CN108875162A - 一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法，涉及精密定位、精密操作技术领域，包括以下步骤：将与柔顺机构空间构型相对应的并联机构结构参数进行优化，并采用微分等效法得到优化后的并联机构雅克比矩阵；根据并联机构的驱动器设置及多输入多输出运动特征设定拓扑优化设计域，划定设计域中非设计区域，并对设计区域进行网格划分；将优化后的并联机构雅克比矩阵融入拓扑优化方法中，对柔顺机构空间构型进行拓扑优化；提取拓扑构型。该方法在满足空间多自由度运动特征要求的同时，根据拓扑优化方法的本质，可获得最大整体刚度的柔顺机构空间构型，提高柔顺机构自身对振动抑制的能力。

Description

一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及精密定位、精密操作技术领域，具体涉及一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法。

背景技术

柔顺机构是一种通过其部分或全部具有柔性构件的弹性变形来产生位移和传递运动、力或能量的机构。与传统刚性机构相比其优越之处在于：卓越的性能(如高精度、无间隙、无摩擦、无磨损、重量轻等)、低廉的成本(如易加工、零件数少等)和易于小型化(如微纳机械零部件等)。因此，柔顺机构广泛应用于微机电系统装配、电子封装与光刻、精准医疗等高端技术领域。

具有多自由度运动特性的柔顺机构通常采用柔性铰链替代法，通过用具有相同特征的柔性铰链代替传统的刚性铰链，并根据并联机构中刚性铰链所满足的几何约束条件来实现柔顺机构空间多自由度运动特性。然而，这种简单的替代方法虽可实现空间多自由度运动特征，但却无法满足柔顺机构对整体刚度的要求，降低了柔顺机构整体的振动抑制能力。

为提高空间柔顺机构的整体刚度，研究者们采用拓扑优化方法对柔顺机构构型进行综合与设计。

中国专利CN201410476694.6公开了一种多自由度柔顺并联就拓扑优化方法，通过对平面三自由度柔顺并联机构进行拓扑优化，得到多自由度柔顺并联机构单支链拓扑结构，进而将单支链进行组合形成空间多自由度柔顺并联机构，这种设计方法人为割裂了空间柔顺机构整体弹性变形的耦合特征，所得到的多自由度柔顺并联机构无法寻找到与之相对应的伪刚体模型，从而影响了其进一步的应用。

金莫辉(基于伪刚体模型和雅克比矩阵的柔顺机构拓扑优化方法，华南理工大学，博士论文，2016)则将表示操作空间与关节空间的映射矩阵-雅克比矩阵在拓扑过程中进行优化，并以此建立柔顺机构的伪刚体模型，这种方法忽略了雅克比矩阵映射的不变性，从而导致所建立的伪刚体模型不能准确与柔顺机构拓扑构型相对应。

为提高空间柔顺机构整体刚度，并寻找到准确的、与柔顺机构空间拓扑构型相对应的伪刚体模型，本发明提出一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的不足，本发明提供了一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法。

为了实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤1、将与柔顺机构空间构型相对应的并联机构结构参数进行优化，采用微分等效法推导出并联结构参数优化后的并联机构雅克比矩阵，并将并联机构雅克比矩阵作为应力应变梯度传递矩阵应用于步骤3；

步骤2、根据并联机构的驱动器设置及多输入多输出运动特征设定拓扑优化设计域，划定设计域中非设计区域，并对设计区域进行网格划分，实现步骤3中的拓扑优化初始条件设置；

步骤3、将优化后的并联机构雅克比矩阵融入拓扑优化方法中，对柔顺机构空间构型进行拓扑优化；

步骤4、根据步骤3中拓扑优化结果，提取拓扑构型，并进行光滑处理。

优选地，所述步骤1的具体做法为，选取具有空间三平移运动特征的3-UPU型并联机构作为所设计的空间柔顺机构所对应的伪刚体模型，在对伪刚体模型进行结构参数优化基础上，采用微分等效法推导出雅克比矩阵，在所述步骤1中：

分别在定平台与动平台上建立坐标系，第i个运动支链与定平台连接点的坐标为第i个运动支链与动平台连接点坐标为各运动支链初始长度均为l，定平台和所述动平台由等边三角形组成，其边长分别为2a和2b，所述3-UPU型并联机构的运动反解为：

