CN107066663B - 一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法。首先建立一个桁架结构的基结构，即在设计域内所有的节点上都连上杆件。利用顶点组合法得到应力的上下界，再基于非概率集合可靠性指标，得到应力的非概率集合可靠度，将其作为约束条件带入更新设计变量的迭代方程中，使得桁架结构各杆的横截面积不断变化，直至达到收敛条件为止。各杆的横截面积在变化的过程中需要满足如下的条件：如果某单元没有达到其尺寸容许的上下限，那么该单元至少在某一工况下达到容许应力的可靠性上限，也即满可靠性应力状态。收敛条件为：如果前后两次加载各杆的横截面积变化小于容差，即可认为收敛。本发明基于该方法拓扑优化得到的结构更为安全。

Description

一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化 方法

技术领域

本发明涉及桁架结构拓扑优化涉及的技术领域，具体涉及一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法。

背景技术

结构优化设计的内涵是指：在给定约束条件下，按某种目标，如重量最轻、成本最低、刚度最大等，求出最好的设计方案，也称为结构最佳设计或结构最优设计。

结构优化按照设计变量的类型和求解问题的难易程度可分为尺寸优化(尺寸变量)、形状优化(形状变量)、和拓扑优化(拓扑变量)三个层次，分别对应于三个不同的产品设计阶段，即详细设计、基本设计及概念设计三个阶段，覆盖了产品的完整设计过程。

拓扑优化的的含义是：在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，使结构能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同时使结构的某种性态指标达到最优。拓扑优化处于结构的概念设计阶段，其优化结果是一切后续设计的基础，因而也是最重要的一种优化方法，其在航空航天、船舶、机械工程等领域有相当重要的用途。同时它也是结构优化领域最具挑战性的研究课题之一，它已成为结构设计师以及学者关注的研究热点。

历经数十年的不懈研究，结构拓扑优化方法相关的研究工作不断的深入发展并被广泛应用到结构设计的各个领域。结构拓扑优化的研究和应用可以分为离散结构的拓扑优化和连续体结构拓扑优化。本发明所涉及的为离散结构的拓扑优化。

现有的拓扑优化研究主要是针对所有参数都是确定的情况。然而在实际工程中，由于材料特性、结构的几何参数和外载荷等均具有不确定性，通过确定性拓扑优化得到的结构在服役过程中很有可能会失效，因而考虑不确定性因素的结构优化研究日益引起重视。基于可靠性的设计是处理不确定性的有效途径。目前，基于可靠性的桁架结构拓扑优化研究才刚刚开始，这些研究大多将这些不确定性视为服从某一概率分布的函数。

然而在很多情况下，不确定性参数的精确概率分布无法得到，往往只能是得到参数不确定性的界限，即不确定性参数的一个区间范围。因而考虑基于非概率(区间)可靠性的桁架结构具有很强的现实意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：本发明提供一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法。该方法主要针对仅仅有应力约束和尺寸上下限的约束的情况，并考虑结构在实际的服役过程中所受到的载荷等参数的区间不确定性效应，通过该方法，可以使得通过拓扑优化得到的结构有更好的安全性能。

本发明采用的技术方案为：一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法包括如下步骤：

第一步：推导确定性的桁架结构横截面积的迭代公式。首先根据桁架结构的一般特点，建立含优化模型的数学表达式。基于满应力准则的桁架结构拓扑优化的数学表达列式如下：

s.t.:

0＜A≤A_i，i＝1，...，N

Bf＝F

其中ρ为材料密度，A为杆的截面积，A为杆横截面积的下界，f为各杆所受的轴力，σ为各杆所受的应力，为各杆所能承受的极限应力，B为角度矩阵，F为在直角坐标系下各节点受的力。以上方程组的含义为：在满足应力不超过极限应力、横截面积不超过容许上下限以及满足力平衡的条件下，桁架结构的总质量最小。基于以上的优化模型方程组建立拉格朗日方程，方程如下所示：

其中α_i,μ_i,λ是拉格朗日乘子。将拉格朗日方程对其每一个变量求导可以得到KKT条件，其具体表述如下方程组所示：

μ_i(A-A_i)＝0，μ_i≥0，i＝1，...，N

0＜A≤A_i，i＝1，...，N

Bf＝F

再对各杆的横截面积以及应力状况进行分析。假设第i根杆的横截面积大于它的下界，即A≤A_i根据以上的KKT条件我们可以得到μ_i＝0，KKT条件中的第二个方程可以做如下简化：

