CN110135063B - 一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法 - Google Patents

一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法 Download PDF

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CN110135063B CN201910402637.6A CN201910402637A CN110135063B CN 110135063 B CN110135063 B CN 110135063B CN 201910402637 A CN201910402637 A CN 201910402637A CN 110135063 B CN110135063 B CN 110135063B
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Abstract

本发明公开了一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，包括步骤：一、建立描述不确定性因素的多维椭球模型；二、获取不确定性因素的多维归一化等价椭球模型；三、获取不确定性因素的多维等价单位圆球模型；四、计算多维等价单位圆球模型的体积；五、确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数；六、获取具有单位系数向量的线性功能函数；七、计算串联桁架结构体系的非概率失效度。本发明通过逐次用一个失效模式等效结构体系中的两个失效模式，将求解多个失效模式失效域体积最终转化为求解两个失效模式失效域体积，从而给出结构体系失效度的点估计值，在保障足够精度的基础上有效降低了失效度求解过程的计算量。

Description

一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法
技术领域
本发明属于串联桁架结构体系非概率失效度计算技术领域，具体涉及一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法。
背景技术
桁架是由若干杆件铰接而成的结构体系，因其杆件仅受轴向拉力或压力，受力工况优于钢架、框架和排架等结构，更能够充分发挥材料的性能，从而节省材料、减轻重量，所以在大型工程机械和结构，如航空机械、起重机、桥梁和建筑等中被广泛应用。在设计和制造过程中，桁架结构会不可避免的存在与材料属性、几何尺寸、边界条件和载荷等相关的不确定性，若忽略这些参数的不确定性就会导致所设计的结构因尺寸偏小而不能满足实际的可靠性要求。为科学地考虑结构中的不确定性，现已发展了概率可靠性分析、模糊可靠性分析和非概率可靠性分析三种不确定性分析技术。其中非概率可靠性分析技术以其所需试验样本点少、可靠性分析精度高等特点在一些试验难度大、试验成本高、可靠性要求也较高的领域备受青睐。鉴于此，非概率可靠性分析技术成为处理桁架结构中不确定性的有效途径，现有的非概率可靠性分析技术多是针对单失效模式结构，如构造函数法、一阶近似和二阶近似法等。但由于大型桁架结构的工况十分复杂，导致其往往存在多种失效模式，且桁架结构是一种典型的多失效模式串联的结构，而针对多失效模式结构的非概率可靠性分析技术尚不完善。尽管蒙特卡洛数值模拟的有效性在多失效模式结构可靠性分析的理论研究中得到验证，但因其计算量较大导致求解效率极低而难以应用于实际工程问题中。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于针对上述现有技术中的不足，提供一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，通过逐次用一个失效模式等效结构体系中的两个失效模式，将求解多个失效模式失效域体积最终转化为求解两个失效模式失效域体积，从而给出结构体系失效度的点估计值，在保障足够精度的基础上有效降低了失效度求解过程的计算量，解决了多失效模式构成的共失效域体积求解难的问题，其适用面广且应用前景广泛，便于推广使用。
为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立描述不确定性因素的多维椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素建立多维椭球模型，得到多维椭球模型
Figure GDA0004051080900000021
其中，X为不确定性因素向量且X＝(X1,X2,...,Xn)T，n为不确定性因素编号且n等于所述不确定性因素向量X的维数，
Figure GDA0004051080900000022
Xi为第i个不确定性因素，i为正整数且i的取值范围为1～n，
Figure GDA0004051080900000023
表示第i个不确定性因素Xi取值的区间，
Figure GDA0004051080900000024
为不确定性因素Xi的下界，
Figure GDA0004051080900000025
为不确定性因素Xi的上界，X0为多维椭球不确定域中心点向量且
Figure GDA0004051080900000026
Figure GDA0004051080900000027
为第i个不确定性因素Xi的取值区间中点，Ωx为用于确定多维椭球的形状和方向的多维椭球的特征矩阵且
Figure GDA0004051080900000028
ρij为第i个不确定性因素Xi和第j个不确定性因素Xj之间的相关系数，j为正整数且j的取值范围为1～n，且当i＝j时，ρij＝1，
Figure GDA0004051080900000029
为第i个不确定性因素Xi的区间半径且
Figure GDA00040510809000000210
Rn为n维的实数域；
步骤二、获取不确定性因素的多维归一化等价椭球模型，过程如下：
步骤201、不确定性因素向量的归一化处理：根据公式
Figure GDA00040510809000000211
获取不确定性因素向量X的不确定性因素归一化向量U，其中，U＝(U1,U2,...,Un)T，Ui为第i个不确定性因素Xi对应的归一化变量；
步骤202、构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素归一化向量U构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型
Figure GDA0004051080900000031
Ωu为不确定性因素归一化向量U在归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵且Ωu＝diag(XR)Ωxdiag(XR)，diag(XR)为以XR中元素为对角元素的n维对角矩阵；
步骤三、获取不确定性因素的多维等价单位圆球模型，过程如下：
步骤301、对不确定性因素归一化向量U在的归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure GDA0004051080900000032
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤302、采用数据处理器对多维归一化等价椭球模型转化得到不确定性因素在标准空间δ空间中的多维等价单位圆球模型Eδ＝{δδTδ≤1,δ∈Rn}，其中，δ为不确定性因素归一化向量U在标准空间δ空间的标准化向量且
Figure GDA0004051080900000033
标准空间δ空间的维数为n，δi为Xi在标准空间δ空间中的标准化变量；
得不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA0004051080900000034
步骤四、根据公式
Figure GDA0004051080900000035
计算多维等价单位圆球模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数；
步骤五、确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数：根据桁架结构失效准则确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中，l为结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为结构体系失效模式的总个数；
步骤六、获取具有单位系数向量的线性功能函数：对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)在标准空间δ空间中进行变形处理，过程如下：