从操作空间到关节空间的映射关系满足

式中：

则所述3-UPU型并联机构的雅克比矩阵可表示为：

条件数是平台速度和关节速度之间的最大和最小放大系数，两者越接近，其各向同性越大，因此采取雅克比矩阵的条件数进行优化，表示为：

式中：||·||₂表示矩阵的范数，σ_max和σ_min表示雅克比矩阵J的最大和最小奇异值；因此，雅克比矩阵的条件数Cond(J)变化范围为[1,∞)，采用条件数的倒数来评价各向同性结构的程度，其线性矩阵不等式为：

并联机构结构参数优化的目标函数可以表示为：

α·η+β·LMI＝f(l,r,h) (6)

式中：α和β为权值，满足α+β＝1；

将并联机构初始结构参数{l,r,h}_optimization＝{36.84,149.99,80.01}代入式(6)中，经过迭代优化，可得优化后的并联机构雅克比矩阵为：

优选地，在所述步骤2中：

将并联机构中的驱动力转换为拓扑优化中的位移输入可采取公式(8)，有：

F＝λ·Δl＝K(E_e)Δd (9)

式中：Δl＝(Δl₁Δl₂Δl₃)^T为压电驱动器给定的驱动位移，Δd＝(Δd_xΔd_yΔd_z)^T是柔顺机构空间拓扑构型输出位移，E为场强，其数值由确定，U为加载在压电陶瓷驱动器两端的电压，δ为压电陶瓷片厚度，d₃₃是压电常数，λ为压电陶瓷驱动器位移与力的比例系数，K(E_e)为整体刚度矩阵，E_e为单元刚度矩阵；

根据公式(8)和(9)，整体刚度矩阵与优化后并联机构雅克比矩阵的关系满足：

λ·J_optimized＝K(E_e)

(10)。

优选地，在所述步骤3中空间柔顺机构拓扑优化模型建立方法如下：

将设计区域进行有限元网格划分，单元密度与杨氏模量之间的关系为：

式中：E₀为实体材料的弹性模量，p为惩罚因子，满足

式中：v⁰为给定材料的泊松比，修正后的单元弹性模量可表示为：

式中：E_min为去除材料的弹性模量；

从材料的各向同性本质出发，材料的弹性变形梯度与给定的优化后并联机构雅克比矩阵之间的关系有：

柔顺机构空间拓扑优化模型可表示为：

式中：x＝[x₁,x₂,…,x_N]表示各单元网格的密度；表示密度过滤函数，有j是与单元x_i相邻的单元，单元体积为v_i，H_ij为权重，N为网格划分数，v＝[v₁,v₂…v_N]^T为网格单元体积，为体积收敛目标函数，f为作用在节点上的力矢量，u(x)为单元输出位移，K_e为网格单元刚度，ρ_e为网格单元密度。

优选地，所述优化方法用于空间3至6自由度柔顺机构综合领域。

本发明提供的柔顺机构空间构型拓扑优化方法具有以下有益效果：

(1)相比于柔性铰链替代法，本发明为柔顺机构空间构型提供了一种考虑拓扑性能的构型综合方法，在满足空间多自由度运动特征要求的同时，根据拓扑优化方法的本质，可获得最大整体刚度的柔顺机构空间构型，提高柔顺机构自身对振动抑制的能力。

(2)相比于现有的拓扑优化方法，本发明采用完全不同的思路；现有的拓扑优化方法试图摆脱对刚性并联机构的依赖性，在拓扑优化过程中对刚性并联机构雅克比矩阵进行优化，这种优化方法丢失了雅克比矩阵本质特征-操作空间到关节空间映射关系，导致无确切的刚性机构与拓扑结构相对应，无法寻找到伪刚体模型与之对应；本发明在拓扑优化之前将并联机构结构参数进行优化，并将优化后的并联机构雅克比矩阵作为拓扑优化的映射条件，从而使得柔顺机构拓扑结构与并联机构的运动特征保持一致，在满足整体刚度最大的同时，获得较为精确的伪刚体模型，为柔顺机构空间拓扑构型的数学建模、控制系统设计等提供了有力的支撑。

(3)相比于现有的柔顺机构拓扑构型，本发明所采取的是参考并联机构的多输入多输出载荷条件、驱动器配置条件等，所得到的柔顺机构空间拓扑构型保持了并联机构多支链运动的耦合性，相比单支链优化、组合的柔顺机构构型，本发明所得到的柔顺机构空间拓扑构型具有更高的精确度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例1提供的一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法的并联原型机构结构示意图；

图2为本发明实施例1提供的一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法的并联原型机构结构参数示意图；

图3为本发明实施例1提供的一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法的拓扑优化设计域；

图4为本发明实施例1提供的一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法的嵌入并联原型机构的拓扑优化设计域；