进一步假设第i根杆的应力小于它的极限应力，即我们可以得到α_i＝0，KKT条件中的第二个方程可以进一步简化为：

因为横截面积A与角度矩阵B独立，因而成立，这意味着ρ_iL_i＝0，这与实际情况显然不符合。综上，如果一个结构是最优的，它一定满足以下条件：

最后构建桁架结构拓扑优化横截面积变化的迭代格式。通过以上分析可以得到：当一个结构是最优结构时，如果杆的应力达到设计上限，那么其横截面积一定大于其下界；如果杆的横截面积达到其下界，那么其应力一定小于其上界。根据以上的条件，可以得到如下的杆的横截面积的迭代格式：

其中θ是为了能够同时保证迭代的收敛速度和稳定性而引入的参数，当迭代开始时，θ可以取较大的值以提高收敛速度，到了迭代后期，可减小θ的值以保证迭代的收敛性。

第二步：考虑载荷的不确定性(由分析易知弹性模量的不确定性对结构的应力没有影响)，进而得到应力变化的区间。将载荷的不确定性用一个区间表示F^I＝[F^d,F^u]。其中F^d表示载荷向量的下界，F^u表示载荷的上界。应力的区间表达式如下：

σ^I＝BK^-1F^IE

一般直接对区间运算较为困难，分析上式可以发现其单调性较好，因而可以以载荷为变量，采用顶点组合法，对结构进行有限元计算。通过计算可以得到各杆应力的中心值σ^c，通过大小比较确定各杆应力的上界σ^d和下界σ^u。

第三步：根据得到的及应力的上下界，结合非概率集合可靠性模型，得到应力的非概率集合可靠度：

其中R^I表示应力的容许区间值，在本发明中，将应力的容许值当成一个确定的值，即R^I的区间宽度为0，也即S^I代表应力实际区间值，在本发明中S^I＝σ^I＝[σ^d,σ^u]；r(R^I,S^I)表示在当前参数下结构的可靠度。

第四步：根据上面所给定的可靠度计算公式，计算各杆当前的应力可靠度再根据实际结构的安全需求给定一个需要满足可靠度的下界r_d，将应力可靠度和可靠度的下界带入之前确定性结构的迭代公式中，可以得到基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化迭代格式：

根据以上的迭代格式再经过一系列的循环迭代之后就可以得到最终的桁架结构。

其中，所述步骤一中首先考虑确定性的材料和载荷等，进而通过拉格朗日方程和相应的KKT条件推导出确定性的桁架结构横截面积更新迭代公式。

其中，所述步骤二中考虑了载荷的区间不确定性，并以区间矩阵和区间向量的形式表示出来。

其中，所述步骤三中使用非概率集合可靠性模型确定某一应力水平下的结构的可靠度。

其中，所述步骤四中使用步骤三的可靠度计算公式得到当前应力水平下对应的可靠度再根据给定可靠度的下界r_d，推导出基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化迭代格式，再通过此迭代格式，经过一系列的循环迭代之后就可以得到最终的桁架结构。

本发明的原理在于：

一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法。该方法主要针对仅仅有应力约束和尺寸上下限的约束的情况，并考虑结构在实际的服役过程中所受到的载荷等参数的不确定性效应。该优化方法首先建立一个桁架结构的基结构，即在设计域内所有的节点上都连上杆件。利用顶点组合法得到应力的上下界，再基于非概率集合可靠性指标，得到应力的非概率集合可靠度，将其作为约束条件带入更新设计变量的迭代方程中，使得桁架结构各杆的横截面积不断变化，直至达到收敛条件为止。各杆的横截面积在变化的过程中需要满足如下的条件：如果某单元没有达到其尺寸容许的上下限，那么该单元至少在某一工况下达到容许应力的可靠性上限，也即满可靠性应力状态。收敛条件为：如果前后两次加载各杆的横截面积变化小于容差，即可认为收敛。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明通过考虑参数的非概率区间不确定性，在传统的启发式横截面积迭代公式的基础上，提出了一种新的基于非概率可靠性的启发式横截面积迭代公式。

(2)本发明提出了一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法考虑结构参数的区间不确定性，并通过非概率可靠性约束优化过程。在实际工程中参数的概率分布往往难以获得，一般只能得到参数的区间。因而该方法有较强的实际意义。

附图说明

图1是运用本发明对桁架结构拓扑优化的流程图；

图2是本发明提出的非概率可靠性模型中的应力-强度非概率集合干涉模型示意图；

图3是应力-强度干涉模型的标准化空间示意图和优化特征应力的临界斜率示意图，其中，图3(a)为应力-强度干涉模型的标准化空间示意图，图3(b)为优化特征应力的临界斜率示意图；

图4是本发明所实施例的基结构图；

图5是运用本发明在不同可靠度下得到的桁架结构的最优拓扑构型，其中，图5(a)中确定性优化结果，图5(b)中r_d＝0.90，图5(c)中r_d＝0.99；

图6是运用本发明在不同可靠度迭代得到的收敛曲线示意图，其中，图6(a)中确定性优化结果，图6(b)中r_d＝0.90，图6(c)中r_d＝0.99。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明为一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：