步骤601、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)是否为不确定性因素向量X的线性函数：采用数据处理器调用一阶导数计算模块对功能函数gl(X)进行diff(gl(X),X)求导处理，当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的线性函数，执行步骤602；当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为非常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的非线性函数，执行步骤603；
步骤602、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的线性函数，gl(X)可记为：
Figure GDA0004051080900000041
其中，al0表示功能函数gl(X)的常数项，al表示功能函数gl(X)中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA0004051080900000042
对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000043
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的常数项且
Figure GDA0004051080900000044
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的标准化向量的系数向量且
Figure GDA0004051080900000045
步骤603、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的非线性函数，第i个不确定性因素Xi的取值区间中点
Figure GDA0004051080900000046
作为泰勒公式的展开点对功能函数进行泰勒一阶展开得到第l个结构体系失效模式的非线性功能函数gl(X)在区间中点的线性近似功能函数
Figure GDA0004051080900000047
且
Figure GDA0004051080900000048
其中，al0表示线性近似功能函数
Figure GDA0004051080900000049
的常数项，al表示线性近似功能函数
Figure GDA00040510809000000410
中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA00040510809000000411
对串联桁架结构体系各失效模式的线性近似功能函数
Figure GDA00040510809000000412
进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000051
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000052
的常数项且
Figure GDA0004051080900000053
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000054
的标准化向量的系数向量且
Figure GDA0004051080900000055
步骤604、根据公式
Figure GDA0004051080900000056
获取具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)，其中，αl为线性功能函数Gl(δ)中标准化向量δ的单位化系数向量且αl＝(αl1,αl2,…,αln)T，αli为系数向量bl中bli单位化后的系数且
Figure GDA0004051080900000057
βl为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000058
的常数项bl0单位化后的系数且
Figure GDA0004051080900000059
当Gl(δ)＝0时，则Gl(δ)＝0表示一个平面，αl为该平面的单位法向量，βl为具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)的第l个失效模式的非概率可靠性指标；
步骤七、计算串联桁架结构体系的非概率失效度，过程如下：
步骤701、根据公式
Figure GDA00040510809000000510
计算m个结构体系失效模式之中第l个结构体系失效模式和第q个结构体系失效模式之间的相关系数ρlq，其中，q＝1，2，...，m且q≠l；
步骤702、由步骤701中确定的相关系数之中选出相关系数最大时，对应的两个结构体系失效模式和对应的两个具有单位系数向量的线性功能函数，将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的一个视为G1(δ)且
Figure GDA00040510809000000511
将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的另一个视为G2(δ)且
Figure GDA00040510809000000512
α1为G1(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α1＝(α11,α12,…,α1n)T，α2为G2(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α2＝(α21,α22,…,α2n)T，β1为G1(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标，β2为G2(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标；
步骤703、计算一阶失效域体积和二阶共失效域体积，过程如下：
步骤7031、G1(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf1，G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf2，其中，
Figure GDA0004051080900000061
Figure GDA0004051080900000062
k为正整数；
步骤7032、G1(δ)＜0且G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入二阶失效域体积Vf12，根据二阶失效域判断准则
Figure GDA0004051080900000063
判断二阶失效域体积Vf12是否存在，其中，γ为G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式的失效平面靠近二阶共失效域一侧的夹角，γ为γ的下界且γ＝π-(arccosβ1+arccosβ2)，
Figure GDA0004051080900000064
为γ的上界且
Figure GDA0004051080900000065
C表示区间(0,min(Vf1,Vf2))中的一个常数；
当
Figure GDA0004051080900000066
且β1,β2∈(0,1)同时满足时，
Figure GDA0004051080900000071
r为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极径的积分变量，θ为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极角的积分变量，ξ＝cosγ，Vn-2表示n-2维等价单位圆球模型的体积；
步骤704、根据公式Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，计算串联桁架结构体系中由G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式构成的失效域体积Vfs，由于Vf1为关于β1的函数，Vf2为关于β2的函数，Vf12为关于β1，β2和γ的函数，因此另
Figure GDA0004051080900000072
Vf12＝φ(β1,β2,γ)，则
Figure GDA0004051080900000073
将G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效为综合等效失效模式，则
Figure GDA0004051080900000074
其中，Ve为综合等效失效模式对应的一阶失效域体积，βp为综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标；
根据综合等效失效模式与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效关系，得
Figure GDA0004051080900000075
通过求解反函数，即可求得综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标
Figure GDA0004051080900000076