图5为本发明实施例1提供的一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法的嵌入并联原型机构的拓扑优化结构。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1

本发明实施例1提供了一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法，本实施例中，选取具有空间三平移运动特征的3-UPU型并联机构作为所设计的空间柔顺机构所对应的伪刚体模型，并对其进行结构参数优化，3-UPU型并联机构由三个对称的运动支链、动平台及定平台所组成，运动支链由一个虎克铰连接动平台，一个虎克铰连接定平台，两个虎克铰通过一个移动铰链所组成，3-UPU型并联机构结构图如附图1所示，包括动平台1、定平台2、圆柱运动副3、移动运动副4和虎克铰运动副5等组成，定平台2保持静止，提供对整体机构的支撑作用，运动由移动副4提供驱动，并通过圆柱副3及虎克铰运动副5传递至动平台1,实现空间三平移的运动特性，结构尺寸参数如图2所示。

拓扑优化方法包括以下步骤：

步骤1、将与柔顺机构空间构型相对应的并联机构结构参数进行优化，采用微分等效法推导出并联结构参数优化后的并联机构雅克比矩阵，并将并联机构雅克比矩阵作为应力应变梯度传递矩阵应用于步骤3；

具体的，选取具有空间三平移运动特征的3-UPU型并联机构作为所设计的空间柔顺机构所对应的伪刚体模型，在对伪刚体模型进行结构参数优化基础上，采用微分等效法推导出雅克比矩阵，在步骤1中：

分别在定平台与动平台上建立坐标系，第i个运动支链与定平台连接点的坐标为第i个运动支链与动平台连接点坐标为各运动支链初始长度均为l，定平台和动平台由等边三角形组成，其边长分别为2a和2b，3-UPU型并联机构的运动反解为：

从操作空间到关节空间的映射关系满足

式中：

则3-UPU型并联机构的雅克比矩阵可表示为：

条件数是平台速度和关节速度之间的最大和最小放大系数，两者越接近，其各向同性越大，因此采取雅克比矩阵的条件数进行优化，表示为：

式中：||·||₂表示矩阵的范数，σ_max和σ_min表示雅克比矩阵J的最大和最小奇异值；因此，雅克比矩阵的条件数Cond(J)变化范围为[1,∞)，采用条件数的倒数来评价各向同性结构的程度，其线性矩阵不等式为：

并联机构结构参数优化的目标函数可以表示为：

α·η+β·LMI＝f(l,r,h) (6)

式中：α和β为权值，满足α+β＝1；

将并联机构初始结构参数{l,r,h}_optimization＝{36.84,149.99,80.01}代入式(6)中，经过迭代优化，可得优化后的雅克比矩阵为：

采用步骤1所得到的并联原型机构优化后的雅克比矩阵作为拓扑优化梯度收敛的有益效果在于：雅克比矩阵表示了机构运行中末端操作空间到关节空间的映射关系，本发明在拓扑优化前对并联原型机构结构参数优化所得到的雅克比矩阵，并将其应用于拓扑优化，从而保持了雅克比矩阵的不变性。该方法使得拓扑结构与并联原型机构保持了结构的同构性，因此可以用并联原型机构作为拓扑结构的伪刚体模型。

步骤2、根据并联机构的驱动器设置及多输入多输出运动特征设定拓扑优化设计域，划定设计域中非设计区域，并对设计区域进行网格划分，实现步骤3中的拓扑优化初始条件设置；

在步骤2中，空间柔顺机构拓扑优化设计域设置为一立方体结构，如附图3所示。嵌入并联原型机构的拓扑优化设计域如附图4所示，包括并联原型机构动平台2、并联原型机构定平台1、第一驱动器3、第二驱动器4和第三驱动器5，将并联原型机构的结构组成嵌入在所选取的拓扑优化设计域立方体6内。如图4所示，按并联原型机构的驱动器配置方式设置拓扑优化的输入条件，其中虚线部分为并联机构的结构示意图；优化域、拓扑优化初始条件的设置如下：

将并联机构中的驱动力转换为拓扑优化中的位移输入可采取公式(8)，有：

F＝λ·Δl＝K(E_e)Δd (9)

式中：Δl＝(Δl₁Δl₂Δl₃)^T为压电驱动器给定的驱动位移，Δd＝(Δd_xΔd_yΔd_z)^T是柔顺机构空间拓扑构型输出位移，E为场强，其数值由确定，U为加载在压电陶瓷驱动器两端的电压，δ为压电陶瓷片厚度，d₃₃是压电常数，λ为压电陶瓷驱动器位移与力的比例系数，K(E_e)为整体刚度矩阵，E_e为单元刚度矩阵；