第一步：推导确定性的桁架结构横截面积的迭代公式。首先根据桁架结构的一般特点，建立含优化模型的数学表达式。基于满应力准则的桁架结构拓扑优化的数学表达列式如下：

s.t.:

0＜A≤A_i，i＝1，...，N

Bf＝F

其中ρ为材料密度，A为杆的截面积，A为杆横截面积的下界，f为各杆所受的轴力，σ为各杆所受的应力，为各杆所能承受的极限应力，B为角度矩阵，F为在直角坐标系下各节点受的力。以上方程组的含义为：在满足应力不超过极限应力、横截面积不超过容许上下限以及满足力平衡的条件下，桁架结构的总质量最小。基于以上的优化模型方程组建立拉格朗日方程，方程如下所示：

其中α_i,μ_i,λ是拉格朗日乘子。将拉格朗日方程对其每一个变量求导可以得到KKT条件，其具体表述如下方程组所示：

μ_i(A-A_i)＝0，μ_i≥0，i＝1，...，N

0＜A≤A_i，i＝1，...，N

Bf＝F

再对各杆的横截面积以及应力状况进行分析。假设第i根杆的横截面积大于它的下界，即A＜A_i，根据以上的KKT条件我们可以得到μ_i＝0，KKT条件中的第二个方程可以做如下简化：

进一步假设第i根杆的应力小于它的极限应力，即我们可以得到α_i＝0，KKT条件中的第二个方程可以进一步简化为：

因为横截面积A与角度矩阵B独立，因而成立，这意味着ρ_iL_i＝0，这与实际情况显然不符合。综上，如果一个结构是最优的，它一定满足以下条件：

最后构建桁架结构拓扑优化横截面积变化的迭代格式。通过以上分析可以得到：当一个结构是最优结构时，如果杆的应力达到设计上限，那么其横截面积一定大于其下界；如果杆的横截面积达到其下界，那么其应力一定小于其上界。根据以上的条件，可以得到如下的杆的横截面积的迭代格式：

其中θ是为了能够同时保证迭代的收敛速度和稳定性而引入的参数，当迭代开始时，θ可以取较大的值以提高收敛速度，到了迭代后期，可减小θ的值以保证迭代的收敛性。

第二步：考虑载荷的不确定性(由分析易知弹性模量的不确定性对结构的应力没有影响)，进而得到应力变化的区间。将载荷的不确定性用一个区间表示F^I＝[F^d,F^u]。其中F^d表示载荷向量的下界，F^u表示载荷的上界。应力的区间表达式如下：

σ^I＝BK^-1F^IE

一般直接对区间运算较为困难，分析上式可以发现其单调性较好，因而可以以载荷为变量，采用顶点组合法，对结构进行有限元计算。通过计算可以得到各杆应力的中心值σ^c，通过大小比较确定各杆应力的上界σ^d和下界σ^u。

第三步：根据得到的及应力的上下界，结合非概率集合可靠性模型，如图2和图3所示，得到应力的非概率集合可靠度：

其中R^I表示应力的容许区间值，在本发明中，将应力的容许值当成一个确定的值，即R^I的区间宽度为0，也即S^I代表应力实际区间值，在本发明中S^I＝σ^I＝[σ^d,σ^u]；r(R^I,S^I)表示在当前参数下结构的可靠度。

第四步：根据上面所给定的可靠度计算公式，计算各杆当前的应力可靠度再根据实际结构的安全需求给定一个需要满足可靠度的下界r_d，将应力可靠度和可靠度的下界带入之前确定性结构的迭代公式中，可以得到基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化迭代格式：

根据以上的迭代格式再经过一系列的循环迭代之后就可以得到最终的桁架结构。

实施例：

为了更充分地了解本发明的特点及其解决含有区间不确定性的桁架结构的可靠性拓扑优化问题的能力，现用本发明对如图4所示的桁架结构的基结构进行拓扑优化设计。

基结构水平方向包含有十二个节点，竖直方向包含有三个节点，任意两个节点之间用相同初始横截面积的杆件相连，基结构总共包含有393根杆，各杆的初始参数如表1所示。

表1

其中E为各杆的弹性模量，为各杆的屈服强度，A_ini为迭代开始时各杆的横截面积，A_max为所容许的最大的横截面积，A_min为为了防止刚度矩阵奇异各杆所容许的最小横截面积，F₁和F₂为加载的区间范围。