步骤705、分别给G1(δ)和G2(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure GDA0004051080900000077
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G1(δ+ε)的非概率可靠性指标为β1(ε)且
Figure GDA0004051080900000078
给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G2(δ+ε)的非概率可靠性指标为β2(ε)且
Figure GDA0004051080900000079
代入
Figure GDA00040510809000000710
得
Figure GDA0004051080900000081
采用数据处理器调用taylor(βp(ε),ε',Order',2)模块对βp(ε)在ε＝0处进行泰勒一阶展开得
Figure GDA0004051080900000082
其中，
Figure GDA0004051080900000083
为βp(ε)泰勒一阶展开后一次项系数组成的向量，对
Figure GDA0004051080900000084
按公式
Figure GDA0004051080900000085
进行单位化，其中，αp表示
Figure GDA0004051080900000086
单位化后的系数向量，αpi(i＝1,2,…,n)表示
Figure GDA0004051080900000087
中第i个微量εi对应的单位化后的系数，可得βp(ε)系数向量单位化后的泰勒一阶展开式，即
Figure GDA0004051080900000088
另G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure GDA0004051080900000089
其中，αe为Ge(δ)的单位系数向量且αe＝(αe1,αe2,…,αen)T，βe表示Ge(δ)的非概率可靠性指标，同样给Ge(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure GDA00040510809000000810
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后Ge(δ)的非概率可靠性指标为βe(ε)且
Figure GDA00040510809000000811
根据G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式与Ge(δ)对应的失效模式是同一等效失效模式，则βe(ε)＝βp(ε)，即
Figure GDA00040510809000000812
又因增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T仅为任意微量，从而有βe＝βp，则
Figure GDA00040510809000000813
即可唯一确定一个与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式具有等效性的综合确定等效失效模式，该综合确定等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure GDA00040510809000000814
步骤706、将综合确定等效失效模式与步骤702中除相关系数最大时对应的两个结构体系失效模式外的剩余的m-2个结构体系失效模式合并，得到m-1个结构体系失效模式，将m-1个结构体系失效模式视为新的m个结构体系失效模式，循环步骤701，直至最终只剩下两个结构体系失效模式，将最终两个结构体系失效模式的一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G1(δ)，将最终两个结构体系失效模式的另一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G2(δ)，执行步骤703，得到最终的一阶失效域体积Vf1、Vf2和最终的二阶共失效域体积Vf12，根据公式Vs＝Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，得到最终两个结构体系失效模式构成的串联桁架结构体系的失效域体积Vs，即整个串联桁架结构体系的失效域体积；
步骤707、根据公式
Figure GDA0004051080900000091
计算串联桁架结构体系的非概率失效度f。
上述的一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，其特征在于：所述不确定性因素包括串联桁架的材料属性、几何尺寸、边界条件以及载荷参数。
上述的一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，其特征在于：所述串联桁架的材料属性包括弹性模量、泊松比、拉压强度和质量密度；串联桁架的几何尺寸包括桁架横截面积、厚度和惯性矩。
上述的一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，其特征在于：所述结构体系失效模式的总个数m为不小于2的正整数。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
1、本发明采用多维椭球模型描述串联桁架结构体系中的不确定性因素，考虑了不确定性因素之间的相关性，采用标准化处理得到了多维等价单位圆球模型，使采用解析法计算椭球模型体积、一阶失效域体积和二阶共失效域体积成为可能，便于推广使用。
2、本发明近似求解串联桁架结构体系的失效域体积，将同时求解多个失效模式与多维等价单位圆球模型围成的失效域体积的问题转化为一系列求解两个失效模式与多维等价单位圆球模型围成的失效域体积，有效的降低了求解多个失效模式与多维等价单位圆球模型围成的失效域体积过程中的复杂程度，极大地提高了串联桁架结构体系非概率失效度求解的效率，可靠稳定，使用效果好。
3、本发明每次计算桁架结构体系失效模式中两两之间的相关系数，并选取其中具有最大相关系数的两个失效模式进行等效的方法，给出了串联桁架结构体系失效域体积的唯一解，并极大提高了求解的精度，使可靠性分析结果更加稳定可靠，具有更好的使用效果。
4、本发明方法步骤简单，充分考虑了工程实际需求，给出了更符合实际工程需要的结构体系非概率可靠性分析结果，适用面广且应用前景广泛，有效的弥补了现有技术仅能对单失效模式下的结构进行非概率可靠性分析的不足，拓展了结构非概率可靠性分析方法的范围，对结构体系的可靠性分析具有非常重要的意义。
综上所述，本发明通过逐次用一个失效模式等效结构体系中的两个失效模式，将求解多个失效模式失效域体积最终转化为求解两个失效模式失效域体积，从而给出结构体系失效度的点估计值，在保障足够精度的基础上有效降低了失效度求解过程的计算量，解决了多失效模式构成的共失效域体积求解难的问题，其适用面广且应用前景广泛，便于推广使用。
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
附图说明
图1为本发明的方法流程框图。
图2为本实施例中串联桁架结构体系的结构示意图。
具体实施方式
如图1和图2所示，本发明的一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，包括以下步骤：
步骤一、建立描述不确定性因素的多维椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素建立多维椭球模型，得到多维椭球模型
Figure GDA0004051080900000101
其中，X为不确定性因素向量且X＝(X1,X2,...,Xn)T，n为不确定性因素编号且n等于所述不确定性因素向量X的维数，
Figure GDA0004051080900000111
Xi为第i个不确定性因素，i为正整数且i的取值范围为1～n，
Figure GDA0004051080900000112
表示第i个不确定性因素Xi取值的区间，
Figure GDA0004051080900000113
为不确定性因素Xi的下界，
Figure GDA0004051080900000114
为不确定性因素Xi的上界，X0为多维椭球不确定域中心点向量且
Figure GDA0004051080900000115
Figure GDA0004051080900000116
为第i个不确定性因素Xi的取值区间中点，Ωx为用于确定多维椭球的形状和方向的多维椭球的特征矩阵且
Figure GDA0004051080900000117
ρij为第i个不确定性因素Xi和第j个不确定性因素Xj之间的相关系数，j为正整数且j的取值范围为1～n，且当i＝j时，ρij＝1，
Figure GDA0004051080900000118
为第i个不确定性因素Xi的区间半径且
Figure GDA0004051080900000119
Rn为n维的实数域；
本实施例中，所述不确定性因素包括串联桁架的材料属性、几何尺寸、边界条件以及载荷参数。