根据公式(8)和(9)，整体刚度矩阵与优化后并联机构雅克比矩阵的关系满足：

λ·J_optimized＝K(E_e)

(10)；

采用步骤2的有益效果在于：将并联原型机构嵌入拓扑优化设计域，可根据并联原型机构的驱动配置形式避免拓扑优化初始载荷输入的奇异性，且通过给定约束条件使得拓扑结构具有与并联原型机构相同的运动特性。由于拓扑优化是以结构整体刚度最大(柔度最小)为优化目标，因而可以有效提高所得到的空间柔顺机构具有最大的整体刚度。

步骤3、本实施例将优化后的并联机构雅克比矩阵融入优化设计方法中，从而明确与柔顺机构空间拓扑构型相对应的、以并联机构为原型的伪刚体模型。将附图2中的设计区域进行有限元网格划分，将优化后的并联机构雅克比矩阵融入拓扑优化方法中，对柔顺机构空间构型进行拓扑优化；

空间柔顺机构拓扑优化模型建立方法如下：

将设计区域进行有限元网格划分，单元密度与杨氏模量之间的关系为：

式中：E₀为实体材料的弹性模量，p为惩罚因子，满足

式中：v⁰为给定材料的泊松比，修正后的单元弹性模量可表示为：

式中：E_min为去除材料的弹性模量；

从材料的各向同性本质出发，材料的弹性变形梯度与给定的优化后并联机构雅克比矩阵之间的关系有：

柔顺机构空间拓扑优化模型可表示为：

式中：x＝[x₁,x₂,…,x_N]表示各单元网格的密度；表示密度过滤函数，有j是与单元x_i相邻的单元，单元体积为v_i，H_ij为权重，N为网格划分数，v＝[v₁,v₂…v_N]^T为网格单元体积，为体积收敛目标函数，f为作用在节点上的力矢量，u(x)为单元输出位移，K_e为网格单元刚度，ρ_e为网格单元密度。

采用步骤3的有益效果在于：将并联原型机构中的力输入形式转换为拓扑优化中的位移多输入形式，并通过优化后的雅克比矩阵确定拓扑优化的梯度收敛方向。

步骤4、根据步骤3中拓扑优化结果，提取拓扑构型，并进行光滑处理，采用本发明所得到的拓扑结构如附图5所示，包括动平台1、定平台2及弹性变形区域3。该拓扑结构可实现空间三平移运动特性，且其运动特性与3-UPU型并联原型机构一致，因此可采用3-UPU型并联原型机构作为拓扑构型的伪刚体模型进行建模。

需要说明的是，本实施例提供的优化方法用于空间3至6自由度柔顺机构综合领域。

本实施例提供的柔顺机构空间构型拓扑优化方法具有以下有益效果：

(1)相比于柔性铰链替代法，本发明为柔顺机构空间构型提供了一种考虑拓扑性能的构型综合方法，在满足空间多自由度运动特征要求的同时，根据拓扑优化方法的本质，可获得最大整体刚度的柔顺机构空间构型，提高柔顺机构自身对振动抑制的能力。

(2)相比于现有的拓扑优化方法，本发明采用完全不同的思路。现有的拓扑优化方法试图摆脱对刚性并联机构的依赖性，在拓扑优化过程中对刚性并联机构雅克比矩阵进行优化，这种优化方法丢失了雅克比矩阵本质特征-操作空间到关节空间映射关系，导致无确切的刚性机构与拓扑结构相对应，无法寻找到伪刚体模型与之对应。本发明在拓扑优化之前将并联机构结构参数进行优化，并将优化后的并联机构雅克比矩阵作为拓扑优化的映射条件，从而使得柔顺机构拓扑结构与并联机构的运动特征保持一致，在满足整体刚度最大的同时，获得较为精确的伪刚体模型，为柔顺机构空间拓扑构型的数学建模、控制系统设计等提供了有力的支撑。

(3)相比于现有的柔顺机构拓扑构型，本发明所采取的是参考并联机构的多输入多输出载荷条件、驱动器配置条件等，所得到的柔顺机构空间拓扑构型保持了并联机构多支链运动的耦合性，相比单支链优化、组合的柔顺机构构型，本发明所得到的柔顺机构空间拓扑构型具有更高的精确度。

本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供方法、系统、或产品。本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。

尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (5)