其中实施例中的约束位置和加载点位置如图4所示。约束形式为铰支约束，加载形式为单点加载。

该实例给出了不考虑载荷不确定性影响的拓扑优化结果以及采用两种不同水平的可靠度设计得到的拓扑优化结果。图5给出了确定性拓扑优化和不同可靠度约束下拓扑优化的最终构型图。图6给出了确定性拓扑优化和不同可靠度约束下拓扑优化目标函数的迭代历程曲线。从图中可以看出，基于可靠性拓扑优化的构型相对于确定性的拓扑优化的更加粗实一些，结构更为安全。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于其它基于满应力约束准则的桁架结构拓扑优化问题的领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (5)

1.一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于，该方法实现步骤如下：

第一步：推导确定性的桁架结构横截面积的迭代公式，首先根据桁架结构的一般特点，建立含优化模型的数学表达式，基于满应力准则的桁架结构拓扑优化的数学表达列式如下：

s.t.:

0＜A≤A_i,i＝1,...,N

Bf＝F

其中i为杆的编号，N为基结构中杆件的总数目，ρ为材料密度，A为杆的截面积，A为杆横截面积的下界，f为各杆所受的轴力，σ为各杆所受的应力，为各杆所能承受的极限应力，B为角度矩阵，F为在直角坐标系下各节点受的力，以上方程组的含义为：在满足应力不超过极限应力、横截面积不超过容许上下限以及满足力平衡的条件下，桁架结构的总质量最小，基于以上的优化模型方程组建立拉格朗日方程，方程如下所示：

其中α_i,μ_i,λ是拉格朗日乘子，将拉格朗日方程对其每一个变量求导得到KKT条件，其具体表述如下方程组所示：

μ_i(A-A_i)＝0,μ_i≥0,i＝1,...,N

0＜A≤A_i,i＝1,...,N

Bf＝F

再对各杆的横截面积以及应力状况进行分析，假设第i根杆的横截面积大于它的下界，即A＜A_i，根据以上的KKT条件得到μ_i＝0，KKT条件中的第二个方程做如下简化：

进一步假设第i根杆的应力小于它的极限应力，即得到α_i＝0，KKT条件中的第二个方程进一步简化为：

因为横截面积A与角度矩阵B独立，因而成立，这意味着ρ_iL_i＝0，这与实际情况显然不符合，综上，如果一个结构是最优的，它一定满足以下条件：

最后构建桁架结构拓扑优化横截面积变化的迭代公式，通过以上分析得到：当一个结构是最优结构时，如果杆的应力达到设计上限，那么其横截面积一定大于其下界；如果杆的横截面积达到其下界，那么其应力一定小于其上界，根据以上的条件，得到如下的杆的横截面积的迭代公式：

其中θ是为了能够同时保证迭代的收敛速度和稳定性而引入的参数，当迭代开始时，θ取较大的值以提高收敛速度，到了迭代后期，减小θ的值以保证迭代的收敛性；

第二步：考虑载荷的不确定性，进而得到应力变化的区间，将载荷的不确定性用一个区间表示F^I＝[F^d,F^u]，其中F^d表示载荷向量的下界，F^u表示载荷的上界，应力的区间表达式如下：

σ^I＝BK^-1F^IE

以载荷为变量，采用顶点组合法，对结构进行有限元计算，通过计算得到各杆应力的中心值σ^c，通过大小比较确定各杆应力的上界σ^d和下界σ^u；

第三步：根据得到的及应力的上下界，结合非概率集合可靠性模型，得到应力的非概率集合可靠度：

其中R^I表示应力的容许区间值，将应力的容许值当成一个确定的值，即R^I的区间宽度为0，也即S^I代表应力实际区间值，S^I＝σ^I＝[σ^d,σ^u]；r(R^I,S^I)表示在当前参数下结构的可靠度；

第四步：根据上面所给定的可靠度计算公式，计算各杆当前的应力可靠度r_i ^σ，再根据实际结构的安全需求给定一个需要满足可靠度的下界r_d，将应力可靠度和可靠度的下界带入之前确定性结构的迭代公式中，得到基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化迭代公式：

根据以上的迭代公式再经过一系列的循环迭代之后就得到最终的桁架结构。

2.根据权利要求1所述的一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤一中首先考虑确定性的材料和载荷，进而通过拉格朗日方程和相应的KKT条件推导出确定性的桁架结构横截面积更新迭代公式。

3.根据权利要求1所述的一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤二中考虑了载荷的区间不确定性，并以区间矩阵和区间向量的形式表示出来。

4.根据权利要求1所述的一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤三中使用非概率集合可靠性模型确定某一应力水平下的结构的可靠度。

5.根据权利要求1所述的一种基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四中使用步骤三的可靠度计算公式得到当前应力水平下对应的可靠度r_i ^σ，再根据给定可靠度的下界r_d，推导出基于满应力约束准则的桁架结构非概率可靠性拓扑优化迭代公式，再通过此迭代公式，经过一系列的循环迭代之后就得到最终的桁架结构。