本实施例中，所述串联桁架的材料属性包括弹性模量、泊松比、拉压强度和质量密度；串联桁架的几何尺寸包括桁架横截面积、厚度和惯性矩。
本实施例中，以图2所示的平面五杆超静定桁架结构体系为例，平面五杆超静定桁架结构体系的不确定性因素包括1号杆件的拉压强度X1、2号杆件的拉压强度X2和3号杆件的拉压强度X3，相应的不确定性因素向量X＝(X1,X2,X3)T，1号杆件的拉压强度X1的取值范围：
Figure GDA00040510809000001110
2号杆件的拉压强度X2的取值范围：
Figure GDA00040510809000001111
2号杆件的拉压强度X3的取值范围：
Figure GDA00040510809000001112
第i个不确定性因素Xi和第j个不确定性因素Xj之间的相关系数ρij为ρ12＝ρ13＝ρ23＝0.2，故
Figure GDA00040510809000001113
用于确定多维椭球的形状和方向的多维椭球的特征矩阵
Figure GDA00040510809000001114
则可得到多维椭球模型
Figure GDA0004051080900000121
步骤二、获取不确定性因素的多维归一化等价椭球模型，过程如下：
步骤201、不确定性因素向量的归一化处理：根据公式
Figure GDA0004051080900000122
获取不确定性因素向量X的不确定性因素归一化向量U，其中，U＝(U1,U2,...,Un)T，Ui为第i个不确定性因素Xi对应的归一化变量；
步骤202、构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素归一化向量U构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型
Figure GDA0004051080900000123
Ωu为不确定性因素归一化向量U在归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵且Ωu＝diag(XR)Ωxdiag(XR)，diag(XR)为以XR中元素为对角元素的n维对角矩阵；
本实施例中，不确定性因素向量X的不确定性因素归一化向量
Figure GDA0004051080900000124
采用数据处理器根据公式Ωu＝diag(XR)Ωxdiag(XR)，得不确定性因素归一化向量U在归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵
Figure GDA0004051080900000125
则得到不确定性因素的多维归一化等价椭球模型
Figure GDA0004051080900000126
步骤三、获取不确定性因素的多维等价单位圆球模型，过程如下：
步骤301、对不确定性因素归一化向量U在的归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure GDA0004051080900000127
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤302、采用数据处理器对多维归一化等价椭球模型转化得到不确定性因素在标准空间δ空间中的多维等价单位圆球模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}，其中，δ为不确定性因素归一化向量U在标准空间δ空间的标准化向量且
Figure GDA0004051080900000128
标准空间δ空间的维数为n，δi为Xi在标准空间δ空间中的标准化变量；
得不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA0004051080900000131
本实施例中，对不确定性因素归一化向量U在的归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵
Figure GDA0004051080900000132
进行Choleskey分解，得下三角矩阵
Figure GDA0004051080900000133
根据公式
Figure GDA0004051080900000134
得标准化变量向量
Figure GDA0004051080900000135
则得到不确定性因素的多维等价单位圆球模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}。
步骤四、根据公式
Figure GDA0004051080900000136
计算多维等价单位圆球模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数；
本实施例中，由于n＝3，多维等价单位圆球模型Eδ的体积
Figure GDA0004051080900000137
步骤五、确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数：根据桁架结构失效准则确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中，l为结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为结构体系失效模式的总个数；
本实施例中，所述结构体系失效模式的总个数m为不小于2的正整数。
本实施例中，平面五杆超静定桁架结构体系均为确定荷载，分别为：水平方向上水平向右的载荷P＝147kN；竖直方向上，两个节点上所受竖直向下的载荷均F＝12kN；根据桁架结构失效准则，平面五杆超静定桁架结构体系中五个结构体系失效模式对应的功能函数分别为：
Figure GDA0004051080900000141
Figure GDA0004051080900000142
g3(X)＝2X1-P；
Figure GDA0004051080900000143
g5(X)＝X1+X2-P+F。
步骤六、获取具有单位系数向量的线性功能函数：对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)在标准空间δ空间中进行变形处理，过程如下：
步骤601、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)是否为不确定性因素向量X的线性函数：采用数据处理器调用一阶导数计算模块对功能函数gl(X)进行diff(gl(X),X)求导处理，当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的线性函数，执行步骤602；当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为非常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的非线性函数，执行步骤603；
本实施例中，采用数据处理器调用一阶导数计算模块对功能函数g1(X)、g2(X)、g3(X)、g4(X)、g5(X)分别进行求导处理，可知5个功能函数均为关于不确定性因素的线性函数，故执行步骤602；
步骤602、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的线性函数，gl(X)可记为：
Figure GDA0004051080900000144
其中，al0表示功能函数gl(X)的常数项，al表示功能函数gl(X)中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA0004051080900000145
对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000146
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的常数项且
Figure GDA0004051080900000151
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的标准化向量的系数向量且
Figure GDA0004051080900000152
本实施例中，采用数据处理器根据公式
Figure GDA0004051080900000153
和
Figure GDA0004051080900000154
分别对5个线性功能函数的系数向量和常数项进行转化，得到标准空间δ空间相应的五个失效模式的线性功能函数：
g1(δ)＝-86.9565δ2+3.4654δ3+84.9239；
g2(δ)＝19.3218δ1-19.3218δ2+20.6026δ3+34.9239；
g3(δ)＝38.6436δ1-38.6436δ2-1.2211δ3+53；
g4(δ)＝42.4264δ3+36.8478；
g5(δ)＝19.3218δ1-106.2783δ2-18.3584δ3+105。
步骤603、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的非线性函数，第i个不确定性因素Xi的取值区间中点
