敏度指数过滤权重
由过滤半径rsen和单元间中心距离Δ(i，j)构成，其中上标(l)表示优化迭代步。
步骤四，根据设定的材料去除率、删除材料的恢复率及步骤三得到的灵敏度指数计算当前优化迭代步对应的许用材料用量、材料增长的阈值及材料去除的阈值，进而更新所述离散拓扑设计变量。
所述离散拓扑设计变量的更新是依据公式(6)进行的，其中
和
分别为材料增长的阈值及材料去除的阈值。
步骤五，对更新后的离散拓扑设计变量进行过滤处理，离散拓扑设计变量的过滤权重通过设计变量过滤半径rden进行控制。具体地，对所述离散拓扑设计变量进行过滤时采用的过滤权重由设计变量过滤半径rden及单元间中心距离Δ(i，j)构成
步骤六，根据步骤五得到的离散拓扑设计变量更新有限元模型的单元材料模型，重复步骤一至步骤五直至许用材料用量分数达到设定的许用材料用量分数且优化构型稳定收敛。
本实施方式中，所述许用材料用量分数、所述材料去除率及所述删除材料的恢复率都是在步骤一之前预先设定的。
请参阅图2至图5，以下以L型悬臂梁结构为拓扑优化设计对象对本发明提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法进行进一步详细说明，具体包括以下步骤：
S1，设定L型悬臂梁的许用材料用量分数、材料去除率及删除材料的恢复率分别为40％、2％和0.5％。
S2，通过几何布尔操作从边长为200毫米的正方形平面删减右上角边长为80毫米的正方形以得到L型平面设计域，将该设计域均匀离散成25600个边长为1毫米的四节点正方形单元，考虑平面应力假设，每一个单元上对应定义一个离散拓扑设计变量(xi＝0/1)，材料的杨氏模量和泊松比分别为1MPa和0.3，L型悬臂梁顶端固定，集中载荷4N均匀施加在右上角的8个有限元节点上，对结构进行有限元分析，继而计算位移、应力等静态结构响应。
S3，应力范数参数设为6，通过P范数法凝聚单元应力得到全局应力测度σPN。
S4，求解伴随问题，获得伴随解λ。
S5，计算每个离散拓扑设计变量对应的灵敏度指数。
S6，灵敏度指数的过滤半径设为2mm，对灵敏度指数进行过滤和平均处理。
S7，根据定义的材料去除率和删除材料的恢复率，结合灵敏度指数来计算当前优化迭代步的许用材料用量、以及材料增长和去除的阈值，进而更新设计变量。
S8，设计变量的过滤半径设为6mm，对更新后的设计变量进行过滤处理。
S9，根据更新后的设计变量值更新有限元模型的单元材料模型，重复步骤S2-S8直至许用材料用量分数得到满足且拓扑构型稳定收敛。
参见表1，由优化结果可以看出，采用本发明提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法、以结构整体应力水平作为优化目标获得的设计构型明显不同于以刚度为优化目标的设计构型。传统刚度最大化设计构型在L型悬臂梁的拐角处形成直角，产生了应力集中现象；相比之下，本发明以降低结构的整体应力水平为设计目标，L型悬臂梁的拐角处形成平缓过渡结构，有效避免了应力集中，大幅度降低了结构的最大应力。与此同时，本发明提出的基于应力的启发式结构拓扑优化设计方法所需的优化迭代步数显著减少，在有限优化迭代步数内即可获得有效的设计方案，兼具稳健性和高效性。
表1，优化结果对比表
| 表征量 | 传统刚度优化设计结果 | 本发明方法应力优化结果 |
| 最大应力 | 2.44MPa | 1.51MPa |
| 材料用量分数 | 40％ | 40％ |
本发明提供的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，所述启发式结构离散拓扑优化设计方法采用离散设计变量，其取值1或者0对应材料的有无，具有明确的物理意义，同时，所述启发式结构离散拓扑优化设计方法能够保证在有限优化迭代步数内得到结构整体应力水平有效较低的设计方案，兼具稳定性及高效性。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)对待优化结构的设计域进行有限元离散，每一个有限元离散单元上对应一个离散拓扑设计变量，并对有限元模型施加位移及载荷边界条件以进行有限元分析，由此计算获得位移结构响应及应力结构响应；
(2)通过P范数法凝聚有限元离散单元以得到全局应力测度，并求解得到伴随解；
(3)计算获得有限元离散单元的灵敏度指数，并对获得的灵敏度指数进行过滤及平均处理；
(4)根据设定的材料去除率、删除材料的恢复率及步骤(3)得到的灵敏度指数计算当前优化迭代步对应的许用材料用量、材料增长的阈值及材料去除的阈值，进而更新所述离散拓扑设计变量；
(5)对更新后的离散拓扑设计变量进行过滤处理，离散拓扑设计变量的过滤权重通过设计变量过滤半径进行控制；
(6)根据步骤(5)得到的离散拓扑设计变量更新有限元模型的单元材料模型，重复步骤(1)至(5)直至许用材料用量分数达到设定的许用材料用量分数且优化构型稳定收敛。
2.如权利要求1所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：所述离散拓扑设计变量xi＝0或1，其中，0指示该有限元离散单元没有材料，1指示该有限元离散单元具有材料，i表示有限元离散单元编号。
3.如权利要求2所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：所述全局应力测度由以下公式计算获得：
式中，σPN为全局应力测度，σvm，i为第i个有限元离散单元的von-Mises应力，nel为有限元离散单元的总数，p是应力范数参数。
4.如权利要求3所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：所述伴随解由以下公式计算获得：
式中，λ为伴随解，K为结构的整体刚度矩阵，D0是实体材料的弹性矩阵，Bi和Li分别是第i个有限元离散单元的应变-位移矩阵和自由度变换矩阵，V是对应von-Mises应力的系数变换矩阵，σi是第i个有限元离散单元的应力向量。
5.如权利要求4所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：所述灵敏度指数是由以下公式计算获得的：
式中，αi、ui和λi分别为第i个有限元离散单元的灵敏度指数、位移向量和伴随解向量，ki0是第i个有限元离散单元为实体材料时的刚度矩阵。
6.如权利要求5所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：所述离散拓扑设计变量的更新是依据以下公式进行的：
其中，
和分别为材料增长的阈值及材料去除的阈值，(l)为优化迭代步。
7.如权利要求1-6任一项所述的基于应力的启发式结构离散拓扑优化设计方法，其特征在于：对所述灵敏度指数进行过滤时采用的灵敏度指数过滤权重
其由过滤半径rsen和单元间中心距离Δ(i，j)构成；对所述离散拓扑设计变量进行过滤时采用的过滤权重由设计变量过滤半径rden及单元间中心距离Δ(i，j)构成。
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