CN104268324B - 一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法 - Google Patents
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Abstract
一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，包含以下顺序的步骤：将柔顺并联机构的运动链设为拓扑优化问题的设计域，建立各运动链的柔度矩阵并将其组装成柔顺并联机构的刚度矩阵；根据机构的刚度矩阵导出输入输出点的刚度和运动传递关系，建立拓扑优化模型对运动链进行优化。本发明的方法，可用于综合平面1至3自由度、空间2至6自由度、冗余驱动等柔顺并联机构；无需参考现有刚性机构就可根据设计问题得到性能最优的拓扑，且拓扑独特新颖，丰富了柔顺并联机构的拓扑类型。
Description
技术领域
本发明涉及精密定位、精密操作领域，特别涉及一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法。
背景技术
传统的多自由度柔顺并联机构一般采用刚体替代法进行综合，即将现有刚性并联机构中的刚性铰链替换成柔性铰链，通过柔性铰链的弹性变形实现运动的传递。这类机构可以避免刚性机构中的铰链间隙、摩擦以及装配误差等问题，在微机电技术、精密工程等技术领域得到了广泛的应用。然而，由运动综合法，例如专利CN200610038352.1所公开的方法，得到的一些刚性机构拓扑并不适用于柔顺机构，且运动综合法只注重列举出所有可能的拓扑，并未考虑拓扑的性能对拓扑进行优选，所以柔顺并联机构目前需要一种考虑拓扑性能的、系统的型综合方法。
拓扑优化方法正是一种能够系统地考虑拓扑性能并优选的柔顺机构综合方法。这种方法无需参考现有的机构，根据设计问题直接在设计域内迭代优化得到具有最优拓扑、形状和尺寸的柔顺机构。但现有的拓扑优化方法，例如专利US20110270587A1所公开的方法，主要用于设计结构体和单自由度平面柔顺机构，比如微夹钳和位移反向器等运动简单的柔顺机构，并不能用于多自由度柔顺并联机构的拓扑综合。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法。
本发明的目的通过以下的技术方案实现：
一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，包含以下顺序的步骤：
A、将柔顺并联机构的运动链设为拓扑优化问题的设计域，建立各运动链的柔度矩阵并将其组装成柔顺并联机构的刚度矩阵；
B、根据机构的刚度矩阵导出输入输出点的刚度和运动传递关系，建立拓扑优化模型对运动链进行优化。
所述的多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，具体包含以下顺序的步骤：
S1.运动链设计域的划分
机架与动平台之间由多个固定的设计域连接，用于综合相应的运动链；设计域的个数、方位以及输入输出点由设计者根据设计问题给定；设计域由有限单元离散化，单元的人工材料密度作为拓扑优化问题的优化变量；
S2.柔顺并联机构的运动分析
在分别建立各个运动链输入点和末端点之间的柔度关系的基础上，将各运动链的柔度关系转换为机构输入输出点之间的刚度关系，进而由机构的刚度关系导出输入输出点的刚度和运动传递矩阵；
S3.优化目标的设定
对输入输出点的刚度进行优化以控制柔顺并联机构抵抗外力的能力，同时对运动传递矩阵进行优化以控制柔顺并联机构的自由度和运动正解关系。
所述的多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，用于综合平面1至3自由度的柔顺并联机构、空间2至6自由度的柔顺并联机构或者冗余驱动的柔顺并联机构。
本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：
1)相比于现有的拓扑优化方法，本发明采用完全不同的思路。现有的拓扑优化方法为机构整体设定一个设计域，主要通过有限元分析计算在一定力作用下的应变能与互应变能来评价拓扑的性能，这种方法难以拓展到多自由度柔顺机构，特别是空间多自由度柔顺机构拓扑优化中。本发明将设计域设定在运动链，可简化多自由度拓扑优化问题；通过输入输出点运动传递矩阵可以描述驱动自由度与输出点上所有自由度(平面情形为3个自由度；空间情形为6个自由度)的运动关系，可以作为多自由度拓扑优化中强有力的评价指标。所以，本发明可解决现有拓扑优化方法不能实现多自由度柔顺机构拓扑设计的技术问题。
2)相比于刚体替代法，本发明为多自由度柔顺并联机构提供一种考虑拓扑性能的系统的型综合方法，在得到满足自由度要求的最优拓扑的同时，可以获得柔顺并联机构的运动正解；摆脱了对现有刚性并联机构的依赖性，得到的柔顺并联机构具有结构拓扑，与传统的柔顺并联机构拓扑有很大的不同，丰富了柔顺并联机构的拓扑多样性。