Figure GDA0004051080900000155
作为泰勒公式的展开点对功能函数进行泰勒一阶展开得到第l个结构体系失效模式的非线性功能函数gl(X)在区间中点的线性近似功能函数
Figure GDA0004051080900000156
且
Figure GDA0004051080900000157
其中，al0表示线性近似功能函数
Figure GDA0004051080900000158
的常数项，al表示线性近似功能函数
Figure GDA0004051080900000159
中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure GDA00040510809000001510
对串联桁架结构体系各失效模式的线性近似功能函数
Figure GDA00040510809000001511
进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure GDA00040510809000001512
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA00040510809000001513
的常数项且
Figure GDA00040510809000001514
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA00040510809000001515
的标准化向量的系数向量且
Figure GDA00040510809000001516
步骤604、根据公式
Figure GDA00040510809000001517
获取具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)，其中，αl为线性功能函数Gl(δ)中标准化向量δ的单位化系数向量且αl＝(αl1,αl2,…,αln)T，αli为系数向量bl中bli单位化后的系数且
Figure GDA0004051080900000161
bl为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure GDA0004051080900000162
的常数项bl0单位化后的系数且
Figure GDA0004051080900000163
当Gl(δ)＝0时，则Gl(δ)＝0表示一个平面，αl为该平面的单位法向量，βl为具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)的第l个失效模式的非概率可靠性指标；
本实施例中，采用数据处理器根据公式
Figure GDA0004051080900000164
对五个失效模式的线性功能函数的系数向量进行单位化，同时根据
Figure GDA0004051080900000165
五个失效模式的线性功能函数的常数项进行同样处理，得到δ空间五个具有单位系数向量的线性功能函数：
G1(δ)＝-0.9992δ2+0.0398δ3+0.9759；
G2(δ)＝0.5646δ1-0.5646δ2+0.6020δ3+1.0205；
G3(δ)＝0.7069δ1-0.7069δ2-0.0223δ3+0.9696；
G4(δ)＝δ3+0.8685；
G5(δ)＝0.1763δ1-0.9700δ2-0.1676δ3+0.9583。
需要说明的是，在标准化向量δ对应的δ空间中，结构的非概率可靠性指标与非概率可靠度之间存在关联，主要表现在当非概率可靠性指标βl大于零，即βl＞0时表示结构的非概率可靠度大于百分之五十，而当非概率可靠性指标βl小于零，即βl＜0时表示结构的非概率可靠度小于百分之五十，考虑到实际工程中不存在非概率可靠度小于百分之五十的情况，因此仅考虑非概率可靠性指标大于零，即βl＞0的情况。
步骤七、计算串联桁架结构体系的非概率失效度，过程如下：
步骤701、根据公式
Figure GDA0004051080900000166
计算m个结构体系失效模式之中第l个结构体系失效模式和第q个结构体系失效模式之间的相关系数ρlq，其中，q＝1，2，...，m且q≠l；
本实施例中，δ空间中系数向量单位化后五个线性功能函数的法向量分别为：
α1＝(0,-0.9992,0.0398)T；
α2＝(0.5646,-0.5646,0.6020)T；
α3＝(0.7069,-0.7069,-0.0223)T；
α4＝(0,0,1)T；
α5＝(0.1763,-0.9700,-0.1676)T；
根据公式
Figure GDA0004051080900000171
计算m个结构体系失效模式之中第l个结构体系失效模式和第q个结构体系失效模式之间的相关系数ρlq，计算结果如表1所示。
表1
失效模式 G1(δ) G2(δ) G3(δ) G4(δ) G5(δ)
G1(δ) 1 -0.5881 -0.7055 -0.0398 -0.9625
G2(δ) 1 -0.7849 -0.6020 -0.5436
G3(δ) 1 0.0222 -0.8141
G4(δ) 1 0.1676
G5(δ) 1
由表1可知，G4(δ)和G5(δ)的相关系数最大。
步骤702、由步骤701中确定的相关系数之中选出相关系数最大时，对应的两个结构体系失效模式和对应的两个具有单位系数向量的线性功能函数，将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的一个视为G1(δ)且
Figure GDA0004051080900000173
将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的另一个视为G2(δ)且
Figure GDA0004051080900000174
α1为G1(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α1＝(α11,α12,…,α1n)T，α2为G2(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α2＝(α21,α22,…,α2n)T，β1为G1(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标，β2为G2(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标；
步骤703、计算一阶失效域体积和二阶共失效域体积，过程如下：
步骤7031、G1(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf1，G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf2，其中，
Figure GDA0004051080900000181
Figure GDA0004051080900000182
k为正整数；
步骤7032、G1(δ)＜0且G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入二阶失效域体积Vf12，根据二阶失效域判断准则
Figure GDA0004051080900000183
判断二阶失效域体积Vf12是否存在，其中，γ为G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式的失效平面靠近二阶共失效域一侧的夹角，γ为γ的下界且γ＝π-(arccosβ1+arccosβ2)，
Figure GDA0004051080900000184
为γ的上界且
Figure GDA0004051080900000185
C表示区间(0,min(Vf1,Vf2))中的一个常数；
当
Figure GDA0004051080900000186
且β1,β2∈(0,1)同时满足时，
Figure GDA0004051080900000191
，r为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极径的积分变量，θ为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极角的积分变量，ξ＝cosγ，Vn-2表示n-2维等价单位圆球模型的体积；
本实施例中，将G4(δ)视为G1(δ)，将G5(δ)视为G2(δ)，获取一阶失效域体积和二阶失效域体积，如表2所示。
表2
β1 β2 Vf1 Vf2 Vf12
0.8685 0.9583 0.0519 0.0054 0
步骤704、根据公式Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，计算串联桁架结构体系中由G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式构成的失效域体积Vfs，由于Vf1为关于β1的函数，Vf2为关于β2的函数，Vf12为关于β1，β2和γ的函数，因此另
Figure GDA0004051080900000192
Vf12＝φ(β1,β2,γ)，则
Figure GDA0004051080900000193