1.一种柔顺机构空间构型拓扑优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、将与柔顺机构空间构型相对应的并联机构结构参数进行优化，采用微分等效法推导出并联结构参数优化后的并联机构雅克比矩阵，并将并联机构雅克比矩阵作为应力应变梯度传递矩阵应用于步骤3；

步骤2、根据并联机构的驱动器设置及多输入多输出运动特征设定拓扑优化设计域，划定设计域中非设计区域，并对设计区域进行网格划分，实现步骤3中的拓扑优化初始条件设置；

步骤3、将优化后的并联机构雅克比矩阵融入拓扑优化方法中，对柔顺机构空间构型进行拓扑优化；

步骤4、根据步骤3中拓扑优化结果，提取拓扑构型，并进行光滑处理。

2.根据权利要求1所述的柔顺机构空间构型拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤1的具体做法为，选取具有空间三平移运动特征的3-UPU型并联机构作为所设计的空间柔顺机构所对应的伪刚体模型，在对伪刚体模型进行结构参数优化基础上，采用微分等效法推导出雅克比矩阵，在所述步骤1中：

分别在定平台与动平台上建立坐标系，第i个运动支链与定平台连接点的坐标为第i个运动支链与动平台连接点坐标为各运动支链初始长度均为l，定平台和所述动平台由等边三角形组成，其边长分别为2a和2b，所述3-UPU型并联机构的运动反解为：

从操作空间到关节空间的映射关系满足

式中：

则所述3-UPU型并联机构的雅克比矩阵可表示为：

条件数是平台速度和关节速度之间的最大和最小放大系数，两者越接近，其各向同性越大，因此采取雅克比矩阵的条件数进行优化，表示为：

式中：||·||₂表示矩阵的范数，σ_max和σ_min表示雅克比矩阵J的最大和最小奇异值；因此，雅克比矩阵的条件数Cond(J)变化范围为[1,∞)，采用条件数的倒数来评价各向同性结构的程度，其线性矩阵不等式为：

并联机构结构参数优化的目标函数可以表示为：

α·η+β·LMI＝f(l,r,h) (6)

式中：α和β为权值，满足α+β＝1；

将并联机构初始结构参数{l,r,h}_optimization＝{36.84,149.99,80.01}代入式(6)中，经过迭代优化，可得优化后的并联机构雅克比矩阵为：

3.根据权利要求1所述的拓扑优化初始条件设置方法，其特征在于，在所述步骤2中：

将并联机构中的驱动力转换为拓扑优化中的位移输入可采取公式(8)，有：

F＝λ·Δl＝K(E_e)Δd (9)

式中：Δl＝(Δl₁ Δl₂ Δl₃)^T为压电驱动器给定的驱动位移，Δd＝(Δd_x Δd_y Δd_z)^T是柔顺机构空间拓扑构型输出位移，E为场强，其数值由确定，U为加载在压电陶瓷驱动器两端的电压，δ为压电陶瓷片厚度，d₃₃是压电常数，λ为压电陶瓷驱动器位移与力的比例系数，K(E_e)为整体刚度矩阵，E_e为单元刚度矩阵；

根据公式(8)和(9)，整体刚度矩阵与优化后并联机构雅克比矩阵的关系满足：

λ·J_optimized＝K(E_e) (10)。

4.根据权利要求1所述的柔顺机构空间构型拓扑优化方法，其特征在于，在所述步骤3中空间柔顺机构拓扑优化模型建立方法如下：

将设计区域进行有限元网格划分，单元密度与杨氏模量之间的关系为：

式中：E₀为实体材料的弹性模量，p为惩罚因子，满足

式中：v⁰为给定材料的泊松比，修正后的单元弹性模量可表示为：

E_e＝E_e(x_e)＝E_min+x_e ^p(E₀-E_min)，x_i∈[0,1] (13)

式中：E_min为去除材料的弹性模量；

从材料的各向同性本质出发，材料的弹性变形梯度与给定的优化后并联机构雅克比矩阵之间的关系有：

柔顺机构空间拓扑优化模型可表示为：

式中：x＝[x₁,x₂,…,x_N]表示各单元网格的密度；表示密度过滤函数，有j是与单元x_i相邻的单元，单元体积为v_i，H_ij为权重，N为网格划分数，v＝[v₁,v₂…v_N]^T为网格单元体积，为体积收敛目标函数，f为作用在节点上的力矢量，u(x)为单元输出位移，K_e为网格单元刚度，ρ_e为网格单元密度。

5.根据权利要求1所述的柔顺机构空间构型拓扑优化方法，其特征在于，所述优化方法用于空间3至6自由度柔顺机构综合领域。