附图说明
图1为空间多自由度柔顺并联机构拓扑优化设计域示意图；
图2为平面三自由度柔顺并联机构拓扑优化设计域示意图；
图3为图2所述设计域的最优拓扑；
图4为平面两自由度柔顺并联机构设计域示意图；
图5为图4所述设计域的最优拓扑。
具体实施方式
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，具体包含以下顺序的步骤：
步骤一、根据设计问题为各个运动链划分固定的设计域、离散化以及设置边界条件。如图1和图2所示，机架1与动平台2之间由多个固定的设计域3连接，用于综合相应的运动链3；运动链3的个数根据需要设计的机构自由度来确定，一般是运动链3的个数等于机构自由度，每个运动链3只含一个运动输入点a，即驱动器个数等于机构自由度；设计域3的大小、方位以及输入点a、输出点o的位置由设计者根据设计问题给定。设计域3由有限单元4离散化，图1和图2所示的例子分别使用空间单元和平面单元；每个有限单元4装有密度可在0与1之间变化的人工材料，其中0代表没有材料，1代表有实体材料；有限单元4的人工材料密度作为拓扑优化问题的优化变量X，设计域3的全局刚度矩阵为：
其中，N是设计域3内有限单元4的个数，Ke是设计域3全局坐标系下的单元刚度矩阵，xe是单元的人工材料密度，ρ是惩罚因子。
柔顺并联机构各个运动链3的拓扑结构可以不同或者相同。对于各个运动链3拓扑不同的柔顺并联机构，需要在所有运动链3设立设计域，并且需要相同数量的优化变量组(X1,X2,…,Xn，其中n为运动链3个数)；对于各个运动链3拓扑相同的柔顺并联机构，所有设计域3及每个设计域的优化变量相同，故只需一组优化变量X。
简便起见，下面以各个运动链3拓扑相同的平面柔顺并联机构作为实施例说明本发明剩余步骤，但并非限定本发明的实施范围。
步骤二、通过有限元方法分别建立各个运动链3输入点a和末端点e之间的柔度关系。柔度矩阵元素C(j,k)的物理意义是只在第k个自由度上施加一个单位力时，在第j个自由度上产生的位移。本发明根据柔度矩阵元素的物理意义建立运动链输入点a和末端点e之间的柔度矩阵，具体做法是分别在运动链输入点a和末端点e的各个自由度上施加独立的单位力，在输入点a和末端点e的各个自由度上产生的位移即为相应的柔度；相应的位移通过M次求解有限元平衡方程(式(2))得到，其中M是运动链输入点a和末端点e的自由度数总和。运动链3输入点a和末端点e之间的柔度矩阵元素如式(3)所示，其中Fj是伴随力向量，作用是从位移向量Uk中提取出某个自由度上的位移。
Fj＝KUj,j＝1,2,…,M (2)
步骤三、利用结构矩阵法将各运动链3的柔度关系转换为机构输入点a和输出点o之间的刚度关系。根据结构矩阵法，一个点的柔度矩阵可以通过坐标变换转换到另一个点上。如式(4)所示，点1的柔度矩阵C1可以通过转换矩阵T1 2转换到点2上，转换矩阵与相互转换的坐标系相对几何关系有关。简便起见，设立如式(5)所示的运算符号来表示柔度矩阵的坐标转换。
C2＝T1 2C1T1 2T (4)
为了研究输入点a与输出点o之间的刚度关系，需将运动链3输入点a和末端点e之间的柔度矩阵转换为运动链3输入点a和输出点o之间的柔度矩阵，并将柔度矩阵求逆得到刚度矩阵，如式(6)所示，为转换矩阵。
得到单个运动链3的刚度关系之后，其余运动链可以通过坐标转换得到，其中，输入点的刚度维持在原来的坐标系下以保证输入自由度在局部坐标系轴方向。
由于柔顺并联机构是由多个运动链3并联构成，动平台输出点o的刚度矩阵是各个运动链3末端刚度在同一坐标系下是叠加。如式(8)所示的转换矩阵中，前n行将各个运动链3上输入输出点的刚度提取出来，最后一行将所有运动链3末端的刚度叠加得到输出点o的刚度。式(8)所得的机构刚度矩阵Km描述了柔顺并联机构输入点a和输出点o之间的刚度关系。
步骤四、由机构的刚度关系导出输入输出点的刚度和运动传递矩阵。机构刚度矩阵Km的对角线元素定义为机构的特征刚度，与输入自由度相关的特征刚度称为输入刚度而与输出自由度相关的特征刚度则称为输出刚度
将机构刚度矩阵Km调整并分块得到式(9)，其中Fin和Uin是输入力向量和输入位移向量，Fo和Uo是输出力向量和输出位移向量。
假设柔顺并联机构动平台无外力作用，即Fo＝0，由式9得
K21Uin+K22Uo＝0 (10)
求解该方程得到描述输入位移与输出位移关系的运动传递矩阵GA。
步骤五、建立优化模型并求解。柔顺机构的设计既要有足够的柔度以保证运动变形，又要有足够的刚度抵抗载荷，所以拓扑优化是综合考虑柔度和刚度的优化过程，本发明所采用的一般优化模型如式(12)所示。