将G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效为综合等效失效模式，则
Figure GDA0004051080900000194
其中，Ve为综合等效失效模式对应的一阶失效域体积，βp为综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标；
根据综合等效失效模式与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效关系，得
Figure GDA0004051080900000195
通过求解反函数，即可求得综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标
Figure GDA0004051080900000196
本实施例中，根据表2中的数据，根据公式Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，计算出G4(δ)对应的失效模式和G5(δ)对应的失效模式的失效域体积Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12＝0.0519+0.0054＝0.0573，再通过对
Figure GDA0004051080900000201
求解反函数，即可得到G4(δ)对应的失效模式和G5(δ)对应的失效模式的综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标βp＝0.8617。
步骤705、分别给G1(δ)和G2(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure GDA0004051080900000202
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G1(δ+ε)的非概率可靠性指标为β1(ε)且
Figure GDA0004051080900000203
给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G2(δ+ε)的非概率可靠性指标为β2(ε)且
Figure GDA0004051080900000204
代入
Figure GDA0004051080900000205
得
Figure GDA0004051080900000206
采用数据处理器调用taylor(βp(ε),ε,'Order',2)模块对βp(ε)在ε＝0处进行泰勒一阶展开得
Figure GDA0004051080900000207
其中，
Figure GDA0004051080900000208
为βp(ε)泰勒一阶展开后一次项系数组成的向量，对
Figure GDA0004051080900000209
按公式
Figure GDA00040510809000002010
进行单位化，其中，αp表示
Figure GDA00040510809000002011
单位化后的系数向量，αpi(i＝1,2,…,n)表示
Figure GDA00040510809000002012
中第i个微量εi对应的单位化后的系数，可得βp(ε)系数向量单位化后的泰勒一阶展开式，即
Figure GDA00040510809000002013
另G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure GDA00040510809000002014
其中，αe为Ge(δ)的单位系数向量且αe＝(αe1,αe2,…,αen)T，βe表示Ge(δ)的非概率可靠性指标，同样给Ge(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure GDA00040510809000002015
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后Ge(δ)的非概率可靠性指标为βe(ε)且
Figure GDA00040510809000002016
根据G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式与Ge(δ)对应的失效模式是同一等效失效模式，则βe(ε)＝βp(ε)，即
Figure GDA0004051080900000211
又因增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T仅为任意微量，从而有βe＝βp，则
Figure GDA0004051080900000212
即可唯一确定一个与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式具有等效性的综合确定等效失效模式，该综合确定等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure GDA0004051080900000213
本实施例中，由于直接求解非概率可靠性指标的反函数比较复杂，而根据
Figure GDA0004051080900000214
可知等效失效模式中功能函数的系数是等效非概率可靠性指标βp(ε)对ε在ε＝0处的导数，所以可直接通过
Figure GDA0004051080900000215
两边同时对ε求ε＝0处的导数，然后通过整理得到等效失效模式功能函数的系数向量，
Figure GDA0004051080900000216
其中φ(βp)为式
Figure GDA0004051080900000217
左侧对ε求导得到的关于βp的表达式，βp的值已求得，所示在实际使用时，φ(βp)是一个确定的数值；
等效失效模式功能函数的系数向量经单位化得αe＝(-0.0586,0.3225,-0.9448)T，综合确定等效失效模式的功能函数
Figure GDA0004051080900000218
Figure GDA0004051080900000219
表示第一次等效得到的综合确定等效失效模式。
步骤706、将综合确定等效失效模式与步骤702中除相关系数最大时对应的两个结构体系失效模式外的剩余的m-2个结构体系失效模式合并，得到m-1个结构体系失效模式，将m-1个结构体系失效模式视为新的m个结构体系失效模式，循环步骤701，直至最终只剩下两个结构体系失效模式，将最终两个结构体系失效模式的一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G1(δ)，将最终两个结构体系失效模式的另一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G2(δ)，执行步骤703，得到最终的一阶失效域体积Vf1、Vf2和最终的二阶共失效域体积Vf12，根据公式Vs＝Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，得到最终两个结构体系失效模式构成的串联桁架结构体系的失效域体积Vs，即整个串联桁架结构体系的失效域体积；
步骤701至步骤706循环三次后得表3。
表3
Figure GDA0004051080900000221
表3中，
Figure GDA0004051080900000222
表示第二次等效得到的综合确定等效失效模式，
Figure GDA0004051080900000223
表示第三次等效得到的综合确定等效失效模式。
将初始的五个失效模式最终转化为G3(δ)对应的失效模式和
Figure GDA0004051080900000224
对应的失效模式，将G3(δ)视为新的G1(δ)，将
Figure GDA0004051080900000225
视为新的G2(δ)，执行步骤703，得到最终的一阶失效域体积Vf1、Vf2和最终的二阶共失效域体积Vf12，根据公式Vs＝Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12＝0.0620，得到最终两个结构体系失效模式构成的串联桁架结构体系的失效域体积Vs。
步骤707、根据公式
Figure GDA0004051080900000226
计算串联桁架结构体系的非概率失效度f。
本实施例中，根据公式
Figure GDA0004051080900000227
计算串联桁架结构体系的非概率失效度。
本发明充分考虑了工程实际需求，给出了更符合实际工程需要的结构体系非概率可靠性分析结果，适用面广且应用前景广泛，有效的弥补了现有技术仅能对单失效模式下的结构进行非概率可靠性分析的不足，拓展了结构非概率可靠性分析方法的范围，通过逐次用一个失效模式等效结构体系中的两个失效模式，将求解多个失效模式失效域体积最终转化为求解两个失效模式失效域体积，从而给出结构体系失效度的点估计值，在保障足够精度的基础上有效降低了失效度求解过程的计算量，解决了多失效模式构成的共失效域体积求解难的问题，其适用面广且应用前景广泛。
以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何限制，凡是根据本发明技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、变更以及等效结构变化，均仍属于本发明技术方案的保护范围内。

Claims (1)

1.一种串联桁架结构体系非概率失效度计算方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一、建立描述不确定性因素的多维椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素建立多维椭球模型，得到多维椭球模型
Figure FDA0004051080890000011
其中，X为不确定性因素向量且X＝(X1,X2,...,Xn)T，n为不确定性因素编号且n等于所述不确定性因素向量X的维数，
Figure FDA0004051080890000012
Xi为第i个不确定性因素，i为正整数且i的取值范围为1～n，
Figure FDA0004051080890000013
表示第i个不确定性因素Xi取值的区间，Xi L为不确定性因素Xi的下界，
Figure FDA0004051080890000014
为不确定性因素Xi的上界，X0为多维椭球不确定域中心点向量且
Figure FDA0004051080890000015
Figure FDA0004051080890000016
为第i个不确定性因素Xi的取值区间中点，Ωx为用于确定多维椭球的形状和方向的多维椭球的特征矩阵且，
Figure FDA0004051080890000017
ρij为第i个不确定性因素Xi和第j个不确定性因素Xj之间的相关系数，j为正整数且j的取值范围为1～n，且当i＝j时，ρij＝1，
Figure FDA0004051080890000018
为第i个不确定性因素Xi的区间半径且
Figure FDA0004051080890000019
Rn为n维的实数域；
步骤二、获取不确定性因素的多维归一化等价椭球模型，过程如下：
步骤201、不确定性因素向量的归一化处理：根据公式
Figure FDA00040510808900000110
获取不确定性因素向量X的不确定性因素归一化向量U，其中，U＝(U1,U2,...,Un)T，Ui为第i个不确定性因素Xi对应的归一化变量；
步骤202、构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型：采用数据处理器对不确定性因素归一化向量U构建不确定性因素的多维归一化等价椭球模型
Figure FDA00040510808900000111
Ωu为不确定性因素归一化向量U在归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵且Ωu＝diag(XR)Ωxdiag(XR)，diag(XR)为以XR中元素为对角元素的n维对角矩阵；
步骤三、获取不确定性因素的多维等价单位圆球模型，过程如下：
步骤301、对不确定性因素归一化向量U在的归一化空间u中确定的多维椭球的特征矩阵Ωu进行Choleskey分解，即
Figure FDA0004051080890000021
其中，L0为Choleskey分解得到的下三角矩阵；
步骤302、采用数据处理器对多维归一化等价椭球模型转化得到不确定性因素在标准空间δ空间中的多维等价单位圆球模型Eδ＝{δ|δTδ≤1,δ∈Rn}，其中，δ为不确定性因素归一化向量U在标准空间δ空间的标准化向量且
Figure FDA0004051080890000022
标准空间δ空间的维数为n，δi为Xi在标准空间δ空间中的标准化变量；
得不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure FDA0004051080890000023
步骤四、根据公式
Figure FDA0004051080890000024
计算多维等价单位圆球模型Eδ的体积Vn，其中，Γ(·)为Gamma函数；
步骤五、确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数：根据桁架结构失效准则确定串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)，其中，l为结构体系失效模式的编号且l＝1,2,…,m，m为结构体系失效模式的总个数；
步骤六、获取具有单位系数向量的线性功能函数：对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)在标准空间δ空间中进行变形处理，过程如下：
步骤601、判断串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)是否为不确定性因素向量X的线性函数：采用数据处理器调用一阶导数计算模块对功能函数gl(X)进行diff(gl(X),X)求导处理，当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的线性函数，执行步骤602；当功能函数gl(X)关于不确定性因素向量X的一阶导数为非常数，表明功能函数gl(X)是关于不确定性因素向量X的非线性函数，执行步骤603；
步骤602、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的线性函数，gl(X)可记为：
Figure FDA0004051080890000031
其中，al0表示功能函数gl(X)的常数项，al表示功能函数gl(X)中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure FDA0004051080890000032
对串联桁架结构体系各失效模式的功能函数gl(X)进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure FDA0004051080890000033
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的常数项且
Figure FDA0004051080890000034
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数gl(δ)的标准化向量的系数向量且
Figure FDA0004051080890000035
步骤603、功能函数gl(X)是不确定性因素向量X的非线性函数，第i个不确定性因素Xi的取值区间中点
Figure FDA0004051080890000036
作为泰勒公式的展开点对功能函数进行泰勒一阶展开得到第l个结构体系失效模式的非线性功能函数gl(X)在区间中点的线性近似功能函数
Figure FDA0004051080890000037
且
Figure FDA0004051080890000038
其中，al0表示线性近似功能函数
Figure FDA0004051080890000039
的常数项，al表示线性近似功能函数
Figure FDA00040510808900000310
中不确定性因素向量X的系数向量且al＝(al1,al2,…,aln)T；
按照不确定性因素向量X与标准空间δ空间中的标准化向量δ之间的关系：
Figure FDA00040510808900000311
对串联桁架结构体系各失效模式的线性近似功能函数
Figure FDA00040510808900000312
进行变量代换，得到标准空间δ空间相应的失效模式的线性功能函数
Figure FDA00040510808900000313
其中，bl0为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure FDA00040510808900000314
的常数项且
Figure FDA00040510808900000315
bl表示δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure FDA00040510808900000316
的标准化向量的系数向量且
Figure FDA00040510808900000317
步骤604、根据公式
Figure FDA00040510808900000318
获取具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)，其中，αl为线性功能函数Gl(δ)中标准化向量δ的单位化系数向量且αl＝(αl1,αl2,…,αln)T，αli为系数向量bl中bli单位化后的系数且
Figure FDA0004051080890000041
bl为δ空间中失效模式的线性功能函数
Figure FDA0004051080890000046
的常数项bl0单位化后的系数且
Figure FDA0004051080890000042
当Gl(δ)＝0时，则Gl(δ)＝0表示一个平面，αl为该平面的单位法向量，βl为具有单位系数向量的线性功能函数Gl(δ)的第l个失效模式的非概率可靠性指标；
步骤七、计算串联桁架结构体系的非概率失效度，过程如下：