其中，FR是柔顺并联机构的运动功能要求，SR是柔顺并联机构的强度要求，V(X)是候选拓扑的体积，Vo是设计问题给定的体积上限。本发明采用的目标函数有以下两种形式：
第一种目标函数的运动功能要求是柔顺并联机构的运动传递矩阵逼近一个给定的目标运动传递矩阵GA*，GA与GA*越接近，FR的值越大；输入输出刚度最大化是强度要求。
第二种目标函数的运动功能要求是柔顺并联机构的工作空间最大化，强度要求与第一种一致。
运用第二种目标函数对图2所示的三自由度柔顺并联机构设计问题进行求解得到的结果如图3所示。运用第一种目标函数对图4左侧所示的两自由度柔顺并联机构设计问题进行求解得到的结果如图4右侧所示，其中该柔顺并联机构含两个被动运动链5；最优拓扑对应的运动传递矩阵GA如式(15)所示，GA的第三行为零向量说明输出点o的旋转自由度被抑制，柔顺并联机构只含有两个解耦的平移自由度。
本发明可以根据设计问题得到满足自由度要求的最优拓扑，并且得到柔顺并联机构的运动正解GA，可以对降低设计者的理论和经验要求、提高设计效率、丰富柔顺并联机构的拓扑多样性。
需要说明的是，a＝ai，其中i＝1,2,…,n，图1、图2、图4中出现的a1、a2、a3是i分别取值1、2、3的情况下得到的。
上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。
Claims (3)
1.一种多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，其特征在于，包含以下顺序的步骤：
A、将柔顺并联机构的运动链设为拓扑优化问题的设计域，建立各运动链的柔度矩阵并将其组装成柔顺并联机构的刚度矩阵；
B、根据机构的刚度矩阵导出输入输出点的刚度和运动传递关系，建立拓扑优化模型对运动链进行优化；
所采用的一般优化模型f(X)如式(12)所示：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>min</mi>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>f</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>F</mi>
<mi>R</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
<mi>S</mi>
<mi>R</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>.</mo>
<mi>t</mi>
<mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>V</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>o</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，FR是柔顺并联机构的运动功能要求，SR是柔顺并联机构的强度要求，V(X)是候选拓扑的体积，Vo是设计问题给定的体积上限；
所采用的目标函数有以下两种形式：
第一种目标函数f1(X)的运动功能要求是柔顺并联机构的运动传递矩阵逼近一个给定的目标运动传递矩阵GA*，其中GA为最优拓扑对应的运动传递矩阵；是与输入自由度相关的特征刚度称为输入刚度，i＝1,2,…,n；是与输出自由度相关的特征刚度则称为输出刚度j＝1,2,3；GA与GA*越接近，FR的值越大；输入输出刚度最大化是强度要求：
第二种目标函数f2(X)的运动功能要求是柔顺并联机构的工作空间最大化，强度要求与第一种一致：
2.根据权利要求1所述的多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，其特征在于，具体包含以下顺序的步骤：
S1.运动链设计域的划分
机架与动平台之间由多个固定的设计域连接，用于综合相应的运动链；设计域的个数、方位以及输入输出点由设计者根据设计问题给定；设计域由有限单元离散化，单元的人工材料密度作为拓扑优化问题的优化变量；
S2.柔顺并联机构的运动分析
在分别建立各个运动链输入点和末端点之间的柔度关系的基础上，将各运动链的柔度关系转换为机构输入输出点之间的刚度关系，进而由机构的刚度关系导出输入输出点的刚度和运动传递矩阵；
S3.优化目标的设定
对输入输出点的刚度进行优化以控制柔顺并联机构抵抗外力的能力，同时对运动传递矩阵进行优化以控制柔顺并联机构的自由度和运动正解关系。
3.根据权利要求1或2所述的多自由度柔顺并联机构拓扑优化方法，其特征在于，用于综合平面1至3自由度的柔顺并联机构、空间2至6自由度的柔顺并联机构或者冗余驱动的柔顺并联机构。
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