步骤701、根据公式
Figure FDA0004051080890000043
计算m个结构体系失效模式之中第l个结构体系失效模式和第q个结构体系失效模式之间的相关系数ρlq，其中，q＝1，2，...，m且q≠l；
步骤702、由步骤701中确定的相关系数之中选出相关系数最大时，对应的两个结构体系失效模式和对应的两个具有单位系数向量的线性功能函数，将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的一个视为G1(δ)且
Figure FDA0004051080890000044
将选出的两个具有单位系数向量的线性功能函数的另一个视为G2(δ)且
Figure FDA0004051080890000045
α1为G1(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α1＝(α11,α12,…,α1n)T，α2为G2(δ)＝0所确定的平面的单位法向量且α2＝(α21,α22,…,α2n)T，β1为G1(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标，β2为G2(δ)对应的失效模式的非概率可靠性指标；
步骤703、计算一阶失效域体积和二阶共失效域体积，过程如下：
步骤7031、G1(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf1，G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入一阶失效域体积Vf2，其中，
Figure FDA0004051080890000051
Figure FDA0004051080890000052
k为正整数；
步骤7032、G1(δ)＜0且G2(δ)＜0时，多维等价单位圆球陷入二阶失效域体积Vf12，根据二阶失效域判断准则
Figure FDA0004051080890000053
判断二阶失效域体积Vf12是否存在，其中，γ为G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式的失效平面靠近二阶共失效域一侧的夹角，γ为γ的下界且γ＝π-(arccosβ1+arccosβ2)，
Figure FDA0004051080890000054
为γ的上界且
Figure FDA0004051080890000055
C表示区间(0,min(Vf1,Vf2))中的一个常数；
当
Figure FDA0004051080890000056
且β1,β2∈(0,1)同时满足时，
Figure FDA0004051080890000061
，r为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极径的积分变量，θ为二阶共失效域体积Vf12在极坐标下的极角的积分变量，ξ＝cosγ，Vn-2表示n-2维等价单位圆球模型的体积；
步骤704、根据公式Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，计算串联桁架结构体系中由G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式构成的失效域体积Vfs，由于Vf1为关于β1的函数，Vf2为关于β2的函数，Vf12为关于β1，β2和γ的函数，因此另
Figure FDA0004051080890000062
Vf12＝φ(β1,β2,γ)，则
Figure FDA0004051080890000063
将G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效为综合等效失效模式，则
Figure FDA0004051080890000064
其中，Ve为综合等效失效模式对应的一阶失效域体积，βp为综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标；
根据综合等效失效模式与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效关系，得
Figure FDA0004051080890000065
通过求解反函数，即可求得综合等效失效模式的等效非概率可靠性指标
Figure FDA0004051080890000066
步骤705、分别给G1(δ)和G2(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure FDA0004051080890000067
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G1(δ+ε)的非概率可靠性指标为β1(ε)且
Figure FDA0004051080890000068
给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后的G2(δ+ε)的非概率可靠性指标为β2(ε)且
Figure FDA0004051080890000069
代入
Figure FDA00040510808900000610
得
Figure FDA00040510808900000611
采用数据处理器调用taylor(βp(ε),ε,'Order',2)模块对βp(ε)在ε＝0处进行泰勒一阶展开得
Figure FDA0004051080890000071
其中，
Figure FDA0004051080890000072
为βp(ε)泰勒一阶展开后一次项系数组成的向量，对
Figure FDA0004051080890000073
按公式
Figure FDA0004051080890000074
进行单位化，其中，αp表示
Figure FDA0004051080890000075
单位化后的系数向量，αpi(i＝1,2,…,n)表示
Figure FDA0004051080890000076
中第i个微量εi对应的单位化后的系数，可得βp(ε)系数向量单位化后的泰勒一阶展开式，即
Figure FDA0004051080890000077
另G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure FDA0004051080890000078
其中，αe为Ge(δ)的单位系数向量且αe＝(αe1,αe2,…,αen)T，βe表示Ge(δ)的非概率可靠性指标，同样给Ge(δ)中标准化向量δ＝(δ1,δ2,…,δn)T一个增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T，得
Figure FDA0004051080890000079
则给定增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T后Ge(δ)的非概率可靠性指标为βe(ε)且
Figure FDA00040510808900000710
根据G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式等效的等效失效模式与Ge(δ)对应的失效模式是同一等效失效模式，则βe(ε)＝βp(ε)，即
Figure FDA00040510808900000711
又因增量ε＝(ε1,ε2,…,εn)T仅为任意微量，从而有βe＝βp，则
Figure FDA00040510808900000712
即可唯一确定一个与G1(δ)对应的失效模式和G2(δ)对应的失效模式具有等效性的综合确定等效失效模式，该综合确定等效失效模式的功能函数为Ge(δ)且
Figure FDA00040510808900000713
步骤706、将综合确定等效失效模式与步骤702中除相关系数最大时对应的两个结构体系失效模式外的剩余的m-2个结构体系失效模式合并，得到m-1个结构体系失效模式，将m-1个结构体系失效模式视为新的m个结构体系失效模式，循环步骤701，直至最终只剩下两个结构体系失效模式，将最终两个结构体系失效模式的一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G1(δ)，将最终两个结构体系失效模式的另一个结构体系失效模式的线性功能函数视为新的G2(δ)，执行步骤703，得到最终的一阶失效域体积Vf1、Vf2和最终的二阶共失效域体积Vf12，根据公式Vs＝Vfs＝Vf1+Vf2-Vf12，得到最终两个结构体系失效模式构成的串联桁架结构体系的失效域体积Vs，即整个串联桁架结构体系的失效域体积；
步骤707、根据公式
Figure FDA0004051080890000081
计算串联桁架结构体系的非概率失效度f；
所述不确定性因素包括串联桁架的材料属性、几何尺寸、边界条件以及载荷参数；
所述串联桁架的材料属性包括弹性模量、泊松比、拉压强度和质量密度；串联桁架的几何尺寸包括桁架横截面积、厚度和惯性矩；
所述结构体系失效模式的总个数m为不小于2的正整数。
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